2026年高考数学一轮培优练习（新高考）用样本估计总体（学生版+解析）

第九章统计与成对数据的统计分析

§9.2用样本估计总体

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•全国新II卷、2023•全国甲卷

2023•全国乙卷、2023•新课标I卷

会用统计图表对总体进行估

2023•新课标H卷、2022•全国乙卷

计，会求〃个数据的第p百分位

样本的数字特征2022•全国甲卷、2022•天津

数2能用数字特征估计总体集中

2022.新高考全国II卷、2022•北京

趋势和总体离散程度。

2021•天津、2021•全国甲卷、

2021•全国乙卷、202卜新高考全国I卷

【知识梳理】

1.百分位数

一般地，一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有—的数据小于或等于这个

值，且至少有(10()一〃)％的数据这个值.

2.平均数、中位数和众数

(1)平均数：x=-

n

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最—的一个数据(当数据个数是奇数

时)或最中间两个数据的(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数—的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

3.方差和标准差

nn

(1)方差：s2=；£或3£xf—x2.

ni=1ni=1

⑵标准差：f(勺-回2.

4.总体方差和总体标准差

N

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为匕，匕，…，为，总体平均数为,则总体方差群=春E(匕

i=1

-Y)2.

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有M&WN)个，不妨记为修，匕，…，匕，其中匕出

k

现的频数为川=1,2,…，k),则总体方差为片=三Sfi(Y-Y)2.

i=1

点拨】

1.若X],如…，X”的平均数为x,那么〃凶+a,"LH+①…，”也+a的平均数为m+a.

2.数据X|,M,…，x”与数据=+a,X2=X2+ayxj=为+a的方差相等，即数据经过平移后方差不

变.

3.若X],如…，M的方差为P那么CR+Z?,ax2+b>…，ax“+b的方差为a2f.

【随堂训练】

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（）

（2）一组数据的第p百分位数可以不唯一.（）

（3）方差与标准差具有相同的单位.（）

（4）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（）

2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（）

A.平均数B.众数

C.百分位数D.标准差

3.己知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84,79,84,86,95,84,87,

93,则该组数据的平均数和众数分别是（）

A.86,84B.84.5,85

C.85,84D.86.5,84

4.已知一组从小到大排列的数据为a,2,2,4,4,5,6,b,8,8,若其第70百分位数等于其极差，则2a

+/?=.

【必练核心题型】

题型一样本数字特征的估计

【典例】1.（多选）随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国I卷的平均分进行预估，得到•组样

本数据：97,98,99,100,101,103,104,106,则下列关于该样本的说法正确的有（）

A.平均数为101B.极差为9

C.方差为8D.第60百分位数为101

【典例】2.如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，

下列判断正确的是（）

2023年11月10个城市地铁运营数据

A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多

B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里

C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4

D.这1()个城市地铁运营线路条数的极差是12

【变式训练】

变式1.(多选)某次比赛通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7,12,13,17,18,20,32,

则()

A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为19

C.该组数据的平均数为17

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等

变式2.若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94,96,95,

则这组数据的众数是;中位数是.

题型二总体集中趋势的估计

【典例】1.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学

习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考

情况，随机抽取了1()0名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[5(),70),(70,90),[90,110),

[110,130),[130,150]分组,绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求出图中。的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比【典例】)；

⑵估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数;

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

【变式训练】

变式1.某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼

的时间，并以此作为样本，按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分

组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在［50,60)内的学生有10人.

时间/分钟

(1)求频率分布直方图中。和〃的值.；

(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).

题型三总体离散程度的估计

【典例】1.某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了1()次配对试验，每次配

对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处

理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为为，y"=l,2,…，10).

试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率为545533551522575544541568596548

伸缩率y536527543530560533522550576536

记Zi=H—y,"=l,2,…，10）,Zi,Z2,…，Zio的样本平均数为落样本方差为N

⑴求乐52；

⑵判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

522则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，

否则不认为有显著提高）.

【变式训练】

变式1.某校随机抽取了100名学生参加“奥运会”知识竞赛,统计得到参加竞赛的每名学生的成绩（单

位：分），然后按［40,50）,［50,60）,…，［90,100］分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，

已知6+0.03=2。.

