中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项测试卷（带答案）

中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项测试卷(带答案)

I.(24-25辽宁葫芦岛•月考)VABC为等边三角形，延长直线8c使4。=八4,CE=AC,BF、CG平分/八以)和NACE,

连接尸G,则

(I)卬与8C的位置关系为二数量关系为

(2)如图，若V4BC改为等腰直角三角形其他条件不变试探究尸G与EC的数量关系和位置关系，并加以证明.

A

DBCE

⑶若(2)中AB=2cm,请直接写出FG=_.

2.(25-26八年级下•浙江温州•期中)己知：如图：在V4BC中A8=AC=5,BC=6,AO垂直8C于。，〜是AB上

的一个动点，以P。，为边作oPDCQ,连接AQ,设=f

A

BDL

(1)探究5d8°与；^的数量关系，并说明理由.

(2)设5打80=5,求S关于，的关系式；

(3)。在VA3c内部，当皿Q时，求/的值.

3.(25-26江西上饶♦期中)我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则

称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点.

⑴等腰直角三角形」请填写“是”或“不是”)勾股高三角形；

(2)如图1,已知△48c为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，CD是A3边上的高.若80=24)=4,试求C/P

的值；

(3)如图2,等腰三角形A6C为勾股高三角形，其中A8=AC>8C,CD为AB边上的高，过点D作DE\\BC

交AC边于点E.若CE=x,试求线段OE的长度.

4.(2526浙江宁波•期末)如图1,在等腰VA4C中，人8=人。=&/人3。=30。点P是AC边上的一个动点(与

点4、C不重合)直线/是经过点P的一条直线与边4c交于点0把沿直线/翻折点C的对应点是点

(2)如图3当PC=5时若点C恰好落在直线A4边上求AC'的长度

(3)在点P和直线/变化的过程中若点C'恰好落在八B边的中点上求此时。。的长度.

5.(2025•山东临沂•模拟预测)如图1在正方形A8CO中"平分/CA3交BC于点、F过点C作CE_LAf交

"，的延长线于点G交A8的延长线于点E.

(I)求证：BE=BF

⑵如图2连接8GBD求证：BG平分NDBE

Ap

⑶如图3连接OG交AC于点M求二7的值.

DM

6.(2024.江苏泰州・月考)正方形4BCO中点E是对角线8。上一动点过点E作交射线C。于点尸以

AE.EF为邻边作矩形4E/P连接DG.

A

B

(1)求证：矩形AQG是止方形

(2)若AB=3、DE=2BE求。G的长

(3)当4E与正方形/WC。的某条边的天角为20时直接写出NEFD的度数

(4)若点E为中点连接EG试判断EG和A。的位置关系并说明理由.

7.(2026・陕西西安•三模)问题探究

A

B

D

图①图②

(I)如图①已知VABC中AB=AC=\0BC=\2AO平分/44C.若P为AB上一动点连接P。则夕。的

最小值为.

(2)如图②已知RlZSABC中ZBAC=90°AB=AC=8D为BC中点、作NMZ)N=90。分别交边ABAC

于MN两点四边形AMDV的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积若发生变化请求出四边形

AMDN的面积的最小值

问题解决

(3)如图③某公园中有一块四边形空地/WC。经测量A5=DC=AD=40米4=120。AD//BC.现计划对

该空地进行重新规划分别在边A3、8C上选取点EF并沿DE修两条休闲通道(通道的宽度忽略不计)

设计要求四边形OE8F的面积为50()6平方米该区域将用于种植观赏花卉.为保障施工的安全需在四边形

OE4b的四周修建护栏.为了节约修建成本四边形。/沿尸的周长是否存在最小值？若存在请求出这个最小值

若不存在请说明理由.

8.(2025・贵州遵义•一•模)如图在等腰RlZ\A8C中AC=BC=U)ZACB=90°点。为A8的中点点、F是BC

边上一点四边形DEFG为正方形.

c

F

ADB

(1)求证：CE=BG

(2)当点尸在8c边上运动时VAOE的面枳是否变化？若不变请你求出VAOE的面积若变化请你说明理由

(3)当点尸在AC边上运动时求△ABE的周长的最小值.

9.(2026♦浙江丽水•一模)如图在V43c中AB=ACD尸分别为AC3。的中点连接8DE为BD的中

点过点。作垂足为点M交£P的延长线于点N连接AEAN.

