第9章 平面向量 复习提升-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

本章复习提升

易混易错练

易错点1对向量的相关概念、运算律理解不透致错

1.下列关于平面向量的说法中，正确的是()

A.对于向量a,b,c,有(ab)c=a(bc)

B.若向量力反Cfi共线，则点A,B,C,D必在同一条直线上

C.若A(l,m),B(m+l,3),C(l-m,7)三点共线，则m=5

D.若点G为2ABC的重心，则百芥丽+35=()

易错点2忽视向量的方向致错

2.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(l,D,b=(-3,4),则下列说法正确的是

()

五

A.cos<a,b>=y^

B.b在a上的投影向量为fa

c.与b垂直的单位向量的坐标为(《9

D.若向量a+Xb与a-Xb共线,则实数X=0

3.(多选题)(2025重庆巴蜀中学校月考)对于任意两个平面向量a和b,下列命题中正确的是

()

A.若a〃b,|a|=|b|,则a=b

B.a〃b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件

C.|a.b|<|a||b|

D.若21al二网翔,向量a在b上的投影向量为-与，则cos<a,b>=-^

63

易错点3对向量的夹角理解不准确致错

4.在△ABC中，“方•配〈0”是“△ABC为钝角三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(多选题)(2024江苏镇江期中)下列选项中正确的是()

A.已知向量a=（2,V2）,b=（sinO,cos0）,若a〃b,则tan0=V2

B.已知向量a=（l,3）,b=（m,-2）,若a,b的夹角为钝角，则m<6

C若平面向量a,b,c两两间的夹角都相等，且|a|二|b|二l,|c|=3,则|a+b+c|=2或5

D.若刀+3而+4沅=0,则4AOC和^ABC的面积之比为3:8

6.单位向量a,b满足（a+2b>（a-b尸q,则a与b夹角的余弦值为;若ka+b与a+3b

的夹角为锐角，则实数k的取值范围为.

思想方法练

一、函数与方程思想在向量问题中的应用

1.在△ABC中,M是AB上的点且满足翔=3磁,N是AC上的点且满足布=配,CM与BN

交于点P,设前二a,癌0则»=（）

A.%小B.“b

2.（2025江苏无锡锡东高级中学月考）己知非零向量而与充满足儒+jg）BC=0,且

|荏-充|=2&,诙+元|=675,点D是^ABC的边AB上的动点，则而•反的最小值为（）

A.-1B,-iC,-lD.-2

二、数形结合思想在向量问题中的应用

3.（2025江浙皖高中发展共同体联考）已知向量a,b,c满足a-c=|b-4c|=|c|=2,则|a-加的最小值

是（）

A.OB.2C.V2D.5

4.（2024江苏扬州红桥高级中学月考）已知四边形ABCD是边长为2的菱形,NABC、，P为

平面ABCD内一点,AC与BP相交于点Q.

⑴若舒=比亚=x^J+y前，求x,y的值；

⑵求（9+而）.元的最小值.

三、转化与化归思想在向量问题中的应用

5.（2025广东广州月考）在4ABC中4月=（2m,m+5）,4?=（cosa,sina）（m,a£R）,若对任意的实

数口法-四日前—就|恒成立，则BC长度的最小值是（）

A.710B.AC.V19D.2V5

6.（2025江苏宿迁沐阳高级中学月考）如图，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成的,

中心重合于点O且三组边分别平行，点A,B是“六芒星”的两个顶点，动点P在“六芒星”（包

括边界）内，则赤•存的取值范围是（）

△

A.[-2,2]B,E，；

C.[-V3,V3]D.[-2,75]

四、分类讨论思想在向量问题中的应用

7.（2025河北唐山第一中学月考）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE二CD,动

点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若据痴§+诵后则下

列判断不正确的是（）

A.满足X+g=2的点P必为BC的中点

B.满足X+g=l的点P有两个

C.满足X+g=3的点P有且只有一个

D.满足九卬=|的点「有两个

8.在平面直角坐标系中，已知三点A（2,0）,B（Ll）,C（3,l）,t£RQ为坐标原点.

