《高等数学习题集（第四版）》 习题及答案 马明环 第1-9章自测题

第1章自测题

一、选择题

1.若函数人方在点与处的极限存在，则()

A、f(x)在点与处的函数值必存在，并且等于极限值；

B/(x)在点两处的函数值必存在，但不一定等于极限值；

C“X)在点与处的函数值可以不存在；

D如果人与)存在的话，一定等于极限值.

答案：C.提示：根据极限的定义.

2.下列函数中，在点x=2处连续的是().

Aln(x-2)；B2X~2；By=B^2-x.

A-2

答案：B.提示：A与C在x=2处无意义，D在x=2处左连续.

3.函数)，=%nsin3x的复合过程是()

Ay=Vw,M=Inv=ir3=sinxBj=Vw^,w=lnsinx;

Cy=,M=sinx;Dy=Vw,u=Inv,v=sinx.

答案：A.

4.设/(x)=e'x<u,要使/(©在工=0处连续，则.=()

a+x,x20

B2；B1；B0：B-1.

答案：B.提示：lim/(x)=lime1=e°=1»lim/'(A)=lim(a+x)=a.

二、填空题

5.函数f(x)=3x-4的反函数是.

答案：丁=工+4.提不：反表不为x=J*、.

33

6.函数)，=Nin8s2c的复合过程是.

答案：y=X/M,//=Inv,v=/2,z=cosx.

7.若/(x)=/，g(x)=ex,则/[g(x)]=，glf(x)]=

答案：f[g(x)]=(ex)2=c2x，glf(x)]=ex.

8.函数/（刈=―!—的连续区间为

ln（x-2）-----

答案：（2,3）和（3,"bxj.提ZK：x—2>0且Inx—2Ho.

三、解答题

Inx,OcxWl

9.设函数f（x）=,x-1,1<2,

x/x,x>2

（1）求/（x）的定义域;

（2）作出函数图像；

（3）讨论/"）在x=l及x=2处的连续性.

解（1）函数/（A）的定义域为（0,+oo）.

（2）函数图像为

（3）观察图像知，函数/（处在x=l处连续，在x=2处不连续性.

10.指出函数丁=或/（34-6是有哪些简单函数复合而成的.

解y=H2,M=sinv,v=3x--.

4

11.计算下列各极限:

..x2+2x+54Y—1

(1)Inn---；----(2)rhm---------

s-1x2+1fL2X24-3X-2

2

(3)lim(2v-x3)；(4)lim1

12A->-2x+2

(5)lim(---y)：(6)

XX~+3X-2

..x~+2x+51—2+5

解(1)hm---；----=------=2；

x"x2+\1+1

,,4X2-1..(2x-l)(2x+l)2x-\4

lim——；-----------=lim--------------------=lim--------=—

_>12x~+3x-2_>l(2x-l)(x+2)」X+25

'r0r0)

(3)lim(2v-x3)=lim2X-limx3=4-8=-4；

.v—>2.r—>2.v—>2

//I、r厂一4(x—2)(x4-2)4

(4)lim------=lim------------------=lim(x-2)=-4；

XT-2X+2X+2X+2X»2

(5)lim(---!y)=lim--lim-!-=0-0=0；

x->8XX1V->00xx1

(6)lim—--!—=lim-----4=2.

•SB2x~+3x-2XTOO2+---

xx2

12.利用高级计算器计算下列各极限：

..x/i+x—2

(1)limxsin—:(2)lim-------------：

X-KOX13A-3

../1+入2r

(3)lim(Jx+\-y[x)(4)lim(—yx.

2

2sin-

解(1)limxsin—=lim2—产=2:

X

同迈三口HmMZZz斗五2=Iim——早=_

13x-37(X-3)(V1+X-2)(x-3)(x/l+x-2)

=lim-----------j=------=-;

(x-3)(Vl+x-2)4

(3)lim(>/7+T-x/7)=limiim_^___=0；

(4)lim(—)2r=lim(l+-)2r=lim(l+-r2=6-2.

A->+<OxK-%%

四、应用题

1.若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元.求这种

产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？

300=60。+"a=2

解C(Q)=aQ+b,=><Ci0=180+20；

340=80。+〃〃=180'

固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.

2.甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式:

(I)全部付现款，可以优惠10万元；

(2)先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生

的利息(按年利率5%计算)，5年后还清；

(3)先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息(按年

利率5%计算)；

分别计算这三种付款方式实际付款金额.

