2026年高考数学一轮培优练习（新高考）圆的方程（学生版+解析）

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.3圆的方程

【考情分析•探规律】

考点考情分析（202L2024）命题趋势

考点1圆的2024•北京卷、2022•全国甲卷理解确定圆的几何要素，在

方程2022•全国乙卷、平面直角坐标系中，掌握圆的标

2024•全国新H卷、2023•全国新I卷、准方程与一般方程；能根据圆的

考点2圆中

2023•天津卷、2022•全国甲卷、2021•全方程解决一些简单的数学问题

的切线问题

国新II卷、与实际问题。

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于鱼氐的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(%一。)2+«—b)2=r(r>0)

半径为H

方程

圆心

/+），2+以+砂+/=0c(—?-0

一般

（疗+炉一小。半径TJD2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M（xo,yo）与圆C：（4一a）2+（y—力2=/之间存在着下列关系:

（1）|MCl>r0仍在圆外，即（配一4）2+（），0—匕）2>户在圆外；

（2）|MC|=roM在圆上，即（刈一a）2+（州一=3oM在圆上；

（3）|MC|<roM在圆内，即（向一4）2+00—/»2〈产0加在圆内.

点拨】

1.几种特殊位置的圆的方程

标准方程的设法一般方程的设法

圆心在原点炉+产一户=。

过原点(x-a)2-h^-b)2=a2-l-b2x2+y2+Dx+£>=0

圆心在X轴上(X—a)2+y2=r始+），2+£）工+/=0

圆心在y轴上x2+(y-b)2=r/+)，2+£>，+/=0

x2+9+Ox+£>+"〃=0

与无轴相切(x—a)2-^-(y—b)2=b2

f+>2+以+4+；2=

与y轴相切(x-a)2+(y-b)2—a2£()

2.在圆的一般方程中：当D+E2-4F=0时，方程f+V+Ox+Ey+FnO表示一个点

（一,，-2）；当。2+£^—4b<0时，方程/+9+。1+与，+5=0没有意义，不表示任何

图形.

3.圆的三个性质

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

（2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；

（3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线.

【随堂训练】

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）方程/+丁二〃表示半径为a,圆心为（0,0）的圆.（）

（2）方程/+产+而优—2），=0一定表示圆.（）

2

（3）若（松，1yo）满足就+）3—Dto+gyo+QO,则点（沏，四）必在圆/+）*+。大+4+/=0

内.（）

⑷以4（汨，y），8（也，竺）为直径端点的圆的方程为（x—xi）（x-M）+（y—yi）（y—”）=（）.（）

2.已知圆V+），2+&-4），+1=0关于直线x-y+t=O对称，则实数t等于（）

A.-3B.1

C.-lD.3

3.（多选）已知3圆C：r+y—4x+6），+ll=0与点4（0,—5）,贝1」（）

A.圆C的半径为2

B.点A在圆C外

C.点A在圆。内

D.点A与圆。上任一点距离的最小值为近

4.以点A(0,-1),3(2,I)为直径端点的圆的方程为.

点拨】

1.掌握圆的两个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上.

2.牢记两个相关结论

(1)圆的“直径式”方程：以A(11，)，1),B(X2，丁2)为直径端点的圆的方程为(X—即)。一也)

+8-)，］)(),一闻=0.

⑵圆的参数方程：圆心为(小b),半径为「的圆的参数方程为［”=Q+rc°s&其中〃为参

.y=b+rsin。，

数，可用来设圆上的点的坐标.

