2026年高考一轮复习讲义：空间点、直线、平面之间的位置关系（复习讲义）附答案

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

【课标要求】1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、

平面的位置关系的定义2了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

j-------------------------------------------------落实主干知识-------------------------

I.基本事实1：过的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线.

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

2.“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2：经过两条直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条直线，有且只有一个平面.

3.空间中直线与直线的位置关系

(直线:在同一平面内，有且

只有一个公共点；

共面直线，

直线:在同一平面内，

1没有公共点；

异面直线:不同在一个平面内，

、没有公共点.

4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

相交一个

直线与平面---a

平行A_/一个

在平面内%~--。/一个

平面与平面平行__7一个

A_/

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角.

6.异面直线所成的角

（1）定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线"〃a,h'//b,我们把直线优与力所

成的角叫做异面直线。与〃所成的角（或夹角）.

（2）范祠：.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打.“4”或“X”）

（1）没有公共点的两条直线是异面直线.（）

（2）直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.（）

（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（）

（4）两两相交的三条直线共面.（）

2.用符号表示“点A不在直线加上，直线〃2在平面［内”，正确的是（）

A.46阳，muaB.A。/”，m^a

C.4QinuaD.AQ〃bm^a

3.（多选）卜.列命题正确的是（）

A.空间任意三个点确定一个平面

B.一个点和一条直线确定一个平面

C.两条相交直线确定一个平面

D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面

4.如图，在正方体A8CQ-A山Ci"中，M,N分别为棱8c和棱CG的中点，则异面直线AC和MN所成的

角为.

国微点提醒

（1）异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的

角，也可能等于其补角.

j----------------------------------------探究核心题型---------------------------1

题型一基本事实的应用

例1已知在正方体ABCQ-AiSGQ中，E,“分别为。Ci，G所的中点，ACQBD=P,4GnEF=Q.求

证：

(1)0,B,F,E四点共面;

⑵若AC交平面O8FE于点R,则P,Q,R三点共线；

(3)D£,BF,CG三线交于一点.

思维升华共面、共线、共点问题的证明

(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)共点:先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点

跟踪训练1如图，已知空间四边形A8CO,E,尸分别是A8,8。的中点，G,〃分别在C。和AO上,

且满足空=空=2.求证:

(1)E,F,G,”四点共面;

Q)EH,FG,4力三线共点.

题型二空间位置关系的判断

例2（1）（多选）下列推断中，正确的是（）

A.若MWa,MGb«n/?=/,则MW/

B.若aCQ=l,aua,bu/3,aC\b=A,贝ijA£/

C」Qa,

D.A,B,CGa,A,B,C",且A,B,。不共线=>a,用重合

（2）（多选）如图，在正方体A4CQ-A出iGdH」，。为正方形A4C。的中心，当点P在线段BG上（不包含

端点）运动时，下列直线中一定与直线0P异面的是（）

A.A8B.4C

C.AxAD.AD

思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体（如长方体、空间四边形等）模型来

判断二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平

面内不经过点8的直线是异面直线

跟踪训练2（1）空间中有三条线段48,BC,CD,^ZABC=ZBCD,那么直线A8与CO的位置关系

是（）

A.平行

B.异面

C.相交或平行

D.平行或异面或相交均有可能

⑵若直线八和，2是异面直线，6在平面a内，&在平面夕内，/是平面a与平面夕的交线，则下列结论

正确的是（）

A.I与II,/2都不相交

B./与/2都相交

C./至多与/2中的一条相交

D./至少与人,，2中的一条相交

题型三异面直线所成的角

例3（1）在正方体ABCD-AIiG"中，E为80的中点，则直线囱石与4。所成的角为（）

A.30°B.6O00120°D.1500

（2）如国，已知正四棱锥RA8CZ）的所有棱长均为2,E为棱小的中点，则异面直线5E与PC所成角

的余弦值为（）

思维升华异面直线所成角的求法

方法解读

将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的

平移法

平行线或者作平行线，形成三角形求解

在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相

补形法

应的位置，形成三角形求解

跟踪训练3（1）（2025•崇明模拟）已知底面半径为1的圆柱，。是其上底面圆心，A,B是下底面圆周上

两个不同的点，8C是母线.若直线0A与8c所成角的大小为:，则8C=.

