2027高考数学复习：等式与不等式综合（十年）

专题03等式与不等式综合（含基本不等式）

考点分类五年考情(2017-2026)命题规律

1.题型以选择题为主，少量填空题，整

体难度偏低，属于基础题型。

2026上海卷、2025北京卷、20242.核心考查不等式基本性质、作差/作商

考点01不等式性

上海卷、2022上海卷、2019全国比较大小，常结合实数范围判断命题正

质

I【卷、2017山东卷误。

3.命题形式简洁，多直接给出变量大小

关系，侧重对性质的理解与简单应用。

1.选择、填空均有考查，常与集合运算

上海卷、全国二卷、

202620252025结合出题，是高考高频基础考法。

上海卷、2025天津卷、2024上海2.重点考查一元二次不等式、高次不等

考点02解不等式卷、2023新课标I卷、2020浙江式求解，同时考查不等式恒成立求参数

卷、2020全国I卷、2019全国H范围问题。

3.部分试题结合函数综合考查，对分类

卷、2018天津卷

讨论思想有一定要求。

2026天津卷、2026上海卷、2025

上海卷、2024北京卷、2024上海

1.考查题量最多，包含选择、填空、解

卷、2023上海卷、2022全国甲卷、

答题,有单选、多选形式,难度覆盖基

新高考全国卷、新高

2022I2022础到中档。

考全国H卷、2021全国乙卷、20212.核心考查利用基本不等式求最值、判

考点03基本不等

新高考全国I卷、2021天津卷、断不等式恒成立，重点考杳“一正、二

式

2021上海卷、2020上海卷、2020定、三相等”使用条件。

3.综合性强，常融合圆锥曲线、解三角

山东卷、2020全国II卷、2020天

形、函数、解析儿何等知识命题，注重

津卷、江苏卷、天津卷、

20202019配凑、换元等解题技巧。

2018江苏卷、2018天津卷、2017

天津卷

gio年真题•精准练‘为

考点（）1不等式性质

1.（2026・上海・高考真题）已知则下列不等式恒成立的是（）

A.x>/B.C.x2>yD.x+y>xy

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD,根据不等式的传递性即可求解C.

【详解】对于A,取x=3,），=2,则x=3，V=4,故所以人错误，

对于B,取x=1.5,y=L2»则孙=L8,x+y=2.7,此时孙<%+y,故B错误,

对于C,由于故％2>x,因此彳2>丁，C正确，

对于D,取x=3,y=2,则x+y=5,盯=6,此时4+），<封，故D错误,

故选：C

2.（2025・北京•高考真题）已知1〃>0/>0,则（)

I11

A.a2+/?2>2abB.—+->——

ahab

112

C.a+b>>fabD.

abaib

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当〃时，/故A错误;

对于BD,取它此时卜3=2+4=6<丁，=8=£

242Xi

lie,,2A后21

—h—=2+4=6>-i--------------=4。2=,—

abkJ向，故BD错误;

V2X4

对卜C,由基本不等式可得〃+Z?22\/i万>5/^,故C正确.

故选：C.

3.（2024.上海.高考真题）a,b,CGR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b1>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab1>ac~D.a-b>ere

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

【详解】对于A,若问〈同，则〃</,选项不成立，故A错误；

22

对于B,由不等式的可加性可知，a+b>a+c，故B正确;

对于C、D,若。=0,则选项不成立，故C、D错误.

故选:B.

4.（2022・上海・高考真题）若实数。、〃满足下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\fabB.a+b<2\[abC.—+2b>2\[abD.—+2b<2\/ab

【答案】A

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】因为">〃>（）,则〃+〃一2荷=（6-扬丫>0,故a+b>2而,A对B错;

2呜+妹2疯,

当且仅当5=2。时，即当。=助时，等号成立，CD都错.

故选：A.

5.（2022•上海•高考真题）已知下列选项中正确的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>beD.ac>bd

【答案】B

【分析】用不等式的基本性质得解.

【详解】Q3>2>l>0,但3+0=2+1,3x0<2xl,A、C错

Qa>b>c>d,:.a>c,b>d,所以a+c>〃+d.B正确.

Q30>2>-1>-2,(130x(-l)<2x(-2),D错.