【必练核心题型】

题型一圆的方程

【典例】设0知的圆心做在直线2X+)，-1二()上，点(3,0)和(()，1)均在0知上，则

OM的方程为

【变式训练】

变式1.设圆心在x轴的圆。过点(1,1),且与直线y=2x-l相切，则圆。的标准方

程为

题型二与圆有关的轨迹问题

命题点1直接法

【典例】1.已知线段A6E勺长度为4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的贝倍，

则面积的最大值为()

A.8V2B.8

CAy/2D.y

命题点2定义法

【典例】2.己知圆C：(工一1)2+()，-1)2=1,点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM

=2,则点A的轨迹方程是()

A.)，2=4X

B^+y2-2x-2y-3=0

CJC2+>>2_2y—3=0

D.y2=—4x

命题点3相关点代入法

【典例】3.(2024•新课标全国II)已知曲线C：/+),2=[6()>0),从C上任意一点P向

x轴作垂线段尸P',P'为垂足，则线段尸P'的中点M的轨迹方程为()

工2期2工2y2

A看+?=1()>0)B."+卷=1()>0)

+?=1()>o)D±+看=1()>0)

【变式训练】已知RtZ\A6。的斜边为A8,且4(一】，0),3(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8。的中点M的轨迹方程.

\【拓展训练】

\阿波罗尼斯圆

|“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点人（-〃，0）,B（a,0）3>0）的距离之比为正数

\的点的轨迹是以,o）为圆心，|胃鼻为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

【典例】I.设A,8是平面上两点，则满足髭=&（其中A为常数，QO且厚1）的点P的轨迹

是一个圆，已知A（乃，0）,8（彳，0），且人企，则点尸所在圆M的方程为.

【典例】2.已知在△ABC中，角A,4,。的对边分别为〃,b,c,sinA=2sinB,acosB+

bcosA=2,则△ABC面积的最大值为.

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

【典例】5（多选）已知实数汇，），满足炉+）,2—4），+3=0,则（）

A.当x六。时，上的最小值是一百

X

BM+y2的最小值是1

C.y-x的最小值是2—鱼

D.|x+y+3|的最小值为2

命题点2利用对称性求最值

【典例】6已知A（O,2）,点P在直线x+y+2=0上，点。在圆C：r+），2—4n一

2），=0上，则|PA|+|尸Q|的最小值是

命题点3利用函数求最值

【典例】7设点P(x,)，)是圆-3)2=1上的动点，定点A(2,0),8(—2,0).

则丽•丽的最大值为

【变式训练】

变式1.已知P(xo，州)是圆C：炉+)2—2x—2y+1=0上任意一点，则也‘二的最大值为

%—3

()

A.-2B.--

2

33

变式2.己知圆C：。一3)2+0，-4)2=1,设点尸是圆C上的动点.记〃=|尸身2+|尸川2,

其中40,I),8(0,-1),则d的最大值为

【限时训练】(限时：60分钟)

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2024•北京)圆/+产一注+6)，=0的圆心到直线,LJ+2=0的距离为()

A.迎B.2

C.3D.3V2

2.圆心在y轴上，半径为2,且过点(2,4)的圆的方程为()

Af+Cy-1>=1

B.(X-2)2+/=4

C.(x-2)2+(>^-4)2=4

D“F+GL4)2=4

3.若过点P(0,1)可作圆F+)，2—2x—4)，+。=0的两条切线，则。的取值范围是()

A.(3,+8)3)

C.(3,5)D.(5,+8)

4.已知A(—1,0),8(1,0),若点P满足则点尸到直线V5)+〃(y—

1)=0的距离的最大值为()

A.lB.2

C.3D.4

5.已知坐标原点O在直线"a一2)，=2〃7+8上的射影为点P(xOf)，o),则%,州必然满足

的关系是()

A.(Xo+l)2+(yo-2产=5

22

B.(x0-l)+(y0+2)=5

CGo+l)2+(y°-2)2=20

DGo-l)2+(yo+2)2=2O

6.已知〃?£R,直线尔心一y一机+3=0与直线，2：〃L5=0相交于点P,则P

到直线Zt+)，+7=0的距离的取值范围是()

A.[V5,3V5]B.(V5,3遥]

C.[275,4四D.(2E4两

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.设圆C：。一攵)2+。一@2=4伏WR),则下列命题正确的是()

A.任意AWR,圆的面积都是4兀

B.存在&£R,使得圆。过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆C有且只有一个

D.不论我如何变化，圆心C始终在一条直线上

8.已知曲线E：/+)2—2国一2卜|=0(工，y不同时为0),则()

A.曲线E围成图形的面积为8+471

B.曲线£的长度为4企加

C.曲线E上的点到原点的最小距离为我

D.曲线E上任意两点间最大距离为4V2

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.己知P("i,〃)是圆C：f+y2—8x—6y+23=0上一点，则J(m-1)2+层的最小值

是.