⑴若△ABC是直角三角形，求I的值；

⑵若四边形ABCD是平行四边形，求|历|的最小值.

答案与分层梯度式解析

本章复习提升

易混易错综

1.D对于A,平面向量不满足乘法结合律，故A错误；

对于B,若向量拔，而共线测点A,B,C,D在同一条直线上或AB〃CD（易错点）.故B错误；

对于匚易得万=（1口,3-01）,比=（-21力,4）,若A,B,C三点共线,则荏匚灰，所以4m=-2m（3-m）,解

得m=（）（易错点）或m=5,故C错误；

对于D,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点，且就=2百,所以

GB+GC=2GD=AG=-:GA,^l^GA+GB+GC=O.HiD正确.

2.AD由题意知|a|=5/l2+l2=V2,|b|=J(-3)2+42=5,a-b=1x(-3)+1x4=1.

对于A,cos<a,b>=gj=^=^^A正确；

对于B,b在a上的投影向量为器步急斗，故B错误;

对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为（xo,yo）,

则；2，八解得

卜3为+4为=0,

所以与b垂直的单位向量的坐标为g,9或（q,_g（易错点），故c错误;

对于D,因为向量a+Xb与a-Xb共线，

所以存在t£R,使得a+入b=t（a-世尸ta-入tb,则解得故D正确.

3.BCD对于A,a和b可能为相反向量（注意共线可以是同向共线,也可以是反向共线），故

A错误.

对于B,当a=-2b时2〃b,但a+b用a|+|b|,充分性不成立,

当a=0或b=0时,|a+b|=|a|+|。,此时a/7b,

当a#)且b翔时，由|a+b|=|a|+|b|得|a+bk(|a|+|b|)2,

即|aF+2|a||b|cos<a,b>+|bF=|aF+2|a||b|+|bF,故cos<a,b>=l,va,b>=0,贝I]a〃b,必要性成立,

所以a/7b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件，故B正确.

对于C,|a・b|=|a||b||cos<a,b>|,由|cos〈a,b>|Wl得|a・b|0|a||b|,故C正确.

对于D,向量a在b上的投影向量为|a|cos〈a,b>《=-¥b,

1切6

把2忆|二|h|代入卜式得co*<a,h>=T，故DF确.

易错警示在将模的关系转换为向量之间的关系时，需要从向量方向的角度加以分析，若

不能确定方向，则需分类讨论.

4.DABBC=-BABC=-\BA\\BC\cosB<0,即cosB>0,因为所以0<B<：，不能推出

△ABC为钝角三角形，故充分性不成立；

当△ABC为钝角三角形时,假设然B<%则万•比=-瓦［•比=-|瓦7||居cosB>0,不能推出

布•就<0,故必要性不成立.

综上所述,“方反〈0”是“△ABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.

易错警示研究向量的夹角时要将两个向量平移到同一起点去观察，注意首尾相连的向

量所呈现的角是其夹角的补角，同时注意向量的夹角的范围是［0,兀］,因此根据图形找向量

的夹角时要注意夹角是相应有向线段所成的角还是该角的补角.如本题中向量方,能的夹

角是NABC的补角，不是NABC.

5.ACDX寸于A,若a〃b,则VIsin0=2cos0,

可得tan6=75,故A正确.

力7-6<0,

对于B,若a,b的夹角为钝角，则［3mr-2（易错点）解得m<6且m#9/故B错误.

对于C,由平面向量a,b,c两两间的夹角都相等，得它们两两之间的夹角为0或青

当它们两两之间的夹角为0时,显然有|a+b+c|=|a|十|b|十|c|二l+1+3=5;

当它们两两之间的夹角为g时，过平面上任一点0作C7=a,OB=b,OC=c,令

37+而=无，如图所示，则四边形OADB为菱形,|历|=1,且向量沉，历方向相反，又|中3,所

以|a+b+c|=|历+函=3-1=2.

