人教版七年级数学下册期末复习专练：相交线与平行线（十四大类题型）

专题01相交线与平行线

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题型1对顶角、邻补角（常考点）题型8铅笔模型（难点）

题型2垂直+直角的计算（常考点）题型9判断命题的真假（常考点）

题型3同位角、内错角和同旁内角的识别（常考点）题型10写出命题的题设与结论

题型4利用平行的性质求角度（重点）题型11逻辑与推理

题型5平行线的证明（常考点）题型12利用平移的性质求解（重点）

题型6平行线的判定与性质综合（重点）题型13利用平移解决实际问题（常考点）

题型7猪蹄模型（难点）题型14平移-作图（常考点）

，题型通关•靶向提分

题型1对顶角、邻补角（共4小题）

1.（24-25七年级卜.•陕西商洛・期末）镇安城区主要道路"迎宾路"与“永安路”相交，形成的四个角中其中一

个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（）

A.42°B.48°C.132°D.142°

【答案】C

【分析】本题考.杳了利用邻补角互补求角度.根据互为邻补用的两个角的和为180。.已知一个角为

48。，则其邻补角=180。-48。,即可作答.

【详解】解:依题意，邻补角=180。-48。=132。，

故选：C.

2.（24-25七年级下•陕西延安•期末）下列各图中，Nl=42一定成立的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了对顶角相等，根据分析每个选项41,42的情况，唯有D选项N1,N2是一组对顶

角，则41=42,即可作答.

【详解】解：观察四个选项，唯有D选项N1,42是一组对顶角，则/1二乙2

其他选项没有条件得出N1=Z2,

故选：D

3.（24-25七年级下•河北承德・期末）如图，直线88、C。相交于点0,0E平分乙8。。，若4B0E=30。，则

N40D的度数为（）

A.100°B.120°C.130°D.140°

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的定义，补角，先根据角平分线的定义得/8。。二248。£=60。，再根

据补角的定义求tAOD的度数即可.

【详解】解：•••0£平夕＞，8。。，LBOE=30°,

・"BOD=2/BOE=60。，

C.Z-AOD=1800-ABOD=120°.

故选：B.

4.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，直线和CO交于点。，^AOC=70°,在。B,0D之间作射线

OE,且乙BOC=2乙EOB,贝iJ4DOE的度数为°.

【答案】15

【分析】本题主要考查的是角的运算问题，邻补角等，数形结合是解题的关键.

先求出/BOC，乙B0D的度数,再利用N80C=24EOB即可求出NB0E的度数，进而求解即可.

【详解】解：・・・乙4。。=70。，

:,乙BOC=180°-/,AOC=180°-70°=110°,乙BOD=Z.AOC=70°

.:乙BOC=2乙EOB,

：.Z.EOB=-x1100=55。，

2

:•乙DOE=乙BOD-乙BOE=70°-55°=15°.

故答案为：15.

题型2垂直+直角的计算（共4小题）

2

5.（2022・河北•二模）下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（）

起：

跳：测量跳

A.线口远成绩

两钉子固

定耒案

C.

【答案】A

【分析】根据几何原理判断求解即可;

两钉子固

C.定木条，用两点确定•条直线解释:

弯曲河

道改直

一',用两点之间线段最短解释;

6.（24-25七年级下•湖北咸宁•期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近看地点到起跳线的距离.下图是某同

学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（）

220cm

215cm

205cm-U—210cm

200cm

立定跳远起跳线

A.200cmB.205cmC.210cmD.220cm

【答案】A

【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为200cm,

故他的成绩为200cm.

7.（25-26七年级上•江苏常州•期末）如图，因为。M14B,ONLAB,所以OM与ON重合的理由是

()

3

M'

N

AOB

A.垂线段最短

B.两点之间，线段最短

C.两点确定一条直线

D.同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】D

【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键.

由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断.

【详解】解：因为0M_LA8,ONLAB,所以0M与ON重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有

一条直线与已知直线垂直，

故选：D.

