直线与平面的位置关系 第1课时 直线与平面平行-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

13.2.3直线与平面的位置关系

第1课时直线与平面平行

基础过关练

题组一直线与平面平行的判定

1.（2025浙江杭州期中）下列说法中，与“直线a〃平面a”等价的是（）

A.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

B.直线a与平面a内的两条直线平行

C.直线a与平面a内无数条直线不相交

D.直线a上有两个点不在平面a内

2.（2024江苏南京河西外国语学校期中）在四面体ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点，且

AE：EB=AF：FD=1：3,H,G分别为BC,CD的中点，则（）

A.BD〃平面EFGH且四边形EFGH为矩形

B.EF〃平面BCDn.四边形EFGH为梯形

C.HG〃平面ABD且四边形EFGH为菱形

D.HE〃平面ADC且四边形EFGH为平行四边形

3.（2024湖南模拟）下图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，四个三角

形为正三角形,E,F,M分别是P3A,P2D,BC的中点，在此四棱锥中，下列结论正确的是（）

A.BE与CF是异面直线，且BE〃平面PFM

B.BE与CF是相交直线，且BE〃平面PFM

C.BE与CF是异面直线，旦BE〃平面PFC

D.BE与CF是相交直线，且BE〃平面PFC

4.（2025天津南开期中）下悭是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:

①CN〃DE;②BM〃平面ADE;卷BD〃平面CFN;④DM,BF是异面直线.其中判断正确的

序号是.

5.（2025江苏南通海安曲塘中学期中）在如图所示的五面体中,四边形ABCD与四边形

FECD均为等腰梯形,EF〃CD,AB〃CD,EF=AB=；CD,BC=BE,M,N分别为EF,CD的中

点,AC与BN相交于点P.求证:MP〃平面EBC.

6.（2024江苏苏州期末）如良，在三棱柱ABC-AiB,Ci中,E,F分别为AiCi,BC的中点,M,N分

别为A】B,A】C的中点.求证:

（1）MN〃平面ABC;

（2）EF〃平面AAiBiB.

B

题组二直线与平面平行的性质

7.（2025北京期末）已知l,m是两条不同的直线,a,。是两个不同的平面，且lUa,an（3=m，则

“1〃。］”是“1〃。”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.（2025江苏无锡期中）对于直线a,b,c和平面af,下列命题中正确的是（）

A.如果a〃a,那么a与a内的任何直线平行

B.如果a〃a,b〃a,那么a//b

C.如果@〃1?声〃见那么b〃a

D.如果aCl0=a,bUa,cCp,b〃c,那么a〃b〃c

9.（2025江苏无锡锡东高级中学期中）如图，在三棱锥P-ABC中，点D,E分别为棱PB,BC的

中点.若点F在线段AC上，且满足AD〃平面PEF,则喋的值为（）

12

A.1B,2C,-D.-

10.（2025江苏盐城滨海中学阶段检测）如图所示,四边形ARCD是梯形,AR〃CD,且AR〃平

面a,AD,BC与平面a分别交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=.

11.（2025江苏宿迁中学阶段检测）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边

形，点E为棱PD的中点.设平面ABE与直线PC相交于点F,求证:EF〃平面ABCD.

12.（2024江苏无锡第一中学期中）如图，在三棱锥A-BCD中,E为AD上一点，点P,Q分别为

BC,BE的中点，平面DPQ与平面ACD的交线为I.

⑴证明:直线PQ〃平面ACD;

⑵判断PQ与1的位置关系，并证明你的结论.

能力提升练

题组一直线与平面平行的判定

1.（多选题）（2025江苏泰州姜堰中学阶段检测）如图，在正方体ABCD-A1B1CiDl中,E,F,G分

别是棱BBhBiCi,CiDi的中点，则（）

A.FG〃平面AEDi

B.BCi〃平面AEDi

C.点Ci在平面AEDt内

D.点F在平面AEDi内

2.（多选题）（2024湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中）在下列底面为平行四边形的

四棱锥中,M,S,T,P,Q是四棱锥的顶点或对应棱的中点，则PQ〃平面MST的有（）

3.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDj中,E是BC的中点,P是直线BDi（不含B,D）两点）

上的动点，在其运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是.（写

出满足条件的所有顶点）

4.（2024江苏盐城三校期中联考）如图，已知四棱台ABCD-A^iCiD,的上、下底面分别是边

长为2和4的正方形，点P是棱DDi的中点，点Q在棱BC上.当点Q在什么位置时，使得

PQ〃平面ABBiAi?