综上所述,|a+b+c|=2或5,故C正确.

对于D,若

H7+3丽+4。？=0,则（37+炉）+3（丽十说=0,可得2而十6赤=0（D,E分别为AC,BC的中点），即

丽=-3瓦，故点O在线段DE上，且OD=|DE,

c

贝ijSAABC=2S^ACE=2X：SAOC=；SAOC,即^^■=],

33^ABC8

所以△AOC^llAABC的面积之比为3:8,故D正确.

6.答案j；(-H)DG'+o°)

解析因为|a|二|b|=1,(a+2b).(a-b)=-p

所以a2+a-b-2b2=1,即l+ab2=：,则a・b=1则cos〈a,b>=W，即a与b夹角的余弦值为;.

333匕阴33

若ka+b与a+3b的夹角为锐角厕(ka+b>(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线(易错点).

由(ka+b)・(a+3b)>0,得ka2+(3k+l)ab+3b2>0,

即k+(3k+l)xg+3>0,解得k>-|,

当kaib与ai3b共线时，有ka+b=X(a+3b)(XGR),

即ka+b=Xa+3Xb,

易知a与b不共线，所以$解得k=1,

U74，3

故实数k的取值范围为(J,；)□(；,+8).

易错警示求解此类题时常常会忽略两向量a,b共线的情形,认为a-b>0与向量a,b的夹角

为锐角是等价的.设两个非零向量a与b的夹角为0,当0=0。时,cos0=l,a-b=|a||b|;当0为锐

角时,cos0>0,ab>0且a,b#|a||b|;当0为直角时,cos0=0,a・b=0;当0为钝角时,cos0<0,ab<0且

a-b/-|a||b|.

思想方法练

1.B如图，由得4优由NN=NC得4N=；/C,

由C,RM三点共线，可得力=沆+(1-入)；砒入£R),即护讥+牛存,

由N,P,B三点共线，可得据而+(1-口)；行(R£R),即痔■(1下)翔,

(在，卜={

故3(A),解得2

(丁=5("丁

根据平面向量基至定理的唯一性建立方程组.

故N=ga+gb.

2.C;备，卷分别表示与法/同方向的单位向量，

.••以|需为邻边长的平行四边形是菱形，故券+券所在直线为/BAC的三分线所

在直线，

・・・(鲁+韵.芯=0,・,・NBAC的平分线与BC垂直，故AB二AC.

取BC的中点O,连接AO,则AO1BC,

由题意得I法一就|=|无|=20,|方+布=2|而|=6立，

，|而|=3夜.

如图，以O为坐标原点,BC所在育线为x轴,OA所在直线为y轴，建立平面百角坐标系，

则B(-0,O),C(V5,O),A(O,30),故而=(您,3夜).

设前=入函(0W公1),贝IJ办(V5人,3加1),・•・D(V2X-V2,3V2^),

・\P5=(-V2X-3A/2X),^C=(2V2-V2X-3V2X),

APS-PC=-V2X(2A/2-V2X)+(-3V2X)(-3V2X)=20X2-4X,

建鑫利坐标it«B企i则数量积甚吃医UH元三函数

思想.

当人-W时，丽反取得最小值，为T

ZX2U103

啖一

B0

思想方法一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题，解题的关键在于设置变

量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程（组）求解

一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题，解题的关键在于设置变量，将所求用

变量表示H；来，构造关于变量的函数，函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性

质求解最值时，要注意变量的取值范围.

3.D根据向量的数量积以及向量差的模为定值，画出图形，赋予止b］几何意义，将数转化为

畛由图形特征求解,体现了数形结合思想.

令刀二c/r=4c,

因为lb-4c|=2,所以b的起点为点A,终点在以点C为圆心,2为半径的圆上，

因为a-c=|c|=2,所以a在c上的投影向量的模为I,

所以a的起点为点A,终点在线段AB的垂直平分线1上，

所以|a-b|的最小值为a的终点与b的终点的距离的最小值,即线段DE最短时的长,易知当

D位于M处,E位于N处时，线段DE的长最短，所以|a-b|的最小值为5.

