重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（三）人教版（含答案）

重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）（2025秋•台江区校级期末）若於是最简二次根式，则a的值可以是（）

1

A.-B.2C.4D.8

2

2.（4分）（2025春•丹江口市期末）下列计算中正确的是（）

A.x（16=±4B.J（-3）2=-3

C.7325=-5D.7^13=-V13

3.（4分）（2022秋•高新区期末）小颖爸爸公司2022年6〜12月份销伴额增长率的变化情况如图所示，

则下列结论正确的是（）

7

6

5

4

3

2

1

0

A.6至11月份销售额逐渐减少

B.在这七个月中，6月份的销售额最大

C.在这七个月中，每月的销售额不断上涨

D.在这七个月中，销售额有增有减

4.（4分）（2024春•临高县期中）下列命题是假命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是矩形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

D.有•组邻边相等的矩形是正方形

5.（4分）估计（V6+V3）的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

6.（4分）（2024春•惠州期中）如图，矩形0/4。的边04的长为3,边/也的长为1,0/1在数轴上，以

原点。为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴正半轴于点。，则点。表示的实数是（)

D.V13

7.（4分）（2024春•东宝区校级期中）如图，在平行四边形/8CZ）中，过点。作。作。垂足为E,

过点8作8/LL4C,垂足为足若AB=6.AC=8,DE=4,则8尸的长为（）

C.2.5D.2

8.（4分）（2023秋•泉州期末）如图，这是一个长为宽BF为4cm,高4c为6c6的长方体纸

箱，P是EC的中点.点P处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点/出发沿纸箱表面爬行到点尸处吃蜂蜜，则

蚂蚁爬行的最短距离是（）

C.Gy/ScmD.2y/65cm

9.（4分）（2024春•庐阳区期末）点E是正方形48co对角线〃。上一点，连接力E,CE,过点E作PE

PC

点P在。延长线上’则靛为（)

A.2B.2&C.V2D.V3

10.（4分）已知整式A/:0nB+0n-+…+的%+。0,其中“，斯一1…，为自然数，4”为正整数,

且〃+知+如一|+・・-+田+。0=5.下列说法止确的个数是（)

①满足条件的整式“中有5个整式是单项式；

②不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且仅有3个；

③满足条件的整式"共有16个.

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.（4分）（2025春•江阳区校级月考）函数y=7三中的自变量x的取值范围是__________.

VX-2

12.（4分）（2025春•杞县月考）如图，这是关于变量x,y的计算程序，若开始输入x的值为2,则最后

输出因变量J，的值为

13.（4分）（2022春•南岗区校级月考）如图，在Rt△力8中，NO/1C=9（T,点8为力。延长线上一点,

且BD=4C,连接AC,点八£分别为4C、的中点，连接力夕、EF,当£尸=2a,4£=1时，则

BC的长度为.

14.（4分）（2025春•二道区校级期中）如图，在菱形48CO中，对角线AC、8D相交于点0,且它们的

长度分别为6和8,过点。的直线分别交4。、8c于点£、F,则阴影部分面积的和为.

15.（4分）（2024春♦莱芜区期中）44两地相距14千米，甲、乙两人都从力地去4地，图中人和力分

别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间/（小时）之间的关系.则乙出发小时后，两人

相距2千米.

s/千米

卢>二+l

16.（4分）（2025•开州区二模）若关于元的一元一次不等式组32的解集为xV・2,且关于y

4x+a<r-1

的分式方程詈-詈=2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是----------

17.（4分）（2025秋•贵阳月考）如图：在矩形力8c。中，AB=曲,ZCAD=30°,P是4。上一个动点，

过点尸作PG_L4C,垂足为G,连接4。，取8尸中点£,连接EG,则线段£G的最小值

为_______________________.