解(1)300—10=293(万元)；

(2)100+40(1+5%)+40(1+5%)2+40(1+5%)3+40(1+5%)4+40(1+5%)5=332.076513

万元；

(3)200+100(1+5%)=305万元.

第2章自测题

一、选择题

L过曲线卜=/-”上M点处切线斜率为1.M点坐标为().

A.(l,0)：C.(0,0)；D.(O.l).

答案：A.提示：切线斜率为攵=2x-1=1,x=1,y=0.

2.设在x=0处可导，则12/侬)一/(。)=().

xh

A.0：B.-2r(0)；C./'(0)；D.2/'(0).

答案：D.提示：匕％im&±®*2=2八0)

h>0hh>02h

3.函数在点x=/取得极大值，则必有().

A..r(^)=o；B.r(^)<o；

cr&)=o且〃/)=o；D.rUo)等于零或不存在.

答案：D.提示：/(%)等于零或不存在的点都是可能的极值点.

4.函数y=sinx-x在［0,冗］上的最大值是().

A.旦;

B.O；C.—Tt；D.兀.

2

答案：C.提示：因为y=cosx-l<0,所以函数单调递减.最大值为/(1)=-¥

5.函数y=e'+arctan.r在区间[-1,1]上().

A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值;D.无最小值.

1

答案：B.提小：因为)/=e'+---：

1+r

6.已知4+,则9

=().

dv

因为古

答案：C.提不:・f

7.设小》占(X>0),则尸(x)=().

1

A.------:B,击c.-D

(1+X)22&1+五)2'2yfx(\+4x)2

答案：C.提示:/U)=—=，所以y'=

1+yJX(\+y[x)2~2y[x(\+yfx)2"

8.设x=/e，y=2/3+f2,则生=()

dxf=-l

2

B.—2e；C.-;D.2e

e

6/+2/2

答案：C.提不：因为生=，所啜=­

axe~l-te~lr-1e

9设y==以彳),则力二()

A.f\u)dx；B.C./'(〃)”(x)dr；D.f\u)(p,(x)du

答案：C.提示：根据复合函数求导法则.

二、填空题

10.已知某商品的收益为R(Q)=75Q—Q3，则其边际收益R'(Q)=

解*(Q)=75-3Q?

11.函数尸上、在x=-2处的切线斜率为

解k=yfL-2=~e]~x

l.y-2

12.曲线在区间.上是单调增加函数.

解f(x)=-2.x,所以在(7o,O)上是单调增加函数.

13.如果x=2,Ar=0.0l,则,=

解6/(X2)|,=2XA|X-2=0.04.

'x=2\t=0.0l

14.函数y=x-x在[-1,2]上的最大值为.

I7

解yf=e-x(\-x),得驻点x=l,/(1)=-,/(-l)=-e,/(2)=-,所以最大值为

ee

2

/⑵二一・

e

15.iTl^y=sin22A-,则y'=.

解/=2sin2x-cos2.r-2=2sin4^.

16.某需求曲线为Q=-l(X)P+30()0,则P=20时的需求弹性E=

解

同心。=一/0(叫3=一loo/*)。。㈠°°)=2

1\JyJI•JUVJUp=20

17.已知y=In2x,则)严=

解，'=J，*=一9

三、计算题

18.求下列函数的导数

(1))，=(1+五)(1-3)(2)y=e炳+cosn

Ox

解y=«一9解:/=e叼g(x+l尸。

r

y=

(3)y=Insin2x+ln(e2-1)(4)y=e~xcos(3-x)

A2，cos2x

Sry=------2=2cot2x•解y1=-e~xcos(3-x)+e'(-sin(3-x))(-l)

sin2x

="7[sin(3-x)-cos(3-A)].

(5))，=白+?求y'Lo

(6)=

J-XJ-'7177

V14-X2-%-.2X

解广仁尸去

解六一

(\+x2)>]\+X2

/、^=/Inr

⑺；

y=arcsint

1

解包=J'-x2_______J______0

&ln/+lVl-x2(ln/+l)°

19.求函数y=*s的微分

解dyV•—二小。

'\+x2

20.已知y=e",求)严

解)，'=2xex\/=2/+2xex；2x=2J+4,J.

21.(1)已知£=2x,求空.

drx=2

,v=0

解2x+2y+2xy,r+2yy=2,yf=---~~—.

x+y

dv1

—=——.

dxx=22

y=0

(2)ey-e-x+xy'=0,求”.

dx

—c'-V

解eyy'+e~r+y+Ay'=0。y'=-------.

ey+x

22.求下列函数的单调[X间和极值.