(I)若AB=8求样的长

(2)证明：CD=PN

⑶当AE_LE7V时求沁•的值.

3△人C5

10.(25-26八年级下•黑龙江哈尔滨•开学考试)在V4BC中CM±/医于点M且点M为的中点ZACM=30%

(I)如图1求证：V/1BC为等边三角形

(2)如图2点。E分别在AC、BC上连接4七、肘)相交于点尸AD=CE求证：ZAFB=\20°

⑶如图3在(2)的条件卜EGLBD十点G连接AGAF=CF点H为V48c外一点连接EH、GH点

/为△EG”内一点连接£/、HIE1=HI=HGNGHI=2NGEI若CD=8&EH=\2求AEG”的面积.

11.(2025•辽宁辽阳一模)如图四边形A8CD是矩形连接ACBD将AABO绕点。逆时针旋转得到△£7%>.

图1图2备用图

⑴如图1当点E在4c上时连接请直接写出线段Cb和C8的数量关系：

⑵如图2当点E不在AC上时AE即相交于点。请写出线段OBOb的数量关系并证明你的结论

⑶若=AD=2在△£>£尸旋转过程中当点A、D、F在同•条直线上时请直接写出线段AE的K.

4

12.(25-26吉林•月考)如图在V/WC中AB=AC=5cosB=-点。在边上满足加=3DC.点。是折线

A6-AC上任意一点且不与VA8C的顶点重合.将沿尸。翻折得到△870.

(1)8C的长为.

(2)当点。是A8中点时求PD的值.

(3)当8'O_L8C时求其尸的值.

(4)当点方在直线8c上方时若VA4C与重叠部分为钝角三角形时直接写出步的取值范围.

13.(25-26重庆•月考)如图VABC为等腰三角形AB=AC延长CB到点。使得/")=A4连接A。点E

〃分别为BC人。中点连接打"

⑴如图1若NA4C=90。请你求出/AC8的度数

⑵如图2过点，作&W_LAD于M延长EEAC交于点N求证：EF=AM+；EN

⑶如图3若点，产分别为直线直线AE上的动点点K为AP中点连接A”HPFK在(1)问的

条件下若八。二5请直接写出品"+；”小欣的最小值.

参考答案

I.（l）FG^BCFG=|fiC

⑦FG〃BCFG=^^BC

2

（3）（2+\/2）cm

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得力/=。/AG=EG根据中位线的性质可得依〃止FG=；DE

即可求解

（2）同（1）可得尸G〃OEFG=^DE根据勾股定理可得=AC=乎BC即可求解

（3）由A8=2cm可得BC=2jScm根据（2）中的结论即可求解.

【详解】（1）解：•.•瓦）=舫BF平分NABD

/.AF=DF.

,;CE=ACCG平分/ACE

AG=EG.

FG//DEFG=-DE.

2

•.•△/WC为等边三角形

:.AB=BC=AC.

BD=BC=CE.

DE=3BC.

3

:.FG=-BC.

2

3

:.FG/；BCFG^-BC.

2

（2）解：FG〃BCFG=^-^-BC.

2

证明：:BD=ABBF平分NABD

.\AF=DF.

•：CE=ACCG平分NACE

AG=EG,

/.FG//DEFG=-DE.

2

•.•△ABC为等腰直角三角形

：.AB=AC=—BC.

2

，BD=CE=—BC.

2

DE=BD+BC+CE=当BC+BC+与BC=+，BC

：.FG=-DE=

22

:.FG/；BCFG

2

(3)解：•.•48=2cm

BC=2&cm.

.•.广G=^4c=(2+何cm.

2.(1)邑PI)CQ=2sNBD理由见解析

(2)S=yr

⑶，=|

【分析】本题考查等腰三角形的性质平行四边形的性质勾股定理熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

（I）根据等腰三角形的性质得到=；8c设点P到BC的距离为〃利用三角形面积公式和平行四边形面积公

式求出5“皿和SVQ进而探究二者的数量关系即可

（2）过点。作OESA8于点七根据勾股定理求出AO长利用“等面积法''求出OE长进而求出S“皿由（1）

知S。皿Q=2S△物据此解答即可

（3）根据平行四边形的性质得到PQ=DCPQ//DC进而得到AO_LPQ利用品中.。求出进而求出

A"长利用5'明=5.-SWQ-S』BD-SQ/'DCQ列方程求解即可.

