2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷02（人教A版范围：必修第二册）（解析版）

高一数学下学期期末模拟卷02（人教A版）

全解全析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）已知到数z=（i是虚数单位），则万对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】根据系数的除法法则化简z,再结合共拢更数的定义及复数的几何意义即可求出.

l-3i___2_4i

【解答过程】7+T=(l+i)(l-l)=2则万=-l+2i,

则2对应的点（一1,2）在第二象限.

故选：B.

2.（5分）已知向量五二（-3以），3=（-4,2）,若与石垂直，则同=（）

A.3B.3&C.5D.5V2

【答案】C

【解题思路】由向量垂直，数最积为。求得参数然后由模的坐标表示计算.

【解答过程】因为向量苍=（-3,a）,1=（-4,2）,所以五一上=（一3以）一（-4,2）=（l,a-2）,

因为不一刃与石垂直，所以（己_励j=-4+2（a-2）=0,解得。=4,

所以6=（—3,4）,所以0=7（-3）2+42=5.

故选：C.

3.（5分）一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,8,%,18,22,23.若它们的70百分位数是中位

数的两倍，则x的值为（）

A.10B.11C.12D.14

【答案】A

【解题思路】根据数据个数确定中位数和70百分位数的位置，再结合他们之间的关系求解X的值.

【解答过程】该组数中位数为等=7,70百分位数为学，所以竽=7x2,故％=10.

故选；A.

1/16

4.（5分）甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为全

且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则X=2的概率是（）

A1__4_13-17

A•工B.工C.而D.-

【答案】C

【解题思路】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解.

【解答过程】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件48。，

P(4)=W，P(B)=1,P(C)=I，则X=2为事件4BC+ABC+ABC,

所以P(X=2)=P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC')+尸(而C)+P(油C)

=2X(14)+RI"+(I-?X24

故选：c.

5.（5分）降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量

叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm,底面宜径为12cm,用线长为4VTUcm的圆台型水桶放置在水平地

面上来测量口降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的;，则本次降雨的口

降水量是（）

A.29.6mmB.46.3mmC.63.5mmD.82.2mm

【答案】A

【解题思路】作出辅助线，求出桶的深度，得到雨水的高度，逆而求出雨水的体积，圆台型水桶的上口直

径为20cln,面积为!!•102=lOOircm2,从而得到本次降雨的日降水量.

【解答过程】如图所示，AB=20cm,CD=12cm»BD=4V10cm,

过点。作。P_L48于点P,则DP=E/，EP=DF=6cm,

20-12

BP=~2~=4cm,

桶的深度为DP=J(4710)2-42=12cm,

2/16

故雨水的高度为OH=6cm,由三角形相似知，HN=^BP=2cm,

故GN=GH+HN=6+2=8clm

雨水的体积V=1(n-82+IT-62+VIT-82•IT•62)♦6=296ncm3,

圆台型水桶的上口直径为20cm,面积为n•102=100ncm2,

故本次降雨的口降水量是鬻=2.96cm,故为29.6mm.

故选：A.

6.（5分）四名同学4B,C,Z）各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下

统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为2,中位数为1B.中位数为3,众数为2

C.中位数为3,极差为4D.平均数为2,方差为2.4

【答案】D

【解题思路】利用平均数、中位数、众数、极差、方差的定义逐一分析选项即可.

【解答过程】对于A,平均数为2,中位数为1,说明5次点数总和为5x2=10,且将5次点数从小到大

排序，第三位为1,

则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为10—3=7,不确定是否出现点数6,故A错误；

对于B,中位数为3,众数为2,说明将5次点数从小到大排序，第三位为3,且2至少出现过两次，

则从小到大排序前三位是2,2,3,后两位不确定是否出现点数6,故B错误；

对于C,中位数为3,极差为4,说明将5次点数从小到大排序，第三位为3,

极差可能是5—1=4,也可能是6—2=4,不确定是否出现点数6,故C错误：

对于D,平均数为2,方差为2.4,说明5次点数总和为5X2=10,

若出现点数6,则其他四次点数之和为10—6=4,只能是1,1,1/，

则方差s2=1[（6-2）2+4x（1-2）2]=4>2.4,

所以一定没有出现点数6,故D正确.

3/16

故选：D.