5.（2024重庆第七中学校期中）如图所示，在正四棱锥S-ABCD中,P为侧棱SD上的点，且

SP=3PD,Q为侧棱SD的中点.

(1)证明:BQ〃平面PAC;

⑵侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面PAC?若存在，求出葛的值;若不存在,试说明

EC

理由.

题组二直线与平面平行的性质

6.（2024广东四校联考）如图，已知圆锥的顶点为S,AB为底面圆的直径,M,C为底面圆周上

的点,并将弧AB三等分，过AC作平面％使SB〃平面％设a与SM交于点N,则*J值为

)

A

54

7.（多选题）（2025江苏无锡第三高级中学期中）如图所示，在棱长为夜的正方体

ABCD-AiBiC（Di中,P,Q分别为线段BDi,BBi上的动点（不含端点），则下列说法正确的是

A.存在点P,Q,使得CiP〃AQ

B.直线AiP和直线CQ异面

C.存在点P,Q,使得PQ〃平面DCCiDi

D.ACiPQ周长的最小值为\/8+4a

8.（2025江苏泰兴中学阶段检测）如图,正方体ABCD-A]BiGDi的棱长为3,点N在BD上,

点M在BC上，且CM=0,MN〃平面AAiBiB,则BN的长为.

9.（2024福建度门外国语学校月考,）下图是一块正四棱锥形木料，正四棱锥P-ABCD的侧棱

长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点.

⑴若PM：MA=1：1,要经过点M和棱BC将木料锯开，在木料表面上应该怎样画线?（请写

出必要的作图说明）

（2）若PM：MA=5:8,在线段BD上是否存在一点N,使直线MN〃平面PBC?如果存在，求

出BN：ND的值以及线段MN的长;如果不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析

13.2.3直线与平面的位置关系

第1课时直线与平面平行

基础过关练

l.Aa〃a=a与平面a无交点与平面a内的任意一条直线都不相交，故A正确;

若a与平面a内的两条直线平行，则aUa或a〃&故B错误；

若a与平面a内无数条直线不相交，则acza或a〃a或a与平面a相交，故C错误；

若a上有两个点不在平面a内，则a〃a或a与平面a相交，故D错误.

2.B在平面ABD内,,.・AE：EB=AF:FD=1：3,，EF〃BD.

又BDU平面BCD,EFC平面BCD,；・EF〃平面BCD.

在平面BCD内,・・・H,G分别是BC,CD的中点,・,.HG〃BD,

・・・HG〃EF.

pEFAE1HGCH\

BDAB4'80BC2,

AEF/HG.

在四边形EFGH中,EF〃HG且EF#HG,

・・・西边形EFGH为梯形.

3.B根据题意，画出四棱锥P-ABCD,如图所示，连接EF.

因为E,F分别是PA,PD的中点，

所以EF〃AD且EF^AD,

又AD〃BC且AD=BC,所以EF〃BC且EF=|BC,

所以四边形BCFE为梯形，所以BE与CF为相交直线.

因为M为BC的中点，所以EF//BM且EF=BM,

所以四边形BMFE为平行四边形，所以BE〃MF,

又BEQ平面PFM,MFU平面PFM,所以BE〃平面PFM.

4.答案②③④

解析将平面展开图还原成正方体，如图，

易知CN与DE是异面直线，①错误.

连接AN,易知BM〃AN,又ANU平面ADE,BMC平面ADE,所以BM〃平面ADE,②正确.

易知BD〃FN,又NFU平面CNFJBDQ平面CNF,所以BD〃平面CFN,故③正确.

DM与BF既不相交也不平行，所以DM,BF是异面直线，④正确.

5.证明连接AN,取BC的中点S,连接ES,PS,

由已知得AB〃NC且AB=NC,所以四边形ABCN为平行四边形，则P为AC的中点，则

SP〃AB,且SP=|AB.

因为M为EF的中点,EF〃AB且EF=AB,所以EM〃AB,且EM=^AB,则SPEM,故四边形

PSEM为平行四边形，所以MP〃ES,

又MPQ平面EBC,ESU平面EBC,所以MP〃平面EBC.

解题模板利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直

线与已知直线平行，常利用平行四边形的性质，三角形、梯形的中位线定理，基本事实4等

找平行线.

6.证明(1)因为M,N分别为AiBAC的中点，

所以MN〃BC,

又MN。平面ABC,BCU平面ABC,所以MN〃平面ABC.

