线性基础代数2

第2章行列式2.4

矩阵的秩1.矩阵的k阶子式

定义2.8

在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉位置的个元素，保持相对位置不变构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.例如：有2阶子式：有3阶子式：一个m×n矩阵A，它的k阶子式共有个.概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式1.矩阵的k阶子式(续)相应的代数余子式矩阵A

的一个2

阶子块矩阵A

的一个2

阶子式与元素

相对应的余子式1.矩阵的k阶子式(续)矩阵而它的所有4阶子式都等于0.有如下的一个三阶子式不等于零：1.矩阵的k阶子式(续)2.矩阵的秩的定义定义2.9设A为m×n矩阵，如果A中有一个r阶子式

不等于0，且它的所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于0，那么，

称为矩阵A的最高阶非零子式，数r

称为矩阵A的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩为0.注：

当R(A)=min(m,n),称矩阵A为满秩矩阵，否则称A为降秩矩阵.矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2

阶子式

如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3

阶子式也等于零．2.矩阵的秩的定义(续)2.矩阵的秩的定义(续)注：

根据行列式按行(列)展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式(如果存在的话)都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有

r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式(如果存在的话)也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．A的最高阶非零子式不一定唯一，但它的阶数是唯一的.故.3.例1

解：在矩阵A中，显然有一个2阶子式

例1

求矩阵的秩.而A的三阶子式只有一个，就是|A|，但4.矩阵秩的性质

(3)

.

(2)若矩阵A的所有t阶子式都为零，则R(A)≤t.(6)n阶矩阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.

(5)

(1)若矩阵A中有一个r阶子式不为零，则R(A)≥r.

(4)

(7)

.矩阵A

的一个2

阶子式矩阵AT

的一个2

阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．4.矩阵秩的性质(续)4.矩阵秩的性质(续)

(8)

.

证明：不妨设A，B为m×n矩阵，有初等列变换于是有

(9)若A为m×n矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则有R(PAQ)=R(A)

.即用可逆矩阵乘某矩阵，不改变该矩阵的秩.证明略.例2

求矩阵A

和B

的秩，其中

解：在A

中，2阶子式．A

的

3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2

．5.例2例2

求矩阵A

和B

的秩，其中解(续)：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式,因此

R(B)=

3

．还存在其它3阶非零子式吗？5.例2(续)解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论2：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．结论1：例2中3阶子式不唯一，但是其阶数是唯一的．例2

求矩阵A

和B

的秩，其中5.例2(续)6.矩阵秩的求法引例：求矩阵A

的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3

阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？6.矩阵秩的求法(续)6.矩阵秩的求法(续)定理2.10若A~B，则R(A)=R(B).

应用：根据这一定理，求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．7.例3例3求矩阵的秩，并写出这个矩阵的一个最高阶非零子式.

解：对A作初等行变换如下：7.例3(续)由于矩阵B是行阶梯形矩阵，且其第四行元素全为零，所以R(B)=3.由定理2.10可知R(A)=3．7.例3(续)下面求A的一个最高阶非零子式．由R(A)=3可知，A的最高阶非零子式是3阶的，而A的3阶子式有个，如何找呢？考察B的第1、2、4列，记为显然，．7.例3(续)对应地，记A的第1、2、4列为显然，是由进行初等行变换得到的，与等价，于是即中必有3阶非零子式．计算的前三行构成的子式7.例3(续)上述子式便是A

的一个最高阶非零子式.8.例4

例4设，已知，求.

解：因为，所以8.例4(续)即9.例5

例5

设，求矩阵A及的秩.

解：设B的行阶梯形为则就是A的行阶梯形.故从中，可以同时看出R(A)和R(B).9.例5(续)9.例5(续)因此，

利用系数矩阵和增广矩阵的秩，将第1章第3节中的结论重新叙述如下：定理2.11：设有n元非齐次线性方程组

其矩阵形式为Ax=b.(1)Ax=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；(2)Ax=b有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n

；(3)Ax=b有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．10.非齐次线性方程组解的判定11.例6

例6判定以下线性方程组是否有解：

解：对增广矩阵B进行初等行变换由于，故原方程组有解.例7

设有线性方程组问

取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)

无解；(3)

有无多个解？并在有无限多解时求其通解．12.例7

解：因为系数矩阵A

是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是|A|≠

0

．12.例7(续)于是当≠

0

且

≠－3

时，方程组有唯一解．

当

l=0

时，,

R(A)=1，R(B)=2

，方程组无解．当

l=－3

时，R(A)=R(B)

=2

，方程组有无限多个解，其通解为：

(c为任意实数)12.例7(续)定理2.12：设有n元齐次线性方程组

其矩阵形式为Ax=0.(1)只有零解的充分必要条件是R(A)=n；(2)有非零解的充分必要条件是R(A)<n.13.齐次线性方程组解的判定推论2.6：如果n元齐次线性方程组Ax=0中，方程个数m小于未知量个数n时，即m<n，则n元齐次线性方程组必有零解.13.齐次线性方程组解的判定(续)14.例8例8判定以下齐次线性方程组是否有非零解：

解:对齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换：由于

，根据定理2.12，该齐次方程组有非零解.定理2.13：矩阵方程Ax=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)．15.矩阵方程解的判定16.本节小结

(1)矩阵秩的概念与基本性质.

(2)求矩阵秩的方法①利用定义(寻找矩阵中非零子式的最高阶数)②利用初等变换法(将矩阵用初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).

(3)n元非齐次线性方程组解的判定.