(1)/(x)=x3-6x2+1；

解函数的定义域为(70,一)

y'=3x2-12x=3A(X-4)令)，，=(),得x=0,x=4歹ij表得：

X(f0)0(0,4)4(4,400)

y+0-04-

y/极大值1极小值-31/

极小值为从表中可以看出，函数有极大值为/(0)=1，极小值为八4)=-31,在

(ro,O)U(4,内)上单调递增，在(0,4)上单调递减.

⑵户急

2Y

解函数的定义域为（TO,+oo）,）/=（］：：「令），'=0,得X=0列表得:

X(口,0)0

V'—0+

y极小值0/

从表中可以看出，函数有极小值/（0）=0,在（TO,O）上单调递减.在（0,母）上单调

递增.

23.某商家销售某种商品的价格满足关系尸=7—0.2Q（万元/吨），。为销售量（单位：

吨），商品的成本函数是。=3Q+1（万元）.

（1）若每销优:一吨商品，政府要征税，（万元），求该商家获得最大利润时的销任量.

(2)，为何值时，政府税收总额最大.

解⑴L=PQ_CTQ=(7_0.2Q)Q_(3Q+1)TQ=_0.2Q2+(4T)Q_1；

Z/=-0.4Q+4T,令Z/=0nQ=|(47),又〃=-0.4<0,所以商家获得最大利润时

的销售量为Q=g(4-f),

（2）政府税收总额为一，）=|（4/一〃）=：4一（l2）一,所以f=2时政府税

收总额最大.

24.今欲制造一个容积为50加的圆柱形锅炉，问锅炉的高和底面半径取多大值时，用料最

省.

解设锅炉的高为/?和底面半径为「，表面积为S

S=2万r+2/ZT7?,Xnrh=50,得〃=~^.得5=

令S'=4兀「-=0,

万广r

得唯一驻点r=后，故当「=杼〃，力=2后，〃时用料最省.

25.设某商品的需求函数为

Q=3000产〃

求价格为10（）时的需求弹性并解释其经济含义.

解E=-Q\P)=x3000°2〃(-0.02)=0.02P

一°皿

Ata-30006

所以同。皿二2。它的经济意义是：当价格为10°时，若价格增加1%，则需求减少2%.

Ir=lVA.I

第3章自测题

一、选择题

1.若/（*）的•个原函数为加人，则/（人）=

A.—B.--yC.xlnxD.xlnx-x

xf

答案：A.提示：根据原函数的概念.

2.若J/(x)dr=F(x)+C,则Jsinxf'(cos.v)dx=()

A.F(sinx)+CB.-F(sinx)+C

C.”(cosx)十CD.-F(cosx)+C

答案：D.提示：jsinA/'(COSx)dx=-j/(cosx)d(cosx).

3.若J：(2x+A)dx=2,则常数&=()

A.-1B.1C.-2D.2

答案：B.

4.J|x|d.x=()

答案：A.提示：j~x|civ=J°((-A)dx+xdx.

5.下列下列积分收敛的是（）

答案：B.

二、填空题

6.已知J/(xXk=2sin]+C,则/(幻=

答案：cos—.提ZK：/(x)=(2sin|j.

2

答案：ln|l+x2|+C.

8.已知分段函数/(/)=I：则:小)山1=______

x?0,a

答案：-与.提示：J2/(x)dx=/：2xdx+£\fxdx.

9.f51(x2+sin.r)dr=_________________.

J-H

答案：2兀3.

3

10.由曲线,，=e-x,直线x=0,x=l,），=0围成的平面图形的面积用定积分表示

是_________________

答案：A=j：e'dx.

三、解答题

11.计算下列各不定积分

jcos(2x-l)dx；(3)J]1q-arctanxdx；(4)j.xe-2vdr.

—^+C.

\/x

Jcos(2x-l)dv=gJcos(2x-l)d(2x-1)=gsin(2x-1)+C.

(2)

f—5-^-arctanxd.v=[arctanxd(arctcinv)=—(aickinv)2+C.

(3)

J1+x2」2

xe-2rdr=_gJAd(e-2r)=~(xe~2x-j/

(4))+c

12.计算下列各定积分

(1)0X\)\+X26M(2)PSmVdx；

1+COSX

2

(3)Jxcos2.vd.r；(4)J(xInxdx.