故选:B.

6.（2022•上海•高考真题）x-yWO,x+y-1，。，则z=x+2y的最小值是___________.

3

【答案】1/1.5

31

【分析】分析可得x+2），=；（x+y）-；（%-），），利用不等式的基本性质可求得z=x+2），的最小值.

,3

【详解】设x+2），=〃z（x+），）+〃（％-y）=W+〃）x+（〃7-〃）y,叫“_〃一2,解得J1'

n=

2

所以，z=x+2y=-(x+y)--(x-y)>~,

3

因此，z=x+2y的最小值是

3

故答案为：

7.(2019・全国H卷・高考真题)若a>b,则

A.ln(a-Z?)>0B.3a<3b

C.苏_加>0D.|«|>|/?|

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为“>〃，所以当々—2=1时，ln(a-〃)=(),知A错，因为j，=3、是

增函数，所以3〃>3人，故B错；因为基函数y=Y是增函数，a>h,所以知C正确：取〃=11=-2,

满足〃>/九1=同<|a=2,知D错.

【详解】取。=2,〃=1,满足ln(a-加=0,知A错，排除A；因为9=3。>3卜=3,知B错，排除B；

取。=1”=-2,满足。>力，1=同<网=2,知D错，排除D,因为雾函数y=/是增函数，〃>/>,所以/>乩

故选C.

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、暴函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算

能力素养，利用特殊值排除即可判断.

8.(2017・山东・高考真题)若a>b>0,且加1,则下列不等式成立的是

A.〃+\〈卷vlog2(a+〃)B.^-<log2(a+b)<a+^

b1b

C.«+—<log2(a+b)<—D.Iog2(a+b)<a+—<—

【答案】B

【详解】因为a>—>0,且"=],所以a>l,0v》vl,，3a，log2(a+〃)〉log22，^=l,

设f(x)=2v-x,(x>1),则/(X)=2rln2-l>0,所以/(力=2'-x,(x>1)单调递增,

所以2'"不>。+,>4+〃=>4+1>bg、(a+力),所以选B.

bb

【名师点睛】比较幕或对数值的大小，若幕的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调

性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、

对数函数的性质及基本不等式作出判断.

[Q考点02解不等式

1.（2025•全国二卷•高考真题）不等式二22的解集是（）

x-\

A.{JA-2<X<\}B.{RX4-2}

C.{A|-2<X<1}D.{x\x>1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】=22即为gwO即上：2）尸）"。，故.2?x1,

x-1x-\[x-1*0

故解集为{xl—2WXV1}.

故选：C.

2.（2023•新课标I卷•高考真题）已知集合加={-2,-1。1,2},/=卜卜27―62。},则（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合”中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为'={#27_620}=（-8,—2]33,+8）,而“={-2,-1,0,1,2},

所以MQN={-2}.

故选：C.

方法二：因为例={-2,-1,0,1,2},将—2,-1,0,1,2代入不等式/一工一620,只有-2使不等式成立，所以

MN={-2}.

故选：C.

3.（2020•浙江•高考真题）已知小方€1i且出/0,对于任意后0均有a-a）db）（x-2a-/2）K）,则（）

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【分析】对。分。>0与avO两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】因为他工0,所以且方=0,设/（幻="一。）（%一历“一2。一与，则/"）的零点

为再=a,x2=b,x3=2a+b

当。>0时，则/<七，方>。，要使/*)20,必有加+力=。，且力<0,

即“一叫且。<0,所以〃<0；

当avO时，则W>用,x,<0,要使/(x)20,必有人<0.

综上一定有〃<().

故选：C

【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.

4.(2020・全国I卷・高考真题)已知集合4={%|^-3x-4<0},B=HM,3,5},则()

A.{-4,1}B.{L5}

C.{3,5|D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4,之后利用交集中元素的特征求得ACB,得到结果.

【详解】由丁一3工一4<0解得-l<xv4,

所以A={x[T<x<4},

又因为8={<1,3,5},所以ArB={1,3},

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

运算，属于基础题目.

5.(2019・全国H卷・高考真题)设集合4={小2_5.计6>0},B={x|x-l<0},则A08二

A.(-OD,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【详解】由题意得，人={#(2或»3},4={小<1},则AcB={x|x<l}.故选A.

