湘教八年级数学下册一课一练-直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 同步练习

第1章直角三角形

1.1直角三角形的性质和判定（I）

基础过关全练

知识点1直角三角形的两个锐角互余

1.（2022湖南张家界永定期中）在RsABC中，NC=90。，ZB=50°,则NA=（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

2.在RSABC中，ZC=90°,ZA=1ZB,则N8=.

知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形

3.在△ABC中，已知N4=20。，ZB=70°,则△48。是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

4.如图，在△A8C中，ADLBC,N1=N8.求证：△A8C是直角三角形.

知识点3直角三角形斜边上中线的性质

5.（2022广西防城港期中汝1医，公路八C,BC互相垂直，公路八8的中点〃与点。被湖隔开.

若测得A8的长为12km,则M、。两点间的距离为（）

A3kmB.4kmC.5kmD.6km

6.如图，已知在RSA8C中，8。为斜边AC上的中线，若/DBC=55。,则NA=.

知识点4含30。角的直角三角形的性质

7.（2022广西桂林龙胜期中）如图，在△ABC中，NC=90。,NA=30。,A8=8,则BC的长度是（）

c

A.4B.4A/2C.4V3D.16

8.如图，在RSABC中，BC1AC,NA=30。，CB\LAB,BiCilAC,若AB=2,则BICI=.

f变式1］如图，在等边三角形ABC中，BC=2,7）是AB的中点，过点。作。nLAC于点F,

过点F作EFA.BC于点E,则BE的长为（）

A.lB.-C.-D.-

243

［变式2］如图，△48C是等边三角形，。是8c延长线上一点，DELAB于点、E,OE交AC于

点G,作E7LL8C于点E若C£>=3A£,CF=6,则AC的长为.

9.如图，一艘轮船自西向东航行，在4处测得小岛P在北偏东75。方向上，航行7海里后到达

8处，在3处测得小岛尸在北偏东60。方向上，若小岛尸周围3.8海里内有暗礁，则该轮船继

续向东航行，有无触礁的危险?请说明理由.

AR

能力提升全练

10.（2022湖南岳阳中考汝I图，已知/〃A8,CO_L/于点O,若NO40。，则N1的度数是（）

11.（2021福建中考）如图，某研究学习小组为测量学校A与河对岸工厂8之间的距离，在学校

附近选一点C,利用测量仪器测得N4=60。，NC=90。，AC=2km.据此可得学校与工厂之间的

距离AB等于（）

A.2kmB.3kmC.2V5kmD.4km

12.（2022湖南邵阳新邵期中）如图,CD是△ABC的中线,ZACB=90°,ZCDB=100°,则NA

等于（）

1001

D

13.（2021新疆中考）如图,在RSA8C中,ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,COJLAB于点。，E

是48的中点，则DE的长为（）

H

A.lB.2D.4

14.（2022湖南长沙一中教育集团期中）如图，在△A8C中，NACB=90。，CO是A8边上的中线

，且。。+A6=12,则A8的长为

15.（2022贵州贵阳期末）如图,△ABC是直角三角形,ZACB=90°,ZBAC=30°,805cm.以

点4为圆心，A3长为半径画弧，交8c的延长线于点0,则A。的长为cm.

A

16（2022湖南岳阳临湘六中月考）如图，在△4AC中，NACA=90。，AE平分NC4&CDLAB,

AE与CO相交于点反

⑴若NOC8=50。，求NCE尸的度数;

(2)求证：ZCEF=ZCFE.

素养探究全练

17.如图，在RQA8C中，NC=90。，乙4二30。，8C=12cm.动点尸从点A出发沿A8向点8运

动，到达8点时停止，动点。从点8出发，沿BC向点C运动，到达C点时停止，如果动点

P以2cm/s,动点。以1cm/s的速度同时出发,设运动时间为《s）,解答下列问题:

⑴当，为多少时，APBQ是等边三角形?

⑵点P、。在运动过程中，的形状不断发生变化，当，为多少时，APBQ是直角三角

形?请说明理由.

第1章直角三角形

1.1直角三角形的性质和判定(I)

答案全解全析

基础过关全练

1.C在RsABC中，ZC=90°,则NB+NA=90。，

VZB=50°,AZy4=90o-50°=40°,故选C.

