浙教版数学九年级下册 第1章 解直角三角形 单元基础检测卷

浙教版数学九年级下册第1章解直角三角形单元基础检测卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.sin30°=()

A•孚B.gCTD"3

口T

2.如图，在中，ZC=90°,则煞=（）

B.tanBC.sinAD.cosB

3.若cos60o二小贝「□”表示的数是（）

A.1B.V2C.V3D.3V3

4.计算6tan45。一2cos60。的结果是（）

A.3B.4C.5D.6

5.如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心，40长为半径

画弧，两弧交于点8,画射线OB,则tan乙4OB的值为（）.

rv'3

JTD.V3

6.春秋时期，鲁班米到楚国为楚士制作了攻城用的云梯，如图所示，有梯力B与水平面8C的央角为

40°,若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙4c高为10丈，则云梯梯身长48约为（）

CB

A.就/丈B.而躲丈C10sin40。丈D,10cos40。丈

7.在RtMBC中,ZC=9O°MC=1,5C=2,那么下列锐角三角比中，正确的是（）

A.sin/l=洛

B.tan/1C.cosB=—D.tanfi=2

45

8.如果a是锐角，且sina=:，那么sin（90。-。）的值等于（）

16

ABCQ3D.

-4-I-525

9.如图，在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C都在这些小正方形的格点上，则tan4氏4C的值

为（）

A.IB.2C.1D.冬

4

10.如图，在RtZkABC中，延长斜边48到点。，使60=《/石，连接CD.若£由14-

3^Atan^BCD

的值为（）

ABD

A百B3CD3

A-1616C-~8U-8

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.计算：1-25讥30。=.

12.若乙4为锐角，cosA=2，则乙4=.

13.沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i=.

14.如图，在△48C中，乙AC8=90。，sinB=LCO是高.若4。=2,则80=

15.在△A8C中，若|tanA—百|+（cos8—芋）2=0，则乙。=

16.如图，将矩形48C0对折使A8与OC重合，得到折痕EF,再次折叠，使点4落在折痕£F上，并使

折痕经过点0,得到折痕DM和线段0N,记0M与EF的交点为H.若40=4百，则HN=

三、解答题（共8小题，共72分）

1-2

计算：-V27+2cos30°-（TT-2025）0；

18.图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图.台灯底部立柱CO（与桌面MN垂直）的高为6cm,支

架BC长为20cm,支架48长为25cm.若支架A8,8c的夹角为106。，支架8c与底部立柱CO的夹角为

150。，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）.（参考数据：sin46°=cos44°«0.72,V3«

1.73)

19.11,CD=6,tanA=2,求:

（1）80的长：

（2）的值.

20.汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化

有着深远的影响.某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如

图，在该段汾河的对岸岸边任取一点力，再在河的这边取两点在点B处测得48与河岸的夹角a

为20。，在点C处测得4。与河岸的夹角/?为45°,两点间的距离为300m.

A

〜备用图

（1）求该段汾河的宽度（即△4BC中8c边上的高）；（结果精确到0.1m；参考数据：s/20。《

0.34,cos20°«0.94,tan20°«0.36）

（2）请再设计一种测量该段汾河宽度的方案.（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及

测帚数据）

21.图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2）,支架BC连接靠背

AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背4B垂直于地面，小桌板CO平行于地面，测得CE二

10cm,Z.ABC=35°.（参考数据：tan35°«0.70,tan55°«1.43,sin35。、0.57,sin55c=0.82）

A

图（1）图（2）图⑶

（1）图（2）中，乙BCD=°；

（2）靠背48可以绕点8旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3）,杯托E处凹陷深度为

0.7crn,若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）.

®^ACD=°：

②求乘客水杯的最大高度.

22.如图1、图2均为8X6的方格纸（每个小正方形的边长均为1）,在方格纸中各有一条线段AB,

（1）在图1中画一个直角△4BC,使得点C在小正方形的顶点上；

（2）如图2中画一个平行四边形凡使得平行四边形A8E尸的面积为图1中AABC面积的4

倍，点E、F在小正方形的顶点上;

(3)图2中连接AC,直接写出1的长度.

23.如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离PC=2米，看前方一栋建筑物

顶部点M的仰角为53。，且点P与建筑物的水平距离为20米.