(2)取AB的中点G,连接FG,AiG,如图，则FG〃AC,FG=AC,

又A正〃AC,AiE=|AC,所以AIE〃FG,AIE=FG,

所以四边形AiGFE为平行四边形，所以EF〃AiG,

又EFQ平面AAIBIB,AIGU平面AA1B1B,

所以EF〃平面AAiBiB.

7.C若l〃m」Ua,arip=m,则1Q仇且mU0,由线面平行的判定定理可知1〃0,充分性成立;

若1〃0,1（=见01邯=14则由线面平行的性质定理知1〃01,必要性成立,故力〃111”是“1〃留的充

要条件.

8.D在正方体ABCD-AiBiCiD1中分析A,B,C选项.

对于A,如图1,直线BC〃平面ABCD,ABU平面ABCD,但直线BQ与AB异面，故A错

误；

对于B,在图1中,B]C”平面ABCD,AIBI〃平面ABCD,但BiCi与A.B）相交，故B错误；

对于C,在图1中,BiCi〃平面ABCD,BC〃BC,但BCX平面ABCD,故C错误；

对于D,如图2,因为b〃c,cU0,bCd所以b〃p,

乂bUa,an0=a，所以a〃b,又b〃c,所以a〃b〃c,D正确.

9.C连接CD,交PE于点G,连接FG,如图,

TAD〃平面PEF,ADU平面ADC,平面ADCCI平面PEF=FG,.\AD〃FG,

・・•点D,E分别为棱PB,BC的中点.・・・G是ABC的重心，,喘啜号

10.答案5

解析因为AB〃平面a,ABU平面ABCD,平面ABCDfl平面a=MN,所以AB/7MN.

又点M是AD的中点,AB〃CD,所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN=5.

11.证明因为底面ABCD为平行四边形，所以AB〃CD.

又ABQ平面PCD,CDU平面PCD,所以AB〃平面PCD.

因为平面ABED平面PCD=EF,ABU平面ABE,所以AB〃EF.

又EFQ平面ABCD,ABU平面ABCD,

所以EF〃平面ABCD.

12.解析⑴证明:连接CE「.,点P,Q分别为BC,BE的中点，

APQ//CE,

又PQC平面ACD,CEU平面ACD,

・•・直线PQ〃平面ACD.

(2)PQ与1平行.

证明:二・PQ〃平面ACDTQU平面DPQ,平面DPQA平面ACD=1,.\PQ^L

能力提升练

1.BD如图，在正方体ABCD・ABGDi中,ABCiD,则四边形ABCQ1是平行四边形，所以

ADiZ/BCi,

又ADC平面AEDI,BCIQ平面AEDi,所以BCi〃平面AEDi,故B正确；

连接EF,因为E,F分别为BBi,BiCi的中点，所以EF〃BG,又AD"BG,所以EF〃ADi,所

以E,F,Di,A四点共面，即点F在平面AEDi内，故D正确；

连接FDi,显然G不在平面AEFDi内，所以FG与平面AED1不平行，故A错误；

由BC〃平面AEDi,可知点Ci不在平面AEDi内，故C错误.

2.AB对于A,如图1,取MS的中点A,底面为平行四边形STFE,连接PA,TA,

则PA〃SE,PA=SE,又TQ〃SE,TQ=，E,

所以PA〃TQ,PA=TQ,即四边形PATQ为平行四边形，

故PQ〃AT,而ATU平面MSTTQQ平面MST,

故PQ〃平面MST,A正确；

对于B,如图2,取MS的中点B,底面为平行四边形EFTS,连接PB,TB,

则PB〃SE,PBWSE,又TQ〃SE,TQ=：SE,

所以PB〃TQ,PB=TQ,即四边形PBTQ为平行四边形，

故PQ〃BT,而BTU平面MST,PQQ平面MST,

故PQ〃平面MST,B正确；

对于C,如图3屋设底面为平行四边形GFES,D为ME的中点，连接QD,DS,

设DQCIMT=H，连接SH,

则DQ〃FE,DQWFE,又PS〃EF,PS=；EF,

所以DQ〃PS,DQ=PS,即四边形DQPS为平行四边形，

故DS〃PQ,又DS与平面MST相交，所以PQ与平面MST相交,C错误；

对于D,如图4,设底面为平行四边形EFMQ,连接ME,FQ,设MECFQ=H，连接SH,

因为H,S分别为FQ,PF的中点，所以SH〃PQ,

又SH与平面MST相交，所以PQ与平面MST相交,D错误.

3.答案AbBi,D

解析由题意知，平面DEP必定经过正方体的顶点D.

