重庆市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷（二）人教版（含答案）

重庆市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2024•巧家县二模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，近似轴对

称图形的是（）

A.J1B.、J

周典

2.（3分）（2024春•西卤区期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A.2,2,5B.2,3,4C.3,6,9D.8,4,4

3.（3分）事件力：今天星期日，明天星期一；事件&连续掷两次硬币，有一次正面朝上，则（）

A.事件4和事件8都是必然事件

B.事件力是随机事件，事件8是不可能事件

C.事件4是必然事件，事件4是随机事件

D.事件A和事件B都是随机事件

5.（3分）（2025春•崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，

过一点有旦只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、「条角平分线及三条高线都分别交

于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的

垂线段，叫做点到这条直线的距离.正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

6.（3分）（2025秋•合川区期中〕毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而

成的形状对自然数进行研究.如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形

中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第7个图形对应的圆点数为（)

7.（3分）（2024秋•沐阳县月考）下列说法正确的是（）

A.对应角相等的两个三角形全等

B.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

C.等腰三角形的对称轴是顶角的平分线

D.有一个角是60°的三角形是等边三角形

8.（3分）（2025秋•红桥区期末〕六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条

船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了

多少条船？该班一共有教师和学生多少人？为解决此问题，设该班一共有教师和学生共x人，所列方程

正确的是（）

A.9（x+1）=\2xB.9x+l=12x

XXXX

C.--1=—D.-+1=—

912912

9.（3分）（2025春•盐湖区期末；如图，在△48C中，AB=AC,ADLBC于点、D,线段力8的垂直平分线

交于点E,交4。于点R连接CK若NBAC=80：则NEFC的度数为（）

A.100°B.140°C.150°D.160°

10.（3分）（2025秋•江北区期末）已知整式M：am"+册_1炉一】+…+。2/+%%+。0，其中即为自然

数，〃，a],。2，…，为正整数,且〃+a〃+。”-1+…+m+“o=k.下列说法：

①当〃=2,左=5时，满足条件的所有整式M的和为4f+4壮2；

②当左=6时，满足条件的整式必有10个；

③若〃=4,4是一个整数的平方，当A•取符合要求的最小值时满足条件的整式M有5个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

11.3（分）（2025秋•长岭县期中）在我国明代作家吴承恩的著作《西游记》中，孙悟空一个筋斗能翻十

万八千里，数据十万八千用科学记数法表示为.

12.（3分）（2025春•奉贤区期中）如图，在中，BE平分N4BC,DE//BC,如果乙切£=70°,

那么__________

13.（3分）已知长方形的周长为40,面积为75,则分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和

是.

14.（3分）（2023秋•上思县月考）如图，已知AABCWADEF,MDE=

15.（3分）（2024春•青羊区校级月考）已知等腰直角△48C,AB=AC=4,以48为直径的半圆交斜边

8。于。，现向该等腰直角三角形内部投掷一枚飞镖，该飞镖击中阴影部分的概率

为•

16.（3分）（2024秋•工业园区则中）如图，在边长为2的等边三角形48c中，点£在中线40上，点产

在边力3上，连接8£、EF,则的最小值是.

A

17.(3分)已知x=2是3x・b=0的解，那么6的值是.

18.(3分)(2025秋•涪城区期末)如图，在中，AB=AC,。是边4c延长线上一点，连接力。，

过/作力E=/。，且NDAE=NBAC,连接CE交力。于点E若NFCD=a,则N4的大小是

(用含a的代数式表示).

19.(3分)(2025春•埔桥区校级月考)如图，在△"C中，NB4C和NZ8C的平分线交于点O,AB=\2cm,

BC=9cni,若△48。的面积为18。〃/,则△40。的面积为.

20.(3分)(2025•开州区校级模拟)一个四位自然数历的各个数位上的数字互不相等且都不为0,如果前

两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99,那么就称这个数为“长久数”.“长

久数”知的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数.并且规定：

产(下)=与券例如：一个四位数3267,因为32+67=99,所以3267是“长久数”月/(3267)=3267招732=

-35.最小的“长久数”是.如果M是一个“长久数”，规定G(M)等于"的前两位数字

之和，且尸(M)+G(M)是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是.

