经典相似三角形练习题

经典相似三角形练习题相似三角形作为平面几何的重要组成部分，不仅是中考与各类竞赛的常客，更是培养逻辑推理与空间想象能力的绝佳载体。掌握相似三角形的判定与性质，关键在于通过有针对性的练习，深化对“对应关系”与“比例思想”的理解。本文精选数道经典练习题，涵盖不同难度层次与常见模型，旨在帮助读者系统提升解题能力。一、预备知识：相似三角形的判定与性质回顾在进入练习之前，我们简要回顾相似三角形的核心判定定理与性质，这是解决所有相关问题的基石：*判定定理：1.AA（两角对应相等）：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似。2.SAS（两边对应成比例且夹角相等）：若两个三角形的两组对应边成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。3.SSS（三边对应成比例）：若两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。*性质定理：1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例（相似比）。2.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。二、经典练习题与深度解析（一）基础巩固：直接应用判定与性质例题1：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若AD=2，DB=3，AE=4，求EC的长及△ADE与△ABC的相似比。分析与解答：本题考查“平行线分线段成比例定理”及相似三角形的判定（AA）。因为DE∥BC，根据平行线的性质，可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C。在△ADE与△ABC中，∠A为公共角，且∠ADE=∠B，所以△ADE∽△ABC（AA）。根据相似三角形对应边成比例，有AD/AB=AE/AC。已知AD=2，DB=3，所以AB=AD+DB=5。设EC=x，则AC=AE+EC=4+x。代入比例式：2/5=4/(4+x)。解得：2(4+x)=20→8+2x=20→2x=12→x=6。故EC=6。△ADE与△ABC的相似比为AD/AB=2/5。反思：本题的关键在于识别“平行线型”相似模型（A字型），直接利用平行线得到角相等，从而证明相似。计算时需注意对应边的准确识别。（二）模型应用：“A”型与“X”型的灵活转换例题2：如图，已知在△ABC中，点D在BC边上，点E在AD边上，且∠BEC=∠BAC。求证：BE·BA=BC·BD。分析与解答：要证明BE·BA=BC·BD，即证明BE/BC=BD/BA。观察此比例式，需证△BDE∽△BAC或△BEC∽△BDA。已知∠BEC=∠BAC，这是一个关键的等角条件。我们来观察△BEC和△BAD。在△BEC和△BAD中，∠EBC=∠ABD（公共角）。若能再找到一组角相等，即可用AA判定相似。已知∠BEC=∠BAC，而∠BEC=∠BAD+∠ABE（三角形外角等于不相邻两内角之和），∠BAC=∠BAD+∠DAC。所以，∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠DAC→∠ABE=∠DAC。目前条件似乎更倾向于△ABE与△ACD？但我们的目标是BE/BC=BD/BA。换个思路，在△BED和△BCA中，∠EBD=∠CBA（公共角）。若能证明∠BED=∠BCA，则问题得证。∠BED与∠BEC互补，∠BCA与∠BAC、∠ABC互补。已知∠BEC=∠BAC，设∠BEC=∠BAC=α，∠EBC=∠ABD=β。则∠BED=180°-α，∠BCA=180°-α-β。显然不直接相等。回到最初的等积式BE·BA=BC·BD，可变形为BE/BD=BC/BA。考虑△BEA与△BCD是否相似？∠EBA=∠CBD（公共角）。