【详解】（1）解：SOPDCQ=2SAPBD理由如下：

AB=ACA。垂直8C于。

BD=CD=、BC=3

2

设点P到的距离为〃

i3

=

S4PBD=T,BD,h=3h^OPDCQDC•h=3h

乙乙

-SQPDCQ-2ssp80

（2）解：如图过点。作OE/M干点E

A

•.­ADIBC

在R"\AO8中由勾股定理得：=二寿=二手=4

•/SARn!DJ=2-BDAD=-2ABDE

“BDAD3x412

DE=-----------=------=—

AB55

'S=-BPDE=-tx—=-t

由liPn2255

=

由（1）知^aPDCQ2s&PBD

S=2S^PBD=2x—/=—/

（3）解：设A。交P。于点M

•••四边形PQCQ是平行四边形

..PQ=DC=3PQ//DC

vADIBC

AD1PQ

12

由（2）知S-Q=--t

aPlxJ

12

...DM=^^=£=3

PQ35

4

AM=AD-DM=4--t

5

:.SaAPQ=-PQAM=ix3x4--/l=6--/

22、5J5

•七人”-5aopDCQ

01126

..S“M、=—x—t——t

AQC255

••・Q在VABC内部

整理得：⑻=30

解得，=|.

3.(1)1

⑵12

(3)2.r

【分析】(1)根据勾股高三角形的定义即可判断

(2)根据勾股定理得到BC1-AC2=CD2.再由AC2-AD2=CD\BC2-BD2=CO?,可得AC=BD=4最后由

CD2=AC2-AD1,计算即可得到答案

(3)过点A作AG_LE。于G证明V4OE为等腰三角形△AGOgZXCOB(AAS)即可解决问题.

【详解】(1)解：等腰直角三角形是勾股高三角形.

设等腰直角三角形的直角边长为。

则斜边长为庐/=也〃

v(42a)1-a2=a2

•.,等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高

・••等腰直角三角形是勾股高三角形

(2)解：•・,V4BC为勾股高三角形点C为勾股顶点AC<BC

：.BC2-AC2=CD2.

AC2-AD2=CD2,BC?-BD2=CD2,

BC2-BD2=AC2-AD2

,:BD=2AD=4

AC=BD=4AD=2

:.CD2=AC2-AD2=\6-4=\2

(3)解：如图过点A作AG_LE。垂足为点G.

A

丁等腰三角形A8C为勾股高三角形

且AB=AC>AC

，只能是八。2-8。2=。。2由(1)②知4O=BC.

又JEOZ/BC

/.ZADE=ZLBZAED=ZACB

而NAG£>=NCD8=90°

：4AGD^ACDB（AAS）,

DG-BD.

,/AI3=AC

，NB=ZACB

，ZADE=ZAED

，AD=AE

・•・VAQE为等腰三角形

DE=2DG=2BD.

XvAB=AC,AD=AE

BD=CE=x

DE=2x.

4.(1)60°

(2M小返=AC，=叵+2

2222

9

【分析】本题考查等腰三角形的性质折叠问题勾股定理含30度角的直角三角形熟练掌握相关知识点是解

题的关健：

(1)平行线的性质结合折叠的性质即可得出结果

(2)过点〜作"J./W分C在/W边上和当C在A8延长线上两种情况进行讨论求解即可

(3)过点。，作CE_L8C作人/15C等腰三角形的性质结合勾股定理求出8C的长设CDhC7)=x进而

求出班的长进而求出£。=8。-8£-。。=6后7在RSCDE中利用勾股定理进行求解即可.

【详解】（I）解：vZABC=30°直线/〃A8

.\ZPDC=ZABC=3O0

•・•折叠

.\ZCW=ZPDC=30°

.\ZCDC=60°

①C'在A8边上时

AB=AC=&ZABC=30°

.•./班。=120。

.\ZHAP=1800-ABAC=60°

-PC=5

AP=AC-PC=3

.\AH=-AP=-,PH=43AH=—

222

丁折叠

pc=PC=5

22

②当C'在AB延长线上

Fey八m

(3)解：过点C'作CE_L8C作AF/8C

AB=AC=8,ZABC=30°

・•・AF—=AB-4,CF-BF-6AF一

2

J8c=86

•・•折叠

：,CD=Ct)