7.（5分）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产“，我国拥

有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径44两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点

C,D,测得CO=120m,AADB=135°,^BDC=^DCA=15°,^ACB=120°,则小4两点的距离为

120KmD.120\/5m

【答案】D

【解题思路】依题意在△BCO中利用正弦定理得BD,在△ACD中可得力。，从而在△48。中利用余弦定理

即可得解.

【解答过程】如图，在△BCD中，CD=120m,4BDC=15。,

乙BCD=Z.ACB+Z.DCA=120°+15°=135°,所以/C8D=30°,

由正弦定理得就黑=赢,解得BD=120>/2m,

在△AC。中，CD=120m,^DCA=15°,

/-ADC=Z.ADB+Z.BDC=135°+15°=150°,

所以NG4D=15。，故40=。。=120m,

所以在△AB。中，由余弦定理得/IB?=AD2+BD2-2AD•BD-cos乙ADB

=1202+（1204）-2xl20xl20V2xcosl35°=1202x5,

则4B=120追，即力，4两点间的距离为120遍.

故选：D.

8.（5分）在三棱锥力一BCD中，AB=AC=四，BC=CD=2,乙BCD=120°,若三棱锥力—8C。的外接球

表面积为20m则二面角力一BC—O的大小为（）

A.60。或120。B.30。或150°C.60°D.45°

【答案】A

【解题思路】根据题意，作山球心。，利用外接球半径A，△公。，△©。。外接圆半径行也，可求得

4/16

=30。即可得到二面角4-BC-D的大小.

【解答过程】设△4BC,ZiBCD外接圆圆心分别为01，。2,外接圆半径为门,「2,三棱锥外接球半径为R，

过。1，。2分别作平面力8。，平面BCD的垂线，交点即为三棱锥4-BCD的外接球心。，

A

•:AB=AC=五,BC=2,--AB2+AC2=BC2.艮|］乙B4C=5，

所以。1在8C中点处，丁1=努=1,

•：BC=CD=2,ABCD=120°,.%Z.CBD=30°,

缶=2r2=焉=/2=2,且外在“垂直平分线上，

所以。1。2=J。2。—0加2~Jr?—1—V3»

三棱锥力-88的外接球表面积为S=4TTR2=20TT=R=遥，

0。1=882_0道2=、R2-1=2,002="B2―/加=VR2-4=1,

又0。21平面BCD,。1。2匚平面BCD,所以。。2,01。2，

贝ijsin乙0。1。2=翳=/所以乙0。1。2=30。，

又0。11平面力BC,BC,力。1（=平面4BC,所以。011B&OOiJ.401，

又皿1BC,。。1BC,所以。遇,。1。,。1。2共面，

所以4/1。】。2就是二面角4-BC-。的平面角，

乙力。1。2=90°+30°=120。或4401。2=90°-30°=60°.

故选:A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）下列关于复数z二告的四个命题，其中为真命题的是（）

A.\z\=>/2

B.z的虚部为i

C.z是方程N—2x+3=0的一个根

5/16

D.z2为纯虚数

【答案】AD

【解题思路】利用复数除法运算得z=l-i,求模判断A,求虚部判断B,代入方程计算判断C,求Z2=-2

i判断D.

【解答过程】因为z=^=湍告=l—i,

则|Z|=VLZ的虚部为-1,22=(1-。2=一刁为纯虚数，故AD正确，B错误，

乂因为(1-i)2-2(1―i)+3=-2i—2+2i+3=1H0,

所以z不是方程/一2%+3=0的一个根，故C错误.

故选：AD.

10.(6分)已知Q力,c分别为△A8C内角48,。的对边，下面四个结论正确的是()

A.若QCOS4=bcosB,则△小BC为等腰三角形或直角三角形

B.在锐角△48。中，不等式sinA>cosB恒成立

C.若B=?a=4百，且△力8c有两解，则b的取值范围是(6,4百)

D.若cos2力+COS2B<1+CQS2C,则△45c为锐角三角形

【答案】ABC

【解题思路】由余弦定理角化边，因式分解得到a=b或。2+4=。2,从而判断△A8C的形状，得到A选

项；根据正弦函数在(04)的单调性得到B选项：根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到C

为锐角，无法证明D选项.