2

解(1)J：W1+x2dx=gJ：V1+xd(l+Y)=；-d+x2)2

3

n

2-3

(2)[JSinVdx=fj_1d(l+cosx)=-

In11+cosx|2-

I+COSX1+COSX

n=；([xsin2x，一匚sin2Adx)=；[cos2x]二=0.

(3)xcos2AdKAd(sin2x)

-n2J-n

(4)j：x2Inxdx=pInW(gx3)=^x3Inx

2I13

——X

33399

13.已知一-曲线经过点（0,2）,且在其上任一点（x,y）处的切线斜率等于x+e',求曲

线的方程.

解设所求曲线的方程为），=/（/）,由题意知），'=x+e',所以

y=J(x+e')dx=-x2+ex+C.

由曲线过点（0,2）,得。=1,故所求曲线的方程为），=:/+/+|.

2

14.求由曲线），=/+1,直线y=2x,x=0所围成的平面图形的面积.

解如图所示，解方程组卜二*+1，得交点坐标为（1,2）,

3=2占

故所求面积为

第14题图

A=f1(x2+1-2AX1X=-x3+x-x2=-

JoL3JO3

15.求由曲线y=和直线y=0围成的平面图形的面积绕x轴旋转而成的旋转体的

体积.

解曲线丁=工-工2与X轴的交点为（0,0）、（1,0）,

故所求体积为

第15题图

,141it

7t(x-x1厂dx=兀-X'-----X+—X'=

325o3O

16.一物体以速度u=3尸+2«m/s）作直线运动，求它在时间区间［1,3］内的平均速度.

解万=六二(3"+2力5=^[P+r2J=I7(m/s).

第4章自测题

一.选择题

1.下列方程是一阶微分方程的是()

A..x2y+2y(y')2-x；B.y''+xy'+x2=0；C.xy''+y'+xy=5；

D.xdy+e'y-5x=0.

答案：A.

2.下列方程是一阶线性微分方程的是(.).

A.x2y'+2y2=x；B.y'+tany=x；C.y'-e'x=0；D.y'+ysinx=cosx.

答案：D.

3微分方程冲'=2)，的通解为().

A.y=Cx2；B.y=5x2；C.y=Cx；D.y=C-^-x.

答案：A.提示：利用一阶线性齐次微分方程的求解公式即得.

4微分方程)，〃-2y'+5y=0的通解为().

x

A.y=e(GcosC2sinx)；B.y=e'©cos2x+C2sin2x)；

vx

C.y=e-(C1cosx+C2sinx)；D.y=e~(C}cos2x+C2sin2x).

答案：B.提示：特任根4.2=2±J；-20=]±2j

5微分方程)，〃+6)，'-7)，=5,e的特解应设为().

A.y=(cix+b)e'；B.y=x(ax+b)ex；

C.y=x2(ax+b)ex；D.y=(cix2+bx+eg.

答案：B.提示：根据二阶常系数线性非齐次微分方程设特解的表4-2.

二.填空题

6微分方程y'=2x的通解为.

2

答案：y=X+C.提示：方程两边积分，即得.

7微分方程虫+2y=0的通解为_______________.

dx

答案：j=Ce2x.提示：利用一阶线性齐次微分方程的求解公式，即得.

8微分方程xdy=(x+的通解为.

答案：），=Mlnx+C].提示：方程变形得芈一4y二l,利用一阶线性非齐次微分方

dxx

程的求解公式，即得.

9微分方程4/+4/+y=0的通解为.

--X1

答案：），=«2（G+C/）.提示：该方程的两个特征根相等为r=一万.

10微分方程,〃-3y'+2y=5的一个特解为_/=1,则该方程的通解为.

答案：y=e（C1+C2x）+-^.

三.解答题

11求微分方程也一炉-）'=0的通解.

dx

解分离变量得eydy=exdx,

两边积分得\eydy=\exdx,

ey=ex+C,

所求微分方程的通解），=ln（e'+C）.

y|

12求微分方程）」+上二------厂的通解.

xX（1+JT）

解因为如）斗。（正品忑,

由通解公式得y=e、[I-------e}xdx+C]

Jx(l+x2)

=­[arctanx+C].

x

所求微分方程的通解y=­1arctanx+CJ.

x

13求微分方程y'+3y=8,的特解.

解因为，PM=3,。。）=8,

由通解公式得y=/「'J^d\lx+C].

=e&[J8?Wr+C]=e-3x^eix+C],

Q

微分方程的通解y=e-3x[-e3x+C].

3

2

代入初始条件），|1=2得C=--.

J

Q9

所求微分方程的特解y=---^3x.