8.(25-26七年级上•江苏泰州•期末)如图，已知直线48、CO相交于点。，0F14B,点。为垂足，0E

平分10B.

⑴若48。£=67°,求“OF的度数;

(2)若4=5:4,求/EOF的度数.

【答案】⑴44。

(2)15°

【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解

角度之间的和差关系.

(1)先由角平分线求出即可求解乙40C,再结合垂青的定义求解即可：

(2)由题意可设48。£=5%,则4C。尸=4%,则NCOC=48。£=5%,然后表示出乙80尸=5%+%=

6%,再由垂直的定义建立方程求解.

【详解】(1)解：:0E平分ZCOB,乙BOE=67。,

，Z80C=2480E=134。，

：.2LA0C=180°—4BOC=46。，

9：0F±AB,

4

：.Z-AOF=90°t

：.LCOF=90°-/.AOC=44°：

⑵解：,・28OE:zW=5：4,

J设ZBOE=5x,则“OF=4x,

TOE平分“OB,

,\z.COE=乙BOE=5x,

:.(EOF=5x-4x=x,

Z.BOF=5x+x=6x,

•・"。/=90。，

.\6x=90°.

/.x=15°,

."EOF=15。.

题型3同位角、内错角和同旁内角的识别（共3小题）

9.（24-25七年级下•山西阳泉•期末）如图，直线m方被直线c所截，则下列说法正确的是（）

A.乙1与N2是同旁内角B.43与乙4是内错角

C.41与45是同位角D.乙2与45互补

【答案】C

【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断.

【详解】解：A、与42是内错角，说法错误；

B、43与乙4不是内错角，说法错误；

C、Z.1与45是同位角，说法il-确：

D、乙2与乙5是对顶角不一定互补，说法错误；

故选：C.

10.（24-25七年级下•湖南娄底•期末）如图所标的角中，与N1是同位角的是（）

5

4

2

3

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】C

【分析】本题考查三线八角的识别，数形结合，记住三线八角的关系并准确识别是解决问题的关键.

【详解】解：根据题意得：与Z1是同位角的是N4,

故选：C.

11.（23-24七年级上•湖南长沙•期末）如图，直线力B,CD被AE所截，贝吐力的同旁内角是

【答案】AAOC

【分析】本题考查了同旁内角的含义.根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截

线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键.

【详解】解：4力的同旁内角是

故答案为：LAOC.

题型用平行的性质求角度《^\题］

12.（24-25七年级下•甘肃武威•期末）如图，ABIICD,=70。，则，1的度数是（）

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由4BIIC。，得乙2+4力二180。，从而求出

42=110。，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，

'：AB\\CD,

6

・••42+乙力=180°,

•・Z=70°,

・"2=110°,

Z.zl=z2=110°,

故选：B.

13.（23-24七年级下•贵州黔东南•期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品

牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中力&。。都与地面平行，4M与平行,

若AC平分乙BCD=70。，则4C的度数为（)

图2

A.45°B.D.70°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键.根据

AB||CD可得乙48C=乙BCD=70°,根据与5C平行可得乙AL4B=110°,再根据角平分线的定义即

可解答.

【详解】解：・・・A8,C0都与地面平行,乙BCD=70。,

：.AB||CD,

；.4ABC=々BCD=70°,

•「AM与BC平行,

・"力BC+zMAB=180°,

：.z.MAB=110°,

.・・®C=、M4B=55。.

故选：B.

14.（24-25七年级下•陕西西安•期末）如图，一个含有30。角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边

上，如果21=24°,那么42的度数是（）

A.24°B.26°C.34°D.36°

【答案】D

【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，先标注图形，求解NBA。=

乙1=24。，再求解KE4D=60。，再进•步求解即川二

【详解】解：如图，标注图形：

VZ1=24°,ABWCD,

=Z1=24°,

\^ADE=30°,，力ED=90°,

：.Z.EAD=60°,

J42=60°-24°=36。；

故选：D

15.（24-25七年级下•安徽合肥•期末）如图所示，平行于凸透镜主光轴EE的光线AB、CD经过透镜折射聚

焦于主光轴E点，若Z4BE==141。，则/BED=（）

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质求4。"的度数，再根据乙BED=

乙BEF+乙DEF,求出匕BED的度数即可.

