广东2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学（含答案）

广东深圳市高级中学2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学

一、选择题（共8小题）

1.2025的相反数是（）

A.2025B.-2025C'Dx

20252025

2.下列运算正确的是（）

A.2Q+b=2abB.2a2b-a2b=a2b

C.3a2+2a2=5a4D.2a—a=2

3.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“气梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自

动扶梯）.某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图,4B的长为某米,A8与4C的夹角为24。，则

4c的长是（）

A.50cos24°B.50sin24°C.—52—D.

cos24°sm24°

4.OeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务.其活跃用户数在

上线21天后达到了3370万.将3370万用科学记数法表示为（）

A.33.7x106B.3.37x106C.3.37x107D.0.337X107

5.如图，在正方形网格中，以格点。为圆心画圆，使该圆经过格点A,B,并在圆弧上取点C,连接4C,则

“CB的度数为（）

B

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.如图，平行于主光轴PQ的光线4B和CO经过凸透镜折射后，折射光线BE,OF交于主光轴上一点G,若

Z-ABE=140°,/.CDF=160°,则48GD的度数是（）

第1页

7.“五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又

增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费.设参加游玩的同学为x人，则可得方程（)

180180_180180

B.=3

~~x+2~%+2X

180180_180180

D.=3

x-2X

8.如图，将正方形/BCD沿EF折叠，使得点4与对角线的交点。重合，EF为折痕,则黑的值为（）

A1B1C&D2

,42C♦区3

二、填空题（共5小题）

9.已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是.

10.周末，小亮打算在“甘坑古镇''、"大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区''这五个景点中

随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园''的概率是.

11.如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数〉=以与反比例函数丫=上工相交于点力和点B.若4的横坐

X

标为1,则8的坐标为.

12.赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物.如图为某圆弧型

石拱桥的侧面图，桥的跨径48=18m,拱高。0=5m,则拱桥的半径为m.

IIII।I-

IIL4_T

ADB

13.如图，正方形48co中，48=6,点E为CD中点，点?在40延长线上，且O"=CE,连接8E并延长，交

C尸于点G,则月仆=.

第2页

三、解答题（共7小题）

14.计算：|3-四|+（与1-4cos45o-（7r_2025）0-

15.先化简，再求值：°—系）+益答1,其中Q=1+V5.

16.第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕.大会的主题是“培育读书风尚建设文化强

国某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到

6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀.从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进

行整理.

■■■・

靖〃UUSM尚健议文化鲤国

第叫届全民阅读大会

数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：

A人数/名

5

…

4

3

2

2U-

1

0

4

数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析:

班级平均数/分中位数/分众数/分合格率优秀率

九年级一班76b90%30%

九年级二班7.3a8C20%

根据上述信息回答下列问题:

（1）填空：a=,b=,c=.

（2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前50%的同学可以得到“阅读小能手•”的称号.被推到的小张同学

的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号.请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由.

（3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价.（写出两条即可）

17.在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地.河源市农户张先生将种

植的百香果和金桔以箱为单位售卖.已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的

价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：

第3页

品名百香果金桔

成本/箱3（）元40元

（I）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？

（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）.张先生才前仅有金桔和

百香果各库存300箱;在只能整箱铛售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利

最大.

18.如图，在△48GILZ.ACB=90°,D为AB中点,E为CO中点,过点C作CF||4B交4E延长线于点F,连接

BF.

（1）证明：四边形DCT8为菱形；

（2）4F与8c相交于点G,若71c=12,BF=10,求GC的长.

19.太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具.目前应用最广泛的

聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1,这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋

转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2,若有〜束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线

都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的.若抛物线的表达式

为y=ax2,则抛物线的焦点为（0总）.

第4页

图1图2图3

（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为y=*/,则焦点的坐标是______；

（2）如图3,用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴

与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径48为1.5米，网面深度CO为0.25米，求抛物线的表达

式;

（3）如图4,在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点,F为焦点,当

△MNG=4FNG=22.5。时，求点N的横坐标；

（4）如图5,在（1）的条件下，点E是焦点，a表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称釉的夹角，当Q

为45。时，求点8的坐标.

