数列的概念一A基础练（解析版）

4.1数列的概念（1）・A基础练

一、选择题

I.数列3,5,7,9,…的一个通项公式是（）

n+,,,+l

A.〃“=2〃+1B.4=2"+1C.an=2D.atl=2-\

【答案】A

【详解】因为。।=2x1+1,2=2x2+1,6=2x3+1,4=2x4+1,L

所以=2〃+1.故选：A

2.下列四个数中，哪个是数列｛“（〃+1）｝中的一项（）

A.55B.56

C.57D.58

【答案】B

【详解】由〃5+1）=56,有〃=7或〃=-8（舍去）.所以B正确；

〃（〃+1）=55,双〃+1）=57,〃（〃+1）=58均无正整数解，则4、。、。都不正确.故选:B.

3.已知数列百，石,j7,3,jrr,…•,则内■是这个数列的（）

A.第12项B.第13项C.第14项D.第25项

【答案】D

【详解】由数列的通项公式%="7石，可得"?工7=回，所以〃=25,所以两■是第25项.

故选：D.

4.在1,2,3,…，2020这202（）个自然数中，将能被2除余1,且被3除余I的数按从小到大的

次序排成一列，构成数列｛〃〃｝,则加=（）

A.289B.295C.301D.307

【答案】B

【详解】由题意可知即是2的倍数，又是3的倍数，即4-1是6的倍数，则

《,一1=6（〃-1）,（〃£%”）,所以勺二6〃-5,所以旬=50x6—5=295.故选：B.

5.（多选题）已知数列0,2,0,2,0,2,•,则前六项适合的通项公式为（）

HTT

z,

A.an=1+（-l）B.an=2cos-^-

C.a”二2sin(〃十。万D.。“二1-cos(〃-1)乃十(〃-1)(〃一2)

“2"

【答案】AC

HTF

【详解】对于选项A,=1+(7)”取前六项得：0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项B,4=2cos—

取前六项得：0,-2,0,2,0,-2,不满足条件；对r选项C,4=2sin(〃；)"取前六项得:

020,2,0,2,满足条件；对于选项D,%=1-8$(〃-1)乃+(〃-1)(〃一2)取前六项得：

0,2,2,8,12,22,不满足条件;故选：AC

6.(多选题)下列四个命题中，正确的有()

A.数列的第左项为1+9

Ink

B.己知数列｛为｝的通项公式为勺=〃2一〃-50,则・8是该数列的第7项

C.数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为%=2"-1

D.数列｛q｝的通项公式为则数列｛qj是递增数列

【答案】ABD

【详解】A,数列，•^里，的第Z出项为1+5，A正确；B,令〃2一〃一5()=一8，得〃=7或〃=-6

nk

(舍去)，B正确；C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32....设该数列

为也｝,则其通项公式为2=2〃任？N),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为

4=a+l=2"+l(〃£N*)C错误；D,an=—=\—-—,则

'〃+1〃+1

11_1八

一而_^71—(〃+])(〃+2)>，

因此数列｛q｝是递增数列，D正确，故选：ABD.

二、填空题

7.若数列的前4项分别是-,，则此数列一个通项公式为________.

2345

【答案】kill

/7+1

【详解】观察数列得分母是2开始，故分母为〃+1,奇数项为负，故有(-1)”，・••通项为C"

〃+1

8.如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有.

【答案】210

【详解】观察数列中的星星构成的规律：

当〃=1时，有1个，

当〃=2时，有1+2个，

当〃=3时，有1+2+3个，

所以当〃=20时，有1+2+3++20=20(1+20)=2］。个。

2

9.设数列｛4｝的通项公式为%=/+〃〃，若数列｛/｝是单调递增数列，则实数的取值范围为

【答案】(-3,+w)

【详解】由数列｛4｝是单调递增数列，所以。用一%>0,即

(〃+1)2+——/?〃=2〃+1+〃>0,即Z?>—2〃-1(〃eN+)恒成立，

又数列｛-(2〃+1)｝是单调递减数列，所以当〃=1时，—(2〃+1)取得最大值一3,所以八—3.

10.天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、

庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是

按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”，…，以此类推,排列到“哭西”后，天

干回到“甲'’重新开始,即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始,即“丙子以此类推,

己知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为.