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目.

t+2

6.(2026♦上海•高考真题)关于x的不等式—<。的解集为____________.

x-3

【答案】(-2,3)

r4-2

【分析】由\<。可得3)<。，解不等式可得其解集.

【详解】由—r4-2<。可得:。+2)*-3)<。，

x-3

解得:-2<x<3,

所以不等式主r43-2<o的解集为(-2,3).

x-3

故答案为：(-2,3).

X—1

7.(2025•上海•高考真题)不等式一^<0的解集为_________.

x-3

【答案】(1,3)

【分析】转化为一元二次不等式(x-1)"-3)<0,解出即可.

【详解】原不等式转化为解得lvxv3,

则其解集为(1,3).

故答案为：(1,3),

8.(2025・上海•高考真题)不等式一\<0的解集为____.

x-1

【答案】(0,1)

【分析】将不等式上7<0化为即可得答案.

X—1

【详解】由题意得不等式一・<0即

X—1

即不等式一、<0的解集为(0,1),

x-1

故答案为：(0,1)

9.(2025•天津•高考真题)若a,AR,对Wxe[—2,2],均有(2。+〃)/+次一。一】《。恒成立，则2〃+b的最

小值为_______

【答案】-4

【分析】先设/=2〃+沙，根据不等式的形式，为了消。可以取"=-；，得到/2-4,验证f=Y时，。/是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设1=2。+人，原题转化为求f的最小值，

原不等式可化为对任意的-24x<2,t^+(t-2a)x-a-\<0.

不妨代入x=_g，得%一；(—2°)—4—1«0,得d-4,

当Z=T时，原不等式可化为Yx2+(-4-2a)x-a-\<0,

即一2工+仕4+1]+-6/2<0,

[1244

观察可知，当。=0时，一(2x+l)2《0时—2Wx«2•定成立，当且仅当％=取等号,

此时，a=0,b=-4,说明Z=T时，4,。均可取到，满足题意，

故/=%+6的最小值为T.

故答案为：-4

10.(2024.上海.高考真题)已知xwR则不等式f-2x-3v0的解集为.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程丁-21-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程V—2x—3=0的解为x=—l或x=3,

故不等式/-2公3<0的解集为卜1一1<工<3},

故答案为：{x|—lvx<3}.

11.(2018・天津•高考真题)已知aeR,函数={2rI';若对任意上{[-3,+8),”心

一厂+2x-x>0.

kl恒成立，则〃的取值范围是.

【答案】已，2

O

【分析】由题意分类讨论x〉()和xWO两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】分类讨论：①当x>0时，即：-X2+2A-2«<X,

整理可得：CI>~^X2»

22

由恒成立的条件可知:4之沁/+(X>。)，

、乙乙/max

结合二次函数的性质可知:

当旧时，则&N：；

I22J848

maxO

②当一3W0时,/(x)<|x|gp：x2+2x+a-2<-x»整理口J得：a<-x2-3x+2»

由恒成立的条件可知：6/＜（-%2-3^+2）^（-3＜^＜0）,

结合二次函数的性质可知：

巧工=-3或X=0时，（一/—3x+2）mjn=2,则々＜2；

综合①②可得°的取值范围是2,21，故答案为1,2.

_OJ[_O

点睛：对「恒成立.问题，常用到以下两个结论：⑴回㈤恒成（2）恪"）恒成'＞：=旧㈤加

有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对

称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

[Q考点03基本不等式

14

1.（2026•天津•图考真题）（XH■—）（1+—）的最小值为（）

XX

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【详解】因为（工+，丫工+±]=工2+_4+522,2.?+5=9,

Ix八xJxVx

A

当且仅当即丁=2,土灰时，等号成立，

x~

所以（1十T）（工十：）的最小值为9.