10.已知圆C以C(l,1)为圆心，且与直线加一)，一2〃7=0(〃7£1<)相切，则满足以上条件

的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为.

四、解答题(共27分)

11.(13分)已知圆C的圆心在x轴上，并且过41，3),8(3,3)两点.

⑴求圆。的方程；(6分)

(2)若尸为圆C上任意一点，定点M(8,0),点Q满足丽=3而，求点。的轨迹方程.(7

分)

12.(14分)己知圆G经过点A(1,3)和8(2,4),圆心在直线级一y一1=0上.

⑴求圆G的方程；(6分)

(2)若M,N分别是圆G和圆。2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上

的点，求PM+PM的最小值，以及此时点〃的坐标.(8分)

【尖子拔高训练】13题5分，14题5分，共11分

13.（多选）已知圆C；/+°，-2）2=2,点户是圆C上的一个动点，点八（2,0）,贝女）

A.四W|AP|W3加

B.NA4C的最大值为5

C.ZXPAC面积的最大值为2

D.希•丽的最大值为12

14.已知圆f+）2=8上两点人（不，6），Bgy2），O为坐标原点，若N4OB=120。，贝U舟

+9一4|+卜2+丁2-4］的最大值是（）

A.8B.6V2

C.8V2D.I2

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.3圆的方程

【考情分析•探规律】

考点考情分析(202L2024)命题趋势

考点1圆的2024•北京卷、2022•全国甲卷理解确定圆的几何要素，在

方程2022•全国乙卷、平面直角坐标系中，掌握圆的标

2024•全国新H卷、2023•全国新I卷、准方程与一般方程；能根据圆的

考点2圆中

2023•天津卷、2022•全国甲卷、2021•全方程解决一些简单的数学问题

的切线问题

国新n卷、与实际问题。

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定员的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(x—a)2+°，一=户。＞0)

半径为r

方程圆心c(4,-|)

/+)，2+以+或+产=0

一般

砂+区一切、。)半径，=JD2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo,州)与圆C：(x—a)：+(y-b)2=户之间存在着下列关系:

在圆外，即(廿一a)2+(yo—A)?〉/0M在圆外；

22

(2)|MC|=r=M在圆上，BP(x0-a)+(y0-b)=r<=>A/在圆上；

(3)|MC|vr=>M在圆内，即(xo—幻2+("一0)2</=M在圆内.

点拨】

1.几种特殊位置的圆的方程

标准方程的设法一般方程的设法

圆心在原点^+户户/+9一户=0

过原点(x-a)2+(y-b)2=岸+〃x2+y2+Dt+4=0

圆心在X轴上(X—a)2+y2=r始+)，2+£)工+/=0

圆心在y轴上x2+(y-b)2=r/+)，2+£>，+/=0

x2+9+Ox+£>+"〃=0

与无轴相切(x-a)2-\-(y—b)2=b1

f+>2+以+4+；2=

与y轴相切(x-a)2+(y-b¥—a2£()

2.在圆的一般方程中：当D+E2-4F=0时，方程f+V+Ox+Ey+FnO表示一个点

(一号一号；当。2+^一4b<0时，方程/+9+。1+或+5=0没有意义，不表示任何

图形.

3.圆的三个性质

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)方程/+丁二〃表示半径为a,圆心为(0,0)的圆.()

(2)方程/+产+而优-2y=0一定表示圆.()

2

(3)若(松，1yo)满足就+)3—Dto+gyo+QO,则点(沏，四)必在圆/+)*+。大+4+/=0

内.()

⑷以4(汨，y)，8(也，竺)为直径端点的圆的方程为(x—xi)(x-M)+(y—yi)(y—”)=().()

【答案】(l)x(2)7⑶X(4)7

【解析】(1)当。=0时，/+)2=0表示点(0,0)；当“W0时，表示半径为⑷的圆.