三.解答题(共8小题，满分90分)

21.(20分)(2023春•历城区期末)计算：

(1)(-2a2)4-7~a2+3a*a5；

(2)(a+1)(a-1)-a(a-5)；

(3)(2,v-y+3)(2x-y-3)；

(4)(i)-1+(3.14-TT)°+11-V3|-4^.

22.(10分)(2024•滨州模拟)如图，反比例函数y的图象经过点4(2,4)和点6,点6在点

X的下方，XC平分NO/ib,交X轴于点C.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段力。的垂直平分线.：要求：不写作法，保留作图痕迹，使用24

铅笔作图）

（2）线段04与（1）中所作的垂直平分线相交于点。，连接CO.求证：CD〃AB.

23,（10分）（2025春•碑林区校级期中）先化简，再求值：［（x+2），）2-（5x+y）（5x-y）-5,向+（-2x）,

其中x、y满足/+炉-2/6vH0=0.

24.（10分）（2025•雁江区一模）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件轴神，雁江区

某学校举办“我参与，我快乐，我劳动，我光荣”活动.为了解该校学生周末在家的劳动情况，学校随

机调查了九年级部分学生在家劳动时间（单位：时）,并进行整理和分析，绘制了如图所示的不完整统

计图.请根据图表信息，回答下列问题:

5人

DE类别

（1）本次调查中，共调直了名学生，请补全条形统计图;

（2）若该校九年级学生共有400人，请估计周末在家劳动时间在3个小时及以上的学生人数；

（3）己知£类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动经验交流，请用列表或画

树状图的方法，求所抽两名学生恰好是一男一女的概率.

25.（10分）（2025秋•双阳区校级期末）如图，AC=DC,E为4B上一点、,EC=BC,并且N1=N2.

（1）求证：△ABSADEC；

（2）若NB=75°,则N3=.

C

26.（10分）（2025春•寒亭区期末）为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000

元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如表所示：

类别进价（元/套）标价（元/套）

甲8095

乙105125

（1）该书店购进甲、乙两种图书各多少套？

（2）在暑假期间，书店将甲和图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰

好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？

27.（10分）如图1,在△力8C中，NA4C=120°,AD1BC,远足为。，且4B+BD=DC,求NC的度数.

小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程（如下）：

解：如图2,在线段。。上取一点E,使DE=BD,连接4E.

•:AD1BC,DE=BD,，力。垂直平分

：,AB=AE（依据1）,:.NB=NAEB（依据2）.

":AB+BD=DC,：.AE+DE=DC,

义•：EC+DE=DC,：.AE=EC,

・•・ZC=NEAC,J4B=/AEB=NC+NEAC=2NC,

VZ5+ZC4-Z5JC=180°,/BAC=\2^,

A3ZC+1200=180°,AZC=20°.

（1）依据1：：

依据2：.

(2)看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法；如图3,延长03到点E,使BE=4B,连接4?.请

根据小创的思路写出完整的解题步骤.

图1图2图3

28.(10分)(2025春•沙坪坝区期中)已知点七是△力AC内部一点.将沿BE翻折，点彳落在

上的点尸处.

图1图2图3

(1)如图1,若NC4B=100°,ZJ^C=50°,EF//AC,求/BE产的度数；

(2)如图2,若/C=2/BFE,请说明乙佐尸+NA4c=180'；

(3)如图3,连接力凡若S£_L8C,/ABC=70°,ZC=40°,将绕点8顺时针方向旋转一

个角度(0<«<180°)得到△4与乃，则在这个旋转过程中，当Ei乃与△力厂C的某一边平行时，直接

写出旋转角〃的度数.

参考答案

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2024•巧家县二模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，近似轴对

称图形的是（）

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称：几何直观.

【答案】B

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：C,。选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

4选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是

轴对称图形；

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.（3分）（2024春•西岗区期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A.2,2,5B.2,3,4C.3,6,9D.8,4,4

【考点】三角形三边关系.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可.

【解答】解：力、2+2V5,不能构成三角形；

B、2+3>4,能构成三角形；

C、6+3=9,不能构成三角形；

。、414=8,不能构成三角形.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第

三个数.