2.（2024・北京・高考真题）己知（小y）,（七,%）是函数5=2,的图象上两个不同的点，则（）

y+先:x+小

A.B.log2

22

C.log-,V|>，2<x,+x

2D.log]%；""+%

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设％＜公，因为函数），=2、是增函数，所以0＜2$＜23即

/T|,JX-----------a+x?4.V*!+电

对干选项AB：可得/'2＞，2+?珍=2,即v五江＞22＞0,

22

根据函数y=log2”是增函数，所以log?log22空=土土殳，故B正确，A错误；

22

对于选项D：例如耳=0,x2=1，则y=1，%=2,

3I3J

II；log2--~-=log2e(0,1),即log2n；"<1=9+入2,故D错误；

对干选项C:例如XI=-1,々=一2，则y=：,%=；,

可得log?岑&=log21=log23-3«-2,-l),BpiOg2Ai2i>-3=A-i4.X2,故c错误，

2o2

故选：B.

3.(2022・全国甲卷•高考真题)已知9m=10,a=l(T-U,1=8,一9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，"=1。心1。>1,再利用基本不等式，换底公式

可得〃?>lgll,log89>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:(指对数函数性质)

2

由9"'=10可得，〃=1唱1。=瞿>1，而lg91gli<产+怛11］<l=(lg10),所以瞿>黑，

1g9I2JI2Jv7lg9IglO

即〃?所以a=l(r-ll>ld8U-ll=0.

2

又1§8电10<(电8；310)=(等)<(lg9)l所以督〉翳，Epiog89>m,

所以方=8f<8"-9=0.综上,a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9"'=10，可得机=bg"0e(l，L5).

根据。力的形式构造函数”工)=炉7-心>1)，则r(x)=n"-l,

令r*)=0,解得小=小士，由m=log910w(l,1.5)知毛w(0,l).

/(x)在(1,-Ko)上单调递增，所以f(10)>f(8),即a>b,

乂因为/(9)=9MO-IO=。，所以a>o>b.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。，〃的形式构造函数f(x)=K"'-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

4.（2022.新高考全国II卷.高考真题）（多选）若x,y满足Y+）/-冲=|,则（

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<>2D.x2+y2>]

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为时《若（。加R），由丁+），2-个=1”『变形为，（彳+#2-1=3不，43（受）2,

解得_2Kx+yK2,当且仅当x=y=_l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B

正确；

由工2+）,2一孙=]可变形为卜2+9）_]=盯<¥/，解得/+/工2,当且仅当x=y=±l时取等号，所以

C正确；

因为V+y2—1变形可得仁_£1+3,2=],设x-2=cosa且y=sin。，所以

I2），22,

1252111

x=cose+-7=sine,y=-7=sin0,因此丁+y?=cos2。+二sin2^+-^sin^cos^=1+-T=sin2^——cos28+一

J3.J33V3J333

=9+Jsin（2e—所以当x=Yi,y=—正时满足等式，但是Y+ybl不成"所以D错误.

33I61|_3」3-3

故选：BC.

5.（2021・全国乙卷•高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.>?=lsinxl+j^~i

C.y=2'+2”D.y=lnx+---

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“正二定三相等”，即可得出

用D不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x24-2x+4=（x4-l）2+3>3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对于B,因为0v卜而目41,丁=卜皿乂+高22〃=4,当且仅当卜何目=2时取等号，等号取不到，所以其

Io111AI

最小值不为4,B不符合题意:

对于C,因为函数定义域为而2、>0,y=2'+22r=2'+2224=4,当且仅当2'=2,即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

4

对于D,y=\nx+---,函数定义域为（0/）一（1,转），而In工tR且InxwO,如当lnx=-l,>=-5,D不

In,r

符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等''的意义，再结合有关函数的

性质即可解出.

6.（2021.新高考全国I卷.高考真题）已知片，居是椭圆C：三+.=]的两个焦点，点M在。上，则

94

周的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|M耳|+|M|=2a=6,借助基本不等式归（也曾㈣即

可得到答案.

【详解】由题,"=9,从=4,则网+题|=2a=6,

所以阿后卜园用j幽业㈣]=9（当且仅当|吗|=|M用=3时，等号成立）.

t2，

故选：C.

【点睛】

7.（2020・上海・高考真题）下列不等式恒成立的是（）

A.a2+b2<2abB.a2+b~>-lab

C.a4■〃之2J|出“D.ci+h^—25/1ah\

【答案】B

【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得（〃+8）220,由此即可判断B是否

正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.