【详解】解：\'AB\\CD\\EF,Z.ABE=Z.CDE=141°,

：.Z.BEF=180°-141°=39°,乙DEF=180°-141°=39°,

:.(BED=乙BEF+乙DEF=39°+39°=78°,

故选：B.

16.（24-25七年级下•福建福州•期末）如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳48与秤泥绳CD互相平

行，若乙a=98。，则4夕的度数为（）

8

A

C

---------------------

D

A.78°B.82°C.98°D.108°

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义.根据邻补角的定义可得NBCD的度数，再由

平行线的性质解答即可.

【详解】解：:“=98。,

・・・48。0=180°—乙。=82°,

yABWCD,

：.Z.P=Z.BCD=82°.

故选：B

17.（24-25七年级下•河北承德•期末）某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务.如图1是共享

单车的实物图，图2是其示意图，其中48||。。，^MAC=69°,ABAC=53°f已知AMII8C,则

4BCD的度数为（）

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识.由力MIIBC,可得4/lCB二

△MAC=69。，进而得到乙ABC=58。，结合＜3||CO,即可求解.

【详解】解：AM||BC,乙MAC=69。，

Z/1CF=ZM4C=69O,

vLBAC=53°,

•••乙ABC=180°-LBAC-LACB=180°-53°-69°=58°,

vABIICD,

."BCD=4ABe=58。，

故选：A.

9

题型5平行线的证明（共6小题）

18.（24・25七年级下•山东德州•期末）如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中不能判定QIIb是

()

A.zl+Z4=180°B.Z3+Z4=180°C.42=Z3D.z3=z4

【答案】D

【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可.

【详解】解：A选项：VZ1+Z4=180°,42+乙4=180。,

，乙1=22,

故该选项的条件能判定aUb.

B选项：Vz3+Z4=180°,Z2+Z4=180°,

・••匕3=42,

・・・allb.故该选项的条件能判定allb.

C选项：Vz2=z3,

Aallb.故该选项的条件能判定allb.

D选项：•••43二44,Z2+Z4=180°,

，23+42=180。，无法得到42=43,

，不能判定allb.

故选：D.

19.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，下列条件不能判定4BIICD的是（）

A.41=z2B.43=44

C.乙8=乙5D./.B+/.BCD=180°

【答案】A

【分析】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键.平行线的判定定理：①

同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；根据这三个判定

定理逐项验证即可得到答案.

10

【详解】解：A、由乙1=42,根据内错角相等两直线平行可以判定力。II8C,不能判定4BIICD,符合

题意；

B、Ihz3=z4,根据内错角相等两直线平行可以判定ABIICD,不符合题意；

C、由乙8=乙5,根据同位角相等两直线平行可以判定4BIICD,不符合题意；

D、由ZB+288=180。，根据同旁内角互补两直线平行可以判定ABIICD,不符合题意；

故选：A.

20.（24-25七年级下•四川成都・期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一

起，41=75。，42二43。，要使木条a与方平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是

（）

b

A.32°B.33°C.43°D.75°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案.

【详解】解：当21=42时，a\\b,

•・・41=75。，42=43。，

・•・木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是75。-43。=32°.

故选：A.

21.（24-25七年级下•河北唐山明末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三

角板画平行线4B、CD,诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示:

诗诗麦麦

上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行''的是（）

A.仅皓皓同学B.诗诗和皓皓C.麦麦和皓皓D.诗诗和麦麦

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的

判定定理是解题的关键.