3.（3分）事件儿今天星期日，明天星期一；事件8：连续掷两次硬币，有一次正面朝上，则（）

A.事件力和事件8都是必然事件

B.事件力是随机事件，事件6是不可能事件

C.事件力是必然事件，事件8是随机事件

D.事件力和事件8都是随机事件

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用：数据分析观念.

【答案】C

【分析】根据随机事件的定义进行解答即可.

【解答】解：•・•事件4事件4今天星期日，明天星期一，是必然事件；

事件B：连续掷两次硬币，有一次正面朝上，是随机事件，

故选：C.

【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件卜.，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是

解答此题的关键.

【考点】全等三角形的判定.

【专题】三角形；图形的全等；推理能力.

【答案】A

【分析】根据全等三角形的判定即可解答.

【解答】解：选取三角形①②时，

在△小氏。|和△&CM2中，

pi%=B2C2

［乙力1=cB?，

C41cl=B2A2

2cM2CSAS）,

••・全等的两个三角形是①②，

故选：A.

【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.

5.（3分）（2025春•崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，

过一点有旦只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交

于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交：⑤从直线外一点到这条直线的

垂线段，叫做点到这条直线的距离.正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【考点】三角形的角平分线、中线和高；点到直线的距离；平行线；平行公理及推论；平行线的判定与

性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】A

【分析［根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直

线的距离的定义判断.

【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误；

②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；

③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误；

④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误；

⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误；

则正确的有1个，

故选：A.

【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点

到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键.

6.（3分）（2025秋•合川区期中〕毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而

成的形状对自然数进行研究.如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形

中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第7个图形对应的圆点数为（）

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】。

【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

第1个图形中，圆点的个数为1=1XI；

第2个图形中，圆点的个数为6=2X3；

第3个图形中，圆点的个数为15=3X5；

第4个图形中，圆点的个数为28=4X7；

所以第〃个图形中，圆点的个数为〃（2〃・1）个.

当〃=7时，

n（2/?-1）=7X13=91（个），

即第7个图形中，圆点的个数为91个.

故选：D.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆点个数的变化规律是解题的关键.

7.（3分）（2024秋•沐阳县月考）下列说法正确的是（）

A.对应角相等的两个三角形全等

B.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

C.等腰三角形的对称轴是顶角的平分线

D.有一个角是60°的三角形是等边三角形

【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形

的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】B

【分析】根据全等三角形的判定、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的对称轴、等边三角形的判定逐

项分析判断即可.

【解答】解：A.对应角相等的两个三角形不一定全等，故不正确，不符合题意；

B.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，符合题意：

C.等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，故不正确，不符合题意：

D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故不正确.不符合题意：

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的对称轴、等边三角形的

判定，熟练掌握相关定义、性质和判定定理是解题的关键.

8.（3分）（2025秋•红桥区期末〕六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条

船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了

多少条船？该班一共有教师和学生多少人？为解决此问题，设该班一共有教师和学生共x人，所列方程

正确的是（）

A.9（x+1）=12xB.9x+I=12x

XXXX

C.--1=—D.-+1=—

912912

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】C

【分析】设该班一共有教师和学生共x人，根据题意列出方程即可.

【解答】解：设该班租了x条船，

根据题意得，-1=

故选：C.

【点评】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示该班一共有教师和学生的人数是解题

的关键.

9.（3分）（2025春•盐湖区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,于点。，线段的垂直平分线

交AB干点、E,交.AD于点F,连接CR若/胡。=80。，则/EFC的度数为（）

A

B

DC

A.100°B.140°C.150°D.160°

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线：等腰三角形与直角三角形；运算能力：推理能力.

【答案】C

【分析】连接6巴由等腰三角形的性质推出9C=40°,BD=DC,求出//8。=90°-

NEW=50°,由线段垂直平分线的性质推出/b=8”,得到/力4/=40°,求出NDZ才'=10°,

由力。垂直平分8C,得到因此NOC/=/。3/=10°,由三角形的外角性质得到N/R7=/

CZ)F+ZPCF=100°,求出///石二%。-ZBAD=50°,即可得到NEFC的度数.

【解答】解：连接8凡

•；AB=AC,AD工BC于点D,

AZBAD=^BAC=1x80°=40°,BD=DC,

・•・//2。=90°■/配4力=50'.