设C£>=C£>=x

VC'是AB的中点

二.BC=-AB=4

2

,?ZA^C=30°

EC=-BC=2.BE=43EC=26

2

:.ED=BC-BE-CD=()y/3-x

在RtMZ坦中由勾股定理得：X2=224-(6S/3-X)2

28x/3

x=--------

9

;.CD="

9

5.(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)先运用CE_LA/以及正方形的性质证明NbCG=NE8再运用正方形的性质推导出A8=8C

最后通过证明/XAFB^^CEB证得BE=BF

(2)先运用正方形的性质以及Ab平分NC43求得NACG=67.5。再在AACE中运用三角形内角和定理证得

4E=ZACG从而得到AE=4C运用"三线合一''定理证得CG=GE结合“斜中半’'定理证得

ZGBE=ZE=67.5°最后运用正方形的性质推导出NDBG=NGBE从而证得AG平分NO3E

ArrAL

(3)先证再证△CDA/saCA”从而可得工^^二二也.

DMCD

【详解】(I)证明：•・•过点C作CE1A尸交"的延长线于点G

/.ZAGC=90°

••・四边形A88是正方形

/.ZAfiC=90°

在△/7GC中

:NAGC+NFCG+4CFG=180°NAGC=90。

，乙FCG+乙CFG=180°-ZAGC=90°

同理在△?14/中

•・•ZABC+ZFAB+ZAFB=180°ZABC=90°

，ZFAB+NAFB=180°-ZABC=90°

JZFCG+ZCFG=NFAB+ZAFB

'：ACFG=ZAFB

J/FCG=/FAB.

•・•四边形ABC。是正方形

AB=BC

•・•在△AFB和△CE8中

NBAF=ZBCE

<AB=BC

/ABF=ZCBE

/.△^FB^ACEB(ASA)

/.BE=BF

(2)正明：•・•四边形ABC。是正方形

，AB=BCZABC=90°ZC4B=ZACB=45°

•••"'平分-C48

ZCAG=NGAE=-ZCAB=22.5°

2

由(1)可知/FCG=/FAB

即ZFCG=NGAE=22.5°

•・•ZACB=45°4FCG=22.5°

/.ZACG=ZACB+4FCG=45°+22.5°=67.5°

ZCAB=45°ZACG=67.5°

/.Z£=180°-ZC4B-ZACG=67.5°

/.ZE=ZACG

AC=AE.

*：CEA.AG

:・CG=GE

•・•四边形ABCD是正方形

JZABC=^CBE=90°

BG=GE=-CE

2

/.ZGBE=ZE=67.5°.

•・•在正方形ABCD中NADB=ZABD=-NABC=45°

2

/.ZDBE=180°-ZABD=135°

:./DBG=NDBENGA£=135067.5°=67.5°

，NDBG=NGBE

，BG平分乙DBE

（3）解：如图连接8G

由（2）可知CG=GEZABC=NC8E=90°

:・CG=GE=GB

由（2）可知NGBE=/E=675。

/.NCBG=/CBE—/GBE=90。-67.5°=22.5°

,:CG=GB

：.Z.CBG=NBCG=22.5°

•••四边形/WCO是正方形

・•・ZABC=ZDCB=90°

JZABC+4CBG=ZDCB+4BCG=90°+22.5°=112.5°

即ZABG=NDCG

••・四边形A8C。是正方形

CD=AB

;在aA8G和AOCG中

AB=DC

/ABG=ZDCG

BG=CG

・•・△48G%OCG（SAS）

，Z.CDM=ZGAB

,/■平分NCAB

，ZCAF=ZGAB

NCOM=ZCAF

*/ZDCM=ZACB=45°

A^CDM^CAF

.AFCA

*'DA/-CD

正方形ABCD中ZCDA=90°CD=DA

,CA=yjA^+CD2=V2CD

6.（1）见解析

⑵拉

⑶110。或20。

（4）EGLAD理由见解析

【分析】（1）过点E作于点MENtCD于点、N然后证明△AME^zJWE（ASA）即可得到4E二房

即可证明

（2）先由勾股定理求解8。=〃用+/\。2=30则8E=：BD=6再证明虑△E48（SAS）即可得到

〜*

DG=BE=6

（3）分两种情况讨论即AE与A8的夹角为20。或AE与AO的夹角为20°根据正方形的性质以及四边形内角和

定理求解即可

（4）可得此时。,尸重合由四边形4WG是正方形得到EG_LAO.