11

【详解】解：诗诗：

/MB||CD（内错角相等，两直线平行）：

麦麦：'：£BAC=Z.DCA,

：.AB\\CD（内错角相等,两直线平行）：

皓皓：如图,

\'Z-ABE=Z.CDB,

：.AB\\CD（同位角相等,两直线平行）；

故选：DD.

22.（24-25七年级下•云南德宏•期末）如图,在四边形ABCD中,若要ABIIC。,则需增加条件:

.（填一个即可）

【答案】Z1=44（或44+180°^Z.C+Z,ABC=180°）

【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并运用同位角相等、内错角相等或同旁内

角互补时两直线平行的判定方法.

明确要使IICD,需依据平行•线的判定定理寻找条件；可从同位角、内错角或同旁内角的关系入

手，找出能判定两直线平行的条件.

【详解】解：要使4BIICD,根据"内错角相等，两直线平行"，若N1=44（/1和44是4B与CD被BD所

截形成的内错角），则48||CD；

根据“同旁内角互补，两直线平行"，若180。（乙4和N/WC是与。。被力。所载形成的同旁

内角）或〃+180。（“和乙4BC是48与CD被BC所裱形成的同旁内角），也可判定48IICD.

故答案为：Zl=Z4（或乙4180。或NC+44BC=180。）.

23.（24-25七年级下呐蒙古鄂尔多斯・期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从"三线八角"的位置进

行分析，如图，点£在4c的延长线上，给出下列条件：①/1=乙2；②，3="：③乙DCE；

④44=40CE：®^ABD+/,BDC=180°；@zD+Z/1CD=180°.一定能判定48||CD的条件是

.（填所有正确条件的,字号）

12

【答案】①④⑤

【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟

练掌握平行线的判定方法是解题的关键.

根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果.

【详解】解：①•.•/I=/2,

AABWCD（内错角相等，两直线平行），

故条件①符合题意；

②•••匕3=乙4,

ACWBD（内错角相等，两直线平行），

故条件②不符合题意：

③vZ.D=Z.DCE,

ACWBD（内错角相等，两直线平行），

故条件③不符合题意；

④•••Z.A=Z.DCE,

AABWCD（同位角相等，两直线平行），

故条件④符合题意；

@Z-ABD+Z.BDC=180°,

•.ABWCD（同旁内角互补，两直线平行），

故条件⑤符合题意；

+^ACD=180°,

ABDWAC（同旁内角互补，两直线平行）,

故条件⑥不符合题意；

综上，①④⑤符合题意，

故答案为：①④⑤.

题型6平行线的判定与性质综合（共5小题）

24.（24-25七年级下•陕西宝鸡•期末）如图，已知直线CM交直线48于点E,点尸在射线E8上，点G在线段

CD上，连接尸G,ED,ED与FG交于点H,乙C=cEFG,乙CED=LGHD.

13

M

Afi

/

CGD

⑴求证：CEWGF；

（2）试判断4/IED与4D之间的数量关系，并说明理由；

（3）若NCGF=116。，求的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）乙4E0+4D=180。，理由见解析

⑶116。

【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是关键.

（1）利用同位角相等两直线平行可得结论；

（2）直接利用平行线的判定与性质进行解答即可；

（3）利用平行线的性质先求解匕C=180。-116。=64。，Z-AEC=zC=64°,进一步求解即可.

【详解】（1）证明：・."CED=""D,

：.CE||GF.

（2）解：4IE。与之间的数量关系是：/-AED+ZD=180°.理由如下：

*：CE||GF,

:.乙C=^FGD,

•・・"=，EFG,

：./-FGD=乙EFG,

：.ABIICD,

：.Z.AED+Z,D=180°.

（3）解：VCE||GF,Z.CGF=116°,

AzC=180°-116°=64°,

*：AB||CD,

：.^AEC=Z.C=64°,

・"AEM=180°-64°=116°.

25.（24-25七年级下•四川南充•期末）如图，=Z.BDC,z2+z3=180°.