•・•切垂直平分48,

:.AF=BF,

：.ZABF=ZBAD=40<),

:・NDBF=NABD-NABF=W,

yADA.BC,BD=CD,

：,AD垂直平分BC,

:.BF=CF,

：,ZDCF=ZDBF=\Oa,

AZAFC=ZCDF+ZDCF=W+10°=100°,

VZAFE=909-ZBAD=509,

/.ZEFC=ZAFE+ZAFC=150°.

故选：C.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的

性质，线段屈直平分垂线上的点到线段两端点的距离相等.

n12

10.(3分)(2025秋•江北区期末)己知整式M：anx+a^x^+--+a2x+aYx+a0,其中ao为自然

数，”，a\,。2，…，。”为正整数,且〃」+…+ai+oo=k.下列说法：

①当〃=2,女=5时，满足条件的所有整式历的和为4/+4H2；

②当A=6时，满足条件的整式”有1()个；

③若〃=4,〃是一个整数的平方，当A取符合要求的最小值时满足条件的整式"有5个.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减；完全平方式.

【专题】规律型；运算能力.

【答案】B

【分析】说法①中〃=2,k=5时满足条件的整式M的和为4/+以+1工4¥+4.什2；说法②中女=6时满

足条件的整式M有12个W10个；说法③中〃=4时A的最小平方数为9,此时整式“有5个，正确.

【解答】解：当〃=2,左=5时，2+。2+田+的=5,

/.。2+4[+。0=3,

:•(12=1,4]=1,40=()或42=1，。1=2,40=0或。2=1，0=1，40=1,

工整式M为2—+才或^+2x或^+x+1,

整式M的和为2A-2+X+X2+ZX-+X2+X+1=4X2+4X+\^4X2+4X+2.

故说法①错误，不符合题意；

当々=6时，1+…+。|一砌=6,

当n=1时，。]+。0=5,

=。0=4或m=2,的=3或田=3,的=2或41=4,。0=1或m=5,劭=0,共5个；

当n=2时，a2+a\+ao=4,

••ai=1,ai=1,40=2或。2=1，。1=2,。。=1或42=1，。1=3,劭=0或42=2,c“=l,〃o=1或。2

=2,。1=2,ao=O或“2=3,ai=l,ao=O,共6个；

当〃=3时，。3+。2+。1+。0=3,

/.«3=1,42=1，41=1，。()=0，共1个；

当〃=4时，44+43+02+01+ao=2,

又44+43+02+0124,

・•・不符题意，舍去，

综上,满足条件的整式件有5+6+1=12,

故说法②错误，不符合题意：

当〃=4时，41。41a31a21ali。0=左，

a4+cii+a2+(iI+ao=k-4,

...4・424,

由条件可知A=9,

/•44+03+42+41+ao=5,

."4=1，03=1，Q2=l，a\=hQO=1或。4=2,43=1，Q2=l，01=1，Q()=0或。4=1，43=2,Q2=1，

m=1,ao=O或。4=1，。3=1，42=2,6Z|=1»ao=O或。4=1，6/3=1>42=1，m=2,ao=O,共5个，

故说法③正确，符合题意；

故选：B.

【点评】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握以上知识点是关键.

二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

II.（3分）（2025秋•长岭县期中）在我国明代作家吴承恩的著作《西游记》中，孙悟空一个筋斗能翻十

万八千里，数据十万八千用科学记数法表示为1.08X105.

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【专题】实数；符号意识.

【答案】1.08X105.

【分析】科学记数法的表示形式为。XI"的形式，其中lWk|V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对•值210时，〃

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解:十万八千=108000=1.08X105.

故答案为：1.08X105.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。X10〃的形式，其中lW|a|V10,

〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

12.（3分）（2025春•奉贤区期中）如图，在△力^。中，BE平分NABC,DE//BC,如果N/1DE=7O",

那么35°.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】35。

【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等可得N,〃必=N/8C,NDEB=NCBE,利用角平

分线的定义可得即可求得N。助的度数.

【解答】解「DE//BC,

ZADE=N4BC,ZDEB=NCBE,

VZADE=70°,

AZJBC=70°,

•:BE平分/44C,

1i

/.ZCBE=ZABE=^ZABC=1x70°=35°,

：.^DEB=35°,

故答案为：35°.

【点评】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活

应用平行线的性质是求角度的关键.