（2）如乳在长方体/WCZMBGDi中，A8=8,AD=6,异面直线8。与AG所成角的余弦值为占则该

反方体外接球的表面积为（）

A.90TCB.196n

口137211

C.7847r

3

答案精析

间的位置关系

落实主干知识

1.不在一条直线上两个点一条

2.相交平行

3.相交平行任何

4.aC\a=A1a//a0aua无数

a//P0aC\fi=l无数

5.相等或互补

6.(2)(0,5

自主诊断

l.(l)X(2)X(3)X(4)X

2.A3.CD4.60°

探究核心题型

例1证明⑴如图所示，

连接B5.因为即是△CQiB的中位线,

所以EF//BD.

在正方体A8CD-A山IGOI中，B\D\〃BD,

所以EF〃BD,

所以EF,8。确定一个平面，

即D,8,P,E四点共面.

(2)在正方体ABCD-4BCD中,连接4C,

设4,C,G确定的平面为a,

又设平面BDEF为，

因为QW4G,所以Q£a

又QWEF,所以Q£/?,

所以0是a与夕的公共点，

同理，P是a与夕的公共点.

所以柏或二PQ.

又AC%/?,

所以R£4C,RWa,且RW］工

则REPQ，故P,Q,R三点共线.

(3)因为EF//BD且EF<BD,

所以DE与8F相交，设交点为M,

则由MGDE,OEu平面OiDCG,

得平面D.DCC,,

同理，仞£平面BiBCG.

又平面QQCGn平面BiBCC尸CG,

所以W&CG.

所以DE,BE,CCi三线交于一点.

跟踪训练1证明(1)因为E,产分别为A8,8C的中点，

所以EF//AC.

又因为黑=需，

GDHD

所以GH//AC.

所以EF〃GH,

所以E,尸，G,”四点在同一平直内，

即E,r，G,”四点共面.

(2)因为E，尸分别为AB,BC的中点，

所以EF//AC,EF=^AC.

由题意知老二黑二2,HG//AC,HG^-AC,

GDHD3

所以四边形E/G”为梯形，直线EH和"G必相交，设交点为M,

即EHC\FG=M,

因为E〃u平面A3。，

所以点平面A8D,

同理可得点MW平面BCD.

又因为平面A8£)n平面BCD=BD,

所以点MW直线BD,

所以直线EH,FG,BD三线共点.

例2(l)ABD［对于A,因为MEa,夕，MlQ=/，由基本事实3可知"日，A对；

对于B,若aua,buB,aC\b=A,

贝ljA£a,,因为aC6=l,所以AW/,B对；

对于C,若，则有/Qa"日，但,C错；

对于D,有三个不共线的点在平面a,/，中，故a,/，重合，D对.］

(2)BCD［对于A,如图①，连接AB,,GD,BD,

当?为5G的中点时，OP//DC\//AB\,故A不正确；

对于B,如图②，连接AC,A,Ci,AC,

因为ACu平面A4GC,平面A4GC,CMAiC,用平面A4CC,

所以直线AC与直线OP一定是异面直线，故B正确；

对于C,如图②，因为44=平面AAQC,OW平面A4GC,肉44,P4平面AAQC,

所以直线AM与直线OP一定是异面直线，故C正确；

对于D,如图③，连接AD],DiC,AC,

因为AOiU平面AOC,平面ADC,O^ADi,用平面AQC,

所以直线AD｝与直线OP一定是异面直线，故D正确」

跟踪训练2(1)D[根据条件作出小意图，容易得到以卜三种情况，

由图可知A8与。有相交、平行、异面三种情况.]

⑵D[如图1,h与/2是异面直线，/i与/平行，b与/相交，故A,B不正确；如图2,6与是异面直线，

/),右都与/相交，故C不正确.]

图2

例3(1)A[如图，在正方体ABCD-ABiGA中，

AiBt=DC,AB//DC,所以四边形AiSCO为平行四边形，

则有4iD〃BC,

所以直线5E与AQ所成的角等于直线BF与8c所成的角，

设正方体的棱长为2,则B&=2,BE=CE=\[2,B\C=2>/2,

+BE2=y16,

在△£8iC中，cosNEBC

231EBR2

所以/E8C=30。.

所以直线SE与