初升高数学暑假预习讲义：反证法（原卷版及解析）

暑假预习专题第5讲反证法

预习航标

关键词学习目标导航

反证法1.反证法的思想。

命题的否定形式2.反证法的表达形式。

反证法的步骤3.反证法的证明步骤。

学习重点：了解反证法的思想以及反证法的表达方式。

学习难点：会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用

反证法证明一些典型问题。

1、反证法

(1)证明思路：肯定条件，否定结论一推出矛盾一推翻假设，肯定结论：

(2)反证法的一般步骤：

①分清命题的条件和结论；

②作出与命题结论相矛盾的假设；

③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；

④断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

盟教材全解(

r假设结论不成立

步骤-」导出矛盾

反证法的定义

假设不成立，则结论成立

反证法的综合应用

否定形式

知识点01反证法的定义

要判断命题”若a,则是假命题，只要存在一个满足条件。但不满足结论P的对象就行;

但是要判断命题”若。，则〃"是真命题，就需要证明所有满足条件。的对象都满足结论P,

有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论夕丕成立，然后经过正确的逻辑

推理得出矛盾，从而说明"仅为假"是不可能发生的，即结论P是正确的，这样的证明方法叫反证法.

一些常用的否定形式

陈述句aa的否定形式

x>\用,1

X>1或>>1通〕且y1

至少有2个最多有1个

至多有2个至少有3个

都是对的不都是对的（至少有一个是错的）

所有的4€A满足性质〃

至少存在一个aeA不满足性质P

所有的。GA不满足性质〃至少存在一个aeA满足性质P

【经典例题】

【例1】命题若小一1叫一1|=0,则。=1或。=1”月反证法证明时应假设为

【技巧归纳】由4=1或8=1的否定为awl且bHl,从而可得结果.

【例2】（24-25高一上•上海浦东新•阶段练习）用反证法证明：“如果必可被5整除,

则“，人至少有一个能被5整除”时应假设：

【技巧归纳】根据反证法的步骤填写即可.

【例3】「24-25高一上:上海奉贤•期末）设x,），wR,至x+y>2：则x>l砺是真命题;

这个命题可以用反证法去证明，可以假设：.

【技巧归纳】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解.

【对点练习】

【练习1］（24-25高二1•上海浦东新•期中）若要用反证法证明》若3+y210,贝Ux=0且>，=（）”,

应假设为

【练习2］（24・25高一上•上海•期中）已知〃?，〃都是自然数，利用反证法证明:

“若巾〃为奇数，则皿、〃都是奇数“，则第一步应假设.

知识点J）2,反证法的证明

反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的

真实性的论证方法。反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,

证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的。反证法是

一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。

特别提醒

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;

如果有多种，那么必须一一否定。

反证法的爰竦瓶汲嘉隹天成豆;⑵从假设由发推出茅瓦⑶彳段设不成豆，则绪说豆

【经典例题】

【例4】若。＞0/＞0,。+力＞2,用反证法证明：上2和毕中至少有一个小于2.

ab

【易错提醒】本题证明结论中结枸较复杂,而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明

\+b\+a\+b

~不可能都不小于2,假设工,都不小于2,则。b,进而变形可得矛盾,

以此来证明结论成立.

[例5]（24-25高一上•上海•阶段练习）

（1）设且互不相同时，（1一。）。,（1一〃）。,（1一。”中至少有一个小于：；

（2）设/（x）=f+/*+q,求证|/（1）|,|/（2）|,|/（3）|中至少有一个不小于1

【易错提醒】⑴先假设°均大于等于彳，则石，

(\-a)b(\-b)c-(\-c)a<—

再根据基本不等式推出64,与假设矛盾，即可证明；(2)先根据已知条件求出

f(l)+f(3)-2f⑵=2,再假设W⑴巾(2*(3)］中都小于今求出“A/⑶一2〃2)的范围与已知

矛盾，即得证.

【例6】(23-24啬二工工海浦东新•期中)设5=｛2023,2024,二2039｝,而｛《，生二小｝为S的二个

8元子集.求证：(1)存在非零自然数也使得方程4-勺=女至少有3组不同的解；

⑵对于S的7元子集｛4%，…，。7｝，(I)中的结论不再总是成立.

【易错提醒】(1)采用反证法，假设不存在满足条件的亿根据差数的范围推出矛盾即可;

(2)举例说明即可.

【对点练习】

【练习3】设〃wZ.用反证法证明:若〃3是奇数,则〃是奇数.

【练习4］（23-24高一上.上海静安.阶段练习）

（1）已知ceR,用反证法记明：若a+b+cvl,则〃也。中至少有一个小于g；

（2）已知。，"cwR,判断“a+b+cvl”是“。也。中至少有一个小于;'’的什么条件？并说明理由.