222

【解答过程】对于A,若acosA=bcosB,则由余弦定理得ax，+；：-必=xa+c-b^

Lbclac

即。2(匕2+—a2)=b2(a2+c2—d2),b2c2—b4=a2c2—a4,c2(a2—b2)=(a2+d2)(a2—b2)»

所以(次—b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或小+b2=c2,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A正确；

对干B,在锐角△ABC中，A+故且转一8E(O,5)，

故sin4>sing_8)=cosB,所以不等式sinA>cos8恒成立，故B正确；

对于C,若3=紧=4板且△4BC有两解，

则asinBvbVa,故4Kx哼<。<4后即6VbV4厉，故C正确；

6/16

对于D,若cos2/l+C0S25<1+COS2C,则1—COS2c<（1—cos2fi）+（1—COS2i4）>

即si/Cvsi/B+siM/i,由正弦定理得c2cb2+口2,所以角C为锐角，

但角48未知，无法判断△ABC为锐角三角形，故D错误.

故选：ABC.

11.（6分）正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形.如图，正八面体

的极长为5,M为梭FC上一点,且CM=1,则（）

A.平面EDC〃平面F84B.该正八面体外接球的表面积为50n

C.二面角E-力。一尸的余弦值为一:D.异面直线?1E与BM所成角的余弦值为等

642

【答案】ABC

【解题思路】由线面平行结合面面平行判定定理判断A,再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计

算判断B,运用二面角定义得到此NF即二面角E—4D—r的平面角，再结合余弦定理求解判断C,根据线

线平行得出异面直线所成角为凡利用余弦定理计算即可判断D.

【解答过程】对于A,由正八面体的性质，ED//BF,BFu平面F84,EOU平面FB4所以£7）〃平面广84

又因DC〃48,48u平面/84DCU平面F84故。C〃平面F8A,

又£000。=。万。,0。（=平面£7北，故平面EOC〃平面广84故A正确；

对于B,连接E凡AC,设EFCAC=O,则力。即该正八面体的外接球的半径，

因40=匹署=苧，则该正八面体的外接球的表面积为：4TTX（¥）2=50TT,故B正确;

7/16

对于C,取4"中点/V,连接七N,FN,易得ENLAD/NJ.AD,则2EN产即二面角“一八"一”的平面角,

因正八面体E48CD尸的棱长为5,则EN=FN=苧,EF=5«,

由余弦定理，可得cos4ENF=空上要击空=-g,故CE确；

"T"

对干D,因打7/4E,故NBM尸为异面直线AE与BM所成的角，

又因CM=1,FM=4,乙BFM=*

由余弦定理，BM=52+42-2x5x4xcos/怎,

则coszBMF="+（历匕52=等,故D错误.

2X4X&I14

故选：ABC.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)设48是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=黜⑻=》(而)=之则P(4U8)=________.

«3O

【答案】I

JL4

【解题思路】利用对立事件的概率公式求出P(B),再利用互斥事件的加法公式求出尸(4B),最后结合并事件

的概率公式求解即可.

【解答过程】由对立事件的概率公式得P(B)=1-P(®)=1-；=g

由互斥事件的加法公式得PQa)=P(A)-PQ4B),

而P(4)=j,P(AB)=得到］=g-P(4B),解得P(4B)=

由并事件的性质得PQ4UB)=P⑷+尸(8)一尸(48)"+・

J*rO

故答案为:M

13.(5分)衡阳市一中高一某班45名学生成立了X、3两个数学兴趣小组，X组25人，8组20人，经过

8/16

一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，力组的平均成绩为82分，方差为8,B组的平均成

绩为86.5分，方差为2,则在这次测试中全班学生成绩的方差为.

【答案】'

【解题思路】利用分层抽样的方差公式计算即可.

【解答过程】设石=82,sj=8,巧=86.5,sj=2,o)i=M

则全班学生成绩的平均数为歹=包巧+32。=|x82+^x86.5=84,

全班学生成绩的方差为s2=%[sf+G—Xi)2]+32慢+G—互)2]=£X|8+(84—82)2]+gX

[2+(84-86.5)2]=v*

«3

故答案为：y.

14.(5分)已知为直知二角形，^ACB=90°,AC=1,DC=2,。为40的中点.若点P在射线C。上

运动，则而•丽的最小值为.