【详解】（1）证明：过点E作区M_LADF点MEN人CD于点、N则ZAME=NFNE=NEMD=90。

•・•四边形A8C。是正方形

，ZADC=90°D4平分NADC

/./MEN=360°-90°-90°-90°=90°F.M=F.N

•・•四边形AE/P是矩形

/.Z4£F=90°

，ZAEM=NFEN=明一AMEF

・•・AAME^A/WE(ASA)

JAE=FE

，矩形AEAG是正方形

(2)解：在正方形A8CO中ZBAD=90°,AB=AD=3

•**BD=y/AB2+AD2=3五

,/DE=2BE

・•・BE=-BD=4I

3

•・•在正方形A£fG中AE=AGNG4E=90°

/.ZGAD=NEAB=90。-ZDAE

J度△EAB(SAS)

,DG=BE=42

(3)解：当AE与AB的夹角为20。时即N84E=20。如图

•・•四边形48C。是正方形

/.NBAD=ZADF=90°

/.ZDAE=90°-NBAE=70°

•・•在四边形AETO中ZZME+ZAEF+ZEFD+ZAPF=360°而乙4石尸=90。

，ZEFD=360°-9()o-9()o-7()o=110c

当4E与AO的夹角为20。时即。4£=20°如图设样,人。交于点”

n

由题意得ZAEF=4FDH=90。

,/ZAHE=ZFHD

/./EFD=/DAE=20。

综上：/£77)的度数为110°或20。

(4)解：EG1AD理由如下：

如图

,/在正方形ABCD中AB=AD

又•••点E为BD的中点

；・AE工BD即44瓦＞=90°

,/ZAEF=90°点/在射线CO上

・•・此时D/重合

•・•四边形AEFG是正方形

，EG_AO.

7.(l)PD=y

(2)四边形/U〃W的面积不会变化面积的最小值为16平方米

（3）存在四边形。石8尸的周长的最小值为30+10历）米

【分析】（1）根据三线合一得到A。」3cBD=CD=^BC=6当7Y）J_AB时PO的值最小由等面枳法即可

求解

（2）根据题意VA3C是等腰直角三角形证明△4）M/£ON（ASA）得到5皿加=5式以结合图形面积的计

算及等量代换即可求解

（3）如图所示过点A作AG_L3Cq点G过点。作力，J_8c于点〃可算出5械+5^=7006（平方米）

如图所示过点E作EK_LA。于点K设4£=4米b=y米得到x+），=70则。最小即可点£A重

合点F，H重合此时。区OF的值最小由此即可求解.

【详解】（1）解：VAB=AC=\0SC=12A。平分/8AC

・•・ADIBCBD=CD=LRC=6

2

・••在RNABD中3=x/102-62=8

P为AB上一动点连接P。

，当尸时PO的值最小

S△/AioRCij=-2ADBD=-2ABPD

.gADBD6x824

AB105

（2）解：四边形AMON的面积不会变化面积为16平方米理由如下

如图所示连接A£>

,/已知RtAABC中NBAC=90°AB=AC=8D为BC中点

・・・VA8C是等腰直角三角形ZB=ZC=45°BC=0AB=8E

，AD1BC,^BAD=ZC4D=45°AD=BD=CD=-BC=442

2

：.NAQ,V+NCZyV=90°

•••乙MZW=90。

JZADM+ZADN=90°

，ZADM=/CDN

在△ACM4Cl\Ni|i

ZC=ZBAD=45°

CD=AD

ZCDN=ZADM

：.^ADM^CDN(ASA)

.,S^ADM=SKDN

S四边影AMDN=SjADM+Sa&DN

S四边形AMDN=SQN1SdADN=S"C。

・•・四边形AMDN的面枳不会发生变化

VSA。，，=1sAO」x4应x4行=16

AAC22

・•・四边形AMDN的面枳为16

（3）解：存在四边形厂的周长的最小值为（50+10历）米理由如下

•••八8="=八£>=40米ZA=12O°AD//BC

，四边形ABC。是等腰梯形ZABC=180。-NA=60°=ZDCB

如图所示过点A作AG_L4C于点G过点。作O"_LBC于点〃

/.AG=DHZAGB=ZAGC=ZDHB=ZDHC=90°

/.AG/7DH

，四边形ADHG是矩形则AO==40米

在Rt^ABG中A8=40米ZABG=60°

/.8G=gAB=20米AG=6BG=?O0木

•・,NDHC=90°,ZC=60。,CO=40米

同理C”=20米DH=米

・•・BC=BG+GH+CH=20+40+20=8()