过关检测（

1.如果用反证法证明命题"设”，〃eR,则方程/+欠+4_1=0至少有一个实根”,

那么首先假设方程三+ar+a-1=0

2.用反证法证明命题①：“已知”+q=2,求证：p+q<2”时，可假设“〃+夕>2”；

命题②：“若V=4,则户一2或工=2”时，可假设或;1力2”.以下结论正确的是

A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确，②的假设错误D.①的假设错误，②的假设正确

3.已知平面直角坐标系内曲线G：/（x,y）=o,曲线G：尸（xy）-产（如%）=0,若点P（N，No）不在曲线C」,

则下列说法正确的是（）

A.曲线C1与a无公共点B.曲线G与G至少有一个公共点

C.曲线G与G至多有一个公共点D.曲线C1与G的公共点的个数无法确定

4.设〃€Z.证明：若〃2是偶数，则〃也是偶数.

5.用反证法证明：对任意的xGR,关于关于x的方程N-5x+w=0与ZH+x+6-〃『0至少有一个方程

有实根.

6.证明：tan30。是无理数.

7.（1）已知a,〃,c,d为实数且满足〃+。=1,c+d=l,ac+bd>\.求证：这四个数中至少有一个是负数.

（用反证法证明）

（2）已知集合夕={x|2<x<4},Q={X|3〃L2WX45〃?+2}.若产的充分非必要条件为Q,

则阳的取值范围是？

8.在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径.

⑴求证：次是无理数；(2)已知抛物线〃力=/+川+力求证：|/(1)用(2)"(3)|中至少有一个不小于，

暑假预习专题第5讲反证法

内容导航

01预习航标~析目标•明方向：预习导航精准定向

02教材全解-建框架•精讲解：知识体系系统梳理

03过关检测分练考点•强落实：过关检测全面巩固

预习航标

关键词学习目标导航

反证法1.反证法的思想。

命题的否定形式2.反证法的表达形式。

反证法的步骤3.反证法的证明步骤。

学习重点：了解反证法的思想以及反证法的表达方式。

学习难点：会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用

反证法证明一些典型问题。

1、反证法

(1)证明思路：肯定条件，否定结论一推出矛盾一推翻假设，肯定结论：

(2)反证法的一般步骤：

①分清命题的条件和结论；

②作出与命题结论相矛盾的假设；

③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；

④断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

盟教材全解(

假设结论不成立

步骤-」导出矛盾

反证法的定义

假设不成立，则结论成立

反证法的综合应用

否定形式

知识点01反证法的定义

要判断命题”若a,则是假命题，只要存在一个满足条件。但不满足结论P的对象就行;

但是要判断命题”若。，则〃"是真命题，就需要证明所有满足条件。的对象都满足结论P,

有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论夕丕成立，然后经过正确的逻辑

推理得出矛盾，从而说明"仅为假"是不可能发生的，即结论P是正确的，这样的证明方法叫反证法.

一些常用的否定形式

陈述句aa的否定形式

x>\用,1

X>1或>>1通〕且y1

至少有2个最多有1个

至多有2个至少有3个

都是对的不都是对的（至少有一个是错的）

所有的4€A满足性质〃

至少存在一个aeA不满足性质P

所有的。GA不满足性质〃至少存在一个aeA满足性质P

【经典例题】

【例1】命题若卜-忤-1|=0,则。=1或。=1”月反证法证明时应假设为.

【答案】。工1且〃工1【详解】因为a=l或〃=1的否定为awl且bwl,所以反证法证明时应假设“awl且人工1”；

故答案为：awl且。工1.

【技巧归纳】由。=1或6=1的否定为。工1且人工1,从而可得结果.

【例2】（24-25高一上•上海浦东新•阶段练习）用反证法证明：“如果必可被5整除，

则“，人至少有一个能被5整除”时应假设：

【答案】。，〃都不能被5整除【详解】“如果“力wN,必可被5整除，则m〃至少有一个能被5整除“

反证法应假设m5都不能被5整除；故答案为：m〃都不能被5整除.

【技巧归纳】根据反证法的步骤填写即可.

【例3】（24・25高二上二海奉贤•期末）设x,ywR,若x+y>2,则x>1或y>l是真命题「

这个命题可以用反证法去证明，可以假设：.

【答案】工金且”1【详解】依题意，x>l或）>1的否定是：工41且）口，

所以所求假设为：x<l£Ly<l;故答案为：且）国1

【技巧归纳】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解.

【对点练习】

【练习1】124-25海浦加•期中7^5席反证法证明“若Y+7=0riiJx=0

应假设为

【答案】xwO或），"。【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，

求得要证命题的否定，可得结果.【详解】要证命题的结论为x=0且丁=0,它的否定为工。0或丁工0：

故答案为：工工0或），工0.