20.【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四

边形，称该宜线为对称轴.

（I）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是：（填序号）

XAB=AD,

BC=CD

C

④筝形

（2）如图1,在平面直角坐标系中，若点B（5,l）,C（l,3）,。组成的四边形为对称四边形，则满

足点。的个数为;

第5页

5

4

3

2

1■・B

i11111A

-\O12345x

■

图1

(3)【性质探究】如图2,对称四边形48co关于直线/C对称，对角线AC,80相交于点。，过点。作JL

AB于点F,交AC于点E,若AE=ED=0C=2,求对称四边形的面积.

(4)【拓展应用】如图3,在菱形4BCD中，/.ABC=60°,点E为对角线B0上一点，△AED沿边4E折叠得

到延长力E交射线DC于G,则当4B,E,尸组成的四边形为对称四边形时，求箓的值.(作答要

求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可)

第6页

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：2025的相反数是一2025,

故答案为：B.

【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，。的相反数是0,负数的相反数是正

数，据此解答即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：2Q+b不能计算，故A选项不正确；

2a2b-02b=Q2b,故B选项正确；

3a2+2M=502,故c选项不正确;

2a-a=a,故D选项不正确，

故答案为：B.

【分析】根据同类项定义及合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：'"801=90。，AB=50m,LA=24°,

•=cos24°»

：.AC=48cos240=50cos24°（米），

故选；A.

【分析】根据余弦定义即可求出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：337071=33700000=3.37x107,

故答案为：C.

【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成ax10n的形式（其中修a<10,n为整数），这种记数法称为

科学记数法，其方法如下：[①确定a,a是只有一位整数的数，②确定n,当原数的绝对值30时，n为正

整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值VI,n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0

数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：如下图所示，连接8。并延长，交。。于点D,连接力8、AD,

第7页

:.Z.ACB=4D,Z.BAD=90°>

由网格可知48=4。，

乙ABD=4ADB=45°,

:.XACB=2LADB=45°

故选：B.

【分析】连接B。并延长，交。。于点D,连接48、A0,则=乙BAD=90。,由网格可知L4B=

4D，根据等腰直角三角形性质可得心力B0=4408=45。，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：如图,

由题意可知：AB||PQ||CD,

•••△ABE+乙BGP=180°,

*：LABE=140°,

:.乙BGP=180°-140°=40°,

•：PQICD,

，乙PGD+乙CDF=180%

■:乙CDF=160°,

・••乙PGD=180°-160°=20°,

:•乙BGD=乙BGP+乙PGD=40°+20°=60°,

故答案为：A.

【分析】根据物理学原理得48、PQ、CO互相平行，即可得4A8E、48Gp和等于180。，进一步得MGP等于

40。，再根据PQ、CO平行得NPGO、乙CDF和等于180。，根据々CDF等于160。即可得乙PGO=20。，进一步得

/QCO等于//7/7P与/PCO的和，计算即可得//?仃。的J度数是6。。.

7.【答案】D

第8页

【解析】【解答】解：设参加游玩的同学为工人，则原来的几名同学每人分担的车费为：罂元，出发时每名

同学分担的车费为：喈元，

根据题意得：要一衅=3.

X-LX

故答案为：D.

【分析】设参加游玩的同学为工人，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到里-侬=3.

X-Lx

8.【答案】D

【解析】【解答】解：如图,

•・•正方形4BCD沿EF折叠,

：.AG=GO,EFIIBD,

△AEFABD,

.EF_AG_1

-BD=AO=2f

17

：.EF=^BD,CG=»C，

•・•正方形4BCD,

：.AC=BD,

.EF_步D_2

・W二孤，

故答案为：D.

【分析】根据折叠的性质，结合正方形的性质得/G、G。相等，EF、8。平行，即可证明和相

似，根据相似性质得需=器=热即可得匹=k。0；="（：，代入需计算即可得答案.

9.【答案】2

【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：

5x2-m=8,解得：m=2

故答案为：2

【分析】将x=2代入方程可得关于1n的一次方程，解方程即可求出答案.