【详解】A.由基本不等式可知/+从之2",故A不正确；

B.fl2+b2>-2ab=>a2+b2+2ab>0^即20恒成立，故B正确；

C.当a=-l,〃=0时，，不等式不成立，故C不正确；

D.当。=-3/=-1时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

8.（2020・山东・高考真题）（多选）已知。>0,b>0,且a+从1,则（）

A.a2+b2^-B.2f>■!

22

C.Iog2a+log,b-2D.y/a+>/b<\/2

【答案】ABD

【分析】根据。+〃=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对J'A,a~+b~=a2+（1-«）*=2a1-2a+\=2\a

当且仅当。二人二g时，等号成立，故A正确;

对于B,a-b=2a-\>-\,所以岑">2/=二，故B正确;

2

a+b、

对于C,log2a+log2b=log2ab<log.

当且仅当。时，等号成立，故C不正确；

对于D,因为（6+形丫=1+2而41+4+0=2,

所以右+〃工血，当且仅当时，等号成立，故D正俩:

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考杳数学

运算的核心素养.

9.（2。2。・全国”卷•高考真题）设。为坐标原点，直线与双曲线0卞一2=（〉。力>。）的两条渐近

线分别交于DE两点，若-8E的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

2、,2A

【分析】因为。:r=-二=1（。>0力>0）,可得双曲线的渐近线方程是y=±-X,与直线工=。联汇方程求得

a'b~a

D，E两点坐标，即可"求得|石。|,根据的面积为8,可得而值，根据2c=2必方，结合均值不等

式，即可求得答案.

【详解】。:5一£=1（。>0/>0）

・,.双曲线的渐近线方程是尸±3

•.•直线.〃与双曲线。。一营一心。"。）的两条渐近线分别交于〉“两点

不妨设。为在第一象限，£在第四象限

x=a

x=a

联立b，解得

y=~xy=b

故D(a,b)

x=a_

联立解得仁b

故E(a,-Z?)

:.\ED\=2b

二.QDE面积为：SA0DE=^ax2b=ab=S

・双曲线C:二一二=l(a>0,"0)

a'h'

•1•其焦距为2c=2^/7+P'>2=2x/l6=8

当且仅当a=〃=2右取等号

••.C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

10.（2026•上海・高考真题）已知/+4尸=1,则必的最大值为.

【答案】；/0.25

4

【分析】根据基本不等式可得/+4/>4ab，结合条件即可求结论.

【详解】因为/+4〃=/+（2/?）222小幼=4（力，当且仅当。=勃时等号成立,

结合"+4〃=1可得，。匕二!，

4

当且仅当。=显,b=显或"一红，b=-显时等号成立，

2424

所以当a=立，力=正或〃=一直，）=_4!时，必取最大值，最大值为:

24244

11.（2026.上海•高考真题）若。>0,b>0,且。+2〃=4,则曲的最大值是.

【答案】2

【分析】由于。、b为正值，且。+»为定值4,因此可以运用基本不等式先求出2国的最大值，进而求

出面的最大值.

【详解】解：V«>0,b>0,a+2b=4

4=a+2h>2\j2ab

：,ab<2,当且仅当a=»时取等号，即a=2,。=1时取等号

故答案为：2

【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定.三相等”的条件，属于基础

题

12.（2025・上海•高考真题）设!=则的最小值为_________.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用“1”将人+，=卜+，展开利用基本不等式计算即可.

ak〃八b）

【详解】易知匕+，=[7+，]fa+，）=。而+，+2224山一!-+2=4,

aI〃八bJabvab

当且仅当必=1,即〃=g,A=2时取得最小值.

故答案为：4

13.（2024・上海・高考真题）已知而=1,4/+9/的最小值为.

【答案】12

【分析】利用不等式用+从之皿即可求解.

【详解】44+%2=（2〃y+（3与2A2X2〃X3〃=12/而=12,

当且仅当a=3,即"逅，人诬或〃=-亚力=-亚时，等号成立，

故4/+9从的最小值为12.

故答案为：12.

14.（2023・上海・高考真题）已知正实数〃、满足a+4A=l,则而的最大值为.