一(DY(E\A+E2-4”

(3)配万后，卜。+句+(兄+句>----J-----，

即出国忑不哼三,

点(xo,")在圆夕卜.

2.已知圆9+)2+2丫一4丫+1=0关于直线X—y+z=O对称，则实数t等于()

A.-3B.1

C.-1D.3

【答案】D

【解析】由f+V+2K—4.y+l=0得(1+1)2+()，-2)2=4,

则圆心坐标为(-1,2),

又因为圆A^+y+Zv-4y+1=0关于直线x—y+f=0对称，

故由圆的对称性可知，圆心(-1,2)在直线x-y+f=0上，

则/=j—x=2—(-1)=3.

3.(多选)已知圆C：£+3，2—41+6)，+11=0与点4(0,-5),贝")

A.圆。的半径为2

B.点A在圆。外

C.点A在圆C内

D.点A与圆C上任一点距离的最小值为企

【答案】BD

【解析】因为,r4-/-4r+6y+ll=0,即。-2)2+&+3)2=2,所以圆心为C(2,一3),

半径厂=或，故A错误；

又|AC|=J(2-0)2+(-3+5)2=2V2>r,所以点A在圆。外，故B正确，C错误；

因为|AQ=2或，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为HC|-r=&,故D正确.

4.以点A(0,-1),8(2,1)为直径端点的圆的方程为.

【答案】(l+产2

【解析】由题意可知，圆心为线段A8的中点(1,0),且|A8|=J(0-2)2+(—1—1)2=

2V2,

所以圆的半径一=嘤=鱼，

因此，所求圆的方程为(工-1)2+)2=2.

点拨】

1.掌握圆的两个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上.

2.牢记两个相关结论

(1)圆的“直径式”方程：以A3,yi),8(x2,%)为直径端点的圆的方程为(4一即)。一12)

+。_»)()'一闻=0.

(2)圆的参数方程：圆心为(小b),半径为「的圆的参数方程为‘其中。为参

y=b+rs\nO,

数，可用来设圆上的点的坐标.

【必练核心题型】

题型一圆的方程

【典例】设OM的圆心股在直线2/+)，­1=0上，点(3,0)和(0,1)均在OM上，则

OM的方程为

【答案】1)2+。+1)2=5

【解析】方法一设。”的方程为(X—〃)2+。，-6)2=产(厂>0),

2a+b-1=0,仅=L

(3-a)2+b2=N解得}=_1,

(/+(1-匕)2=丁2,{r2=5,

・••0M的方程为(X一1)2+()，+1)2=5.

方法二设OM的方程为%2+/+Dx+Ey+F=0(D2+£2-4E>0),

则-f),

(2•(*)+(-§-1=0,(D=-2,

；•J9+3D+F=0,解得JE=2,

ll+E+F=0,(F=-3,

・••0M的方程为f+V—2x+2y—3=0,

即(x-l)?+()，+1尸=5.

方法三设A(3,0),8(0,1),OM的半径为r,

则依8=W=—］线段A8的中点坐标为©，3，

・•・线段48的垂直平分线方程为)*=3(%-|),

即3x—y—4=0.

.f3%-y-4=0,(x=l,

联立7解得1),

I2x+y-1=0,(y=-1,

A?=|AM|2=(3-1)24-[0-(-1)]2=5,

・•・OM的方程为(x—1)2+()，+1)2=5.

【解题技巧】求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心3,与和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a",r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D,E,F的方程组，进而求出D,E,F

的值.

【变式训练】

变式1.设圆心在x轴的圆C过点(1,1),且与直线y=2x-l相切，则圆。的标准方

程为

【答案】(X—3)2+/=5

【解析】方法一设圆C的圆心为(〃？,0),

则由于该点到直线y=2x—l的距离=的展1

%+(一1)275

结合圆C与直线相切，知圆C的半径为乌

V5

所以圆c的标准方程是a—⑼2+)2=如/.