第9页

10.【答案】i

【解析】【解答】解：P龙城公园

故答案为：!.

【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.

11.【答案】（-1,-1）

【解析】【解答】解：如图，

・・•正比例函数y=ax与反比例函数y=平相交于点4和点8,

♦2-Q

••ax=-x-，

4的横坐标为1,

/.a=2—a,

a=1>

••y=x,

当x=1时，y=x=1,

•・•正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

・••点4B关于原点对称，

・'・5（—1,—1）,

故答案为：（一1,-1）.

【分析】根据正比例函数>=ax与反比例函数y=空相交于点4和点8得ax=竽，再根据4的横坐标为

1,得G=1,即可得y=x,进一步得力（1,1）,根据图像得正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称,

即可得8（-1,一1）即可.

12.【答案】.

【解析】【解答】解：设”所在网的圆心为O,半彳仝为Rm,如图，

第10页

B

%

由已知得4O=9m,OD=(_R-5)m.在RtZk/OO中，由勾股定理得

OD2+AD2=AO2,即92+(R-5)2=R2,

解得R=羊

・,•拱桥的半径为等m.

J

故答案为：

【分析】设弧48所在圆的圆心为。，连接。。，0A,圆。的半径为Rm,由垂径定理得4。=9m,再根据勾股

定理建立方程，解方程即可求出答案.

13.【答案】V5

【解析】【解答】解：如图，

「正方形力8co中，48=6,点E为C0中点,

:.CD=AB=6,DF=CE=1cD=3,

作GH1CD于点、H,

：.GH||BC,GH||DF,

*：GH||BC,

：.△HGE〜ACBE,

.GH_HEGH_HE

•,前"前’m即丁二丁

：.GH=2HE,

'：GH||DF,

：.△CHGFCDF,

・HGCHnti2HE3+HE缶*俎口尸i

•♦丽=加'即丁=~^'解得“E=1，

：.GH=2,

第11页

***EG=Vl2+22=V5>

故答案为：V5.

【分析】根据正方形性质得48等于6,点E为CD中点，即可得C。、48相等，等于6,DF、CE相等，等于

^CD,等于3,作G"、垂直于点乩即可得GH、BC平行，GH、OF平行，进一步证明

〉HGE、ZkCBE相似，即可得盟、然相等，即可得G〃=2HE,根据GHIIDF证明△CDF、

uCuC

△CWG相似，即可得等、需相等，代入数据得GH=2,根据勾股定理得EG=述即可得答案.

14.【答案】解：|3-㈣+R)1-4COS45°-(TT-2025)0

=3-2V2+3-4X^-1

=5-2V2-2V2

=5-4A/2.

【解析】【分析】根据绝对值，负整数指数冢，特殊角的三角函数值，0指数幕化简，再计算加减即可求出答

案.

6【答案】解：(1-系)+吟沪

_a—1a+1

一。+1(a-行

1

=a^l，

当a=1+K时，

序式一]一J_一立

原八一]+&_「百—3.

【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法约分化为最简，再把a的值代入计算解题.

16.【答案】(1)8；6；80%

(2)解：小张是九年级二班的同学，理由如下：九年级一班成绩的中位数是6分，九年级二班成绩的中位数

是8分，小张的成绩是7分

・・・6<7<8,且小张同学没有得至U“阅读小能手”称号，

・・・小张是力年级二班的同学.

(3)解：根据题意得：①九年级一班成绩的优秀率为30%,高于九年级二班成绩的优秀率20%,所以从优

秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好.

②九年级一班成绩的合格率为90%,高于九年级二班成绩的合格率80%,所以从合格率角度看，九年级一班

的成绩比九年级二班的成绩好.

【解析】【解答】(1)解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中6分的最多，则b=6,

第12页

九年级二班得分分别为：5,5,6,7,8,8,8,8,9,9,则中位数为a=竽=8,

c=^xl00%=80%.

故答案为：8；6；80%.

【分析】（1）根据条形统计图，结合众数，中位数的定义可得九年级二班成绩众数为6,九年级一班中位

数为8.九年级二班合格率为80%.

