2025-2026学年湖南省邵阳市邵东市创新高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省邵阳市邵东市创新高级中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（）A.5种 B.6种 C.8种 D.9种2.方程的解为（）A.4 B.15 C.5或14 D.4或153.已知随机变量ξ服从正态分布N（3，25），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c-2），则实数c的值是（）A.4 B.3 C.2 D.14.现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（）A. B. C. D.5.在的展开式中，常数项为216，则a=（）A.±1 B.±2 C.±3 D.±46.由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（）A.9 B.21 C.36 D.427.在（x+2）（x-1）7的展开式中，x3的系数为（）A.-49 B.49 C.-7 D.-358.有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大

C.所有项的二项式系数和为28 D.所有项的系数和为3810.下列说法中正确的是（）A.样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5

B.随机变量X～B（4，p），若，则

C.已知随机事件A，B，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，若，则事件A，B相互独立

D.若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）=0.7，则P（3＜X＜4）=0.211.将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（）A.共有3125种放法

B.恰有一个盒子不放球，共有1200种放法

C.恰有两个盒子不放球，共有3000种放法

D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是

.13.已知-=，则m=

14.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得10分，否则扣5分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，已知D为AB的中点，，CD=2，∠ADC=60°.

（1）求△ABC的面积；

（2）求BC的长.16.(本小题15分)

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AD∥BC，且AB=BC=BB1=2AD=2.

（1）求证：AB1⊥平面A1BC；

（2）求平面A1CD与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.17.(本小题15分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（），焦距为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，A（0，），若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点．18.(本小题17分)

为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据.时间t/min[0，12）[12，24）[24，36）[36，48）[48，60）[60，72]人数630351964（1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；

（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；

（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）.19.(本小题17分)

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,).

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16．

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(-3,+3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(-3<Z<+3)=0.9974，0.0.9592，0.09．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】2

14.【答案】15

15.【答案】解：（1）根据题意可知S△ABC=S△ADC+S△DBC，

又因为D为AB的中点，可得S△ADC=S△DBC，

，CD=2，∠ADC=60°，

根据余弦定理AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC，

代入已知条件得，

解得AD=4，

因为AC2+CD2=AD2，

所以可得△ADC是直角三角形，且AB=8，

所以S△ADC=CD•AC=×2×2=2，

因为D为AB的中点，

所以S△ABC=2S△ACD=4；

（2）由第一问可知∠A=30°，AB=8，

根据余弦定理可知BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos∠A，

代入得，

所以可得．

16.【答案】证明：∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴BB1⊥平面ABCD，

∵AB，BC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∵AB⊥BC，AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，

∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1；

∵BB1⊥AB，AB=BB1=2，∴平行四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，

∵BC∩A1B=B，BC，A1B⊂平面A1BC，

∴AB1⊥平面A1BC；

17.【答案】解：（1）由题意可得：+=1，2c=2，a2=b2+c2，

解得c=1，a=2，b2=3，

∴椭圆C的标准方程为+=1．

（2）证明：直线MN的斜率为0时，直线AM、AN的斜率之积小于0，不满足条件，舍去．

因此直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为my=x-t，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，化为（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0，

Δ＞0，

y1+y2=，y1y2=，

∵•=1，

∴（y1-）（y2-）=（my1+t）（my2+t），

化为：（m2-1）y1y2+（mt+）（y1+y2）+t2-3=0，

代入可得：（m2-1）+（mt+）+t2-3=0，

化为：（t-7m）（t+m）=0，

解得：t=7m，t=-m，

t=-m时，直线MN化为m（+y）=x，经过上顶点（0，-），

t=7m时，直线MN化为m（7+y）=x，经过定点（0，-7）．

综上可得：直线AM、AN的斜率之积为1时，直线MN经过定点（0，-7）．

18.【答案】解：（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有6+30+35=71人，∴所求概率；

（2）设中位数为t0，

由表格数据知：使用手机的时间t小于24分钟的频率为，使用手机的时间t小于36分钟的频率为，

故t0∈[24，36），∴，

解得：t0=28.8，

即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为28.8min；

（3）由题可得学生每日使用手机的时间在[48，72]内的概率为，

则，

所以，，，，

所以X的分布列为：X0123P所以．

19.【答案】解：（1）由题可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，

则落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率为1-0.9974=0.0026，

因为P（X=0）=×（1-0.9974）0×0.997416≈0.9592，

所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，

又因为X～B（16，0.0026），

所以E[X]=16×0.0026=0.0416；

（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，

得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，

则-3=9.334，+3=10.606，

由样本数据可以看出有一个零件的