13.(3分)已知长方形的周长为40,面积为75,则分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是

250.

【考点】完全平方公式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】250.

【分析】设长方形的长为。，竞为b,则〃+力=20,"=75,利用完全平方公式求得。2+乂的值即可.

【解答】解：设长方形的长为。，宽为4

•・•长方形的周长为40,面积为75,

/.a+/)=20,4b=75,

a2+b2=(a+b)2-lab

=202-2X75

=400-150

=250,

即分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是250,

故答案为:250.

【点评】本题考盒完全平方公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键.

14.（3分）（2023秋•上思县月考）如图，已知△48。g则DE=4

【考点】全等三角形的性质.

【专题】图形的全等：推理能力.

【答案】4.

【分析】根据“全等三角形的对应边相等”求解即可.

【解答】解：°：4ABC乌ADEF,

:・AB=DE,

VAB=4,

：.DE=4,

故答案为：4.

【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键.

15.（3分）（2024春•青羊区校级月考）已知等腰直角△力BC,AB=AC=4,以4;为直径的半圆交斜边

BC于。,现向该等腰直角三角形内部投掷一枚飞镖，该飞镖击中阴影部分的概率为一工_.

【考点】几何概率；等腰直角三角形.

【专题】概率及其应用；与圆有美的计算；数据分析观念；运算能力.

【分析】求出阴影部分面积与等腰直角三角形面积的比即可得到飞镖击中阴影部分的概率.

【解答】解：连接4），OD,

•••△力5。是等腰直角三角形，

AZABD=45Q.

是圆的直径，

；・/ADB=90°,

••・△48。也是等腰直角三角形，

：.AD=BC.ZAOD=ZBOD=90C,

•・・4?=4,

：.OA=OB=OD=2,

1•S阴影=S&〃8C_S^OBD~s扇形4。力

112r907rx22

=x4X4-7Tx2X2----QZTX-

ZNJOU

=6-n,

SMBC-Ix4X4=8

・••该6镖击中阴影部分的概率为：口.

O

【点评】本题考查几何概率，解答中涉及概率公式，等腰直角三角形的性质，与圆有关的L算，掌握相

关知识是解题的关键.

16.（3分）（2024秋•工业园区期中）如图，在边长为2的等边三角形48。中，点七在中线上，点尸

在边上，连接BE、£F,则班'+£1厂的最小值是.

【考点】轴对称■最短路线问题：等边三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；模型思想.

【答案】V3.

【分析】连接CE，CF,过点。作CG_L43于点G,利用等边三角形的对称性可以推出则3EIEF的最

小值为CG的长，且CG=4。，再利用勾股定理求出4。的长即可解决问题.

【解答】解：如图，连接CE,CF,过点C作。G_L4?于点G,

•・•△力5c是边长为2的等边三角形，力。为8c边上的中线，

：.ADLBC,BD=CD=\,力。所在直线是△49C的对称轴，

：.AD=CG=>/AC2-CD2=V22-l2=V3,BE=BE,

・••BE+EF=CE+EFNCF2CG,

：.RE+EF的最小值为CG的长遥，

故答案为：V3.

【点评】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，能够得到4E+卬的最小值

为CG的长是解题的关键.

17.（3分）已知x=2是3x-/?=0的解，那么人的值是6.

【考点】一元一次方程的解.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】6.

【分析】将x=2代入3x・b=0中解得b的值即可.

【解答】解：己知x=2是3x-6=0的解，

则6-〃=（）,

解得：b=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键.

18.（3分）（2025秋•涪城区期末）如图，在△力8c中，AB=AC,。是边8c延长线上一点，连接4。，

过彳作力£=%。，且/Q4—/B4C,连接CE交4）于点足若NFCD=a,则N8的大小是一90°*

（用含a的代数式表示）.

AE

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形：运算能力；推理能力.

【答案】9()。一*

【分析】先由等腰三角形的性质得出再证△48。gZX/ICE(S4S),得出NB=N/1C8=N

ACE»即可得出结果.