而圆C过点(1,1),所以(1一〃7)2+12=驾生,解得,"=3.

所以圆C的标准方程是(x—3)2+)2=5.

方法二因为点(1,1)在直线y=2r—1上，

所以圆C与直线)，=1¥—1的切点为(1,1),

则过圆心C和切点(1,1)的直线方程为厂1=一如-1),即尸一呆4，

又因为圆心C在x轴上，则0=—夫+|,得x=3,

即C(3,0),圆C的半径为J(3-l)2+(0-l)2=V5,故圆C的标准方程是(x—3>+)，2

=5.

题型二与圆有关的轨迹问题

命题点1直接法

【典例】1.已知线段A8的长度为4,动点M与点A的距离是它与点8的距离的四倍，

则面积的最大值为()

A.8V2B.8

C.472D.y

【答案】A

【解析】以线段A8的中点。为坐标原点，A8所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设W,y),且4一2,0),8(2,0),

由|M川=或附8|,得(汇+2)2+)2=2(1-2)2+2)工，

化简得M的轨迹方程为圆(x—6)2+尸=32()，工0),半径r=4式，

如图，有以MA8号俗卦，=8a.

所以△M48面积的最大值为8V2.

命题点2定义法

【典例】2.已知圆C(汇一1)2+()，-1)2=1,点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|

=2,则点A的轨迹方程是()

A.)，2=4X

Bjr+>,2—2x—2>,—3=0

CJC2—2y—3=0

D.y2=—4x

【答案】B

【解析】因为圆C：(x—l)2+(y-1>=1,

所以圆心C(1,1),半径厂=1,

因为点M是圆上的动点，所以|MC|=1,

又4M与圆相切，且|AM|=2,

则|AC]=J|MC|2+MM|2=V5,

设A*,y),则(%—1>+>—1产=5,

即『+)。一21一2)，-3=0,

所以点4的轨迹方程为/+)2—2x—2厂3=0.

命题点3相关点代入法

【典例】3.(2024.新课标全国1【)已知曲线C：文2+),2=16。>0),从。上任意一点~向

x轴作垂线段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

A.+q=i(y>0)B.卷+?=1()>0)

定+9=30)

D.《+9=IG>0)

【答案】A

【解析】设点M(x,y),

则P(x,阿，P'(x,0),

因为M为PP的中点，

所以y()=2y,即P(x,2y),

又P在曲线片+尸=16()>0)上，

所以A2+=16(.y>0),

即5+3=1()>0),

即点M的轨迹方程为5+3=

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【解鹿技巧】求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

【变式训练】已知RtZ\ABC的斜边为A3,且4一1，0),8(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

【解析】(1)方法一设，田，因为A,8,C三点不共线，所以yWO.

因为ACLBC，且AC,BC斜率均存在，

所以心(:也(?=一1,

又人=*，丘=岩

所以喜•士=7，

化简得炉+y2—2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为炉十)，2—2l—3=0()，=0),即(大一1)2+9=4()，工0).

方法二设线段A8的中点为D，由中点坐标公式得0(1,())，由直角三角形的性质知|CQ|

=，4阴=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A4,

。三点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为

(x—1)2+)2=4。，20).

⑵设M(x,y),C(x0,yo),

因为8(3,0),且M是线段BC的中点，

所以由中点坐标公式得/=第,)，=第，

所以XO=2K—3,yo=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为

(x-l)2+/=4(j^0),

将沏=2》一3,涧=2)，代入得(2L4)2+(2y)2=4()¥0),即(工一2)2+产=]0，£0).

因此直角边8c的中点M的轨迹方程为

(1一2)2+产1。，£()).