【答案】J

lo

【分析】由"=,小4〃4」(竺竺f,代入即可得出答案.

4”2J

【详解】ab=-a-4b<—(a+^^\=lx-=—,

44(2J4416

当且仅当“。=4。、'，即。=；力=：时取等，

28

所以时的最大值为4.

16

故答案为：J

10

15.(2022.新高考全国I卷.高考真题)记VA4C的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知

cos4_sin24

I+sinAl+cos28

(1)若。=彳，求B；

/J.〃2

(2)求幺?-的最小值.

c-

【答案】⑴j

o

⑵4&-5.

【分析】(1)方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方

法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知A+28=］即可求解，方法四：根据半

角公式和两角差的正切公式化简后求解.

(2)由⑴知，。=2+8,A=1-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将伫互化成4cos"十一T5,

22c2cos-B

然后利用基本不等式即可解出.

【详解】(1)方法一：直接法

cosAsin28

---:---=—=---可得cosAcos2B+cosA=sin2B+sinAsin2B,

1+sinAI+cos28

则cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2A,即cos(A+28)+cosA=sin28,

注意至I」A+8=m，J-zt；cos(—4-B)4-cos(-^-B)=sinIB,

3JJ

展开可得2cosycosB=2sinBcosB,则sinB=g,

又B=j

36

方法二：二倍角公式处理+直接法

cosAsin2B2sinZ?cosBsinB

因为

1+sinAl+cos2B2cos'4cos4

即sinB=cosAcos8-sinAsin8=cos(A+8)=-cos。=；，

而0<8<三，所以8=3

36

方法三：导数同构法

cos^|-2Bj

柏用cos4sin28cosA

根据言7=。^可知‘

I+sinA

1+sin--2B

12)

2

COSX(0<x<»/Xx)=-sin.v(l+sinx)-cosx

设f⑶=

1+sinx(I+sinx):

兀由

cos-----2D

cosA_1.2)

则f(x)在0,5上单调递减,

乙)1IsinA..。/

1+sinl

故A+28=g,结合A+B=3解得8=9

236

方法四：恒等变换化简

,4->AA.A

cos----s:n--cos---sin-

cosAsin2B2sin8cosB

--------=----------<=>22o----x------申=tanB

I+sinAI+cos2BA.A}2cos2BA.A

cos4-smcos—+sin

、22)22

,A

1-tan-

。I_(兀A)_

=tan5<=>tan(-4----2-)=tan,

I+tan-

2

姑介正切函数的单调性，=则A+2B=],

结合A+6=/解得6=[.

36

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以2<。<兀,0<8<£,

22

而sin4=-cosC=sin(C-5,

所以。=色+8,即有A=2—28,所以Be

22.kg

所以由正弦定理得且¥■sin'A+sin、Bcos223+1—cos'B

csin2ccos2B

(2COS2«-1)2+1-COS2B

=4cos"+—4——5之2屈5=4夜-5•

cos2Bcos'B

当且仅当cos?3=］时取等号，所以勺Q的最小值为40-5.

16.（2022・全国甲卷•高考真题）已知VA8C中，点。在边3c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当〜

AB

取得最小值时，BD=.

【答案】G-1/T+石

【分析】设8=28。=2〃?>0,利用余弦定理表示出箓后，结合基本不等式即可得解.

【详解】［方法一］:余弦定理

设CD=2BD=2m>。,

则在△AB。中，AB2=BD~+AD--2BDADcosZADB=m1+4+2m，

222

在LACD中，AC=CD+AD-2CDADcosZADC=4〃『+4-4〃?，

AC2_4>+4-4m_4(>+4+2/〃)-12(1+m)«地

I圻以A8*m2+4+2mw2+4+2m/,3

(/?M2+lH------

'7m+\

I)

24——/=4-26

V7m+\

当且仅当机+1=二即加=6-］时，等号成立，

m+l

Ar

所以当三取最小值时，，〃=GT,

故答案为：V3-1.

BD

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,石)，B(-t,0)

£二(2一厂3=4；j+4=4__12,4_273

AB

~(f+l)-+3厂+力+4(/+1)+J_

'7/+l

当且仅当1+1=6,即8。=6-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

(?=x2+4+2x

:.