【解答】解：・・・4B=4C,

:.NB=NACB,

^DAE=/BAC,

・•・/DAE+/DAC=/BAC+/DAC,HP/EAC=/DAB,

在△48。和△4C£中，

AB=AC

/-DAB—Z-EAC>

AD=AE

J△48。且△力CE(SAS),

:,NB=/ACB=NACE,

VZJC5+ZJCF+ZFCD=189°,

.・・/8+N8+a=180°,

••・/8=90。-p

故答案为:90°-*

【点评】本题考查全等三角形i勺判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与

性质是解题的关键.

19.(3分)(2025春•埔桥区校级月考)如图，在△48C中，/胡C和NZ8c的平分线交于点O,AB=\2cm,

27

BC=9cm,若△440的面积为18c一，则的面积为.

【考点】三角形的面积：角平分线的性质.

【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

27

【答案】万。〃2.

【分析】过点。作于点E,。尸_L4C于点尸，OHLBC于点、H,根据角平分线性质得0E=0产

=OH,再根据的面积为18cm2求出OE=3CM,则OE=O/=OH=3cm,然后根据三角形面积公

式可求出△80。的面积.

【解答】解：过点。作于点E,L/C于点凡0H上BC于点、H,如图所示：

•：NBAC和/ABC的平分线交于点O,

：.OE=OF,OF=OH,

：・OE=OF=OH,

在△4B0中,AB=\2cm,△/B。的面积为18"户,

1

••・J8・OE=18,

1

A-x12X0^=18,

2

：.OE=3cm,

；・OE=OF=OH=3cm,

•；BC=9cm,

:.Smoc=/UOH=1X9X3=^(cm2).

27

故答案为：-rcnr.

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公

式是解决问题的关键.

20.(3分)(2025•开州区校级模拟)一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0,如果前

两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99,那么就称这个数为“长久数”.“长

久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数例'.并且规定：

RM)=必孰例如：一个四位数3267,因为32+67=99,所以3267是“长久数”且F(3267)=3267招732=

-35.最小的“长久数”是1287.如果〃是一个“长久数”，规定G(M)等于M的前两位数字之

和，且户(M)+G(M)是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是一8415

【考点】整式的加减；完全平方式；因式分解的应用.

【答案】1287；8415.

【分析】由河=旃是“长久数”，最小的“长久数”可得。=1,b=2,再进一步可得c,d,由题意

可得尸(M)+G(M)=\\a+2b-10c-且尸(M)+G(M)是完全平方数，10a+b+10c+d=99,结

合M最大，可得加+人=6(),进一步求解可得答案.

【解答】解：•・•〃=砺是“长久数”，

M=1000。+100*1Oc+d,1Oa+b+1Oc+d=99,

.・.“长久数”要最小，

••6F—1»Z>—2>

10c+d=87,

.,.c=8,d=7,

・・・最小的“长久数”是1287；

VG(M)等于M的前两位数字之和，

:・G(M)=a+b,

•・•“长久数”A7的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M',

•；W=cdab=1000f+11()a+b»

1000a+1006+10c+d-1000c-100d-10a-/j

―99

990Q+99/J-990C-99d

=99

=lOa+b-10c-d,

:・F(M)+G(M)

=1Oa+b-10c-d+a+b

—1\a+2b-10c-t/：

•：l&a&9,1W6W9,KW9,1W1W9,

：.\\a+2b-10c103,

此时最大的完全平方数为100,

/.lla+26-10c-(/=100,

•・・〃最大，且10。+6+10。+3=99,

・・・21o+3b=199,

・••当a=9时，6=学，舍去，

当。=8时，b=净舍去，

，lla+2670c・d=100不符合题意舍去,

当\\a+2b-10c-d=81时，而10“+b+10c+d=99,

••・21a+3b=180,BP7a+b=60,

・••当a=9时，b=-3,舍去，

当a=8时，b=4,

・・・10c+0=15,

.*.c=I,d=5,

的最大值为：8415.

故答案为：1287,8415.

【点评】本题考查的是新定义的含义，整式的加减运算，二元一次方程的正整数解的应用.

三.解答题(共8小题，满分90分)

21.(2()分)(2023春•历城区期末)计算：

(1)(-2a2)4-ra2+3a*fl5；

(2)(a+1)(a-I)-a(a-5)；

(3)⑵->3)(2x-y-3)；

(4)(i)-1+(3.14—7r)04-11—V3|—.2.

【考点】整式的混合运算；零指数基；负整数指数事；实数的运算.