2.54°

解析设N5=x,则・・・//l二90。，解得x=54。，即N8=54°.

33

3.BVZA=20°,NB=70。,：.Z/l+ZB=20o+70o=90°,，ZXABC为直角三角形，故选B.

4.证明VADIBC,・・・NAOC=90。，AZ1+ZC=90°,

VZ1=ZB,AZB+ZC=90°,

•••△ABC是直角三角形.

5.DVAC1BC,・・・NAC8=90。，、•点”是AB的中点，：.CM=-AB=6km,故选D.

2

6.35°

解析由题意得NABO90。，.・.NA+NC=90。，・.,B。为斜边AC上的中线，・・・3O=CZ),・・・N

Q

C=ZDBC=55f：.ZA=900-ZC=90°-55°=35°.

7.AVZC=90°,ZA=30°,：.BC=-ABVAB=8,；.BC=4,故选A.

2f

8-

□

解析•・・BCJ_AC,ZA=30°,AB=2,

・・・8。48=1,ZB=60°,

2

VCBi±/AB,AZCBiB=90°,

・・・NBCBi=30。，

BBi=-

22

；・AB尸AB-BBi上,

2

VBiCilAC,・・・NACIBI=90°,又NA=30。，

/.^iCi=-nai=

24

[变式1]C,••△43。为等边三角形，・・・/4=/06()。，AB=AC=BC=2f^DFA.AC,FELBC,

・•・NAFD=/CEF=90。,:.ZADF=ZCFE=30°,

：.AF=-AD,CE=-CF

22f

•・•点。是A3的中点，：.AD=\：.AF=-

f2f

:・CF上,.\CE=-,

24

：.BE=BC-CE=2--=

44

故选c.

［变式2110

解析:△ABC为等边三角形，

:・AB=BC=AC,ZA=ZB=ZACB=60°f

VDE1AE,・・・NAEG=90。，

:,ZAGE=30\，NCGD=30。,

.：/ACB=/CGDMD,/.ZP=30°,：.CG=CD.

设AE=x,贝ljC£>=3x,：.CG=3xf在对△AEG中,

AG=2AE=2xf.\AB=BC=AC=5xf

/.BE=4x,BF=5x-6,

在Rl/kBEF中，ZBEF=30°,

・・・BE=2BF,艮［34x=2(5x-6),

解得x=2,AC=5x=10.

9.解析有触礁的危险.

理由：如图，过尸作PD_L直线于点。，

北|北,P

4ab

易知A8=7海里，ZPAB=15°,/PBD=30°,

・•・ZAPB=\50,

:./APB=/PAB,

：.PB=AB=7海里，

・；/PDB=90。,/PBD=30。,

・・・/。=7"=3.5海里，V3.50.8

・••该轮船继续向东航行，有触礁的危险.

能力提升全练

10.C在RSCOE中，ZCDE=90°,Z£)CE=40°,

则NCED=9()°-4()°=5()°,

・・・N1=NCEO=50。，故选C.

ll.DVZA=60°fZC=90°,AZB=30°,VAC=2km,・・.4B=2AC=4km.故选D.

12.C・.・C。是△A/C的中线，NAC8=90。，

：.CD=-AB,AD=-AB,：.CD=AD,：.ZA=ZACD,

22

VZA+NACD=ZCDB=100°,

.•.2ZA=100°,即NA=50°.

13.AVZACB=90°,ZA=30°,I.N8=60°,

IE是AB的中点,AB=4,

：.CE=BE=-AB=2

2t

•••△HCE为等边三角形，

'JCDLAB,

：.DE=BD=-BE=l,故选A.

2

14.8

解析在RS/WC中，NAC6=90。，CO是A6边上的中线，则VCD+AB=12,

2

UB+A8=12,解得A8=8.

2

15.10

解析VZ4CB=90°,N84C=30。，BC=5cm,・・.A8=2BC=10cm.：以点A为圆心，AB长为

半径画弧，交BC的延长线于点D,・・・AO=A8=IOcm.

16.解析(1)・・・CD_LA6，・・・NDCB+/B=90°,

・・・ZACB=90°f

・・・NC48+N8=9