(2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端48的俯角分别是20。和76。，若每个人所占斑马线的宽度

按0.5米计算.

①求出斑马线的宽度力艮

②求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数.

(参考数据：tan53。取手tan20。取0.36,tan76。取4).

图1图2

【知识学习】

三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则

又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的

相等条件，利用全等或相似二角形解决问题.

(I)【探索发现】

如图1,分别过小C两点作经过点8的直线的垂线，垂足分别为M、N,若点B恰好是线段MN的

中点，求tan4的值；

(2)【类比迁移】

如图2,P是边延长线上一点，乙4P8=请依据所学模型，求tan乙P4C的值.

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】求特殊角的三角函数值

【解析］【解答】解：sin300=3;

故选B.

【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可.

2.【答案】B

【知识点】正切的概念

【解析】【解答】解：解：•・•在.RtAABC中，"=90°,

AC

：■tan8=

故选：B.

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案.

3.【答案】A

【知识点】求特殊角的三角函数值

【释析】【解答】解：•.•cosGO。=2，且cos60。=?,

-.2□=_21，

=1.

故选：A.

【分析】根据特殊角的三角函数值，cos60。的值为与直接与给定等式比较即可得出答案.

4.【答案】C

【知识点】特殊角的三角函数的混合运算

【解析】【解答】解:6tan45°—2cos60°

1

=6X1-2X2

=6-1

=5.

故选：C.

【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案.

5.【答案】D

【知识点】等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-等腰（等边）三角形

【解析】【解答】解:如图所示,连接48,

由作图方法可知。4=AB=OB,

・•・A408是等边三角形，

・••乙力。8=60%

**.tanZ/lOi?=tan60°=x/3»

故选：D.

【分析】先证明△048是等边三角形，得4108=60。,即可得出tan〃08的值.

6.【答案】A

【知识点】已知正弦俏求边长

【解析】【解答】解：•••/48C=40。，AC高为10丈，

•••索=sin4ABC，

2_1°

故选：A.

【分析】根据正弦的定义即可直接作答.

7.【答案】C

【知识点】解直角三角形一三边关系（勾股定理）；解直角三角形一边角关系

【解析】【解答】解：如图：

A

'：LC=90°,AC=1,BC=2,

=yjAC2+BC2=遍，

A.sinA=^=^=苧，故此选项错误;

B.tanA=第=2,故此选项错误；

C.cosB=器=套=故此选项正确;

D.tanfi=故此选项错误.

故选：C.

【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、lanA、cosB、tanB的值，进行判断.

8.【答案】C

【知识点】解直角三角形一三边关系（勾股定理）；解直角三角形一边角关系

【辞析】【解答】解：如图，在zC=90°,LB=a,则乙4=90。一a

4aC

---

'•'sina5/F

设AC=4k,则力B=5k

；.BC=3k

...BC3k3

••sm（m9A00°-a）=而=加=1

故选：C.

【分析】如图，RMABC中，ZC=90°,ZB=a,设AC=4k,则AB=5k,根据勾股定理可得

BC=3k,进而根据正弦的定义即可求解.

9.【答案】C

【知识点】在网格中求锐角三角函数值

【解析】【解答】解：由图可知AC=J22+22=2或,BC=Vl2+I2=V2*4B=近2+32=

222

AC+BC=10=ABf

:.AC1CB,

•••tanz.BAC=彩=W==4，

AC2722

故选：C.

【分析】利用勾股定理求出三角形的三条边，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后

根据正切的定义即可求得答案.

10.【答案】B

【知识点】解直角三角形一三边关系（勾股定理）；解直用三角形一边角关系；A字型相似模型；相似三角

形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）

【解析】【解答】解：如图，过点B作BK||4c交C。于点K.

・・•LACB=90°,taa4=AB2=AC2+BC2,

◊

394I?

AC=^AB=BC=1AB=昔m,

JJJJ

vBK||AC,

LCBK=^ACB=90°,△BKDACD,

・BK_BD

^AC=AD=4f

9

•••BK=而租，

:.tan乙BCD=卷=3

F

故选：B.

【分析】如图，过点B作BK||AC交CD于点K.设BD=m,则AB=3BD=3m,求出BC,BK可得结

论.