••・5梯形2=业*£=31*=|2。。6(平方米)

,/四边形DEBF的面积为50()75平方米

S&ADE+SQF~$梯形4«刀_床边形谢尸二12006-500石=7006（平方米）

如图所示过点E作EKJ.A/）于点K设钻=大米CF=y^

・•・zLEAK=600,乙K=90°则ZAEK=30°

••・AK=1AE=：X米EK=£AK=储米

222

*'•ADZ：=-AI>EK=-X4（）X^-X=\0>/3.r（平方米）S^.=；CFO"=；yx2oG=106），（平方米）

22212

10®+10底=700石

化简得x+y=70

AE+C/7=70米则BE+BF=AB^-BC-（AE+CF）=40+80-70=5（）米

，当DE+。产值最小时四边形DEBF的周长存在最小值

把VAOE•绕点。逆时针旋转120。得到ACZ）G作点尸关于射线的对称点七FL交A。于点。连接OL如

图所示

由旋转可得CG=AE,DG=DE,4DCG=ABAD=120°

•//BCG=4BCD+/DCG=60o+12(T=180°

•・・瓦C、G共线尸G=C尸+CG=CF+AE=70米

VLF=2OF=4()6米

•**LG=y/FI：+FG1=7(4O>/3)2+7O2=10屈米

;DE+DF=DG+DF=DG+DL>GL

当G、D、L共线时OE+O9取得最小值最小值为GL的长即10质米

，四边形DEBF的周长的最小值为BE+8b+。£+。产=50+10质(米).

8.(1)见解析

25

(2)VAOE的面积不变Si*

⑶5丽+10及

【分析】⑴连接CO利用SAS证明ACDE二△8DG得CE=BG

(2)作O”_LAC于点〃连接利用△"DEs.cDF得NDHE=/DCF=45。MHE\\AD从而说明

VAOE的面枳不变即可解决问题

⑶由⑵知点E在直线HE上运动作点8关于直线的对称点夕则AE+8E的最小值为4"的长利用勾

股定理求出人"的长进而解决问题.

【详解】(1)证明：连接CO.

•••VABC是等腰直角三角形点。为A4的中点

:,CD=BD,N88=90。，

•・•四边形OEFG是正方形

・•・DE=DG,ZEDG=90°,

:.ZCDB=NEDG,

:./CDE=NBDG、

：.△CDE、BDG(SAS),

:・CE=BG

(2)解：V/W犯的面积不变作W7_LAC于点〃连接。尸,

丁MDH是等腰直角三角形

CD-V2DZ/,ZCD7Z-45°,

•・•△£/加是等腰直角三角形

/.ZEDF=45°,DF=夜。E,

.CD=DF/HDE=4CDF,

DHDE

工AHDES^CDF,

/.ZDHE=ZDCF=45°,

，HE\\AD,

iiii05

:.S=SADH=-5.=-5=-x-xl0xl0=—.

AAD匕2AC0r4D/ICnAC4B22

(3)解：由(2)知点石在直线，石上运动CH=DH作点3关于直线〃石的对称点*则AE+8E的最小值为

A"的长

，”后垂直平分CQ

'88'=。。=5&

AC=BC=\^

44=10底

由勾股定理得Aff=4AB，+BH?=5JM

A^ABE的周长最小值为5M+10V2.

9.(1)PE=2

(2)见解析

C、乙S贴2=_1L

'sw4

【分析】(1)根据题意可得正是△及»的中位线推出依=gcQ=；AC结合A8=AC=8即可求解

(2)连接P。根据题意可得尸。是VA8C的中位线CD=^-AC推出PO=：A8进而得到PD=CZ)结合

22

OM_LBC推出PM=CW由PE是△4C。的中位线推出NPNM=NCDM证明△PNMgaCDW根据全等三

角形的性质即可得证

⑶根据。为AC的中点得到S,w=/S.c再根据E为8。的中点得到心加=孔刖即可求解.