■33

14求微分方程）严一,，'=0的通解.

解微分方程/-/=0对应的特征解方程r2-r=O

特征根4=0，^=1

x

所求微分方程的通解,y=G+C2e.

15求微分方程）产—''一2），=0满足初始条件NmonOhlzu-l的特解.

解微分方程），〃-），'-2y=0对应的特征解方程,一一2二0

特征根4=-1,弓=2

x2x

微分方程的通解y=Cxe+C2e.

代入初始条件）L=o=0,y'L=o=T，得G=.，。2=•

x2x

所求微分方程的特解y=-e---e.

'33

16解微分方程）严-5y'+6y=xc2r.

解方程对应的齐次方程为y"-5y+6y=0,其特征方程为户一5厂+6=0.解得特征根

为“=2,为=3.所以，齐次方程的通解为

2x3r

y=C,e+C2e.

由/（可=比2]知，Pm（x）=x,2=2,由于4=2是特征单根.故设y*=x（Mr+A）e2x.

于是

y1^1=[力0』+2（%+4）x+伪＞2》,

.严=｝为丁+4（2^+%）x+2（d+纥）]e2\

将），*,y*，,），*〃代入原方程，整理得

-2box+2bo-A=x.

比较两边同次基的系数得一2/>()=1,2Z?0—b}=0»即々)=—»4=—1.

于是y*=-x(L+l卜.

12>

3Ax

所以原方程的通解为y=y+y*=Ge2”+C2e-xf^x+lV.

第5章自测题

一.选择题

（1）点（-2,3,-1）关于），。平面对称的点是（）.

A.（-2,-3,1）B.（2,3,-1）

C.（2,-3,1）D.（2,3,1）

答案：B，（关于谁对称，谁不变）

（2）以下各式中，正确的是（）.

A.axa=aaB.axa=|«|-

C.axa=bxciD.«=|«|~

答案：Do（性质）

（3）设向量°={1』,-1},〃={一1,一1,1},则有（).

A.allbB.aA.bC.〈。，力=]D.（明力号

答案：A。（对应坐标成比例）

（4）过点A（2,—2,0）,^（-1,0,1）,C（l/,2）的平面的一个法向量为（）.

A.(1,5,-7)B.(1,-5,-7)

C.(—1,-5,7)。.(1,5,7)

答案：Co（提小：n=ABxAC）

（5）柱面』—z=0的母线平行于

A.x轴B.），轴C.z轴D.x。平面

答案：Be（缺谁，平行于谁）

（6）与），轴垂直的平面方程为（）.

A.3x+y-1=0B.2x+z=1

C.y=2。.x=z

答案：Co

(7)绕z轴旋转的曲面是(

222

XyZ

AV8++-

一--

-•456

222£2

XrXZ

2D

C++--+6+-

一

一

4•一

4646

答案：Co(绕谁转，谁不变)

(8)方程z=2/+)2在空间解析几何中表示().

A.抛物线8.椭圆C.椭圆柱面。.椭圆抛物面

答案：Do

2\,22

(9)单叶双曲面Lv+上—-=1被平面z=2截得的交线方程为().

664

x2y2?+/=12,

A.—+^-=1B.x2+y2=l2

66z=2.z=0.

答案：Co

(10)以平面2x+3y+4z-12=0在三个坐标轴的截距为半轴的椭球面方程为().

A.B.+三=1

643643

xyz.x2y2z2

C.-------F-------1-------=ID.一+—+—

361694916

答案：Co提示：平面2x+3)，+4z-12=0在三个坐标轴的截距分别为：6、4、3.

二.填空题

(1)在空间直角坐标系中，点71(2-1,3)关于x轴的对称点为,关于xOz

平面的对称点为,关于原点的对称点为,至Uz轴的距离

为,到)Oz平面的距离为,到原点的距离为，到平

面2x—y十2z十3二0的距离为；

(2)在空间直角坐标系中，方程y=0表示；

(3)已知三点4(1,一2,3),4(1,1,4),C(2,0,2),贝从=

ABxAC=，A43C的面积为

(4)设向量a=(11),则同=,。的单位向量Q=

(5)若、〃为相互垂直的单位向量，a=2m+3«»b=2m-3n,则4-b=

(6)设向量a=(2J—1),8=(一1,3,2),则5。-3万=,

ab=，

cos<a,b)=，axb=：

(7)已知点”(1,2,-3)是线段45的中点，点八的坐标为(-2,3,-4),则点6的坐标

为,直线AB的一个方向向量为;

(8)球面x2+>,2+z:-4x+2y-6z-12=0的球心坐标为,半径为；

(9)方程y=3x-l表示的图形为,它z轴，它与x轴的交点

坐标为，与y轴的交点坐标为，它与xOy平面的

交线可表示为，它与)Oz平面的交线可表示

为:

(10)丁。平面上的抛物线V=2z绕z轴旋转所得的曲面方程是；

它称为.