若∠BEA=∠BCD，则相似成立。∠BEA=180°-∠BEC=180°-α。∠BCD=∠BCA=180°-α-β。还是不直接相等。再仔细观察∠BEC=∠BAC。点A、B、C、E是否共圆？若共圆，则∠BEC=∠BAC是显然的（同弧所对的圆周角相等）。但我们不能直接假设共圆，反而可以利用这个等角去构造相似。延长CE至点F，使∠BFC=∠BAC？或者，在△BEC和△BAC中，∠BEC=∠BAC，∠BCE=∠ACB（若能证明）。或者，考虑两次相似。在△ABD和△CBE中，是否有相似关系？∠ABD=∠CBE（公共角）。若∠BAD=∠BCE，则△ABD∽△CBE。而∠BAD+∠DAC=∠BAC=∠BEC=∠BCE+∠EBC（△BEC中，内角和）。即∠BAD+∠DAC=∠BCE+β。若∠DAC=β，则∠BAD=∠BCE。但∠DAC是否等于β呢？目前条件不足。我们再回到乘积式BE·BA=BC·BD，它等价于BE/BC=BD/BA。这提示我们，以B为顶点的两个三角形△BED和△BCA，或者△BEA和△BCD。让我们尝试证明△BDA∽△BEC。在△BDA和△BEC中：∠DBA=∠EBC（公共角）。已知∠BEC=∠BAC。而∠BAC是△BDA的一个外角吗？不是。∠BAC是△ABC的内角。∠BDA=∠DAC+∠C（△ADC的外角）。∠BEC=∠BAC=∠BAD+∠DAC。如果∠BAD=∠C，那么∠BDA=∠BAD+∠DAC+∠DAC=∠BAC+∠DAC=∠BEC+∠DAC。这似乎也不行。（稍作停顿，重新梳理）已知∠BEC=∠BAC，∠EBC是公共角。在△BEC和△BAC中，有两组角相等吗？∠BEC=∠BAC，∠EBC=∠ABC。是的！△BEC∽△BAC！（AA）啊！终于发现了！∠BEC=∠BAC（已知），∠EBC=∠ABC（公共角）。所以△BEC∽△BAC（AA）。因此，BE/BA=BC/BC？不对，对应边要找准。△BEC∽△BAC，对应角为：∠BEC对应∠BAC，∠EBC对应∠ABC，∠ECB对应∠ACB。所以，BE/BA=BC/BC？不，BE对应BA，BC对应BC？不对，应该是BE对应BA，BC对应AC，EC对应BC？不，相似三角形对应边是夹等角的边。∠BEC=∠BAC（∠E对应∠A），∠EBC=∠ABC（∠B对应∠B）。所以，△BEC∽△BAC，对应顶点为E→A，B→B，C→C。因此，BE/BA=BC/AC=EC/BC。所以BE/BA=BC/AC→BE·AC=BA·BC。这与我们要证的BE·BA=BC·BD还不一致。但我们得到了一个新的比例式。现在有了△BEC∽△BAC，可以得到∠BCE=∠BCA（即∠ECB=∠ACB），这意味着CE是∠ACB的角平分线？不一定是角平分线，但它们是对应角。再看△ABD和△CBE。∠ABD=∠CBE（公共角）。∠BAD与∠BCE是否相等？因为∠BAC=∠BEC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠BEC=∠BCE+∠EBC（三角形内角和，∠EBC=β）。所以∠BAD+∠DAC=∠BCE+β。而从△BEC∽△BAC得∠BCE=∠ACB。在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-β=180°-∠BEC-β。同样，∠DAC=180°-∠ADC-∠ACB。信息还是有点乱。既然我们要BD，而D在AD上，E也在AD上。考虑在AD这条直线上的线段关系。或者，对已有的△BEC∽△BAC，有BE/BA=BC/AC→BE=(BA·BC)/AC。代入目标式BE·BA=BC·BD→(BA·BC/AC)·BA=BC·BD→BA²/AC=BD→BD=BA²/AC。这提示我们需要找到BD与BA、AC的关系。或许可以过点D作平行线？过点D作DF∥AC交BE于点F。则△BDF∽△BCA（AA，因为DF∥AC）。所以BD/BC=DF/AC=BF/BA。设BD/BC=k，则DF=k·AC，BF=k·BA。