18.（4分）（2024秋•温江区校级月考）如果一个四位自然数砺的各数位上的数字互不相等且均不为0,

满足布一反=不，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129,・・・41・12=29,・・・4129是“递

减数”；又如：四位数5324,153-32=21工24,，5324不是“递减数”.若一个“递减数”为忌逅，

则这个数为：若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数次与后三个数字组成的三位

数面的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是.

三.解答题（共8小题，满分78分）

19.（8分）（2024春•曾都区期末）计算：

（1）（V3-V5）一百；

（2）J（-2）2-皿7+|4-场.

20.（10分）（2024秋•龙华区校级期中）如图，在矩形48C。中，连接彳C.

（1）请用尺规作出力。的垂直平分线，分别交力。与8C于点M,M（不写作法，保留作国痕迹）

（2）求证：四边形4WCN是菱形.

AR----------------------------------|D

*C

21.（10分）（2024•陈仓区三模）如图，在UM8CO中，4E工BD于点、E,CFLBD于点、F.求证：DF=

BE.

22.（10分）（2023春•灌云县期中）如图，在菱形48CQ中，对角线4C,8。交于点。，过点4作AFL

BC于点F,延长BC至IJ点E,使得CE=BF,连接DE.

（1）求证：四边形AFED是矩形；

（2）连接OE若48=5,OF=2,求的长.

23,（10分）（2024春•江北区校级期末）重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是

一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具.一天一群游客从酒店4处出发，到

达长江索道的入口C处，想乘坐长江索道去。处吃火锅.由于排队的乘客太多，这群游客要分成两组,

甲组选择乘坐索道从C-。，（排队时间不计）乙组选择乘坐观光车从C-8-力（排队等车时间不计），

已知点C在点力的北偏东45°方向上，点。在点C的正东方向，点8在点力的正东方向800米处，

点。在点B的北偏东60°方向上，且87）=1000米.（参考数据；y[2=1.414,V3q1.732,用=5.83）

（1）求CO的长度（精确到个位）；

（2）已知长江索道的速度是每分钟360米，观光车的速度是每分钟60（）米，请通过计算说明，哪组游

客会先到达。处？

北

西一一＞东

24.（10分）（2024秋•九江期末）某游泳俱乐部暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下:

方案一：在微信公众号注册并在朋友圈转发一次关于游泳俱乐部的信息，成为普通会员，每次游泳费用

享受9折优惠；

方案二：缴纳135元成为游泳俱乐部P/〃s会员，每次游泳费用享受6折优惠；

设某市民暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为A（元），且yi=Aix；按照方案二所需费用为”（元）,

且”="”+6，它们的函数图象如图所示.

（1）求了2的函数表达式；

（2）求打折前的每次游泳费用和质的值：

（3）某市民小张计划暑期前往该俱乐部游泳15次，应选择哪种方案所需贽用更少？说明理由.

25.（10分）（2023•农安县模拟）【感知】如图①，若/出=CDAB//CD,易证力E=QE（不用证明）；

【探究】如图②，正方形48CO和正方形CGE77的边8C、C厂在同一条直线上，点G在CO上，AE.

BD相交于点H,求证：AH=EH；

【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接C”,若8C=4,GE=2,则C〃=.

图①图②图③

26.（10分）若和△4OE均为等腰三角形，RAB=AC=AD=AE,当N/3C和//DE互余时，称

△48C与七互为“底余等腰三角形”，△ABC的边上的高力〃叫做△力。E的“余高”.如图，

△ABC与AADE互为“底余笨腰三角形”.

（1）若连结80,CE,判断△48。与是否互为“底余等腰三角形”，并说明理由.

（2）当/切C=90°时，若△XQE的“余高”4〃=3,则Z）E=.

（3）当0°VN4/1CV180。时，判断。上与力〃之间的数量关系，并说明理由.

参考答案

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）（2025秋•台江区校级期末）若仓是最简二次根式，则a的值可以是（）

1

A.-B.2C.4D.8

2

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个

条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可.

