向量应用（分层同步练习）-2025-2026学年高一数学下册苏教版必修第二册

9.4向量应用

A层基础达标练

1.已知三个力尸产(-2,-1)尸2=(-3,2),产3=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平

衡,现加上一个力尸4,则尸4等于()

A.(-l,-2)B.(L-2)C.(-l,2)D.(l,2)

2.设。是△ABC所在平面内一定点,M是平面内一动点，若(丽--

AM)=(MB--加)=0,则点0是△ABC的()

A.垂心B.内心C.重心D.外心

3.设。为AABC的外心,ODJ_BC,垂足为点Q,且|而|二代,|照|=1,则而•(而-而)的值

是()

A.lB.2C.3D.4

4.在矩形ABCD中二心8。=2,点E在边CO上运动(包含端点)，则荏•丽的取值范围

为()

A.[y,1]B.[2V2,41

C.[2V2,j]D.[j,4]

5.一条河宽为8000m,一艘船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20

km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需的时间为h.

6.已知正方形QA8C的边长为1,点。，石分别为48,8。的中点，则cosNOOE的值

为.

7.在四边形ABCD中，已知4(0,0),8(4,0)0(3,2),0(1,2).

⑴判断四边形46co的形状；

(2)若荏=2前，求向量而与前夹角的余弦值.

B层能力提升练

8.（多选题）设作用于同一点的三个力SE,尸3处于平衡状态，若平|=1,|凡|=2,且Fi与正2

的夹角为李如图所示，下列说法正确的是（）

«3

F：

E

A.|F3|=V3

B.|F3I=V2

CE与尸3的夹角为今

6

D/2与尸3的夹角为g

9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为48的中点，且症1前，则|丽|=（）

A.1B.2V3C.3D.2V2

10.已知向量a=（cos58°,sin58°）,Z>=（cos13°,sin133a-b=\a\\b\cos0-x\X2^y\yi,

计算cos580cos13°+sin58°sin13°的值为（）

A.cos58°B.cos13°C.-D.—

22

11.若点M是△ABC所在平面内的一点，且湖足3AM-AB-冠=0,则与△ABC

的面积之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：5

12.（多选题）两个粒子A8从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为

§『（4,3）9=（-1,2）,则（）

A.在该时刻囹J_SB

B.在该时刻,两个粒子的距离为国

C.在该时刻，粒子B相对于A的位移为s=（5,l）

D.在该时刻用在班上的投影向量为（-|W）

OZJ

13.（多选题）已知点。在△ABC所在的平面内，则下列命题中正确的有（）

A.若瓦5+0B+配=0,则点O为△ABC的重心

B.若|瓦?|二|赤|二|反|,则点O为的外心

C.若（瓦5+而）•荏=（而+瓦）•正=（沆+方5）・85二0厕点。为△ABC的内心

D.若瓦5-OB=OB-OC=OC-瓦?，则点。为AABC的垂心

14.（多选题）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400m,一艘船从河岸的A地出发，向

河对岸航行•己知船的速度ri的大小为|力|=8km/h,水流速度也的大小为"2|=2km/h,船

的速度与水流速度的合速度为匕当航程最短时，下列说法错误的是（）

A.船头方向与水流方向垂直

B.COS<V|,V2>=--

4

C.|V|=2A/17km/h

D.该船到达对岸所需时间为3min

Af

第14题图

15.如图，在平行四边形ABCD中，已知AO=1/8=2,对角线8。=2,则对角线AC的长

为.

第15题图

16.如图,△ABC的三个顶点是三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的点

上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的距离的|,岛屿A和岛屿。到补

给站E的距离相等,补给站/在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设方二°,方二。.

(1)用a力表示前面;

⑵如果NAC3=60°,AC=20nmile,且C£>_LE£求岛屿C到补给站D的距离以及岛屿A

到岛屿6的距离.

C层拓展探究练

17.如图为一个空间探测器的示意图乃『2『3『4是四台喷气发动机,Pl,P3的连线与空间

一个固定坐标系的工轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力,但不会使探测

器转动，开始时,探测器以恒定的速率I咄向正X方向平动，要使探测器改为正X偏负）60°

的方向以原来的速率Im平动，则可（）

A.先开动Pi适当时间,再开动P4适当时间

B.先开动P3适当时间,再开动P2适当时间

C.开动P4适当时间

D.先开动尸3适当时间,再开动P4适当时间

参考答案

1.D由题意得尸|+尸2+尸3+户4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-l

2)=(1,2).故选D.

2.A由题意，(丽--而5)•(而-CM)=O,

即(而-加)•(而7+拓?)二(祈耳-+前)=0,

^CB-OA=荏♦沆=0,则OA_LCB,OCJ_AB,

故点。是△ABC的垂心.故选A.

3.A由已知得，。为3c的中点，故而=/福+硝,则而•（四一硝三（而+

AC\（AB-m）三（|荏臼前|2）=1.故选A.

4.D以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由A5=0,BL2,得

B（式,0）,C（Vl2）Q（0,2）.又点E在边C。上运动（包含端点），则可设E（a,2）fi<a<&,所以

荏二（。,2）,丽=（〃-鱼,2）,故族•丽=。（。-&）+2乂2=/72。+4=3-当尸+，因为0<a<无，所

以①苧沼呜41,即荏.雇的取值范围为区4].

5.0.5V口图,v实体=u破+y豕,

枚船|二20km/h,|v水|二12km/h,

，|箕尖除I二/|%1『-加永『=V202-122=16(kni/h).

