2026-2027学年人教A版高一数学必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元自测卷

2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测第二章一元二次函数、方程和不等式建议用时：120分钟，满分：150分第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式的解集为（） A． B． C． D．2．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（） A． B． C． D．3．已知，关于x的不等式的解集为，则（） A．3 B．2 C． D．4．若，则（） A． B． C． D．的大小关系无法确定5．若，则的（） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为66．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（） A． B． C． D．7．若正数满足，则的最小值是（） A．7 B．12 C．15 D．168．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D．10．已知，且，则下列说法正确的是（） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为11．已知不等式，下列说法正确的是（） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．13．已知，则的最大值为______.14．若存在，，则实数的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）对任意实数，.求证：16．（15分）（1）比较与的大小；（2）设，比较与的大小.17．（15分）设函数．(1)若，求的解集；(2)解关于的不等式：．(3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；18．（17分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台．(1)当年产量为20台时，求公司所获年利润；(2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？(3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？19．（17分）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.(2)已知，，求的最小值.(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.已知正数，满足，求的最大值.答案解析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式的解集为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得，所以不等式的解集为2．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【分析】根据得到不等式，解得即可.【详解】因为关于的一元二次方程有实根，所以，解得，即的取值范围是.故选：B3．已知，关于x的不等式的解集为，则（） A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解．【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根，由韦达定理得，解得，，故B正确．故选：B．4．若，则（） A． B． C． D．的大小关系无法确定【答案】B【分析】用作差法计算比较的大小关系．【详解】，故B正确．故选：B．5．若，则的（） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6【答案】B【详解】由，得，则，当且仅当，即时取等号成立，所以的最小值为6，无最大值.6．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（） A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解.【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，即．故选：D．7．若正数满足，则的最小值是（） A．7 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】根据题意可得：，代入中化简，结合基本不等式即可求解.【详解】由，得，则，当且仅当时，即时等号成立，故选：A．8．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可.【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足，所以，由根与系数的关系得：，结合题意得：即，解得或，即实数的取值范围是，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可.【详解】对于A：，，则，故，A正确.对于B：当，，，时，，故B错误.对于C：因为，所以，所以，C正确.对于D：当，，，时，，，故，D错误.10．已知，且，则下列说法正确的是（） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BC【分析】根据基本不等式判断A、B、C，根据，利用二次函数性质判断D．【详解】对于A，由，则，当且仅当且，即时，等式成立，所以的最小值为，故A错误；对于B，由，则，当且仅当且，即时，等式成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，由，当且仅当且，即时，等式成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为，所以所以，当时，取得最小值，最小值为，故D错误．11．已知不等式，下列说法正确的是（） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是【答案】ACD【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可.【详解】对于A，时，不等式为，化简得，令，解得，即或，所以不等式的解集为，所以A正确；对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误；对于C，令，因为不等式对恒成立，且是关于的一次函数，所以只需满足且即可.由恒成立，由，解得，C正确；对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，所以使不等式成立的整数.设对应的两个根为，则.所以，解得，D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．【答案】【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.【详解】∵，即.又，.故答案为：>.13．已知，则的最大值为______.【答案】【分析】直接由基本不等式即可求解【详解】，当且仅当时，等号成立．即的最大值为，故答案为：14．若存在，，则实数的最大值为___________．【答案】【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可.【详解】原不等式化为存在只需，令，则，当且仅当，即时，等号成立，，则实数的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）对任意实数，.求证：【答案】证明见解析【分析】利用换元法及基本不等式证明即可.【详解】证明：因为，，所以，，令，，则当且仅当，即时等号成立；所以，当且仅当时，等号成立.16．（15分）（1）比较与的大小；（2）设，比较与的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用作差法比较大小.（2）利用作商法比较大小.【详解】（1），所以.（2）由，得，，，因此，所以.17．（15分）设函数．(1)若，求的解集；(2)解关于的不等式：．(3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）；（2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）；（3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围.【详解】（1）由函数，若，可得，又由，即不等式，即，因为，且函数对应的抛物线开口向上，所以不等式的解集为，即的解集为．（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为．当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（3）由对一切实数恒成立，即对恒成立，当时，，所以，∵，∴，当且仅当时，即时等号成立，∴．18．（17分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台．(1)当年产量为20台时，求公司所获年利润；(2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？(3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？【答案】(1)万元；(2)台；(3)台.【分析】（1）根据分段函数求值即可；（2）解一元二次不等式，即可得解；（3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断.【详解】（1）当年产量为20台时，（万元），所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元；（2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即，解得，又因为，所以，即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台；（3）当时，，此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元，当时，，当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元，综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元.19．（17分）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.(2)已知，，求的最小值.(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.已知正数，满足，求的最大值.解：由权方和不等式得