【解答】解：中被开方数含分母，则力不符合题意，

企是最简二次根式，则〃符合题意，

"=2,则r不符合题意.

强=2加,则。不符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.（4分）（2025春•丹江口市期末）下列计算中正确的是（）

A.V16=±4B.J（_3尸=-3

C.7^25=-5D.7^13=-V13

【考点】二次根式的性质与化简；立方根.

【专题】实数；二次根式；运算能力.

【答案】。

【分析】利用算术平方根的意义，二次根式的性质和立方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结

论.

【解答】解：VV16=4,

・•・力选项的运算不正确，不符合题意；

•・•代可=|-3|=3,

•••8选项的运算不正确，不符合题意；

〈J而无意义，

・・・c选项的运算不正确，不符合题意；

「於不=-VB,

选项的运算正确，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质和立方根的意义，熟练掌握上述法则与性

质是解题的关键.

3.（4分）（2022秋•高新区期末）小颖爸爸公司2022年6〜12月份销售额增长率的变化情况如图所示，

B.在这七个月中，6月份的销售额最大

C.在这七个月中，每月的销售额不断上涨

D.在这七个月中，销售额有增有减

【考点】折线统计图.

【专题】统计的应用；几何直•观.

【答案】C

【分析】这七个月中，销售额的增长率始终是正数，则每月的销售额不断上涨，据此即可判断.

【解答】解：由折线统计图可知，6〜12月份销售额的增长率始终是正数，即6〜12月份销售额在增加,

故选项/、B、。不合题意；

这七个月中，每月的销售额不断上涨，C说法正确，故本选项符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，注意在图形中纵轴表示的

是增长率，只有增长率是负数，才表示销售额减少.

4.（4分）（2024春•临高县期中）下列命题是假命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是矩形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线“相垂直平分的四边形是正方形

D.有一组邻边相等的矩形是正方形

【考点】命题与定理：线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定：矩形的判定与性质：

正方形的判定.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，即可判断.

【解答】解：月、B、。中的命题是真命题，故力、B、。不符合题意；

。、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故。符合题意：

故选：C.

【点评】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方

形的判定方法.

5.（4分）估计J1x（V6+V3）的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】根据二次根式的混合运算的方法进行计算后，再根据算术平方根的定义估算无理数或+1的大

小即可.

【解答】解：原式=@^+序£=鱼+1；

VI<V2<2,

A2<V2+1<3,

故选：A.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，估算无理数的大小，掌握二次根式的混合运算的方法以及算术

平方根的定义是正确解答的关键.

6.（4分）（2024春•惠州期中）如图，矩形的边04的长为3,边力8的长为1,04在数轴上，以

原点。为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴正半轴于点。，则点。表示的实数是（）

【考点】勾股定理；实数与数轴.

【专题】计算题：运算能力.

【答案】C

【分析】由矩形O/8C的边。力的长为3,边力8的长为1,得OB=析32+12=同,由以原点。为圆

心，对角线04的长为半径画弧，交数轴正半轴于点。，

得点。表示的实数是VTU.

【解答】解：由矩形O45C的边。力的长为3,边力6的长为1,

得OB=V32+I2=V10,

由以原点。为圆心，对角线08的长为半径画弧，交数轴正半轴于点。，

得点D表示的实数是旧.

故选：C.

【点评】本题主要考查了数轴上点的表示，解题关键是勾股定理的正确应用.

7.（4分）（2024春•东宝区校级期中）如图，在平行四边形/8CQ中，过点力作。作。从1_力8,垂足为E,

过点片作月尸_L4C,垂足为立若/iB=6.AC=8,DE=4,则8/的长为（）

A.4B.3C.2.5D.2

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质可得S△谢=?的泗地物8力结合三角形及平行四边形的面积公式计

算可求解.