（2）根据九年级一班成绩的中位数是6分，九年级二班成绩的中位数是8分，小张的成绩是7分两个班的中位

数，根据6<7<8,即可得小张同学没有得到“阅读小能手”称号.

（3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价即可.

（1）解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中6分的最多，贝姐=6,

九年级二班得分分别为：5,5,6,7,8,8,8,8,9,9,则中位数为Q=竽=8,

c=^x100%=80%：

（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：

九年级一班成绩的中位数是6分，九年级二班成绩的中位数是8分，小张的成绩是7分

V6V7V8,且小张同学没有得至上阅读小能手”称号，

・•・小张是力年级二班的同学：

（3）解：答案不唯一，例如：

①九年级一班成绩的优秀率为30%,高于九年级二班成绩的优秀率20%,所以从优秀率角度看，九年级一班

的成绩比九年级二班的成绩好；

②九年级一班成绩的合格率为90%,高于九年级二班成绩的合格率80%,所以从合格率角度看，九年级一班

的成绩比九年级二班的成绩好；

③九年级二班成绩的平均数为7.3分，高于九年级一班成绩的平均数7分，所以从平均数角度看，九年级二

班的成绩比九年级一班的成绩好：

④九年级二班成绩的中位数为8分，高于九年级一班成绩的中位数6分，所以从中位数角度看，九年级二班

的成绩比九年级一班的成绩好；

⑤九年级二班成绩的众数为8分，高于九年级一班成绩的众数6分，所以从众数角度看，九年级二班的成绩

比九年级一班的成绩好；等等.

17.【答案】（1）解：设每箱百香果的售价为不元，每箱金桔的售价为y元，

根据题意，得口:点二2

解这个方程组，得上黑，

答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元.

第13页

（2）解：每箱百香果的利润为：30-40=10（元），

每箱金桔的利润为：55-40=15（7E）,

设张先生将m箱金桔和（400-m）箱百香果进行搭配销售，获利为w元，

则w=15m+10（400—m'）=5m+4000,

5>0,

w随加的增大而增大.

Xvm<300,.,.当m=300时，w最大，

此时百杳果的箱数为：400-300=100（箱）.

答：张先生将100箱仃香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大.

【解析】【分析】（1）设每箱百香果的售价为工元，每箱金桔的售价为y元，根据题意建立方程组，解方程即

可求出答案.

（2）求出每箱百香果，金桔的利润，设张先生将m箱金桔和（400-m）箱百香果进行搭配销售，获利为w

元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.

（1）解：设每箱百香果的售价为工元，每箱金桔的售价为y元，

根据题意，得胃苕二2

解这个方程组,得黑,

答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元.

（2）解：每箱百香果的利润为：30-40=10（元），

每箱金桔的利润为；55-40=15（7E）,

设张先生将m箱金桔和（400-m）箱百香果进行搭配销售，获利为w元，

则w=15?n+10（400-m）=5m+4000,

5>0,

:.w随血的增大而增大.

Xvm<300,.,•当7n=300时，w最大，

此时百香果的箱数为：400-300=100（箱）.

答：张先生将100箱仃香果和300箱金桔进行搭配销售时;获利最大.

18.【答案】（1）证明:如图，

第14页

A

CB

•••CF||AB,

:，Z.EAD=Z-EFC»

♦・•点E为CD中点、,

ADE=CE,

在△/1/)£和AFCE中,

Z-EAD=乙EFC

乙AED=乙FEC,

DE=CE

:AADE三△FCE(AAS),

...AD=CF,

,:点D为AB中点,

：•BD=ADf

...BD=CF,

又•••CF||ABf

••・四边形DCF8是平行四边形,

在△ABC中，^LACB=90°,点。为中点,

DC=BD=AD=^AB,

.••平行四边形DCF8是菱形.

B

连接。户交8c于点H,

由（1）可知：四边形OCr8是菱形,

第15页

DH1BC,CH=BHBC,FH=DH,BD=BF,

•••BF=10,

:.BD=BF=10,

,:煎D为AB中息,

--.AB=2BD=20,

在△4BC中，Z.ACB=90°fAC=12.