14

£

rBD

(1)力。与EC平行吗？请说明理由.

(2)若D4平分N8DC,。4_1尸5于点4Z1=76°,求乙凡48的度数.

【答案】⑴4。IIEC,理由见解析

(2)52°

【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵

活运用是解此题的关键.

(1)由同位角相等，两直线平行可得AB||CD,再由平行线的性质可得Z2=，ADC,结合题意得出

乙4DC+Z3=180°,即可得证；

(2)由题意可得”11CD,曰角平分线的定义可得乙4DC=^8DC=38。，由平行线的性质可得

Z2=Z.ADC=38%由垂线的定义可得ND4F=90。,即可得解.

【详解】(1)解：AD||EC,理由如下：

Vzl=乙BDC,

：.AB||CD,

/.z.2=ZJIDC,

Vz.2+,3=180°,

・・・NADC+43=180°,

：,AD||EC；

(2)解：VzFDC=zl=76°,

：.AB||CD,

•・•£)力平分NB0C,

:.乙ADC=三(BDC=38°,

,：AB||CD,

・"2=NADC=38。，

a：DA1FA,

：.Z.DAF=90°,

：./.FAB=^FAD-^2=52C.

15

26.（24-25七年级下•广东珠海•期末）已知：如图，AE||GF,乙1=z2,ZD=z3+60%乙CBD=660.

⑴求证：ABIICD；

（2）求4C的度数.

【答案】⑴见解析

（2）27°

【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键.

（1）根据平行线的判定与性质即可证得结论：

（2）根据平行线的性质求解即可.

【详解】（1）证明：•••4EIIFG

•••Z2=Z.A

VZ1=Z2

zl=乙A

:.AB||CD；

（2）解:由（1）得御CD,

...LABD+Z.D=180°

又•••^.ABD=N3+乙CBD

z3+乙CBD+=180°

又♦:乙CBD=660,=43+60。

•••Z3+66°+43+60°=180°

Z3=27°

-AB||CD

:.ZC=Z3=27°.

27.（22・23七年级上•福建泉州•期末）如图，已知乙1=4C,EF1BC,Z2+Z3=180°.

16

（1）求证：z.2=z.4；

（2）试求出匕力。。的度数

【答案】（1）见解析

（2）Z.ADC=90°

【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键.

（1）根据同位角相等，两直线平行得出PDIICA,再由两直线平行，内错角相等即可证明；

（2）由等量代换得出n3+44=180。，再由平行线的判定和性质得出40IEF,乙4DF=nEFC,利用

垂直的定义即可求解.

【详解】（1）证明：・・21=乙。，

：.PD\\CA

・・・42=44；

（2）解：Vz2=z4,42+43=180°,

・"3+44=180°

：.AD\\EF,

：,/.ADF=/-EFC

XVFF15C,

：.£.EFC=90°,

：.^ADC=90°.

28.（24-25七年级下•江西赣州•期末）如图，已知匕DF8=125。，/.ACB=55°.

（1）求证4cliDE；

⑵若4D=^ACD=120°,求NB的度数.

【答案】（1）见解析

（2）65度

【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题关键,

（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案；

（2）先说明CDII4B,再得dzBCD的度数，再根据平行线的性质得出答案.

【详解】（1）解：vZCFE=ZDFF=125°,zzlCF=55°,

17

Z.ACB+乙CFE=180°,

:.AC||DE；

(2)解：\'ACIIDE,

Z.A=Z-DEB.

vZ.A=Z.D,

Z.D=乙DEB,

CD||AB.

vZ.ACB=55°,Z/1CD=120°,

:.乙BCD=Z.ACD-Z,ACB=65°,

乙B=乙BCD=65°.