【解答】解：在平行四边形4%。中，S08C=；S产行四必恻BC。，

\'DE±AB,BFLAC,

11

：-AC-BF=-xAB-DE,

22

•:AB=6,4C=8,DE=4,

・•・88产=6X4,

解得5尸=3,

故选:B.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键.

8.（4分）（2023秋•泉州期末）如图，这是一个长/也为宽BF为4cm,高4c为6c7〃的长方体纸

箱，户是EC的中点.点。处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点/出发沿纸箱表面爬行到点尸处吃蜂蜜，则

蚂蚁爬行的最短距离是（）

C.6y/5cmD.2V65c/??

【考点】平面展开-最短路径问题.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】A

【分析】把立体图形展开，根据勾股定理即可得到结论.

如图2,

F夕图2

AP=y/AD2+DP2=J62+(10+2以=675(cm),

V2V41<6V5,

・••蚂蚁爬行的最短距离是2闻“〃.

故选：A.

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中

的求两点间距离的问题：注意长方体展开图形应分情况进行探讨.

9.（4分）（2024春•庐阳区期末）点石是正方形力8co对角线4。上一点，连接川3CE,过点E作PE

PC

_L4E,点P在CO延长线上，则二7为（）

A.2B.2V2C.V2D.V3

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】过点f作"G〃AC,交力〃于点凡交C。于点G,易得四边形力R7力，四边形BCG户均为矩

形，ABFE,/XEG。均为等腰直角三角形，得到8£=鱼8尸，证明△力得到EF=GP,进

而得到PC=28凡即可得出结果.

【解答】解：过点E作尸G//BC,交AB于点F,交CQ于点G,

•:正方形4BCD,

:.AD〃BC,AB//CD,

:・AB工BC,NABD=NCDB=45°,

：.FG//BC//ADf

・•・四边形/FGQ,四边形8CG/均为矩形,

；・/AFE=/BFE=/DGE=90°,DG=AF,CG=BF,

•••△3依，△EGO均为等腰直角二角形，BF=EF,DG=EG,DE=V2DF,

:・EG=AF,

*：PELAE,

：.ZAEP=90°,

:.NAEF+NPEG=90°,

A^AEF+^FAE=W,

，乙PEG=Z1FAE,

•：EG=AF,/AFE=/DGE=90°,

:•△AFEBMGPCAAS）,

:.EF=PG,

：,BF=PG=CG,

：.CP=PG+CG=2BF,

.PC2BF

：,~BE=商?="r2；

故选：C.

【点评】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键.

nn_1

10.（4分）已知整式M：anx+an_!XH------FaYx+a0,其中〃，。入i…，的为自然数,z为正整数,

且〃+。”+。〃-1+…+〃I+QO=5.下列说法正确的个数是（）

①满足条件的整式M中有5个整式是单项式；

②不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且仅有3个：

③满足条件的整式"共有16个.

A.0B.1C.2D.3

【考点】规律型：数字的变化类；单项式；多项式.

【专题】规律型；运算能力.

【答案】D

【分析】由条件可得0W〃W4,再分类讨论得到答案即可.

【解答】解：当〃=4时，则4+。4+。3+。2+41+。0=5,

工〃4=1，。3=。2=〃1==0，

满足条件的整式有义,

当〃=3时，则3+43+42+41+40=5,

(〃3，G2，<71，<70)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1.0,1,0),(1,0,0,1),

满足条件的整式有：2A-3,X3+A2,X3+X,A3+1,

当〃=2时，则2+a2+a\+ao=5,

)(⑶⑺，ao)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),

满足条件的整式有：3X2»2A2+X»2X2+1,X^+2X,x2+2,1；

当〃=1时，则l+m+a()=5,

(671，。0)=(4,0),(3,1),(1,3),(2,2),

满足条件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x4-2：

当〃=()时，O+ao=5,

满足条件的整式有：5：

・•・满足条件的单项式有：/，2/，3A-2,4X,5,故①符合题意；

不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；

满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应川，熟练掌握以上知识点是关键.