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【拓展训练】

阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0),B{a,0)3>0)的距离之比为正数

4/IW1)的点的轨迹是以《卷三。，o)为圆心，|含|为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

I典例】；装『是平而静疝满息曾•/(其中『为常数：嬴公焉’)的£户的轨床

是一个圆，已知4(迷，0),8俘，0)，且上二应，则点P所在圆M的方程为.

【答案】/+炉=3

【解析】设尸(八，y),由题意可得，强看=我，

BP|PA|=V2|PB|,

则(％->/6)2+=2(%—g)+y2,

整理得f+尸=3.

【典例】2.已知在△ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinB,acosB+

bcosA=2,则AABC面积的最大值为.

【答案】|

【解析】依题意，由sinA=2sinB,

得18cl=2\AC\,acosB+bcosA

222

a+c—b匕2+C2-Q2

^^+^^=c=2,

即=2,以A8边所在的直线为x轴，线段A8的垂直平分线为)'轴建立平面直角坐标系，

设A(1,0),8(・I,0),C(x,y),A#0,

由|BC|=2HC|，则。的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为［一|)'+产?，xWO,

边A3上的高的最大值为，

所以(SA48C)111ax=31

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

【典例】5(多选)已知实数x,)，满足/+'2-4)，+3=(),则()

A.当x#0时，号的最小值是一百

B/2+y2的最小值是1

C.)，一x的最小值是2—鱼

D.|x+y+3］的最小值为2

【答案】BC

【解析】由F+y2—4y+3=0,得/+(y—2产=I.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=1

的圆.

设7=蛆•关0),则攵表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点。(0,0)连线的斜率，

由y=kr(x¥O),则/TI段］,

加+(一1)2

解得攵28或kW一次，故A错误；

4

因为f+y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，

所以当x=O,y=l时，产+产取得最小值，且最小值为1,故B正确；

设厂，则尸x+b,5表示当直线)=x+Z?与圆有公共点时，直线在)，轴上的截距，

则,匕-21wi,

心+(-1)2

解得2—0,

即y-x的最小值是2一,2,故C正确；

以+)，+3|表示圆上的点到直线x+y+3=0距离的企倍，

圆心(0,2)到直线x+y+3=0的距离为d=*,

则k+)，+3|的最小值为应乂6-1)=5一企,故D错误.

命题点2利用对称性求最值

【典例】6己知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上，点。在圆C：炉+9一以一

2)，=0上，贝IJ|PA|+|PQ|的最小值是

【答案】2V5

【解析】因为圆C：/+)2-4工一2)二0,

即。一2)2+()，—1尸=5,

所以圆C是圆心为C(2,1),半径,•二花的圆.

设点A(0,2)关于直线工+)，+2=。的对称点为Ar(ni,拉)，

a+山+2=o

所以他2

km-0'

rn=-4

解得’故/H—4,-2).

-2,

连接4c交圆。于。(图略)，交直线工+)，+2=0于P,此时，IP41+IPQI取得最小值，

由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=H'Q|=|A'Q-r=2

命题点3利用函数求最值

【典例】7设点P(x,)，)是圆<+()，-3)2=1上的动点，定点4(2,0),“(一2,0).

则方•丽的最大值为

【答案】12

【解析】方法一由题意，得刀=(2-工，->'),

而=(一2-1，-y),

所以记?.而=.3+)2—4,

由于点Rx,)，)是圆上的点，故其坐标满足方程

f+。-3)2=1,故炉=一。，-3产+1,

所以赤•丽=一()，-3产+1+/-4

=6厂12.

易知2WyW4,所以当y=4时，m♦丽的值最大，最大值为6X4-12=12.

方法二(极化恒等式)

由题意知线段的中点为0(0,0),瓦5=(4,0),

PAPB=:可+而产一(同一而日

4

二防一二说2二|所一4,

4

易知庐0|2的最大值为[J(0-0)2+(3-0)2+1]2=16,

所以万不丽的最大值为12.

【解息技巧】与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如4=千，，=⑪+勿，。一口2+。一与2形式的最值问预.

