2025-2026学年山西省北京师范大学大同附属中学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省北京师范大学大同附属中学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若复数z满足（1＋i）z＝2，则z的虚部为A.－1 B.－i C.i D.12.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（）A. B. C. D.3.若数据x1，x2，x3，⋯，x12的方差为9，则数据2x1-2025，2x2-2025，2x3-2025，⋯，2x12-2025的方差为（）A.2007 B.1989 C.36 D.184.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，，则角B的大小为（）A. B. C.或 D.或5.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B.（-4，4） C.（4，-4） D.6.如图，电路中A，B，C三个电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为（）A.

B.

C.

D.7.如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度MN，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和该建筑的最高点M的仰角分别为30°，45°，无人机距地面的高度AB为20米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度MN（单位：米）为（）A. B. C. D.408.在△ABC中，已知为线段AB上的一点，且，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（）A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件

B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件

C.事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”

D.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是（）A.若sinA＞sinB，则一定有A＞B

B.若△ABC是锐角三角形，则一定有sinA＞cosB成立

C.若bcosC-ccosB=a,则△ABC一定是直角三角形

D.若sin2A+sin2C+cos2B＞1，则△ABC一定是锐角三角形11.如图，在等腰梯形ABCD中，CD=1，E为AB的中点，点P在菱形BCDE的内部及边界上运动.设，其中x,y∈R（）A.若B，P，D三点共线，则2x+y=1

B.x,y的约束条件为0≤y≤1≤x+y≤2

C.若，则的取值范围是

D.若∠EPC=120°，则的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，18，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为

.13.△ABC中，A=120°，D在BC上，AD⊥AC，AD=1，则=

.14.数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中.请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中A在图示中①的位置，B在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知A与除B以外的运动员比赛胜率为，B与除A以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括AB间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员C夺得冠军的概率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=m-i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）.

（1）设复数，求|z1|；

（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.16.(本小题15分)

已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且.

（1）求与夹角的大小；

（2）设，求λ；

（3）设，求的取值范围.17.(本小题15分)

统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在[2500，3000）内.

（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在[4000，4500）内的应抽取多少人？

（2）估计该地居民的月收入的中位数；

（3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数.18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足（sinA-sinC）•（sinA+sinC）=sinB（sinA-sinB）.

（1）求角C；

（2）求的取值范围；

（3）当c=1时，角C的平分线交AB于D，求CD长度的最大值.19.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且设点P为△ABC的费马点.

（1）若，且△ABC面积为.

（i）求角B；

（ii）求；

（2）若，△PCA，△PCB，△PAB的面积为S1，S2，S3，求的最小值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ABC

11.【答案】BC