【专题】实数；整式：运算能力.

【答案】(1)19小；

(2)5a-1；

(3)4A-2-4xjH-jr-9；

(4)3.

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后合并即可；

(2)先根据平方差公式与单项式乘多项式的法则将括号展开，再合并即可；

(3)先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可；

(4)先根据负整数指数基、零指数暴、绝对值的意义以及二次根式的性质化简，再进行加减运算即可.

【解答】解：⑴(-2a2)4入2+3。・1

=i6as~i~a2+3a*a5

=16/+3。6

=19a6；

(2)(a+l)(a・l)-a(a-S')

=a2-I-a2+5a

=5a-1：

(3)(Zv-jH-3)(2x-y-3)

=C2x-y)2-32

=4.r2-4xy+y^-9；

(4)+(3.14—TT)^+11—V3|—

=3+l+V3-l-V3

=3.

【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键.

22.(10分)(2024•滨州模拟)如图，反比例函数y=5。＞°)的图象经过点4⑵4)和点8,点8在点

4的下方，/C平分NO48,交x轴于点C.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段力。的垂直平分线.：要求：不写作法，保留作图痕迹，使用24

铅笔作图)

(2)线段。力与(1)中所作的垂直平分线相交于点。，连接C。.求证：CD〃AB.

【考点】作图一基本作图；角平分线的定义；平行线的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性

质.

【专题】反比例函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】(1)图见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用基本作图作线段力。的垂直平分线即可；

(2)根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义可得到N&1C=NOC/,然后利用

平行线的判定即可得证.

t解答】解；(1)如图1，直线EE叩为所作;

图1

图2

•••直线EF是线段AC的垂直平分线，

：,AD=CD,

:・NDAC=NDCA,

•・7C平分NCUB,

：,/DAC=/BAC,

：,ZBAC=ZDCA,

:.CD〃AB.

【点评】本题考查了作图一基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分

线的定义等知识.熟练运用以上知识点即可解答.

23.(10分)(2025春,碑林区校级期中)先化简，再求值：［(x+2y)2-(5x+y)(5x-y)-5炉］彳(-2x),

其中x、y满足j^+y2-2x+6yH0=0.

【考点】整式的混合运算一化简求值；配方法的应用；非负数的性质：偶次方.

【专题】整式：运算能力.

【答案】12x-2y,18.

【分析】先把已知条件中的等式进行分组分解因式，从而列出关于x,歹的方程，解方程求出x,y,再

根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，最后把x,歹的

值代入进行计算即可.

【解答】解：•・•/+)2・2x+6yH0=0,

:.(.r2-2x+\)+(f+6j49)=0,

(X-1)2+(jH-3)2=0,

V(X-I)220,(j+3)220,

・•・(X-1)2=0,(x+3)2=0,

.v-1=(),x+3=0,

解得：x=1,y=-3,

原式=(¥+4.口+4y2-25x2+f-5/)4-(-2r)

=(-24/+4.3)-i-(-2x)

=(-24/)+(-2A-)+4/(-2x)

=\2x-2y

=12X1-2X(-3)

=12+6

=18.

【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、合并同类

项法则、多项式除以单项式法则和利用分组分解法分解因式.

24.(10分)(2025•雁江区一模)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，雁江区

某学校举办“我参与，我快乐，我劳动，我光荣”活动.为了解该校学生周末在家的劳动情况，学校随

机调查了九年级部分学生在家劳动时间(单位：时)，并进行整理和分析，绘制了如图所示的不完整统

计图.请根据图表信息，回答下列问题：

人数

16.15人

14

12

10■8人

DE类别

（1）本次调查中，共调查了50名学生，请补全条形统计图;

（2）若该校九年级学生共有400人，请估计周末在家劳动时间在3个小时及以上的学生人数;

（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动经验交流，请用列表或画

树状图的方法，求所抽两名学生恰好是一男一女的概率.

【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图.

【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识.

【答案】（1）50：补全条形统计图见解答.

（2）约为104人.

3

（3）r

【分析】（1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得共调查的学生人数；求出5

类和。类的人数，补全条形统计图即可.

（2）根据用样本估计总体，用400乘以。，E类的人数所占的百分比之和，即可得出答案.

（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽两名学生恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可

得出答案.

【解答】解