（1）求。，的值，并估计参加竞赛的学生成绩的第30百分位数；

（2）已知成绩在［80,90）内所有学生的平均成绩为84分，方差为6,成绩在［90,100］内所有学生的平均

成绩为98分，方差为10,求成绩在［80,100］内所有学生的平均成绩元和方差•产.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共3（）分）

1.已知一组样本数据1,2,2,3,4,5,则2.5是该组数据的（)

A.极差B.平均数

C.中位数D.众数

2.若一组数据xi，工2,…，x〃的方差为9,则数据2xi+l,为+1,…，25+1的方差为（）

A.9B.18

C.19D.36

3.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（）

405()6()7()80时速/km

A.d=0.1

B.车速众数的估计值是70

C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值

D.车速中位数的估计值是62.5

4.某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.

成绩/分919293949596979899100

人数■■1235681012

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

A.平均数，方差B.中位数，方差

C.中位数，众数D.平均数，众数

5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通

过体重（kg）除以身高（m）的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，我

国成年人的身体质量指数在18.5~23.9内属正常范围.已知A,B,C三人的体质指数的平均值为20,方差为

3D,E两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为（）

6.已知数据汨，%2，加，…，的0满足即一g=IQWiWlO）,若去掉xi,xio后组成一组新数据,则新数据与

原数据相比，下列说法错误的是（）

A.中位数不变

B.若k=1,则数据Xi,X2,X3,…，X10的第75百分位数为7.5

C.平均数不变

D.方差变小

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的

件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3,则关于这组数据的结论正确的是（）

A.极差是4

B.众数小于平均数

C.方差是1.8

D.数据的80%分位数为4

8.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市

场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023年II月，中国市场智能手机新机激活量为2871万台，同比增长

12.9%（同比增长率=本吗扭";汇，期数据X100%）,具体分为7个品牌排名，统计数据如表所示，则下列说法

去年同期数据

正确的有（）

排名品牌当月新机激活量/万台同比新机激活量增长/万台

No.1A604.413.0

No.2B524.3160.5

No.3C403.145.0

No.4D401.4172.9

No.5E383.3-47.5

No.6F376.3-44.8

No.7G178.228.0

A.该月7个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4

B.该月7个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数

C.该月。品牌新机激活量同比增长率大于75%

D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2600万台

三、填空题（每小题5分，共1（）分）

9.一组数据按从小到大的顺序排列为2,4,〃?，12,16,17,若该组数据的中位数是极差的j则该组数据

的第40百分位数是

10.已知某7个数的平均数为2,方差为4,现加入一个新数据2,此时这8个数的方差为.

四、解答题（共28分）

11.（13分）第8届中国―南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.

本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、

地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分,

分值均在［90,10（）］内，并将部分数据整理如表：

分数[90.92)[92,94)[94,96)[98,100]

频数10102020

（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（6分）

（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同•组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（7分）

12.（15分）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生.为分析他们的

英语成绩，该老师计划用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分

（1）该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01-60,按照以下随机

数表,以第2行第21列的数字4为起点,从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一

行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；（5分）

78166572080263140702436997280198

32049243493582003623486969387481

29763413284142412424198593132322

83039822588824101158272964432943

（2）已知甲班的样本平均数为拓=72,方差为受二92,两班总的样本平均数为歹=76,方差为*=96.

①求乙班的样本平均数为和方差（5分）

②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.（如果反一为122隹互，则认为两班学生的英语成绩有明显差

异，否则不认为有明显差异）（5分）

【尖子拔高训练】每小题5分，共10分

13.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10,8,8,11,16,8,若这组数据的平均数、中

位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）

A.12B.20

C.25D.27

20242024

14.已知实数XO，XI，…，X2024，则使E出一川和2（阳一2）2最小的实数攵分别为刀0，为，…，X2O24的

i=0i=0

（）

A.中位数，标准差B.平均数，中位数

C.中位数，平均数D.标准差，平均数

第九章统计与成对数据的统计分析

§9.2用样本估计总体

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•全国新II卷、2023•全国甲卷

2023•全国乙卷、2023•新课标I卷

会用统计图表对总体进行估

2023•新课标II卷、2022•全国乙卷

计，会求〃个数据的第p百分位

样本的数字特征2022•全国甲卷、2022•天津

数.2.能用数字特征估计总体集中

2022•新高考全国H卷、2022♦北京

趋势和总体离散程度。

2021•天津、2021•全国甲卷、

2021•全国乙卷、2021•新高考全国I卷

【知识梳理】

1.百分位数

一般地，一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有巡的数据小于或等于这个

值，且至少有的数据大丁或等了这个值.

2.平均数、中位数和众数

(1)平均数：元=工3+12~1---K%).

n

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最空回的一个数据(当数据个数是奇数

时)或最中间两个数据的壬均数(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数量名的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

3.方差和标准差

nn

(1)方差：/=工X3一三产或三£xf—x2.