解(1)(2』,一3),(2,1,3),(-2,1,-3),V5,2.V14,—；

3

(2)X。坐标面；

(3)人8=(031),AC=(\,2-\),

则丽・衣=5,ABxAC=(-5,1,-3),^uflC=-|.4BxAC|=—；

22

(4)同=2,%=/(；,日,-》；

(5)|/n|=|/i|=1,m±n>于是

ab=(2ni+3w)(2/w-3n)=4m-m-6m•n+6in-n-9〃•n

=4/M2-9/I2=4|W|2-9|n|2=4-9=-5,

axb=(2m+3〃]x(2m-3〃)=4/nxm-6mx〃+6rnxw-9/1xn

=4x0-6mxzi+6/1x/n-9x0=12nx/7i,

所以|«xZ>|=I2|nx/n|=12|n||m|sin^=12；

,abx/21

(6)5〃-3b=(1-1),ab=-\cos(ab)=-r-：=一一—

tfv同T42

ax^=(5,-3,7)；

(7)设3(x,y,z),则匕=1,5=2,—=-3,

222

解得8(4,1,-2),$=/5=(6,-2,2)或$=(2,-1,1)；

(8)(x-2)2+(y+l)2+(z-3)2=26,球心坐标为(2,-1,3),半径为后;

⑼平面，平行于W1。，。)，(OT。)，J3x—；v—1=0"ILv=—

(10)x2+y2=2z,旋转抛物面.

三.解答题：

(1)求过点M(-l,2-1)与平面+2+三=1平行的平面方程.

234

解设所求平面为6x+4)，+3z+£>=0,因为过点,

则有£)=1,所以所求平面为6x+4y+3z+l=0.

(2)求过点M(-1,2,7)且与直线垂直的平面方程

2z+y=0

解w,=(2,1,0),%=(0,1,2),

取〃=〃iX%=(2,-4,2)或〃=(1,一2,1),则所求平面为x-2y+z+6=0.

(3)求过点与两平面%:2x+3y+z-l=0,三：3x-2)，-z+l=0都平行的直

线方程.

解=(2,3,1),n2=(3,-2,-1),

取S=，4X%=(-1,5,-13),则所求直线方程为上?=?=带.

(4)已知点”(1,2,-3),N(2,-3,l),P(-3,l,2),求“MM；MNxMP；直线MV的

方程；过M、N、Q的平面方程；ZVWV尸的面积.

解MN=(l,-5,4),MP=(-4,-1,5),

则MNM户=21；MNxMP=(-21,-21,-21)；

直线MN的方程为±1=匚2=出；

I-54

过M、N、尸的平面方程为一21。-1）一21（丁一2）-21（2+3）=0,即x+y+z=O；

（5）求双曲线5一丁二L分别绕工轴和绕），轴旋转所形成的旋转曲面的方程.

z=（）.

}?22

V-1x），2z2

解双曲线亍-7•一1，绕”轴旋转所形成的旋转由面方程为：二一2--二=1；绕y

八944

z=0.

22

轴旋转所形成的旋转曲面方程为：—f-^v-+—z=1.

949

4.利用微软高级计算器，画出以下方程所表示的曲面，在说明曲面的名称.

???

（1）2+上+三=1；（2）—+^+—=1；（3）x2+y2+z2=4；

432494

（4）x+y-l=O；（5）f+）,2=4；（6）z=2x2-2y2.

解（1）平面；（2）旋转椭球面；（3）球面；（4）平面；

（5）圆柱面；（6）双曲抛物面（马鞍面）.

画图（略）.

第6章自测题

、选择题

1.函数z=J=+J=的定义域为（).

4Qy

A.{(x,y)|xj>0}B.{(%,刈孙...0}

C.{(x,y)|x>0,>,>0}O.{(x,y)k鹿0,y0}

答案C

2.设函数=则/(1,马=(),

x+y~x

A.4乙昌D.4^

答案D提示：代入数值后，进行化简.

22

3.lim-——=()•

2

(x.y)-»(o,o>।+x+y

A.-R.1C.0D,不存在

23

答案C