我们的目标是BD=BA²/AC→k·BC=BA²/AC→k=BA²/(AC·BC)。由△BEC∽△BAC知BE=(BA·BC)/AC，所以EF=BE-BF=(BA·BC)/AC-k·BA=BA(BC/AC-k)。因为DF∥AC，所以△EDF∽△EAC（AA）。所以DF/AC=EF/EC→k·AC/AC=[BA(BC/AC-k)]/EC→k=BA(BC/AC-k)/EC。由△BEC∽△BAC知EC/BC=BC/AC→EC=BC²/AC。代入上式：k=BA(BC/AC-k)/(BC²/AC)→k=[BA(BC-k·AC)/AC]*(AC/BC²)→k=BA(BC-k·AC)/BC²。将k=BA²/(AC·BC)代入右边：BA(BC-(BA²/(AC·BC))·AC)/BC²=BA(BC-BA²/BC)/BC²=BA((BC²-BA²)/BC)/BC²=BA(BC²-BA²)/BC³。左边是k=BA²/(AC·BC)。所以BA²/(AC·BC)=BA(BC²-BA²)/BC³→BA/(AC)=(BC²-BA²)/BC²→BA·BC²=AC(BC²-BA²)。这似乎更复杂了。看来这个辅助线的方向可能不太对。让我们回到最开始那个被忽略的关键步骤：△BEC∽△BAC（AA），因为∠BEC=∠BAC，∠EBC=∠ABC。所以它们的对应边成比例：BE/BA=BC/AC=EC/BC。我们要证BE·BA=BC·BD，即BE/BC=BD/BA。从BE/BA=BC/AC可得BE=(BA·BC)/AC。代入BE/BC=BA/(AC)。所以需要证明BA/AC=BD/BA→BA²=AC·BD。那么问题转化为证明BA²=AC·BD。现在，我们有△BEC∽△BAC，得BA/AC=BE/BC，以及EC/BC=BC/AC→EC=BC²/AC。考虑△ABD和△CBE，已知∠ABD=∠CBE，若能证BA/BC=BD/BE，则△ABD∽△CBE（SAS）。BA/BC=BD/BE→BA·BE=BC·BD，这正是我们要证的结论！所以，只需证明△ABD∽△CBE。已有∠ABD=∠CBE（公共角）。只需证BA/BC=BD/BE→BA/BD=BC/BE。由△BEC∽△BAC得BC/BE=AC/BA（因为BE/BA=BC/AC→反比）。所以需证BA/BD=AC/BA→BA²=AC·BD，这与前面转化的目标一致。此时，我们可以尝试证明△ABD∽△AEB？或者寻找其他等角。∠BAD=∠BEA吗？∠BEA=180°-∠BEC=180°-∠BAC。∠BAD=∠BAC-∠DAC。若∠DAC=∠BAC-∠BAD。似乎陷入了循环。让我们换个角度，从结论BE·BA=BC·BD出发，它等价于BE/BD=BC/BA。在△BED和△BCA中，我们曾考虑过这个比例。∠EBD=∠CBA（公共角）。如果能证明∠BED=∠BCA，则△BED∽△BCA（AA），即可得到BE/BC=BD/BA，即BE·BA=BC·BD。∠BED=∠BCA吗？∠BED=∠BEA=180°-∠BEC=180°-∠BAC（因为E、D、A共线）。∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA。所以180°-∠BAC=180°-∠BAC-∠CBA→∠CBA=0°，这不可能。所以这个方向错了。回到△BEC∽△BAC，我们有BC/AC=BE/BA→AC=(BA·BC)/BE。将其代入BA²=AC·BD→BA²=(BA·BC/BE)·BD→BA=(BC·BD)/BE→BE·BA=BC·BD。啊哈！这就证出来了！因为△BEC∽△BAC，所以BC/AC=BE/BA→AC=(BA·BC)/BE。我们要证BA²=AC·BD，将AC代入：右边=(BA·BC/BE)·BD=(BA·BC·BD)/BE。要使BA²=(BA·BC·BD)/BE，两边同除以BA（BA≠0），得BA=(BC·BD)/BE→BE·BA=BC·BD。这正是我们要证明的结论！所以，关键在于先证明△BEC∽△BAC，得到比例式后进行代数变形，即可推出结论。证明：在