I=1I=1

⑵标准差：尸J；s8-君2.

4.总体方差和总体标准差

N

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为匕，匕，…，Kv，总体平均数为工则总体方差夕2(匕

i=1

-Y)2.

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有々(攵WN)个，不妨记为力，力，…，匕，其中匕出

k

现的频数为力(i=l,2,…，&),则总体方差为S2得Efi(Y-Y)2.

i=1

点拨】

1.若为，X2，…，X”的平均数为X,那么〃如+小"LH+。，…，"肉+4的平均数为〃?X+〃.

2.数据汨，刈，…，羽与数据]「=k+小X2=X2+a.•••»xj=x”+a的方差相等，即数据经过平移后方差不

变.

122

3.若X],A-2>,,•>Xn的方差为3"，那么Ib,CIX2।cixnZ?的方差为as.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.()

(2)一组数据的第p百分位数可以不唯一.()

(3)方差与标准差具有相同的单位.()

(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变.方差不变.()

【答案】(1)X(2)V(3)X(4)J

【解析】(1)平均数指的是这组数据的平均水平；中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联

系，故该说法错误.

(3)方差是标准差的平方，故它们的单位不一样.

2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是()

A.平均数B.众数

C.百分位数D.标准差

【答案】D

【解析】标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D

正确.

3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84,79,84,86,95,84,87,

93,则该组数据的平均数和众数分别是()

A.86,84B.84.5,85

C.85,84D.86.5,84

【答案】D

【解析】将样本数据按升序排列为79,84,84,84,86,87,93,95,可得平均数元=

79+3X84+丁73+95=86.5,因为84出现次数最多，所以众数为84.

4.己知一组从小到大排列的数据为m2,2,4,4,5,6,48:8,若其第70百分位数等于其极差，则2a

+b=.

【答案】10

【解析】因为10X0.7=7,所以小2,2,4,4,5,6,b,8,8的第70百分位数为等，其极差为8—小

所以2=8—〃，解得2a+Z?=10.

点拨】

1.若为，孙…，X”的平均数为歹，方差为那么尔］+小〃田+〃，…，〃血+。的平均数为收+小方差

为m2s2

2.数据M，X2,…，先与数据占'=即+m12'=及+小…，招'=月+。的方差相等，即数据经过平移后方差

不变.

【必练核心题型】

题型一样本数字特征的估计

【典例】1.（多选）随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国I卷的平均分进行预估，得到一组样

本数据：97,98,99,100,101,103,104,106,则下列关于该样本的说法正确的有（）

A.平均数为101B.极差为9

C.方差为8D.第60百分位数为101

【答案】ABD

【解析】平均数为

97+98+994-100+101+103+104+106，八，.十”

-----------------------------------------------101,A正确；

8

极差为106—97=9,B正确；

方差为（97-101）2+（98Toi/+…+（106-101）2

_1619+4+1+0+4+9+25=g5C错误•

8

因为60%X8=4.8,故第60百分位数为101,D正确.

【典例】2.如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图,

下列判断正确的是（）

5N)

1

&N/(

MI三

f4

7&(N1

/

N)

5*(/

W1

/

K三

3(

2也

N1

/

■N及

)

A.这1（）个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多

B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里

C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4

D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12

【答案】C

【解析】北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误;

地铁运营里程的中位数是”86；516=537.3（公里B错误;

地铁运营线路条数的平均数为2°-27+】8+】4+：手2+】4-】。-14-8=]5.4,C正确;

地铁运营线路条数的极差是27—8=19,D错误.

【解题技巧】计算一组〃个数据第〃百分位数的步骤

若i不是整数，而大于i的比邻

整数为j、则第p百分位数为第j

项数据

若i是整数，则第P百分位数为第

i项与第（i+1）项数据的平均数

【变式训练】

变式1.（多选）某次比赛通过赛后数据记录得到其中一•名选手的得分分别为7,12,13,17,18,20,32,

则（）

A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为19

C.该组数据的平均数为17

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等

【答案】ACD

【解析】极差为32—7=25,故A正确；

7X75%=5.25,故75%分位数为20,故B错误；

平均数为7+12+13+17+18+20+32;

故c正确;

去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确.

变式2.若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94,96,95,

则这组数据的众数是;中位数是.

【答案】9692.5

【解析】这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,95,96,96,其中96出现的次数最多,

则这组数据的众数是96,中位数是宁=925

题型二总体集中趋势的估计

【典例】1.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学

习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高二学生的联考

情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),

[110,130),[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

0.016

0.014

().013

°jg()Toif。iSoi.4)成曲分

(1)求出图中。的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比【典例】)；

⑵估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

【解析】

(1)由频率分布直方图的性质,可得(a+0.004+0.013+0.014+0.016)X20=1,

解得<7=0.003.