1L【答案】（）

【知识点】特殊角的三角函数的混合运算

【解析】【解答】解：1—2sin30°=1—2x2=0,

故答案为：0.

【分析】代入特殊角的三角函数值，然后计算即可.

12.【答案】60°

【知识点】已知某个三角函数值求其他三角函数值

【解析】【解答】解：,•,cos4=J，cos60o=2,

•••LA=60°,

故答案为：60°.

【分析】根据余弦值求出NA的度数，再根据特殊角的三角函数值解答即可.

13.【答案】a:4

【知识点】解直角三角形的实际应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为L米，根据勾股定理：

32=I2+L2

9=1+L2

L2=8

L=V8=2V2（米）

坡度i=h:L=1:2V2=V2:4»

故答案为：V2:4.

【分析】根据坡度的定义，坡度i是铅垂高度h与水平距离L的比，即］；!!：L.设沿一斜坡向上走3

米，水平距离为L米，利用勾股定理可求水平距离L,再计算坡度.

14.【答案】6

【知识点】解直角三角形一含30。角直角三角形

【解析】【解答】解：在中，Z.ACB=90°>sinB=CD是高，

：.LA+=乙4+Z.ACD=90°,乙B=30°,

：.LACD==30°,

：.AC=2AD=4,

•'•AB-2AC—8,

：.BD=AB-AD=8-2=6,

故答案为：6.

【分析】得至iJ/ACD=NB=30。，然后根据30。的直角三角形的性质解答即可.

15.【答案】75。

【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算

【解析】【解答】解：:|tanA-V3|+（cosB-停尸=0，

**•tanA-V3=0,cosB-竽=0

•**tanA=V3,cosB=冬

则44=60。"=45°,

：.LC=180°一乙A—乙8=180°-60°-45°=75°,

故答案为：75。.

【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出44、乙8的度数，再根据三角形内角和等

于180°求出乙C的度数.

16.【答案】4

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形一三边关系（勾股定理）；解直角三角形一

含30。角直角三角形；矩形翻折模型

【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：AE=DE=^AD=2y/3,AD=DN=473»乙EDH=

*DN,

1

:.DE/DN,

••CZLDE1

•・sm乙DNE=万斤=2»

：.LDNE=30°,

,:(DEN=90°,

：.LADN=60°,

：.LEDH=30°.

V.4F=DE=鼻。=2®AD=DN=4存

ADE=2值,DN=4百,

,EN=DN•sin乙EDN=4^3•sin60°=4V3x字=6，EH=DE•tan乙EOH=2A/3•tan30°=

2V3x苧=2,

J

；,HN=EN-EH=6-2=4.

故答案为4.

【分析】由折叠的性质，利用特殊角的三角函数值求出4DNE=30。，进而得求出乙EDH=30。，然

后根据解直角三角形求出EN和EH的长，解答即可.

17.【答案】解：（》2一封+2C0S3O。-（兀一2025）。

=4-3V3+2x^-l

=4—3^3+V3-1

=3-2技

【知识点】零指数幕；负整数指数幕；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算

【解析】【分析】先计算负整数指数次幕，二次根式和零指数次毒，代入特殊角的三角函数值，然后

合并同类二次根式即可.

18.【答案】解：如图，过点A作AH_LMN于点H,过点B作BK_LAH于点K,延长DC交

BK于点J

A

,?ZCDH=ZKHD=ZJKH=90°,

・•・四边形DHKJ是矩形.

/.DJ=KH,ZDJK=ZBJC=90\

VZBCD=150°,

AZBCJ=30°,ZCBJ=60°,

VZABC=106°,

AZABK=46°,

：•CJ=BC,cos30°=20x三=10V3、】7.3(cm),

AK=ABsin46°=25x0.72=18(cm),

.\AH=AK+KH=AK+JC+CD=18+17.3+6-4l(cm),

・•・台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm.

【知识点】解直角三角形的其他实际应用

【解析】【分析】如图，过点A作AHJ_MN于点H,过点B作BKJ_AH于点K,延长DC交BK

于点J.解直角三角形求出AK,JC可得结论.

19.【答案】(1)解：*：CD1AB,tanA=2,CD=6,

••tan/1==2,

6

-3

­­AD2

・「AB=11,

；・BD=48—4。=11-3=8；

(2)解：VCD=6,BD=8,CDLAB.