【详解】(1)解：•.•。为4c的中点E为4。的中点。为AC的中点

・••庄:是△88的中位线CD=-AC

2

PE=-CD=-AC

24

•.•AB=AC=S

/.PE=-AC=2

4

(2)正明：连接尸力

〃为8c的中点。为AC的中点

夕。是V人的中位线CD=-AC

2

/.PD=-AB

2

•••AB=AC

•••PD=CD

DMIHC

PM=CM

正是aAC力的中位线

PE//CD

•••4PNM=/CDM

在APNM和YCDM中

乙PNM=z：CDM

NPMN=NCMD=90。

PM=CM

CD=PN

…S&ABD=5S6ABe

E为BD的中点

・乙S/仙=LI

SjBC4

10.(1)见解析

(2)见解析

⑶24

【分析】(1)证明△ACMgZi4CM(SAS)即可证明VABC为等边三角形

（2）根据等边三角形的性质证明”8。%C4E（SAS）得到NA8O=NC4E再结合三角形内角和定理求解即可

（3）连接CG过点G作4cBC的垂线垂足分别为PQ连接G/过点”作G/的垂线垂足为S过点/

作EG的垂线垂足为K连接KS由等腰三角形的性质推出AG=EG再通过证明全等三角形从而得出

EG=BG得出EG=G8=8设/GHS=/SHI=NGEI=a求出NGE〃=30。过点G作石H的垂线垂足为

M利用30度角所对的直角边等于斜边一半得出GM=4即可计算出△EG”的面积.

【详解】（1）证明：_L力夕于点M且点"为A8的中点

・•・ZCMA=4CMB=90°,BM=AM

,:MC=CM

「•△ACM尖血加（SAS）

AZAGW=ZZ?GW=30°AC=BC

・•・ZAC8=60。

••・VABC为等边三角形

（2）记明；•・•V八8c为等边三角形

AA/3=AC=BC,NBAD=ZACE=60°

*/AD=CE

・•・AABD^AGAE（SAS）

，ZABD=ZCAE

：ZC4E+NEAB=ZCAB=60°

/.ZABD+ZE4B=60°

，ZAFB=i80°-60o=120°

（3）解：如图连接CG过点G作AC8c的垂线垂足分别为PQ连接G/过点〃作G/的垂线垂足

为S过点/作£G的垂线垂足为K连接KS

VZAFfi=120°AF=FG

，ZFAG=ZAGF=30°

,:EG_BD

Z£GD=90°

，ZAGE=\20°

•・•ZE4G=30°

••・Z4£G=30°=ZE4G

AG=EG

在四边形AGEC中ZAGE+ZACE-^ZCAG+ZCEG=360°

ZAGE+ZACE=18()°

/.ZC4G+ZCEG=18O°

ZGE<2+ZCEG=180°

•「ZCAG=ZGEQ

又ZAPG=ZEQG=90°

•・•△APG^AE2G(AAS)

，PG=GQ

又,：CG=CG

・•・△CPG%q2G(HL)

/PCG=4QCG=30。

又•••AC=A6CG=CG

・•・AACG均BCG(SAS)

/.AG=BG

:・EG=BG

VAD=ECAC=BC

:・CD=BE=8也

5

，在等腰直角形.BEGEG=GB=—BE=S

2

,/GH=IHHS1GI

・•・GS=SI=-GIZGHI=24GHs=24sHi

2

,?NGHI=2NGEI

，ZGHS=ZSHI=NGEI

/EKI=ZISH=90°EI=IH

，△EK/%HS/(AAS)

，KI=SI=-GINKIE=/SIH

2

在RLGK/中点s是G/的中点

，KS=-GI=Sl=KI

2

•••△KS/是等边三角形

JNK/G=60。

设NGHS=4SHI=4GEI=a

，ZKIE=ZSIH=90°-a

ZEIH=360°-60°-2(90°-a)=1200+2iz

—它也巫士U〜

2

；・NGEH=30。aI«=30°

过点G作£77的垂线垂足为M

在Rt^EGM中EG=8NGEM=30°

：.GM=-EG=4

2

，△石GH的面积='E”・GM=LX12X4=24.

