中考数学复习讲义：一元二次方程及其解法

课题一元二次方程及其解法

重点、难点1、选择适当的方法解一元二次方程.

2、体会“换元”、“降次”等数学思想方法.

教学内容

一.学习目标：

1.学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。

2.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而

激发学习热情，提高学习兴趣。

3.能根据方程的特征，选择适当的求解方法，体会方程解法的灵活性和多样性；

4.在解方程的过程中，体会“换元”、“降次”等数学思想方法.

二.学习过程：

典型例题

例1.下列方程：

(1)2x2--=2(2)---=5(3)3x2=8(4)2x2-2x(x+7)=0

X32

(5)(x+2)2=x+2(6)2x2+3x-l(7)2(x2-l)=3y(8)5x2-1=4x

其中是一元二次方程的是_____________________________

例2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

(1)4/=81(2)3Mx-l)=5(x+2)(3)(8-2.城5-2x)=18

例3.(1)一元二次方程(〃2+1)冗2+工+加2-1=0有一个解为0,并求2加一1的值;

(2)关于x的方程//一2%(2工-1)=依+1,在什么条件下它是一元二次方程？在什么条件下它是一元一次方程？

【课堂练习】

1.解下列方程:

(1堞f=l；(2；5.金=公；(3)3〃户+1=4〃2；

⑷(X-2)2=9.F：(5)〃2_4〃-5=0；(6)(x+l)(x-l)=2y/lv；

(7)3(X—2)2=X(X—2)：(8)(X+1)2+3(X+1)—4=0；⑼2A2+6工-5=0(配方法)

2.⑴给出以下方程的解题过程，其中正确的有.

①解方程加-2)2=16,两边同时开方，得x-2=±4,移项得即=6,也=-2；

②解方程成1-1)2=。-1)2,两边同时除以得x=l,所以原方程的根为为=X2=1；

③解方程(x—2)(x—1)=5,由题得x—2=1,x—1=5,解得xi=3,12=6；

④方程(x一6)2=〃的解是内=m+如，也=加一血.

⑵①。-2)2=5；②/一31一2=0：③$+.丫-6=0.较适当的方法分别为

3.填空：①/一3八+1=0；②3/—1=0;③-3〃+/=0；④/-4人=2；⑤Z?一《=0；

⑥5(m+2)2=8；03/-y-l=0；®2r+4x-l=0：®(A—2)2=2(A—2)

适合运用直接开平方法;适合运用因式分解法;

适合运用公式法;适合运用配方法.

【新知探究】

I.能选择适当的方法解方程

(1)(3X-2)2-49=0；(2)(3X-4)2=(4X-3)2；(3)4y=1-1r；

(4)(x—2)(x—4)=8：(5)3)心，-1)=2—2〉；(6)(31一2)。+1)=28.

II.会用换元法解方程

(2X-I)2-(2X-1)-12=0

III.用配方法证明:关于”的方程（汴一12七+37*+3，玄+1=0,无论机取何值，此方程都是一元二次方程.

M已知关于x的一元二次方程加+/求+1=03#0）有两个相等的实数根，求7一;1/27的值.

【即时练习】

I.解方程2（5）-1）2=3（5%—1）的最适当的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

2.方程1）2=/—1）的根是（）

A.x=1B.C..r=l,x=2D.以上均不对

3.若要使*一31一5的值等于4-6x的值，则x应为（）

3333

A.-2或一3B.2或一3C.一5或3D.耳或3

4.一元二次方程/一依+6=0,配方后为(x—3>=3,则。=.

5.若〃?是方程/一201以一1=0的根，则。〃2—2014m+3)(m2—2014加+4)的值为()

4.16B.12C.20D.30

6.已知则x与y之积等于.

7.已知关于x的一元二次方程f一,以+〃?-2=0.求证：方程有两个不相等的实数根。

【拓展延伸】

1.在下列方程中：⑴/=4；(21?—：=1；(3)=4工；“Mf+V+i—),是一元二次方程的是.(只

填序号)

2.如果方程a*+2x+1=0有两个不等实数根，则实数。的取值范围是

3.关于％的一元二次方程一炉+(2〃?+1),LH—/=O无实数根，则tn的取值范围是__________.

4.关于』的一元二次方程f+云+c=0的两个根为制=-1,及=2贝次+法+c分解因式的结果为

5.解方程(x+a)2=〃得()

A.x=±y[b-aB.x=±。+加C.当/>20时，x=—a士福D.当时，x=a土也

7.已知汨=—1是方程A25=0的一个根，求机的值及方程的另一根工2.

8.求证：如果关于x的方程f+Zt=m+9没有实数根，那么关于)，的方程>，2+,“―2加+5=0一定有两个不相等的实

数根.

9.已知：直线>，=-瓜+46与工轴相交于点A,与直线y=&A■相交于点P(2,25/3).

(I)求点A的坐标和上的值.

(2)请判断△OPA的形状并说明理由.

(3)动点E从原点0出发，以每秒1个单位的速度沿着O-PTA的路线向点A匀速运动(E不与点。、4重合)，

过点E分别作轴于凡E8_L)，轴于从设运动，秒时，矩形E8O尸与出重叠部分的面积为S.求；S与，

之间的函数关系式

【解方程专项练习】

一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、4x2-1=02、(x-3)2=23、81(x-2)2=16

二、用配方法解下列一元二次方程。

1.>,2-6y-6=02、3x2-2=4x3、x2-4x=96

4、X2-4X-5=05、2/+31=06、3x2+2x-7=0

三、用公式解法解下列方程。

2

1、X2-2A--8-02、4y=l-1^3、3y2+一2岛

4、2X2-5A:+1=05、-4X2-8X=-16、-V3x-V2=0

四、用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x2=2x2、(X+1)2-(2X-3)2=03、X2-6X+8=0

4、4(x+3)2=25(x-2)5、(1+V2)x2-(l-V2)x=06、(2—3x)+(3x—2)2=0

五、用适当的方法解下列一元二次方程,（选用你认为最简单的方法）

1、3Mx-1）二心+5）2、2x2-3=5x3、x2-2y+6=0

4、x2-7x4-10=05、(x-3)(x+2)=66、4(x-3)2+-3)=0

7、(51)2-2=08、3/-4y=09、X2-7X-30=0

10、(y+2")=411、4.4-1)=3(1)12、(2x+i)2-25=0

1Z1,7531

13、x2-4ax=b2-4a214、尸+—x=—15、(y+3)(y-l)=2