由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=V202-122=16,

CH=BH=^BC=8,

•・•点。为AB中点，”为BC的中点，

•・・。，是△48C的中位线，

1

:.DH=^AC=6,DH||AC,

FH=DH=6,

•••DF||AC,

FHGsxACGt

/7G_F/f__6__1

't~GC=AC=12=2,

.•.设HG=a,GC=2a,

CH=CG+HG=3a=8,解得：a=

•••GC=2a=竽.

【解析】【分析】(1)根据CA4B平行，得“4D、4EFC相等，根据点E为中点，得DE、CE相等，进一

步即可证明△40E和△FCE全等，根据全等性质，结合点。为48中点，得AD、CF.BO相等，根据CF、4B平

行可判定四边形DCF8是平行四边形，再根据直角三角形性质得DC、BD相等，即可判断

平行四边形。CFB是菱形.

(2)连接OF交BC于点H,根据菱形性质得DH、BC垂直，CH、8H相等，等于FH,0,相等，

BD、BF相等，等于10,进而得48等于28D,等于20,根据勾股定理得8C等于16,进一步得CH、BH等于

8,再证明。”是△A8C的中位线得FH、0”等于6,根据DF、平行可证明△FHG和△4CG相似，即可得

薨、界相等，等于｝设HG=Q,GC=2Q,列方程解出“=2&=竽即可得出GC的长.

(1)证明：C.F||AR.

Z.EAD=Z.EFC，

第16页

，.•点E为CD中点,

•••DE=CE,

在△4/)/;和△/CE中，

Z.EAD=乙EFC

Z-AED=乙FEC,

DE=CE

:4ADE三△FCE(AAS),

:.AD=CF,

♦:点、D为AB中点,

：.BD=ADf

.•・BD=CF,

又•••CFIIAB,

••・四边形DCFB是平行四边形，

在△ABC中，乙4c8=90。，点。为力8中点,

DC=BD=AD=\AB,

二平行四边形DCF8是菱形；

(2)解：连接0尸交8c于点H,如图所示：

由(1)可知：四边形DCFB是菱形，

1

••・DH1BC,CH=BH=^BC,FH=DH,BD=BF,

乙

•••BF=10,

：•BD=BF=10,

•.•点。为48中点，

.・.AB=2BD=20,

在△48C中，^ACB=90°,AC=12.

由勾股定理得：BC=yjAB2-AC2=V202-122=16,

CH=BH=BC=8，

4

♦:点D为AB中点,“为BC的中点,

第17页

.•.0”是△48c的中位线,

DH=^AC=6,DH||AC,

FH=DH=6,

•••DFMC,

•••△FHGACG♦

HG_FH_6_1

GC=AC=12=2"

••・设，G=a,GC=2a,

:.CH=CG+HG=3a=8»

解得：Q=小

:.GC=2a=学.

19.【答案】(1)(0,1)

(2)y=^x2

(3)解：如图，过点N作NE_Ly轴交于点E,

图4

根据题意可得点?为焦点，坐标为（0微）,

•••MN||y轴，NE_Ly轴，

:.乙MNE=90°,

•••乙MNG=Z-FNG=22.5°,

乙FNE=45°,

・・.△FNE为等腰直角三角形,

设EN=FE=a,

9

CE=—Q,

第18页

当点N在y轴右边时，设N(Q,搭-Q),

4

2

-X

把N(Q,五一Q)代入y9

可得微一a=§Q2,

解得。=埠2(负值舍去)，

O

当点N在y轴左边时，点N的横坐标为-访即一呼+9

O

综上，点」的横/12标为典二2或一%?+9；

OO

(4)解：•・•z_a=45°,

••.△EDB为等腰直角三角形，

设DB=ED=b,

•••DC=EC-ED=1—b,

•••B(bJ-b),

把B(b,l-b)代入抛物线表达式为1-b=/川，

解得b=2a—2(负值舍去)，

•••5(2^-2,3-272).