二.填空题(共8小题，满分32分，每小题4分)

11.(4分)(2。25春•江阳区校级月考)函数y=后中的自变量》的取值范围是。

【考点】函数自变量的取值范围.

【专题】函数及其图象；运算能力.

【答案】x>2.

【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可.

【解答】解：由条件可知x-2>0,解得：3>2,

故答案为：x>2.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是根

据函数有意义列出不等式.

12.(4分)(2025春•杞县月考)如图，这是关于变量x,y的计算程序，若开始输入x的值为2,则最后

输出因变品J的值为42.

【考点】函数值.

【专题】函数及其图象；运算能力.

t答案】42.

【分析】把x=2代入xU+1),如果结果大于15就输出，如果结果不大于15,就再算一次.

【解答】解：当x=2时，x(x+1)=2X(2+1)=6<15,

当x=6时，x(x+1)=6X(6+1)=42>15,

故答案为：42.

【点评】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的关犍.

13.(4分)(2022春•南岗区校级月考)如图，在中，ND4c=90°,点8为力。延长线上一点，

且8。=4。，连接8C,点尸、£分别为8C、的中点，连接力F、EF,当EF=2a,4E=1时，则

BC的长度为_^V13_.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】2旧.

【分析】过户作于〃，得到NZMC=NBOb=90°,根据三角形中位线定理得到QP=%C,

设。得到4C=8Q=2x,根据线段中点的定义得到力0=24E=2,推出尸是等腰直角一:角形,

求得DE-D尸一2,进而求得4。一6。-4,AB-6,根据勾股定理即可求出答案.

【解答】解：过尸作于〃，

：・/BAC=/BDF=90°,

:・DF〃AC,

丁点F为8c的中点，

:・BF=CF,

,BH=AH,

：,HF=^AC,

设HF=x,

:・AC=BD=2x,

•・•点E是力。的中点，

»**AD=2AE=2t

：・BH=AU=l+x,

：.HE=AH-AE=x,

:.HF=HE,

•••△”E尸是等腰直角三角形，

■:EFS

：.DE=DF=2,

:.AC=BD=4,

:・AB=6,

：.BC=y/AB2+AC2=V62+42=2A/13.

故答案为：2m.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助

线是解题的关键.

14.（4分）（2025春♦二道区校级期中）如图，在菱形中，对角线4C、BD相交于点0,且它们的

长度分别为6和8,过点O的直线分别交力。、BC干点、E、F,则阴影部分面积的和为12.

C

A

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；运算能力；推埋能力.

【答案】12.

1

【分析】由菱形的性质得/1C18D,OC=O/1=24。=3,AD//BC,所以N4EO=NC7Y),而8。=8,

则底(功=y。・。。=12,可证明△〃抽：出△COF,则S~/OE=SMS，推导出Saooc+S。。6saSOLS

△88=12,于是得到问题的答案.

【解答】解：•・•四边形彳8c。是菱形，对角线47、8。相交于点O,且力。=6,BD=8,

：.ACLBD,OC=OA=^AC=3,AD//BC,

/.ZAE()=NCFO,S&CDB=次。・0C=4x8X3=12,

在和△CO/7中，

Z.AOE=Z.COF

AAEO=Z.CFO,

OA=OC

:.△AOEmACOF(AAS),

:.S4AOE=SKOF，

*,•S.DO廿s“O肚sxBOF=sADOC^SdCO/SxBOF=S4CDB=\2，

故答案为：12.

【点评】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△/Ofg/XCOF是解题的

关键.

15.(4分)(2024春•莱芜区期中)力，4两地相距14千米，甲、乙两人都从<地去4地，图中人和“分

别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间/(小时)之间的关系.则乙出发1小时后，两人相

距2千米.

【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【答案】1.

【分析】根据函数图象求出甲、乙的速度，再设乙出发/小时后两人相距2千米，求解即可.