题型7猪蹄模型(共3小题)

29.(25-26七年级上•吉林长春•期末)【感知】如图①，直线ABIICD,点£在48上，点厂在CD上，点

P是夹在直线48、CD之间的一点，连接PE、PF.过点尸作PQII4B,如果N4EP=45°,

Z.CFP=60°,WlJzEPF=

【探究】如图②，直线||CD,点石在上，点尸在CD上，点尸是夹在直线48、CO之间的一点，

连接PE、PF.请判断N4EP、乙CFP、4EP尸之间的数量关系，并说明理由.

【应用】如图③，点力、4在射线0M上，点C、。在射线。N上，且直线ADII8C,点。歪射线。M上

一动点，且不与点力、B、。重合，若=乙BCP=B，用含。、尸的代数式表示上CPZ).

(1)当点。在线段08上时，&CPD=.

(2)当点P在线段AB上时，乙CPD=.

(3)当点P在射线力M上时，Z.CPD=.

a+/?：(3)P-a.

【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

(1)首先根据平行线的性质求出ZEPQ=45°,zQPF=60°,然后求和即可；

(2)过点尸作PQII4B||CO,根据平行线的性质得到NEPQ二〃EP,乙QPF=“FP,即可得到

18

心力"与乙EP"之间的数量关系；

（3）根据题意分点P在线段3。上，点P在线段48上和点P在射线4M上三种情况讨论，求出

乙DPQ=LADP=a,乙CPQ=cBCP=B，然后根据角的和差求解即可.

【详解】解：•••PQIIABIICD,^AEP=45°,LCFP=60°,

乙EPQ=Z-AEP=45°,乙QPF=乙CFP=60°,

乙EPF=乙EPQ+Z.QPF=105°,

故答案为：105°；

【探?乙EPF=^AEP+乙CFP,理由如下：

如图，过点尸作PQII4BIICD,

P4----------Q

cFD...PQ\\ABIICD,

AzFPQ=Z-AEP,乙QPF=cCFP,

乙EPF=乙EPQ+Z-QPF=乙AEP十乙CFP；

【应用】（1）如图，当点尸在线段8。上时，过点。作PQII/WIIBC,交ONk点。，连接PD、PC,

M、

N/万/CQO..PQ||AD||*

•••乙DPQ=Z.ADP=a,乙CPQ=乙BCP=/7,

乙CPD=乙DPQ-乙CPQ=a-p,

故答案为：a—0：

（2）如图，当点〃在线段AB上时，过点尸作PQIIADII8C,交ON于点。，连接PD、PC,

故答案为：a+0；

（3）如图，当点P在射线4M上时，过点。作PQII4DIIBC,交ON于点。，连接PD、PC,

19

M、P

/d：PQIIAD||BC,

•••Z-DPQ=Z.ADP=a,Z.CPQ=乙BCP=/?,

•••乙CPD=乙CPQ-乙DPQ=3-a；

故答案为：p—a.

30.（24-25七年级下•湖南长沙•期末）如图，平面上有两条直线48,CD,AB||CD,P是平面上这两条直

线间的一点.

【问题探究】（1）如图1，若乙84P=30。，Z-DCP=55°,求NAPC的度数.

解：过点P作EFIIAB,

Z-BAP=Z.APE（_）

又•••48||CD

:.EF||CD（_）

:.乙EPC=乙PCD,

vLAPC=/.APE+/.EPC,LBAP=30°,Z.DCP=55°

AZ.APC=乙BAP+_=_°

【问题解决】（2）若4P=45。，/DCP=50。，请根据（1）的解题思路，求图2中44PC的度数.

【方法总结】（3）如图3,若乙4BP=x,乙BPQ=y,/PQC=z，则/QCD的度数为二（用含x,

y,z的式子表示）

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；乙PCD；85；（2）95。：

（3）x-y+z

【分析】本撅考杳了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解撅的关健.

（1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可；

（2）根据题意，结合图形,可得-4PE=C8AP=45。,LEPC=APCD=50°,可得到结果;

（3）仿照（1）的运算，可得乙BPQ=^ABP+乙PQE,乙EQC=々QCD,即可得至l"PQC=乙8PQ—

KABP+4CD,结合已知条件，可得到结果.