⑵建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特

征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

（3）求解形如IPM+IPN（其中M,N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本

思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将

折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

【变式训练】

变式1.已知P（xo,泗）是圆C：/+），2—21一2丁+1=0上任意一点，则”的最大值为

（）

A.-2B.-i

2

-4-巾D-4+V7

.3.3

【答案】D

【解析】设攵=%，

工0—3

变形可得3）一W-1=0,则叫的几何意义为直线川五—3）一＞一1=0的斜率，

“0—3

圆C：,r+y2—2,v—2y+1=0可化为（x—l）2+（y—1产=1,所以圆C的圆心为C（1,1）,

半径为1.

因为P（xo，刃）是圆C：炉+）。一2x—2y+1=0上任意一点，

所以圆C与直线攵（工一3）—），-1二0有公共点，

即圆。的圆心C（1,1）到直线左（工一3）—），-1二（）的距离不大于圆。的半径，

所以收1；3）一1-1&],

加+i

解得与,

33

即”的最大值为二曰，

x0~33

变式2.已知圆C：(工一3)2+()，-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|P8F+|P4|2,

其中A(0,I),B(0,-1),则d的最大值为

【答案】74

【解析】设P(xo,yo),则d=|P3F+|PAF=,+S+l)2+好+3-1)2=2(6+赤)+2,

诏十%表示圆上任一点到原点距离的平方，，(就+%)max=(5+1户=36,."max=74.

【限时训练】(限时：60分钟)

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2024•北京)圆f+y2—2x+6y=0的圆心到直线工一)：+2=0的距离为()

A.V2B.2

C.3D.3V2

【答案】D

【解析】将圆的方程化为标准方程，

得。-1)2+()，+3)2=10,

所以该圆的圆心(1,一3)到直线k)，+2=o的距离为；一(一3)+21=指=3企.

Ji2+(-D2v

2.圆心在y轴上，半径为2,且过点(2,4)的圆的方程为()

A.f+()L1)2=1

B.(x-2)2+/=4

C.Q—2)2+。-4)2=4

口.f+。-4)2=4

【答案】D

【解析】依题意设圆心坐标为(0,b)，则圆的方程为一〃)2=4，又2?+(4—8)2=4,

解得b=4,所以圆的方程为x2+(y—4)2=4.

3.若过点户(0,1)可作圆r+y2—2x—4)，+a=0的两条切线，则。的取值范围是()

A.(3,+8)3)

C.(3,5)D.(5,4-oo)

【答案】C

【解析】圆W+y2-2x—4y+a=0，即圆(x-1)2+()，-2)2=5—。，则5—〃>()，解得〃<5,

又过点P(0,1)有两条切线，则点P在圆外，J(1-0>+(2-1)2>近二方，即2>5—。，

解得a>3,故335.

4.已知A(—1,0),8(1,0),若点P满足PA_LP8,则点P到直线/：，心一百)+心一

1)=。的距离的最大值为()

A.lB.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】由可得点夕的轨迹为以线段A8为直径的圆(去除点A和点8),圆心

坐标为(0,0),半径为1,又直线I:/心一遍)+〃()，-1)=0,其过定点(遮，1),故距离

的最大值为13+1+1=3.

5.已知坐标原点O在直线nu—2y=2m+8上的射影为点P(x(),刈)，则所加必然满足

的关系是()

2

A.(xo+l)+(yo-2)2=5

B.(x0-1产+仇+2)2=5

C.Qo+l)2+(yo-2>=2O

22

D.(xo-l)+(yo+2)=20

【答案】B

【解析】直线/:〃以-2y=2〃i+8,

即〃心一2)—2()，+4)=0恒过定点A(2,-4),

由原点()在直线/上的射影为点P,得OP_L/,

则点尸在以04为直径的圆上(去除点(2,0)),

该圆圆心为(1,-2),半径为一=

22

所以的，加必然满足的关系是。0-l)+(y0+2)=5.