【解答】解：根据函数图象可知：/甲=导=4(km/h),H乙=¥=6(km/h),

设乙出发/小时后，两人相距2千米,

VJ,3两地相距14千米，他们相遇在12千米处,

1V2,

.*.4(/+1)-6/=2,

*,*/=1；

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，准确分析函数图象求解是解题的关键.

卢>2+1

16.（4分）（2025•开州区二模）若关于x的一元一次不等式组32的解集为xV-2,且关于y

4x+a<x—1

的分式方程詈一言=2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是3

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组.

【专题】分式方程及应用：一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】13.

【分析】需要先分别求解一元一次不等式组和分式方程，再根据已知条件确定。的取值范围,进而求出

满足条件的整数。的值并求和.

（£±2x

【解答】解：求解不等式组32

4x+a<x—1

x+2x

解不等式〒>3+1得，xV・2,

解不等式4x+“Vx-1得，

•・•不等式组的解集为xV-2,

・・.aW5,

a+2y+2“r/qa+2

-----=2,解得产

y—1y—13.

•・•分式方程的解为整数，

Q।2

用一>0,解得。>-2,

•・•分母不能为0,即V-1W0,

Q।2

1W0,解得。W1,

・••综合以上，a的取值范围是-2VaW5且QWI,满足条件的整数。为-1,0,2,3,4,5,

・•・他们的和为-1+0+2+3+4+5=13,

故答案为；13.

【点评】本题综合考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解与应用，熟练掌握以上知识点是

解题的关键.

17.（4分）（2025秋•贵阳月考）如图：在矩形/8CO中，AB=M,/。。=30°,尸是上一个动点,

过点尸作PGUC,垂足为G连接枕’取初中点区连接尾,则线段£G的最小值为.

【考点】矩形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质：含30度角

的直角三角形；三角形中位线定理.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力.

【答案】v-

4

【分析】延长PG,使得PG=G0,连接80,AQ,由PGJ_/IC,PG=GQ,得4G垂直平分尸。，NAGP

=N4G0=9O°,然后证明R:△/GQgRt△/GP（〃£）,所以N3G=NP4G=NC4O=30°,从而可

得N助0=30°,则有点。在定直线上，当8。最小时，EG有最小值，即8Q_L/i。时，80最小,然

后通过含30“角的直角三角形的性质，中位线定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

：.AQ-AP,

在RtZ\4G。和中，

(AG=AG

UQ=4尸’

.'.RtAJG0^RtAJGP(HL),

/.ZQAG=ZPAG=ZCAD=30°,

：,ZQAP=60°,

：,ZBAQ=30<>,

・••点0在定直线上，

•・♦£是80的中点，

LGE二BQ,

当80最小时，EG有最小值，

・•・当8Q_L40时，80最小，如图2,

此时8。=/力8=等，

EG的最小值为:x孚=”，

224

故答案为：V-

4

【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，

含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，解答本题的美键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性

质.

18.（4分）（2024秋•温江区校级月考）如果一个四位自然数丽的各数位上的数字互不相等且均不为0,

满足前一反=不，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129,,Fl-12=29,・・・4129是“递

减数”：又如:四位数5324,・••53-32=21224,・・・5324不是“递减数”.若一个“递减数”为后调，

则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数而与后三个数字组成的三位数研

的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是8165.

【考点】整式的加减.

【专题】计算题；新定义；整式；数据分析观念.

【答案】4312：8165

【分析】根据递减数的概念列方程求。的值，根据递减数的概念先求得10。・9b・Uc=d,然后根据题

意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值.