【答案】Y

【解题思路】以点C为原点，建立平面直接坐标系，得直线C。的方程为y='，设点P(%1x)QZO)，利用

数量积的坐标运算得加•丽二部一生+2,最后由二次函数卬可求解.

【解答过程】由题意：以点。为原点，建立平面直接坐标系，则4(0,1),8(2,0)刀(1,3，

/1

设

产fz>O

所以直线CD的方程为y=》,l%-X(X-

\2v

所以CP=(%—l,|x—=(x-

所以丽.而=(%_1)(%_2)+1x(lx_J=%2_%+2=淞一•一总,

当才=得时，前•前的最小值为：一卷.

故答案为：一总.

CIx

9/16

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛现将竞赛得分在75〜100分(满分：100分)

的学生成绩进行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图.

(I)求a的值，并估计统计数据的上四分位数；

(2)据统计，本次竞赛在［90,95)内得分的平均数为93,方差为10；在［95,100］内得分的平均数为97,方差为

8,求在［90,100］内得分的平均数与方差.

【答案】(1)0.03：89.375

(2)94；12.5

【解题思路】(1)根据频率分布直方图的性质求得，利川上四分位数的定义列式求解：

(2)不同区间的平均数和方差，可根据加权平均数和方差的计算公式进行求解.

【解答过程】(1)由频率分布直方图的性质，知所有矩形的面积和为1,

所以(0.02+0.06+0.08+a+0.01)x5=1即(0.17+a)x5=1,解得：a=0.03

因为(0.02+0.06)x5=0.4<0.75,(0.02+0.06+0.08)x5=0.8>0.75

故四分位数区间一定在［85,90)内

设四分位数为％,则0.4+(%-85)x0.08=0.75,解得:x=89.375

(2)［90,95)的频率：0.03x5=0.15

［95,100］的频率：0.01x5=0.05

因此，［90,95)与［95,100］的数量比为0.15:0.05=3:1

设［90,95)有3m个数据，［95,100］有m个数据，m>0

已知［90,95)内得分的平均数为元=93,［95,100］内得分的平均数为，=97

则［90,100］的平均数2为3喘:77=誓=94

根据方差的性质得：si=阻0+(93-94)2］++(97-94)3］=誓=4=12.5.

16.(15分)已知复数z=(m2+m—2)+(4—根2)力mGR,i是虚数单位.

10/16

(1)若复数Z是纯虚数，求〃［的值：

(2)当租=-1时，复数z是关于x的方程*2+p》+q=0的一个根，求实数”，q的值.

【答案】(1)1

(2)p=4,q=13

【解题思路】(1)若复数是纯虚数，则其实部为0,且虚部不为0,据此列出方程组即可求出〃?的值；

(2)根据实系数一元二次方程虚根互为共轨求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出Dg的值.

【解答过程】⑴因为复数2=(病+加一2)+(4—7712)唬纯虚数，所以屋;

由机2+机—2=(TH—l)(?n+2)=0,解得m=1或m=-2.

当m=1时，4一瓶2=3石0,符合要求；

当布=一2时，4-?n2=0,不符合要求，舍去，

所以加的值为1；

(2)当m=-l时，复数z=-2+3i,

由题意知复数z=-2+3i是关于x的方程/+px+q=。的一个根.

因为方程必+px+Q=0的系数p,q为实数，

所以方程的另外一个根是z的共扼复数万=-2-3i.

所以由韦达定理可得｛(7比萄，二斤刖：了.

解得｛湾11

17.(15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概

率都是:，乙答对每道题目的概率都是1对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；

(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率.

(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直.抽题到第3次为止，

求甲、乙两人只有一人通过面试的概率.

【答案】(1年

。若

【解题思路】(1)利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互乐事件加法公式即可求解；

(2)先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然

后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.