【答案】已巳

【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，

从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，

则30十10=3,2049年的天干为己，30^12=2余6,2049年的地支为巳,

故2049年为己巳年c

三、解答题

11.写出下列各数列的一个通项公式：

(1)4,6,8,10,…；

1371531

(2)一,一,一,—,—,・・・；

2481632

81524

(3)-1,—,---,—,・・・；

579

(4)5,55,555,5555...

【详解】(I)易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为=2〃+2,〃eN”.

(2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成2122,23,24,2‘，…，故所求数列的通项公

2n-1

式可写为q--,nwN*.

(3)通过观察可知，该数列口的奇数项为负，偶数项为正，故选择又第1项可改写成分数

3

-葭所以每一项的分母依次为3,5,7,9...,可写成2〃+1的形式，分子为3=1x3,8=2x4,15=3x5,

24=4x6可写成〃(〃+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为可二(-1)”•也土21,〃wN*.

(4)这个数列的前4项可以变为3x9,*x99,3x999,3x9999,

9999

即然(107),然(100-1),然(1000_1),甜10000-1),

所以它的一个通项公式为。“得(10”-1),〃£叱.

12.已知数列｛〃”｝的通项公式为

(1)问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由

(2)计算。用一生，并判断其符号;

(3)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？

【详解】(1)是,

令q=」一二0.25,即」一=L解得〃=17,

〃+51〃+514

二0.25是数列｛七｝的项、是第17项

nI1n_(/?+1)(/?+51)-/?(«+52)51

(2)由题，4出

〃+5272+51(〃+51)(〃+52)(〃+51)(〃+52)

HGN*,.*.n+51>0,九+52>0,即4+i一>°

(3)由(2)可得数列｛4｝是递增数列，则最小项为首项，即可:「葛=上,无最大项

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A级必备知识基础练

1.［探究点三］数列｛〃“｝中，若a后屋，-，则«4=()

Vlo-zn

A.1B.V2C.2V2D.8

2.［探究点三］已知数列・1,篇,…,(・1冷，…,它的第5项的值为()

3」探究点三旧知数列的通项公式«„=(3n+变数'则6a3等于()

1271-2,九为偶数，

A.70B.28C.20D.8

4」探究点三］数列2厂5,8,-11,・二(-1尸(3〃・1),…的第2n项为()

A.6//-1B.-6〃+lC.6/1+2D.-6/2-2

5.［探究点二・2023陕西西安检测］数列-2,4,68,…的通项公式可能为()

A.-1)"+12〃B0“=(-1)*2〃

n+,Mn

C.<?n=(-l)2D.an=(-\y2

6」探究点二、三］(多选题)已知数列注,2,遥,2注,…，则下列说法正确的是()

A.此数列的通项公式是同

B.8是它的第32项

c.此数列的通项公式是gm

D.8是它的第4项

7」探究点一］(多选题)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()

_.n.2n.3n.nn

B.sin-,Silly,siny,--,sin5V••

C.1H工…

j'2，4，8，，2""

D.I,A,V5,…,VS,…

8.［探究点四(角度2)］已知数列｛小｝的通项公式为a„=2021-3%则使%>0成立的正整数n的最大值

为.

9.［探究点三］己知数列｛“〃｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：

(1)斯=2;

为奇数，

助Pon为偶数.

104探究点二］写出以下各数列的一个通项公式.

⑴1,工彳浴,….

(2)10,9,8,7,6,-.

(3)2,5,10,17,26,….

‘5'6'12'20'30'•

(5)3,33,333,3333,-.

11.[探究点三]已知数列｛an]+g,且a[=0,02=4

⑴求05.

（2）150是不是该数列中的项?若是，是第几项？

B级关键能力提升练

12.设an=-+*+白+…+J（〃WN*）,则〃2等于（）

nn+1n+2n+3nz

A-14%十3

C-十+-3十+-4七D-十+-34十--4十+-5

13.若数列｛为｝的通项公式为由=2户+25%则数列｛斯｝的各项中最大项是（）

A.笫4项B.第5项C.第6项D.第7项

14.（多选题）已知数列｛知｝的前4项依次为2,0,20,则数列｛〃〃｝的通项公式可以是（）

2n为奇数,

。九为偶数

C.a”=2sin—|D.an=22

15.（2023湖南长沙月考]数列｛“”）的通项公式斯",若｛⑶｝是递增数歹人则实数t的取值

范围是（）

A.[4,7）B.偿,7）C.（y,7）D.（l,7）

16.已知数列｛如｝的通项公式为罗，若数列｛“”｝为递减数歹U,则实数k的取值范围

为.