22

11.(1)CF=CB

(2)013=OF证明见解析

⑶出或迥

33

DNFN

【分析】(1)如图：设。。与所交于点NAC与BD交于点O证明△ENCSJ)NF得到工==7再证明

ZENCN

△DNES^FNC得到NDCF=90°又由^BFD是等腰三角形根据三线合一的性质即可解答

⑵如图2：连接班)、0。延长AD与M交于点G证明△ADEsJ5加'得到ND4E=4GO再证明

△AGOsJG。得到会=会接着证明△OGOS^GA得到NZ)OG=9()。再由V8ZW是等腰三角形可知。

是所的中点即可得到80二尸。

(3)分两种情况讨论：当F点在A。的延长线上时过点E作厂交于点〃根据三角形面积相等求出

EH=DE"=正在R3O/7E中用勾股定理求出。〃=之则在RtZXAE”中用勾股定理求出

4七=生犯当尸点在D4的延长线上时过点、E作EKLDF交于点K同理可得EK=2,KD=-,AK=-

3333

在RIAAEK中用勾股定理求出AE=—.

3

【详解】（I）解：如图：设CD与EF交于点NAC与B。交于点。

图1

•・•四边形A3CO是矩形

・•・OA=OB=OC=ODZACD=ZABD

,/将AABD绕尽D逆时针旋转得到AEFD.

ZABD=ZDFEBD=DF

*/ZACD=Z.ABD

JZDFE=ZACD

NCNE=NDNF

ZAENCSQNF

・DNFN

•・而_布

4END=4CNF

:・ADNES/NC

：・MCF=/DEN

•・•NDEF=/BAD=90。

・•・Z£>CF=90°

,/BD=DF

，△8/D是等腰三角形

・•・BC=CF.

(2)记明：如图2：连接4。、OD延长AO与9■交于点G

F

图2

由旋转可知BD=DF,AD=ZADE=/BDF

.ADDE

NADE=NBDF

'~BD~'DF

/.AADES^BDF

・••ZDAE=ZDBG

ZACO=ZBGD

**•△AGOs^BGD

.AGOG

**BG~DG

.OGDG

,•茄一诟

/.4DG0=/BGA

/.^DGO^^BGA

：・/DOG=/BAG

•・•N84G=90。

/.ZDOG=90°

，BD_DF

・•・△3DF是等腰三角形

是所的中点

：,BO=FO

(3)解：如图3：当点尸在A。的延长线上时过点E作石〃_LA尸交于点，

ADH

图3

VAB=45,AD=2

••BD=y]AD1+AB2=3

由旋转可知。/=BD=3/DEF=/BAD=90°

.口口DEEF2x/5

•・EH=-----------=------

DF3

在RtZXAE〃中DE=AD=2

.gL204

・•DH=J4---=—

Y93

.…c410

♦•AH=2H—=—

33

2x/30

在RtZXAE”中AE=y/AH2+HE2

3

如图4：当尸点在D4的延长线上时过点E作EKI产£）交于点K

AK=2—=—

33

在RtzMEK中AE=jAK2+EK2=—

3

AE的长为空或平

综上

12.(1)8

⑵先

2

（呜或

⑷0<BP<3或

5

BE4

【分析】（1）过点A作AE_L8c结合等腰三角形的性质根据COS8=F=1求得BE=CE=4即可求解

AB5

（2）过点P作PQ_L8C根据8s8=qg=。求得82=2根据勾股定理求得根据瓦>=3OC求得

BO的长即可求得。。的长再根据勾股定理即可求出P。的值

（3）分两种情况：当点P在A8边上时当点P在4c边上时分咒求解即可

（4）当*。_LA4于点。时为临界情况计算出此时期的长即可求出4P的取值范围.

【详解】（1）解：如图1过点A作人七_LBC

图1

BE4

二.--=—

AB5

4

?.BE=-AB=4.

5

VAB=ACAELBC

：.BE=CE=4

BC=8.

（2）解：如图2过点〃作PQ_L/3C

BP=-AB=-

22

4

,/cosB=—

5

，丝，

BP5

4

/.BQ=-BP=2.

/a

,PQ=^BP2-BQ2=-.

•;BD=3DC

3

BD=—BC=6.

4

:.QD=BD-BQ=4.

/.PD=JpQrQD?=乎

(3)解①如图当点P在A3边上时过点尸作PM4于点M

B'DIBC

...NBDP=N8W=45°.

-PMLBC

/.NBDP=NDPM=45。.

...PM=DM.

八BM4

,/cosB=-----=—

BP5

..・设笈尸=5工贝ij8W=4x