11/16

【解答过程】(I)设&="甲答对3道题目”，42=”甲答对2道题目”

“=”乙答对3道题目”，B2="乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，

,.2228”,、c2214

P(A^=-x-x-=-,P(^2)=3X-X-X-=-,

Illi133

P(^i)=ix-x-=i，P(B2)=36)=-,

设4为“甲、乙两人共答对5道题目”，

则4=(4$2)UGM。,因为4%与力%互斥，41与&,42与a分别相互独立，P(力)=P(Ai&)+P(.A2B1

)=P(4i)P(&)+P(42)尸(%)+=i

所以甲、乙两人共答对5道题目的概率也

(2)C="甲通过面试”，。="乙通过面试”，C与。相互独立，

P(0=l-P(C)=l-1x|x|=^,

_1117

P(D)=l-P(D)=l--x-x-=-

ZZZo

E="甲、乙两人只有一人通过面试“，则£=(C0UC。)，因为应与切互斥，

C与a。与。分别相互独立，

P(E)=P(CDUCD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P©P(D)

2611711

=—x—+—x-=—

27827872

所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率

18.(17分)如图1,在矩形48CD中，AB=2,AD=W，将△8CO沿8。翻折至△BCQ，且4G=1，

如图2所示.

图2

(1)求证：平面力8CJ平面4G。；

(2)求点Cj到平面ABD的距离&

(3)求二面角心一B0-力的余弦值

【答案】(1)证明详见解析

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⑵d=f

祕

【解题思路】（1）根据勾股定理可证AC】_LBCi，再结合线面垂直的判定定理可证BCi_L平面4GD,然后

根据面面垂直的判定定理证明即可；

（2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可；

（3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可.

【解答过程】（1）由题得，在△ABG中，ACl+BCl=AB2,所以力QJ.8C1.

又因为矩形力BCD,所以DQlBCi.

因为4的nDQ=Ci，力。1（=平面4（；1。，DCiU平面4C1D,

所以8%1平面4%。.

又BCiU平面ABCi，所以平面/BQJ•平面低也

（2）在△4DC1中，AD2+ACl=DCl，所以AD14的，所以gx4Dx力的=亨.

在直角△ABD中，S^ABD=^xADxAB=y/3.

由⑴知BQJ.平面AC1。,所以点B到平面4G。的距离为8cl.

设点G到平面的距离为以

由V三极锥CL/180=V=榜镭B_4CW，得gXS&ABDx|XS^AJDXBC],

所以d=¥^=苧.

'△ABD2

（3）如图，在平面。避0内作的E_LBD于点E,在平面48的内作C/J.A8于点凡连接ET.

由（2）知AZ）_LACi，A。J.4B,又力8nAe1=4，4的卅8u平面48Q,所以40_L平面ABG，

因为CFu平面4BC1，故力DJLCiF.

因为Ci尸148,ABC\AD=A,4B/Du平面/8D,所以C^l平面A8D.

又BDu平面4B0,所以CiF_LB。，

因为CiE_LBD,CiECgF=Ci，CI£GFU平面CiEF,所以CD_L平面gEF,

13/16

又EFu平面QE凡所以8。IE凡又CiE18。,

所以NCiEF为二面角的一80-4的平面角.

因为Sag=/C]xBQ=\ABxC/,所以"lxe制x2xJF,解得C/=冬

因为GF1平面ABO,又EFu平面力8。，故GFJLEF,

EF

所以cosz<iE/7=—.

由题意知直角三角形QB。中,BD=J22+(V3)2=V7,siMgBD=鲁=.,

故"二眄・sinN08Ci=亨，又CJ=与,则EF=，的/一的产二篇，

EF4

所以cosGfF=—=-,

故二面角G—B。一A的余弦值为*

19.(17分)如图所示，设Ox,。>，是平面内相交成。(0V8vn,6吗)角的两条数轴，药，豆分别是与x

轴，丁轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为。仿射坐标系，若在。仿射坐标系下两二》万+y英,

则把有序数对(x,y)叫做向量殖的仿射坐标，记为而？=(x,y).

0ax

⑴若8=右0M=el+2eJ,求。M的模；

(2)若J=}府=/久+y面，砺=小瓦+丫2皎，有同学认为“万？JL丽”的充要条件是“打工2+月及=0"，

你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；

(3)在。仿射坐标系下，设万？=(3,1),方=(1,1),Z.AOB=a,若|瓦？一t布|2百对VtWR恒成立，求。的

范围及sina的最小值.

【答案】⑴6

(2)不正确，理由见解析；

(3片sina的最小值为年.

【解题思路】(1)利用向量的