【练习2］（24-25高一上.上海.期中）已知孙〃都是自然数，利用反证法证明：

“若〃”为奇数，则小、〃都是奇数“，则第一步应假设.

【答案】加、〃不都是奇数【分析】根据题意结合反证法即可得结果.

【详解】“若族〃为奇数，则必〃不都是奇数”,利用反证法，第一步假设：〃?、〃不都是奇数；

故答案为：/小〃不都是奇数.

知识点02反证法的证明

反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的

真实性的论证方法。反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,

证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律，既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的。反证法是

一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。

特别提醒

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了；

如果有多种，那么必须一i否定。

匠怔法而毛彝丁⑴假设结论不成立：(2)从假设出发推出矛盾：⑶假设不成立，则结论成立.

【经典例题】

【例4】若十〃>2,用反证法证明：上电和空中至少有一个小于2.

ab

【答案】证明见解析【详解】证明：假设上吆，空都不小于2,则9之2,孚之2

abab

因为a>0,b>0,所以l+b22a,l+a22b,则l+l+a+b>2(a+b)

即22a+b,这与已知a+b>2相矛盾，故假设不成立；综上虫，粤中至少有一个小于2.

ab

【易错提醒】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明

1+b1+al+bl+o1+〃>21+a>2

丁，一「不可能都不小于2,假设一丁，一厂都不小于2,则。一‘人一，进而变形可得矛盾，

以此来证明结论成立.

71例5](24-25高=KL海•阶段练习)

(I)设4"ce(0,l)且互不相同时，(1一4血(1-〃)0,(1-。”中至少有一个小于；；

(2)设/(x)=f+/状+4，求证01)|,|/(2)“(3)|中至少有一个不小于泉

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【详解】解：⑴假设(1-。)”(1叫。,(一”均大于等于；，则

则(1-a)b(l-b)c(l-=-,;0力,ce((),l)且互不相同,

故[心明・回—「(空j{千j/.

当且仅当a=1-a/=l-"c=l-c,即。=Z?=c=；时，等号成立，

故・回~)}[«~)卜白，这与(1-m(均大于等于(矛盾，

故假设不成立，则M,cw(0,l)且互不相同时，(l-a)A(l-〃)c,(l-c”中至少有一个小于

2

(2),//(x)=x+/zr+g,f(])=\+p+qtf(2)=4+2p+q,/(3)=9+3〃+q,

则f⑴+/⑶=1+〃+”9+3〃+9=1。+4〃+2以

故f(l)+/⑶-2/(2)=10+4〃+2夕一2(4+2〃+4)=2,假设|川)中(2)|"(3)|中都小于,

-</(2)<1,-1</(3)<1,

即-2</⑴+/⑶-2〃2)<2与/(1)+/(3)-2/(2)=10+4〃+%—2(4+2〃+夕)=2矛盾，

故|八1)中(2)|,|/(3)|中至少有一个不小于1

【易错提醒】(1)先假设(〜同均大于等于Z,则(

再根据基本不等式推出64,与假设矛盾，即可证明；(2)先根据已知条件求出

f0)+/(3)-2/(2)=2,再假设/⑴|，|/⑵|，|/(3)|中都小于；，求出f⑴+了⑶川⑵的范围与已知

矛盾，即得证.

［例6］彳2%24高一上•上海浦东新•期中)设3二｛2023,2024,二,2039｝,而｛4生，…，4｝为S的一个

8元子集.求证：(1)存在非零自然数％，使得方程4一%二攵至少有3组不同的解；

⑵对于S的7元子集｛4生,…,%｝,(I)中的结论不再总是成立.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

［详解］(1)不妨设2023<a］<a2<L<a^<2039,记七=ai+l-«,(/=1,2,L,7),%=ai+2-a\i=1,2,L,6),

共13个数，假设不存在满足条件的上则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、

两个6,从而(玉十修十L十七)十(y+g+L+”)22(1+2+L+6)+7=49©,

又因为(多+巧+L+x7)+(y1+y2+L+稣)=(4-4)+(4+-4)

=2(&-4)+(4-2)《2xl6+14=46,这与①矛盾，故假设不成立,结论成立.

即存在非零自然数生使得方程〃厂%=上至少有三组不同的解；

(2)例如｛2023,2024,2026,2029,20233,2038,2039｝,

则4—%(正数)：1,3,5,6,9,10,15各两个，2,4,7,12,13,14,16各1个，

即没有三个相等的值，所以于S的7元子集｛4生,…,%｝，(I)中的结论不再总是成立.

【易错提醒】(1)采用反证法，假设不存在满足条件的七根据差数的范围推出矛盾即可；

(2)举例说明即可.

【对点练习】

[练习3]用反证法证明：若3是看数,"10〃曲数二

【答案】证明见解析【分析】假设〃不是奇数，然后推出/为偶数，这与题设矛盾，即可证.