・••所需时间/=-=0.5(h).

16

・••该船到达3处所需的时间为（）.5h.故答案为0.5.

6-以O为坐标原点，以。4,OC所在直线分别为x轴、）轴建立平面直角坐标系，如图

5

所示,

由题意知丽=（1,）,痈=

OD-OE1X-+-X1A

故cos/DOE二一一=-,2=一.

\OD\-\OE\坐*立5

即cosZDOE的值为去故答案为g.

7.解（1）因为反二（2,0）,近二（4,0）,所以超=2DC.

又因为।前i=«ra=花」近।二J（3-4）2+4=vs,

所以四边形ABC。是等腰梯形.

(2)设£(x,y),则4E=(x,y),EC=(3-x,2-y).

因为律2或所以二版;;'解得x=2,

4

所以EB

设向量而与前的夹角为包则

EBE^

cos0=2g5

画的一月xR|一13'

故向量而与前夹角的余弦值为高

8.AC由题意知氏3|二|尸什仍|,因为国|=1,|尸2|=2,且F\与尸2的夹角为与所以

|F3|=|FI+F2|=Jl+4+2xlx2x(彳)=V3.

设尸2与人的夹角为。，因为尸3=・(尸1+尸2),所以尸3•凡=・尸|/2•尸2/2,所以V5X2XC0S0=-

1X2X(・54,所以cos。=?所以。哼.故选AC.

9.B以A为坐标原点所在直线为x轴,AQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直

角坐标系.

设\AD|=。(。>0),则A(0,0),C(4M),Q(0,4),E(2,0),

所以DE=(2,-a),AC=(4,a).

因为瓦，前,所以屁•左二0,

所以2x4+(-a>a=0,即a2=S.

所以a=2&,所以屁=(2,-2企)，

所以|丽|=122+(-2&)2二2百.故选B.

10.D由题意知ab=\a\\b\cos。，⑷=网=1,若将两向量的起点定为坐标原点，则两向量的

终点均落在单位圆上，且。在58。角的终边上方在13。鱼的终边上,所以。=58。-13。=45。.又

|。|二网=1,所以原式=。力=|。|网-cos45°=cos58°cos13°+sin580sin130=1xlx—=—.

22

ll.B如图,。为边8c的中点，

则标二工（丽+前）.因为3前一荏一前二0,所以3病二2而，所以前=2而，所以八

23

ABM=~S^ABD=~SMBC.

所以SMBM:SAABC=1：3.故选B.

12.BD选项A,因为§从唱/3=-4+6=2翔,所以SA与s/3不互相垂直，故A错误;选项B.由两点

间距离公式可得两个粒子的距离为V52+12=V26,iiB正确;选项C,在该时刻，粒子B

相对于A的位移为s=S8-s4（・5,-l）,故C错误;选项D9在SB上的投影向量为出理

康•冲（-级），故D正确.故选BD.

13.ABD对于A,如图，设边BCACAB的中点分别为D,E,F,则丽4-OC=2OD.<OA4-

OB+泥=0,所以耐+2诟=0,即瓦?二-2而，可得A,。/三点共线,所以点。在中线AD上,

同理可得点。在中线BE,C厂上，则点。是△ABC的重心，故A正确;对于B,若

|曲|二|而月方则点o为△ABC的外心，故B正确;对于C,设边8C,C4,AB的中点分别

为。，瓦F,由（瓦？+而）•方=0,得2OF­通=0,所以OF为线段AB的垂直平分线，同理可

得。旦。。分别为线段AC,BC的垂直平分线，则。为三角形三条边垂直平分线的交点，所

以点。为AABC的外心，故C错误;对于D,由已知可得就•而一而•瓦=而•（瓦彳一

灰尸赤・g?=0,即O8_LC4,所以点。在边AC的高上，同理可得点。在边AB的高上，点

O在边BC的高上，所以点0是△ABC的垂心，故D正确.故选ABD.

14.ACD由题意可知/=M+也,当船的航程最短时，羽_LP2,而船头的方向与ri同向.由

V-V2=（V|+V2）-V2=V|-V2+V2得了「也二-v^=-4,cos<力/2>=J1>==，古攵A选项错■误,B

|V1|-|V2I4

2v

选项正确;皿二|也+也|=（吗+v2）=>Ji+2V1-V2+^2=V64-2x4+4=2V15（km/h）,

故C选项错误;该船到达对岸所需时间为60x=三一(min),故D选项错误.故选

ACD.

15.V6-AC=AB+AD.

.•・AC2=AB2+AD2+2AB・AD.①

又丽=丽一福

・•・~BD2=AD2+AB2-2AD-AB.②

①+②,得前2+BD2=2(AB2+AD2).

又AO=14B=2,3r>=2,，AC=V5.故答案为历.

16.解⑴由题意，得而=-~AB,~EC=-CA,~CF=-CB.

523

又方二〃,g?二"所以前=距+CF=-^CA+^CB=",

CD=CA+AO=C4+4(CB-G4)=±CB+士G4=-a+-b.

555555

(2)由题意，得CDLEF,\b\=\CA\=AC=20,

所以前•EF=(|a+|z>).(|a-^)=0,

即三〃2-巨。2=0,

1510

所以卷⑷%x202=0,解得|3二30.

又NAC8=60。,所以Q.5二20X30X1=300,

则|而|二^04^8)