【详解】解:（1）过点P作EFIMS,

^BAP=^APE（两直线平行，内错角相等），

20

又；AB||CD,

AEF||CD(平行于同•直线的两直线平行)，

Z.EPC=乙PCD,

-z.APC=z.APE+z.EPC,/-BAP=30°,Z.DCP=55°,

•••Z-APC=Z.BAP+乙PCD=85°,

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；NPCD；85；

(2)如图2,过点P作E/7II48,

图2•••Z.BAP=45°,

.••4APE=ZBAP=45。，

XvAB||CD,

・••EFIICD,

:.Z.EPC=乙PCD,

vZ.DCP=50°,

:.乙EPC=50°,

:.Z.APC=乙BAP+乙PCD=95°：

（3）如图3,过。点作EQIIAB,

图3

由（1）可知，Z-BPQ=/.ABP+Z.PQE,

即NPQE=Z_8PQ一

AB||CD,

•••EQ||CD,

•••LEQC=乙QCD,

Z.PQE+乙EQC=乙BPQ-LABP+“CD,

BPzPQC=乙BPQ-^ABP+"CD、

Z.ABP=x,Z-BPQ=y,Z.PQC=z.

21

z=y—x+乙QCD,

:.Z.QCD=x—y+z,

故答案为：x—y+z.

⑴如图1，连接4P,CP,若乙1PC=1OO。，求NB4P+ZPC0的度数；

⑵点。为直线48,CO之间的不同于点P的另一点.

①如图2,连接AP,PQ,QC,^BAP+Z.APQ+^PQC+

②如图3,连接BP,PQ,QC,若乙IBP=36。,/-BPQ=81°,"QC=92。,求zQCD的度数.

【答案】⑴NBAP+乙PCD=100°；

(2)①N84P+jAPQ+乙PQC+Z-QCD=540°；②乙QCD=47°.

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是

解题的关键.

(1)结合图形，可得4ApM=^BAP,Z.CPM=Z-PCD,两式相加，^Z/1PC=Z-BAP+/.PCD,结合

已知条件，得到结果；

(2)①通过作辅助线，得到同旁内角互补，得到Z8AP+乙4PM=180。，/MPQ+4PQN=180。，

^NQC+^-QCD=180°,三式相加，得到结果；

②结合图形，利用两直线平夕亍，内错角相等，依次求出ZBPM,乙MPQ,乙NQC,得到结果.

【详解】(1)如图1,作PM||AB,

•：ABIICD,

PM||ABIICD,

Z-APM=/.BAP,Z.CPM=LPCD,

Z.APM+乙CPM=Z.BAP4-乙PCD.

即z_4PC=4B4P+4PCD,

22

•••Z.APC=100°,

:.Z.BAP+LPCD=100°：

（2）①如图2,过P作PMMB,过。作QNIIAB,

AB

小.............M

於..........N

CD

图2

VABIICD,

AB||PM||QN||CD,

:.Z.BAP+Z.APM=180°,

2MPQ+zPQN=180。，

乙NQC+Z-QCD=180°,

二三式相加，可得NBAP+"PQ+乙PQC+Z-QCD=540°；

②如图3,过点尸作PMII4B,过点。作QNII4B,

•:ABIICD,

•••ABIIPM||QN||CD、

.•"PM=4BP=36。，

Z-MPQ=乙BPQ-乙BPM=45°,

同理"QN=LMPQ=45°,

二Z.NQC=Z.PQC-乙PQN=47°,

:.乙QCD=Z.NQC=47°.

题型8铅笔模型（共2小题）

32.（14-15七年级下•浙江•期末）如图1,已知直线，〃2,且％和，1、％分别交于力、B两点,点。在线段

AB上.

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⑴如图1,zl,z2,z3之同的等量关系是.如图2,4点在8处北偏东40。方向，4点在。处

的北偏西45。方向，则°.