【详解】证明：假设〃不是奇数，则〃是偶数，设“=2Z«eZ,则〃3=8/,因为此Z,所以二eZ，

则跳3是偶数,即〃为3偶数,这与题设凡3为奇数矛盾,所以假设不成立,即〃是奇数.

【练习4]（23-24高一上•上海静安•阶段练习）

（1）已知a,hcwR,用反证法证明：若a+〃+c<l,则〃也c中至少有一个小于g；

（2）已知ahceR,判断“a+b+cvl”是“。也c中至少有一个小于;”的什么条件？并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，理由见解析

【分析】（1）先假设结论不成立，推理得出矛盾，解决问题；

（2）由（1）可知充分性成立，列举出反例推翻必要性的成立，从而得出本题结论.

【详解】⑴证明：假设丘家冬1弓则a+〃+cNl,

与已知条件a+〃+cv1矛盾，所以。也c,中至少有一个小于1；

（2）由（1）可得“a+6+cvl”可以推出“©〃，。中至少有一个个于；”，反之不一定成立，

例如：«=O<-,b=—,c=2,则a+/?+c>l,

32

所以％+8+c<l”是“。也。中至少有一个小于g”的充分非必要条件.

过关检测

1.如果用反证法证明命题"设”，beR,则方程/+如+。_|=（）至少有一个实根”，

那么首先假设方程/+奴+〃_1=0

【答案】没有实数根【分析】考察反证法的一般步骤，先假设命题的否定是正确的

【详解】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，，用反证法证明命题“设。，beR,

则方程/+奴+〃_1=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程/+欠+〃-1=0没有实数根；

故答案为：没有实数根.

2.用反证法证明命题①：“己知p:d=2,求证：〃+时，可假设“〃+夕>2”；

命题②：“若V=4,则x=-2或x=2”时，可假设“亦-2或工工2”.以下结论正确的是

A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确，②的假设错误D.①的假设错误，②的假设正确

【答案】C【详解】①〃+乡42的命题否定为〃+。＞2,故①的假设正确.

工=-2或x=2”的否定应是“工工-2且工衣2”②的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.

3.已知平面直角坐标系内曲线G：尸（苍。=0,曲线母：尸（苍川一尸（如%）=0,若点P（%％）不在曲线C」,

则下列说法正确的是（）

A.曲线q与G无公共点B.曲线q与G至少有一个公共点

C.曲线G与a至多有一个公共点D.曲线Ci与G的公共点的个数无法确定

【答案】A【解析】利用反证法，假设曲线C1与G有公共点。（公,）；），推出矛盾，即可得到结论.

【详解】假设曲线G与孰有公共点Q&,y）,则尸解,y）=0和户际x）一尸（%%）=0同时成立,

・•・F（%y°）=0,•••点P（%N0）在曲线上，这与已知条件点P5,%）不在曲线C|上矛盾.

••・假设不成立，所以曲线G与G无公共点.故选：A.

4.设〃wZ.证明：若〃2是偶数，则〃也是偶数.

【答案】证明见解析【分析】结合数论知识以及反证法即可得证.

【详解】用反证法证明，埋由如下：若〃不是偶数，且/是偶数，

结合前提可设"=2左-l,kwZ,此时有〃2=（2k-［『=4&2-44+1=2（2-一2%）+l,keZ,

因为2（2^-2A）«eZ是偶数，所以/=2（2公一2切+1,&eZ是奇数，这与〃?是偶数矛盾，

故假设不成立，命题得证.

5.用反证法证明：对任意的xGR,关于关于x的方程x2-5x+/n=0与2x2+x+6-m=0至少有一个方程

有实根.【答案】证明见解析.

【详解】要证命题的否定为：关于x的方程A-2-5X+,〃=0与2x2+x+6-，〃=0没有实根，

假设关于x的方程x2-5x+m=02x2+x+6-in=0没有实根，

9c:47

则有△=25・4/«V0,且△'=1-8（6・/M）=8/n・47V0.解得旭冶,且水喉，矛盾，

48

故假设不正确，原命题得证.

6.证明：lan30。是无理数.

【答案】证明见解析【分析】即证正是无理数，假设立是有理数，则可设立=%，

333n

其中/〃与〃是互素的正整数，推出矛盾，假设不成立，故tan300是无理数.

【详解】因为ian3（r="，假设正是有理数.则可设立=%,其中，〃与〃是互素的正整数.

333n

于是扃=3m.两边平方,得〃2=3病.（*）,所以〃2是3的倍数.又因为〃是正整数,

所以〃是3的倍数.设〃=3/（/为正整数），代入（*）式得/=3/，

所以“是3的倍数.又因为m是正整数,所以6是3的倍数.

这与m与〃是互素的正整数矛盾，因此假设正是有理数不成立.