5.4.2 角平分线的性质定理的逆定理应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

新湘教版八年级上册数学第5章直角三角形5.4.2角平分线的性质定理的逆定理应用学习目标1.理解角的平分线的性质及逆定理，并能熟练运用；2.能够利用角平分线的性质解决实际问题，通过逻辑推理和数学计算，解决与角平分线相关的数学问题；3.掌握三角形的内心及图形语言.任务导入角平分线性质定理角平分线性质定理的逆定理任务导入如图，

已知EF⊥CD于点

E，EF⊥AB于点

F，MN⊥AC于点

N，M是EF

的中点.需添加一个什么条件，

就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ABCDEFMN任务导入如图，

已知EF⊥CD于点

E，EF⊥AB于点

F，MN⊥AC于点

N，M是EF

的中点.需添加一个什么条件，

就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ABCDEFMN∵

ME⊥CD，

MN⊥CA，MN=ME同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME∴

M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线又∵M是EF

的中点∴MF=ME=MN添加条件

MN=MF

可以吗？应用提升例1如图,在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F.试探索BE+PF与PB的大小关系.ABCFEDP解：∵

AP是∠DAC的平分线又∵PE⊥DB，

PF⊥AC∴PE=PF在△EBP中，BE+PE>PB∴

BE+PF>PBFED应用提升如图，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.ABC分别作∠BAC与∠ABC的平分线,它们交于点PP过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.∵AP是∠BAC的平分线又∵PD⊥AB，PE⊥AC∴PD=PE∵BP是∠ABC的平分线又∵PD⊥AB，PF⊥BC∴PD=PF从而PD=PE=PF因此P为所求作的点1.

如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB

于点D，求证：(1)∠ECD=∠EDC；(2)

OC=OD.应用提升ACOBDE∴∠ECD=∠EDC从而△EDC

是个等腰三角形.∴

ED=EC证:(1)∵点E在∠BOA的平分线上又∵EC⊥AO，ED⊥OB(2)在Rt△OED和Rt△OEC中ED=ECOE=OE∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL)从而

OD=OC课堂练习应用提升课堂练习2.

如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.证:

作CM⊥AB于点M.ABDECM∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE∴CD=CM，CE=CM在Rt△ACD和Rt△ACM中CD=CMAC=AC∴Rt△ACD≌Rt△ACM(HL)从而AD=AM同理，

BE=BM∵AB=AM+BM∴AB=AD+BE3．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(

)A．点MB．点NC．点PD．点Q应用提升课堂练习D4.如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A.

一处

B.

两处

C.

三处

D.

四处应用提升课堂练习DA.

一处

B.

两处

C.

三处

D.

四处应用提升课堂练习5.如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(  )D6．如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________．75°应用提升课堂练习7.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺（单位：cm）如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C,P在这把直尺上的刻度读数分别是2cm和5cm，则OC的长度是________.

应用提升课堂练习8．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________．50°

应用提升课堂练习9.

如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝______．3.5应用提升课堂练习【点拨】因为△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，所以PE＝PF，PF＝PG.所以PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，PE＝PF，BP＝BP，所以Rt△BEP≌Rt△BFP，所以BE＝BF，同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，因为AB＝8，AC＝6，所以BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x.因为BC＝BF＋CF＝7，所以8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，所以AE＝3.5.10．如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？(不写作法，保留作图痕迹)【解】如图．应用提升课堂练习11.如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线恰相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(

)A．S1＋S3＝S2