17.函数./U)=『-Z¥+〃(〃£N")的最小值记为ant设6〃力处)，则数列｛〃“｝,｛①｝的通项公式分别是

4尸,bn=.

18.已知数列｛为｝的通项公式为产号之7£N*).

(1)0和1是不是数列｛“〃｝中的项?如果是，那么是第几项？

(2)数列｛“〃｝中是否存在连续且相等的两项?若存在，分别是第几项？

C级学科素养创新练

19.1766年，德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化，得到

新数列04,().7』,162&5210,…，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并

据此发现了“天王星”“谷神星”等天体，这个新数列就是著名的“提丢斯一波得定则”.根据规律，新数列

的第8项为()

A.14.8B.19.2C.19.6D.20.4

20.若数列｛斯｝的通项公式为〃尸帚旃(〃£N)则这个数列中的最大项是()

A.第43项B.第44项

C.第45项D.第46项

21.在数列｛m｝中⑼尸合p

⑴求数列的第7项.

⑵求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.

(3)区间0,|)内有没有数列中的项?若有，有几项？

1.B由〃“二万3=可知16-2〃>0,即〃<8,所以a4=-r===V2.

vl6-2nV16-8

2.D第5项为(-1)5x(=-,.

3n+l,n为奇数,

由

3.Can-得4243=2x10=20.

.2n2n为偶数,

4.B由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示为(-1产)又首项为2,故数列的通项公式

为。尸(-1)”所以第2〃项为O2n=(-1)2r,'(6//-1)=-(6n-1)=-6/7+1.

5.B数列-24-6,8,…的奇数项为负，偶数项为正，且均为2的倍数，故.=(-1)"2〃.故选B.

6.AB数列&2遥,2企,…抑企,”,后，我，…，则此数列的通项公式为而，故A正确,C错误;令

扬1=8,解得〃=32,故8是它的第32项，故B正确,D错误.故选AB.

7.CD选项C,D既是无穷数列又是递增数列.

8.673由斯=2021-3〃>0,得”竿=6732

又因为〃£N*,所以正整数n的最大值为673.

9.解列表法给出这两个数列的前5项：

n12345

(bi22222

bn1-43-165

它们的图象分别为

-rmrir

-n;

10.解⑴诙=(-1严责;

(2)4尸11-〃；

⑶小=，/+1；

⑷年丽石;

(5)0尸/10〃-1).

n.解⑴由已知,

｛溪霏M解得2

得P_1所以。”=〃2-7〃+6,所以fl5=5-7x5+6=-4.

0=。，

(2)令4“=〃2_7〃+6=150,解得«=16(n=-9舍去)，所以150是该数列中的项，并且是第16项.

12.C•：*+贵+系+磊+…+a〃£N)・,・s弓+冷

13.C因为为=-2/+25〃=25-停尸+溶,且所以当〃=6时，斯的值最大，即最大项是第6项.

40

..J2,n为奇数,

14.ABC*,尸10,八为偶数,

a\=2,tz：=0,«3=2,6/4=0,故A正确；*.*〃“=1+(-1)"”,

0=1+(-1)2=2,。2=1+G1)3=0,43=1+(-1)4=2,44=1+(-1)5=0,故B正确;

Vt/„=2|in［卜,.•・ai=2kin/卜2M2=2卜in与卜0,的二2卜in揖=2,田=2卜in与卜。，故C正确;

1<1}11-(-1)4

Va,t=22,,\a\=22=2,s=22=1,«3=22=2©=22=1,故D错误.故选ABC.

(7-£>0,

因为数列他“｝的通项公式“尸，""若｛&｝是递增数列则

15.At>1,解得

,4(7-t)+4<2

y

故选A.

16.(0,十⑹由数列｛为｝为递减数列可知为+Na”