下面分析正方体中除D点外的其他顶点,满足题意的正方体的顶点与DE确定的平面必然

与直线BDi相交，且交点不为B,Di,显然顶点A,B,C,Di都不符合题意.

分析顶点G是否符合题意、如图1,

连接GE,DG,CDi,设DCCCDLO,则0为DCi的中点，连接EO,因为E为BC的中点，所以

BD〃EO,又EOU平面DECLBDN平面DECi,所以BDi〃平面DEG,故G不符合题意；

分析A）,Bi是否符合题意，根据正方体的特征，结合图2和图3可知，图2中的平面A.DE和

图3中的平面BiDE分别和直线BDi相交于M,N,所以AuBi符合题意.

综上，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A,,BI,D.

4.解析当CQ=1时,PQ〃平面ABBIAI.理由如下：

取AAi的中点M,连接BM.MP.

因为M,P分别为AAi,DDi的中点，

所以由梯形的中位线定理得MP〃AD〃A】Di,且MP」”'"」,

当CQ=1时,BQ=3,因为四边形ABCD为正方形，

所以BQ〃AD〃MP,且MP=BQ=3,

所以四边形BQPM为平行四边形，

所以BM〃PQ.

又BMU平面ABBiAi,PQC平面ABBiAi,

所以PQ〃平面ABBiAi.

5.解析（1）证明:连接BD,设ACnBD=O,连接OP,

因为SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，

所以P为QD的中点.

又O为BD的中点，所以OP〃BQ,

而OPU平面PAC,BQQ平面PAC,

所以BQ〃平面PAC.

⑵在侧棱SC上存在一点E,使得BE〃平面PAC,满足号2.理由如下:

在SC上取一点E,满足*2,连接BE,DE,设DECCP=F，由(1)知ACnBD=O,连接OF,

下面先证明F为DE的中点，在侧面SCD中,如图,

因为E,F,D三点共线，所以可设科X豆+b1砺(入+-1入,*R),

而告=2,SP=3PD,所以弟|X5C+7际

EC33

又C,F,P三点共线，所以有2*1,

结合入+p=1,解得入=四4

所以豆W豆+；苑所以F为ED的中点.

又0为BD的中点，所以OF〃BE,

而OFU平面PAC,BEQ平面PAC,

所以BE〃平面PAC.

6.C如图，连接MB,交AC于点D,连接ND,NA,NC,MC,BC,则平面NAC即为平面a.

因为SB〃平面a,平面SMBCI平面a=DN,SBU平面SMB,所以SB〃DN.

因为AB为底面圆的直径，点M,C将弧AB三等分,

所以/八碗=/"6。=/81^=/m。=30。,1\优=吹=^8,所以MC〃AB,所以僚二*=/

又因为SB//DN,所以黑啜=；,所唬V

方法技巧利用线面平行的性质定理解决计算问题的三个关键点:(1)根据已知线面平行

关系推出线线平行关系;(2)利用三角形中位线定理、平行线分线段成比例等推出有关线段

的关系;(3)利用所得关系计算求值.

7.BDA选项，如图1,在CG上取点E,使CE=BQ,连接QE,DE.由CEBQ,得四边形BCEQ

为平行四边形，

故QEBC,又BCAD,所以QEAD,则四边形ADEQ是平行四边形，所以AQ〃DE,

又D,E,Cie平面CDDC,C痣DE,PE平面CDDC,所以DE和CiP为异面直线，则AQ和

CiP不可能平行，故不存在点P,Q,使得GP〃AQ,A错误；

B选项，如图2,在AAi上取点F,使AF=BQ,连接FQ,FD：.由AFBQ,得四边形ABQF为平行

四边形，故FQ^DiCi,

由图可知，点Ai在平面FQCiDi的上方，点P在平面FQCiDi的下方，

则直线AiP与平面FQCiDi相交，交点T在线段A)P上,T4CiQ,

又T,Q,CC平面FQCDAPA平面FQCiDi=T,

所以直线A)P和CiQ异面,B正确；

C选项，连接BD(图略)，若PQ〃平面DCGD],由PQU平面DBBQi,平面DCGDQ平面

DBBQ尸DDi,得PQ〃DDi,此时点P与点B重合，不合题意,C错误；

D选项，连接BG,将三棱锥G・BBQi展开成平面图形如图3,

连接GC3,分别交BDi和BBi于P,Q,此时△GPQ的周长最短，为CiC3的长,

OO

ZCIBC3=900+45=135,BCI=BC3=2,

则由余弦定理得

C|C3=J+4・2x2x2x(-