4.解析（1）当万工而时,P为AD的中点,

易得△APQS/XCBQ,所以

Co（.pL

所以曲|AC=；港次）=；BA+；元

所以x=-1,y=1.

(2)根据图形特点建立平面直角坐标叁怪形转化为数盘过向量的坐标运算进行求解四分

体现了数形结合的思想.

v^^*^-^^^ww^*v»--^>^rfW>zww-»-^--^^wszvw^»szv^<-<^^w^wv\z^r^-»^.

根据题意画出图形，并建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(2,O),B(O,O),C(1,V3),

取AB的中点M,连接PM,则M(l,0)^+ra=2m

设P(x,y),x,y£R,则丽=(1-x,-y),同=(1-x,V5-y),

贝|」(百+通)♦京=2万?・左

=2[(l-x)(l-x)-y(V3-y)]

=2(x2+y2-2x-V3y+1)

■,).

=2(X-l)2+(^-y)-|,

故当x=l,y#时，(丽序2)•元取得最小值，且最小值为-・

思想方法数形结合思想作为一种重要的数学思想方法，在平面向量中有*重要的应用：

1.以数解形，化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决几何问题.

2.以形助数，化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模

的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来，根据几何图形的相关知识，解决平面

向量的相关计算问题.

5.C画出图形，将不等式恒成立问题转化为几何图形中的垂线段最短问题,体现了转化与

化归思想.

设布=充，如图所示，

由|荏-布|=|方-而1=1而因前-布=|赤|恒成立，知AC±BC,

因为力8=(2m,m+5)/C=(cosa,sina),

所以前1=J5(〃什1)2+2O,|7C1=1,

所以区。=小力砰15(〃什1-+20-1,

易知当m=-l时,|比|取得最小值，为E.

6.B如图，由对称性得OB〃CD,连接AO,与CD交于点E,则E为AO,CD的中

点,AOJLOB,|^Q=|ED|=|,|O4|=3x^x|=6,|丽|二2xsin30°=1,

P的位置不确定，可以根据数量积的几何意义将丽和的范围问题转化为万在而上的投

影向量的模的范围问鼠从而找到点P的临界位置，体现了转化与化归思想.

过点P作直线OB的垂线，垂足为P,

则向量乔在向量退上的投影向量为方，

所以9•/=而•而1,

如图，过点C作CC」OB,交OB的延长线于点C,过点D作DDUOB,交BO的延长线于

点D；

所以|丽

由图可得|宓国灰汩丽|,其中万心与瓦同向,。Z?与。5反向，

所以当点p位于点c的位置时，丽•/取得最大值，为摄

当点P位于点D的位置时，丽•刀取得最小值，为V，

所以丽•万的取值范围是［-W.

思想方法在向量问题中，常通过平面向量基本定理将待求向量转化为己知向量的和或

差;在研究图形问题时,有时可通过画出图形，转化为图形中线段的长度问题;在求数量积时,

有时可根据其几何意义转化为求投影向量的模问题;等等.这都是转化与化归思想在向量

问题中的应用.

7.A建立如图所示的平面直角坐标系，令AB=1,

则A(O,O),B(1,O),D(O,1),

•・,AE=AD+DE=AD^AB,

：.7?-市+卜L7S=(九-Q割+U25-Q-N)(1,0)+R(0,1)=Q-内N),

动点P的位置不确定遹要对P的位置分类讨论/本现了分类讨论思想.

动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

当PWAEL时.gX-超1且g=O,/.O<X<l,/.X+ge[OJ];

当EWBC时入--1且0WH1,则X=!i+UAl<X<2,.,.X+nG[i,3]；

当PWCD.时,。。-"1且产1,则必入令+1,；・l<X<2,.,.X+p