6.已知直线八：/心一)，一机+3=0与直线,2：x+my—〃?一5=0相交于点P,则P

到直线2x+)，+7=0的距离的取值范围是()

A.[V5,3V5]B.(V5,3V5]

C.[2V5,4x/5]D.(2V5,4遥]

【答案】D

【解析】因为〃?」+(-1)•"?=(),

所以直线人与始终垂直，

又由条件可得直线6恒过定点M(1,3),直线A恒过定点M5,1),

所以两直线的交点P在以线段MN为直径的圆上，

该圆的圆心坐标为(3,2),半径为-1)2+(1-3)2=V5,

所以该圆的方程为(x—3)2+(y—2>=5,

圆上点(1,1)是过定点M(l,3)且斜率不存在的直线与过定点N(5,l)且斜率为0的直线

的交点，故点P的轨迹不经过点(1,1).

圆心(3,2)到直线2r+v+7=()的距离w-x二^7|=3花,

加+12

所以圆上的点到直线公+)，+7=0的距离的最大值和最小值分别为4百和26，

又点(1,1)到直线入+)47=0的距离为2花，应舍去，

所以P到直线2工+y+7=0的距离的取值范围是(2遥，4V5].

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.设圆C：(x-^)2+(y—A)2=4(Z£R),则下列命题正确的是()

A.任意&WR,圆的面积都是4兀

B.存在AWR,使得圆C过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆C有且只有一个

D.不论我如何变化，圆心C始终在一条直线上

【答案】AD

【解析】由于对任意kWR,圆的半径都是2,故面积都是4兀，A正确；

由于(3—守+(0—左产=2产-62+9=2。一|)+1^^>4,故圆C必定不过点(3,0),B

错误；

对22-&和&=2+6,均有(2—4=2,故(2—&>+(2—4=4,即圆C经过点(2,

2),C错误；

圆心C(k,k)始终在直线y=x上，D正确.

8.已知曲线氏『+)，一2年|一21yl=0(X，y不同时为0)，则()

A.曲线E围成图形的面积为8+471

B.曲线E的长度为4注兀

C.曲线E上的点到原点的最小距离为遮

D.曲线E上任意两点间最大距离为4V2

【答案】ABD

【解析】当,)，20，且x,)，不同时为0时，曲线E:(x-l)2+Cy-l)2=2;

当x20,><0时，曲线E:>+()，+1)2=2;

当A<0,>->0时，曲线E:(x+1)2+()，—1)2=2;

当x<0,><0时，曲线E：(x+1)2+()，+1)2=2.

画出曲线E的图形，如图所示.

对于A,曲线E围成的图形可分割为一个边长为2企的正方形和四个半径为&的半圆，

故面积为2aX2A+2TIX(应)2=8+4兀，故A正确；

对于B，曲线E由四个半径为虎的半圆组成，故周长为2X27CX金=4&兀，故B正确；

对于C,曲线£上的点到原点的最小距离为2,故C错误；

对于D,当曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为4近，故D

正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知P(/〃，是圆C：x2+.v2—8x—6y+23=0上一点，则-1/+九2的最小值

是.

【答案】2V2

【解析】J(m-1)2+几2表示圆上的点p(〃?，〃倒点(1,0)的距离，

由f+y2—8x—6y+23=0可化为(x—4/+。-3>=2,

则圆心为(4,3),半径为函,点(1,0)到圆心的距离为J(1-4)2+(0-3/=3近,

所以点P(m,〃)到点(1,0)的距离的最小值为3V2-V2=2>/2,

即J(m—1)2+n2的最小值是2迎.

10.已知圆。以C(L1)为圆心,且与直线心一厂2〃?=0(〃PR)相切，则满足以上条件

的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为.

【答案】(X—l)2+(y—1)2=2

【解析】直线mx—y—2ni=0可化为m(x—2)—y=0,

x-2=0f%=2

所以，解得‘

l-y=0,(y=0,

所以直线过定点A(2,0),

当C4与直线的一y—2加=0垂直时，圆C的半径最大，半径为］(2—1)2+(0—1)2=

V2.

所以圆C的标