111

【解析】【解答】(1)解：诟=鬲=1，

所以焦点的坐标是(0,1),

故答案为；(0,1)；

(2)

解：,・工8为1.5,

.4B_3

,•~2~=4*

为0.25米，

:4(一另)，

设抛物线的表达式的表达式为y=ax2,

把“(-MW)代入可禺=(T)a，

解得Q=小

所以抛物线的表达式的表达式为y=

故答案为：y=^x2;

【分析】(1)根据题意列式计算即可求出答案.

第19页

(2)由图可得/1(一1；)，设抛物线的表达式的表达式为、=。/,再根据待定系数法将点A坐标点代入表

达式即可求出答案.

(3)过点N作NEly轴交于点E,根据题意可得点尸为焦点，坐标为(0,得)，根据直线平行性质可得

2MNE=90。，再根据等腰直角三角形判定定理可得△FNE为等腰直角三角形，设EN==Q,则CE=

白-小分情况讨论：当点N在y轴右边时，设N(a推-Q),将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案;

当点N在y轴左边时，点N的横坐标为-a,即-9g+9,即可求出答案.

O

(4)根据等腰直角三角形判定定理可得・•.△EDB为等腰直角三角形，设。8=EO=b,则OC=EC-E。=

1-b,即8(b,l-b),再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.

11I

(1)解：赤=碣=1，

所以焦点的坐标是(0,1),

故答案为：(04)；

(2)解：•:AB为15,

磐3

-

24

二。为0.25米，

・"(一籍)’

设抛物线的表达式的表达式为y=Q/,

把4(H)代入可得上=(一号).Q,

解得Q=

4

2

-X

所以抛物线的表达式的表达式为y9

42

-X

故答案为：V9

(3)解：如图，过点N作轴交于点E,

第20页

图4

根据题意可得点?为焦点，坐标为（0描），

•••MNIly轴，NEly轴，

•••乙MNE=90°,

•••乙MNG=乙FNG=22.5°,

:.Z.FNE=45°,

••.△FNE为等腰直角三角形，

设EN=FE=a,

丁9

CE-]6—Q，

当点N在y轴右边时，设N（a,得一Q）,

把N（。喘-。）代入y=舐2,

可得怖—a=a2»

解得°=嶂w（负值舍去），

O

当点N在y轴左边时，点N的横坐标为-a,即再±2,

O

综上，点N的横坐标为嶂艺或二?等；

（4）解：vza=45°,

.•.△EOB为等腰直角三角形，

设08=ED=b,

DC=EC-ED=l-b,

•••8（6,1-b）,

把-5）代入抛物线表达式为1一b=/

解得b=2a—2（负值舍去），

第21页

.--5(2^-2,3-272).

20.【答案】(1)①③④

(2)3

(3)解：如图2,

•・•对称四边形ABCD关于直线4c对称，点B和点。为对应点,

：.AC180,BO=0D.

:•乙DOE=乙AOB=90°.

■:DF1AB,

;•乙DFB=90°.

：.Z.BAO+乙ABO=(ODE+乙ABO.

：.Z.BAO=Z.ODE,

又•：乙DOE=Z-AOB=90°,

△ABOsbDEO.

.AO_BO

，，OD=OE'

：・OB=7A。,OE=2&.

:・BD=2OB=4&.

・•.对称四边形ABCD的面积=-AC=12式.

当点F与点C重合时，根据题意得:

BD垂直平分线段4F,BA=BC

：.EA=EF.

・••四边形力"E为筝形，是对称四边形.

第22页

9：AD=/0,^LADF=/-ABC=60°.

・・・△ADP为等边二角形.

根据图形折叠的性质可知乙兄4E=^DAE,

：.GC=DG.

.DGi

••而=1-

(II)如图，

当点尸在。4的延长线上时，根据题总得：

AF=AD=AB,4FAB=60。,

:•△ABF为等边三角形.

：.FA=FB.

根据图形折叠的性质可得：^EAD=^EAF=90°,

:.乙EAE=30°.

:•乙EAB=Z.EBA=30°.