【解答】解：由题意可得10a-3-31=12,

解得。=4,

••・这个数为4312,

由题意可得，10a+b-(1Ob+c)=1Oc+d,

整理，可得10<z-9Z>-\\c=d,

一个“递减数”的前三个数字组成的三位数赤与后三个数字组成的三位数面的和为：

100«+10/>+c+100/H-1Qc+d

=1OOa+1Ob+c+\OOA+l0c+\0a-9b-\lc

=110a+101/J

=99Ca+b）+Ua+2b,

又•・.一个“递减数”的前三个数字组成的三位数嬴与后三个数字组成的三位数矶的和能被9整除,

lla+2b

・•・一--是整数，且aWbWcW",l《aW9,1W6W9,1WCW9,0W4W9,

。=9时,原四位数可得最大值，此时6只能取0,不符合题意，舍去，

当”=8时，b=\,此时71・llc=d,

c取9或8或7时，均不符合题意，

当c取6时，d=5,

・•・满足条件的数的最大值是8165,

故答案为：4312；8165.

【点评】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键.

三,解答题（共8小题，满分78分）

19.（8分）（2024春•曾都区期末）计算：

（1）（V3-V5）-V3；

（2）J（-1）2-V^+14-廊

【考点】实数的运算.

【专题】实数；运算能力.

【答案】（1）-V5：（2）6.

【分析】（1）首先去掉小括号，然后根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可；

（2）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

【解答】解：（1）（V3-V5）-V3

=V3—y/S—x/3

=>/3—y/3—x^5

=-V5.

(2)J(-1)2-+|4-、函

=1-(-3)+|4-6|

=1+3-»-2

=6.

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一

样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级

运算要按照从左到右的顺序进行.

20.（10分）（2024秋♦龙华区校级期中）如图，在矩形48CO中，连接力C.

（1）请用尺规作出/C的垂直平分线，分别交力。与3c于点“，N；（不写作法，保留作图痕迹）

【考点】作图一基本作图；全等三角形的判定与性质：线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性

质.

【专题】矩形菱形正方形；尺规作图：几何直观；应用意识.

【答案】（1）见解答.

（2）见解答.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可.

（2）由线段垂直平分线的性质可得4N=CN,AM=CM,OA=OC,结合矩形的性质、全等三角形的判

定证明△4WO四△CV。，可得BPAN=CN=Ayf=CM,从而可得四边形4WCN是菱形.

【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求.

（2）证明：•・•直线MN为线段4C的垂直平分线,

:.AN=CN,AM=CM,OA=OC.

•・•四边形为地形,

：,AD//BC,

：,ZAMO=ZCNO,ZMAO=ZNCO,

:.△AMO@l\CNOCAAS),

：・AM=CN,

:・AN=CN=AM=CM,

・•・四边形4UCN是菱形.

【点评】本题考查作图一基本作图、线段垂宜平分线的性质、菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的

判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.(10分)(2024•陈仓区三模〕如图，在UU3CO中，AE上BD于点、E,CF上BD于点、F.求证：DF=

BE.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；多边形与平行四边形：推理能力.

【答案】证明见解析.

【分析】由平行四边形的性质推出CO〃"，CD=AB,由平行线的性质推出NC。/=//1此,由垂直

的定义得到NCFO=N4E8=90°,即可证明△CEQgZX/IEBCAAS).

【解答】证明：•・•四边形/8CO是平行四边形，

:,CD〃AB,CD=AB,

ZCDF=NABE,

•:CF上BD于点、F,4E工BD三点、E,

:・NCFD=NAEB=90°,

在△CFO和△力房中，

ZCDF=乙ABE

乙CFD=Z.AEB,

CD=AB

:.XCFDmXAEB(AAS),

:,DF=BE.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出△

CFD^/\AEB（AAS）.

22.（10分）（2023春•灌云县期中）如图，在菱形力中，对角线力C,4。交于点O,过点力作AF±

BC于点F,延长3C到点E,使得CE=8G连接。£

（1）求证：四边形力尸£力是矩形；

（2）连接OF,若4B=5,。尸=2,求BO的长.

【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；坦形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】（1）见解答；（2）2团.