(2)如图3,zl,Z2,43之间的有何等量关系？请说明理由.

【答案】⑴/1+42=乙3；85；

(2)乙1+42+43=360。，理由见解析.

【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键.

(1)在图1中,^PM||AC,利用平行线的判定和性质即可证明;作力MIBD即可得到484c=+

乙C,代入求得48力。的度数.

(2)如图所示，过点P作PGII①根据平行线的性质得到乙1+〃PG=180。，48PG+乙2=180。，

进而求解即可.

【详解】⑴解:⑴如图1中,

VZJI/2,

/.ZjllPMHZz，

.\ZCPM+乙MPD=乙CPD=Z1+Z2=Z3.

作力N||BO,则NOB力=

•・•点/在8处北偏东40。方向,在C处的北偏西45。方向,

=40°,Z.ACE=45°,CE\\BD,

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：.Z.DBA=/.BAN=40°,CE\\AN,

：.^ACE=Z-NAC=45°,

：.£BAC=乙NAC+乙NAB=40°+45°=85°,

故答案为：Z3=Z1+Z2,85。；

（2）如图所示,过点P作PGIIh，

图3

Azi+乙APG=180°

•・，/2

：-PG\\l2

・•・48PG+42=180°

Azi+Z2+Z3=Zl+乙APG+Z-BPG+Z2=180°+180°=360°.

33.（24-25七年级下•安徽芜湖・期末）【阅读理解】

如图1,已知||CD,点E,“分别在直线48、CO上，点尸在直线力8、CD之间.求证：乙4EP+

乙P+乙CFP=360°.

图4图5

证明：如图2,过点P作尸QII4B,

：.z.AEP+/.EPQ=180°.

，：PQIIAB.ABIICD,

:,PQIICD.

・••乙FPQ+乙CFP=180°.

：.^AEP+Z,EPQ+Z.FPQ+LCFP=180°+180°,即4力EP+ZP+ZCFP=360°.

25

【类比应用】

(1)如图3,已知CD,^ABP=125°,Z.DEF=115°,求乙P=:.

(2)如图4,已知A8IICD,点£在直线CD上，点P在直线A8上方，连接AP、EP,试说明：

乙CEP+2LBAP-^APE=180°；

【拓展应用】

(3)如图5,已知48IICD,点E在直线CD上，点尸在直线上方，连接4P、EP,ZDEP的平分线

与NBAP的平分线所在直线交于点Q,求2^AQE+乙4PE的值.

【答案】(1)120；(2)见解析；(3)360°

【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的

辅助线是解此题的关键.

(1)过点P作PQICD,由对顶角相等可得4CEP=4DEF=115。，由平行线的性质可得4QPE+

Z.CEP=180°,Z.ABP+Z.BPQ=180°,即可得解；

(2)过产点作PM||AB,则ABIICDIIPM,由平行线的性质可得NMPE=NCEP,^MPA+/.PAB=

180%从而得出NMPE-NMP力一NP4B=2CEP-180。，即可得解；

(3)过。点作QG||CD,则QG||48,由平行线的性质可得乙1QG=NQ4B,Z-GQE=Z.DEQ,推出

Z.AQE=CBAQ+4OEQ,2〃QE=2/.BAQ+2/.DEQ=2(180°-Z.BAF)+2ZDEQ.由角平分线的定

义可得2上8/1产=匕凡48,2乙DEQ=LPED,从而得出2乙4QE=360。一乙/MB+4PEO.由(2)知，

(CEP+Z.PAB-乙APE=180°,推出乙4PE=乙CEP+"AB-180°,即可得解.

【详解】解：(1)如图，过点。作PQIICD，

VzDET=115°,

：./-CEP=Z.DEF=115°,

，：PQIICD,

:.乙QPE+乙CEP=180°,

*：AB\\CD,

.\PQ\\AB,

：.Z.ABP+Z