：.EA=EB.

・•・四边形AE8尸为筝形，是对称四边形.

根据题意可知乙C4E=30°.

：.^CAE=乙BAE.

'：BA=BC,Z,ABC=60°,

•••△4BC为等边三角形.

:・BN=CN.

又•：乙BAN=cCGN,乙ANB=^GNC,

/.△ABN三ZiGCN.

：.AB=GC.

：.GC=DC.

:.DG=2GC.

.DGi

••就二乙

(III)如图,

第23页

A

D

G

当4。||EF时，根据图形折叠的性质可知：

AF=AD,/.ADE=^AFE=30°,LFAE=Z.DAE,Z-FEA=/,DEA.

*：AD||EF,

：.LFEA=Z-DAE.

：.^DAE=/LDEA,LFEA=/.FAE.

：.AD=DE,AF=EF.

：.AB=DE.

*：AD||EF,

・•・乙凡40=180°-匕AFE=150°.

：.LFAB=30°.

：.^FAB=^ABD.

：.AF||BE.

在40/1E中

AB=DE,/.FAB=Z.ADB=30°,AF=AD,

：.△AFBWADAE

：.FB=AE

・・・四边形AE8F为等腰梯形，是对称四边形.

在△A80中，Z.ABD=LADB=30°,

••AD=AB=^-BD-

：・DEVBD，8E=(1-*)8D.

'：AB||CD,

・DGDE3总+373+1

，9AB=BE=—6~=-T-

,DGJ3+1

=2+V3.

•飞=v5+l—2

(IV)如图,

第24页

A

D

F

当4。1凡4时，根据题意得：

Z-BAF=Z.BAD-Z-DAF=30°,/-ADE=乙AFE=30°,

：./-BAF=乙AFE=30°.

：.AB||EF.

:,乙ABD=乙BEF=30°.

；・tADE=乙BEF.

根据图形折叠的性质可知FE=ED,Z.FAE=24凡4。=45°

：.Z.BAE=/-FAE+^BAF=75°.

：.^BEA=180°-^ABD-Z-BAE=75°.

：.^BAE=Z-BEA.

：.BA=BE.

：.BE=AD.

在48/E和△4E0中

FE=ED,乙ADE=ABEF,BE=AD,

/.△BFE=△AED.

：.BF=AE.

・・・四边形AEFB为等腰梯形，是对称四边形.

在△AB。中，Z-ABD=^ADB=30°,

•'-AD=AB=^-BD-

BE-*BD,DE=（1-吊）BD.

*：AB||CD,

•DG_DE_历1

,•而=踮=‘3-L

・第=岩=百+1.

CG273

综上所述，器=1或2或2+b或V5+1.

【解析】【解答】解：（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形.

②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形.

第25页

③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形.

④筝形的对称轴为直线AC,所以筝形一定是对称四边形.

故答案为：①③④

(2)如图，

根据题意可知：四边形48co不可能为菱形和正方形，

・••当四边形ABC。分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形4BCD是对称四边形，

・,•点。在图中的位置如图所示，共有3个.

故答案为：3.

【分析】(1)根据对称四边形的定义，分别对①②③④逐个判断即可得答案.

(2)根据题意可知：四边形48co不可能为菱形和正方形，即可得当四边形48co分别为矩形、等腰梯形和筝

形时，四边形48co是对称四边即可得答案.

(3)对称四边形48CD关于直线4c对称，点8和点。为对应点，即可得AC、BD垂直，BO、0D相等，进一步根

据已知可证明△4B0、ADEO相似，根据相似性质得到铜、器相等，根据勾股定理得08=2直，进而可求

得对称四边形48co的面积12a.

(4)当点尸与点C重合时，根据题意得80垂直平分线段"，BA、BC相等，进一步判断△40尸为等边三角形，

再根据折叠的性质可知”力E相等，即可得GC=DG,即可得空=1,同理得当点尸在ZM的延长线上

OC

时.，提=2,当4。IIEF时，器=2+75,当401凡4时，器=b+1,综合即可得答案.

(1)①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行