；・BC="D'2+BD2=V62+82=10,

..CD63

,・sinBn=阮=而二手

【知识点】解直角三角形一三边关系（勾股定理）；解直角三角形一边角关系

【解析】【分析】（1）根据题意可知tan4=器,先求得AD,然后由BD=AB-AD,即可解答;

⑵先用勾股定理求得BC,然后由sinB=黑直接计算即可.

DL

20.【答案】（1）解：如图，过点A作力0的延长线于点D,

设.4。=X771,

由图可知，Z-ABD=20°,

在Rt△48。中，

*：LABD=20°,AD=xm

x

'B°=tan20°036x,

在R£△力CO中，

・"=45。,

A.4D=CD=xm,

\'BC+CD=BD,

/.300+%=0.36x,

Ax=469m

•*.AD=CD=xx469m,

，河的宽度约为469m；

(2)解：如图2,过河对岸点A作/IB18C,在河这边任选一点C,作CE1BC,

图2

测量CE,CD,BD的长度,通过相似可得河宽49的长度.

【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用

【解析】【分析】⑴过点A作.HOMC的延长线于点D,设AD=xm,则BD=«0.36%根据

tanzO

BC=300m,即可列出方程；

⑵过河对岸点A作.在河这边任选一点C,作C砸8C,测量CE,CD,BD的长度，通过

相似可得河宽AB的长度.

21.【答案】（1）125

(2)解：①55

②如图，过点E作CO的垂线交48于点F,

在中，tanz.FCE=/

・•.EF=CEtanZ-FCE=10xtan55°«10x1.43=14.3(cm),

14.3+0.7=15（cm）.

答：乘客水杯的最大高度约为15cm.

【知识点】解直角三角形的其他攵际应用

【解析】【解答］解：（1）点8作8rlic0,

1CEP

，乙8c0+乙C8F=180°,

'：cABC=35°,

・"CB"=900-350=55。，

：.LBCD=180。-55。=125°

故答案为:125.

（2）①当靠背力8可以绕点8旋转至与小桌板支架C8重合的位置，由（1）知乙8co=125。,

：.LACD=180°-乙BCD=55°,

故答案为：55.

【分析】（1）过点B作BF||CD,由平行线的性质得出乙BC。+乙。89=180。,由已知条件得出,

乙CBF=55°,进而口J求出48C0.

⑵①根据题意可知，^-ACD-1800-48co代入计算即可.

②过点E作CD的垂线交AB于点F,通过解Rt△CEF求出EF,再加上0.7cm即可求出答案.

22.【答案】（1）解如图所示，tan^BAC=

故RtA即为所求:

（2）解：如图所示，平行四边形A8Er的面积为图1中△ABC面积的4倍,

故平行四边形即为所求；

（3）2V13

【知识点】平行四边形的面积；解直角三角形一三边关系（勾股定理）；解直角三角形一边角关系；尺规作

图•直角三角形

【解析】【解答】（3）解：如上图，连接4E,

AE=V62+42=2g.

故答案为：2后.

【分析】⑴根据中，tan/BAC=2,进行作图即可；

（2）根据图I中，△ABC面积为4,可得尸的面积为16,据此作图即可.

23.【答案】（1）解：如图，过P作P。_LMN于点D,

，四边形PCNO是矩形，

:・PC=DN=2米，PD=CN=20米,

在Rt^PDM中，AMPD=53°,

AMD=PDtan53°«20x1«y(^),

・・・MN=MD+ON=¥+2=^(米),

答：建筑物MN的高度为毕米；

(2)解：①・.・4PBC=76°,

BC=久。«?=5(米)，

tan76042

•・"P4c=20°,

•/irPC250/uz.x

••-4C=t^2^"036=T（米）'

AB=AC-BC=等-*=相（米）；

②,.Z8聿米，

••yg+0.5=10

答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人.

【知识点】解直角三角形的其他实际应用

【解析】【分析】⑴过P作PODMN%）,则PC=QN=2米，PD=CN=20米,根据三角函数的定义得

到DM=PD-tan53°=20x狂26.7（米），求得MN=MD+DN=28.7米；

⑵①连接PB,根据三角函数的定义得到BC二二之另=3米），ACPC二2

tan/6什乙