【分析】（1）根据菱形的性质得到旦％Q=8C,再证8C=E凡推出四边形力人即是平行四边

形，根据矩形的判定定理即可得到结论：

（2）由直角三角形斜边上的中线性质得0F=%C=O4=G再由勾股定理得。8=2花，即可得出答

案.

【解答】（1）证明：•・•四边形48CQ是菱形，

:.AD〃BC且AD=BC,

VCE=BF,

:.BC=EF,

；,AD=EF,

'：AD//EF,

••・四边形力反。是平行四边形，

mBC,

:・/AFE=9C,

・•・平行四边形4尸£9是矩形；

（2）解：•••四边形48C。是菱形，

：,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

由（1）可知，ZJFC=90°,

：,OF=^AC=OA=2,

在中，OB=y]AB2-OA2=V52-22=京,

：.BD=2OB=2y/21.

【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性

质，勾股定理等知以；正确的识别图形是解题的关键.

23.（1（）分）（2024春•江北区校级期末）重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是

一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具.一天一群游客从酒店4处出发，到

达长江索道的入口C处，想乘坐长江索道去。处吃火锅.由于排队的乘客太多，这群游客:更分成两组,

甲组选择乘坐索道从C-O,（排队时间不计）乙组选择乘坐观光车从—力（排队等车时间不计），

已知点C在点力的北偏东45c方向上，点D在点C的正东方向，点8在点力的正东方向800米处，

点。在点8的北偏东60°方向上，且8。=1000米.（参考数据：1.414,旧右1.732,回之5.83）

（1）求CO的长度（精确到个位）；

（2）已知长江索道的速度是每分钟36（）米，观光车的速度是每分钟60（）米，请通过计算说明，哪组游

客会先到达。处？

北

西一一＞东

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形：解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【答案】（1）1166米：（2）应选择乘坐观光车.

【分析】（1）依据题意，作。历_1_44于A/,8N_LC。于N,推出四边形M4NC是矩形，得到CM=8M

CN=MB,求出4N=/8Z）=/xl000=500（米），由锐角的正切定义求出。N的长，由△4WC是等腰直

角三角形，得到4M=GW=BV,求出MB的长，即可解决问题：

（2）依据题意，分别求出乘长江索道，观光车所用的时间，即可判断.

【解答】解：（1）如图，作于BNLCD于N,

'：CD//AB,

••・四边形M8NC是矩形，

:.CM=BN,CN=MB,

VZDBN=60°,

・・・NO=30°.

/.^BD=1x1000=500（米），

VtanZWD=^=V3,

・・・ON=500百（米）.

VZCAM=45°，

••・△力MC是等腰直角三角形.

：.AM=CM=500（米），

：.MB=AB-AM=3^（米），

••・CQ=CN+NQ=300+5006*1166（米）.

（2）由勾股定理得到BC=V/4C2+MB2=100734（米），

.,.5C+5£）=1000+100V34«1583（米）,

二乘坐观光车的时间是1583260022.64（分钟），乘长江索道的时间是1166+360-3.24（分钟）.

・♦・应选择乘坐观光车.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用一方向角问题，勾股定理的应用，关键是通过作辅助线构

造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题.

24.（10分）（2024秋•九江期末）某游泳俱乐部暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下：

方案一：在微信公众号注册并在朋友圈转发一次关于游泳俱乐部的信息，成为普通会员，每次游泳费用

享受9折优惠：

方案二：缴纳135元成为游泳俱乐部P会员，每次游泳费用享受6折优惠；

设某市民暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为V（元），且乃=为小按照方案二所需费用为”（元）,

且它们的函数图象如图所示.

（1）求”的函数表达式；

（2）求打折前的每次游泳费用和大的值；

（3）某市民小张计划暑期前往该俱乐部游泳15次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【答案】（1）>'2=30X+135；

（2）打折前的每次游泳费用50元,抬=45；

（3）选择方案二，理由：

由（1）（2）知巾=45