本次考试的及格率约为(0.016+0.014+0.003)*20=0.66=66%.

(2)得分在110分以下的学生所占的比【典例】为(0.004+0.013—0.016)X20=0.66,

得分在130分以下的学生所占的比【典例】为0.66+0.014X20=0.94,

所以第80百分位数位于[110,130)内，

由U0+20义管鬻=120,估计第80白分位数为120.

(3)由题图可得，众数的估计值为100.

平均数的估计值为0.08X60+0.26X80+0.32X100+0.28X120+0.06X140=99.6.

【解题技巧】频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

【变式训练】

变式1.某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼

的时间,并以此作为样本,按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分

组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.

频率

(1)求频率分布直方图中。和b的值；

(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).

【解析】

(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在［50,60)内的频率为喘=0.1,

由各组频率之和为1,可知(0.005+0.01+6+0.025X2+0.005)X10=1,

解得b=0.03.

⑵前3组的频率之和为(0.005+0.01+0.03)义10=0.45<0.5,

前4组的频率之和为0.45+0.025X10=0.7>0.5,

所以样本数据的中位数在第4组，设为x,

所以0.45+(x-70)X0.025=0.5,解得x=72,

估计样本数据的中位数是72,

估计平均数是(45+95)X0.05+55X0.1+65X0.3+(75+85)X0.25=72.

题型三总体离散程度的估计

1典例】1.某厂为比较甲、乙两和T艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行了10次配对试验，每次配

对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处

理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为)*=1,2,10).

试验结果如下：

试验序号/12345678910

伸缩率为545533551522575544541568596548

伸缩率V536527543530560533522550576536

记Zi=M-y"=1，2,…，10),zi，Z2，…，zio的样本平均数为H样本方差为

⑴求2,H

⑵判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

篇，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，

否则不认为有显著提高).

【解析】

(1)由题意得z,=为一y的值分别为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

则5=^X(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,

?=^X［(9-ll)2+(6-ll)2+(8-lI)2+(-8-Il)24-(i5-ll)24-0+(19-ll)2+(18-ll)2+(20-ll)2+(12

-ll)2］=61.

(2*11(1)知，z=ll,2篇=2同

故有若2舄

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解题技巧】总体离散程度的估计

标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标

准差(方差)越小，数据的离散程度越小.

【变式训练】

变式1.某校随机抽取了100名学生参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名学生的成绩(单

位：分)，然后按［40,50),(50,60),…，［90,100］分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，

已知6+0.03=2〃.

(1)求小〃的值，并估计参加竞赛的学生成绩的第30百分位数：

(2)已知成绩在［80,90)内所有学生的平均成绩为84分,方差为6,成绩在［90,100|内所有学生的平均

成绩为98分，方差为10,求成绩在|80,100|内所有学生的平均成绩三和方差$2.

【解析】

(1)因为在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1,

所以(0.005+001+〃+0.03+a+0.01)X10—b所以〃一0.045,

所以『+Q0.045,解得尸0.025,

(b+0.03=2a,(b=0.02,

因为(0.005+0.01)X10=0.15,(0.005+0.01+0.02)X10=0.35,

所以参加竞赛的学生成绩的第30百分位数在［60,70)内，设为x,

所以(0.005+0.01)X104-(x-60)X0.02=0.3,解得x=675

⑵成绩在［80,90)利成绩在［90,100］内的学生人数之比为0.025：0.01=5：2,

5x84+2x98

所以彳=----：----二8o8o,

54-2

_5X[6+(84-88)2]+2X[10+(98-88)2]_330

S2-------------------------------------------------------------------------

5427

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.已知一组样本数据1,2,2,3,4,5,则2.5是该组数据的（）

A.极差B.平均数

C.中位数D.众数

【答案】C

【解析】由题意得众数为2,极差为5—1=4,平均数为-2+2}3+4+5=],中位数为等=25

o62

2.若一组数据即，X2,…，总的方差为9,则数据2Aj+l,22+1，…，24+1的方差为（）

A.9B.18

C.19D.36

【答案】D

【解析】•・加，如乃，…，用的方差为$2=9,・••加+1,2x2+1，…,2rn+1的方差为22靖=4'9=36.

3.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（）

A.a=0.1

B.车速众数的估计值是70

C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值

D.车速中位数的估计值是62.5

【答案】D

【解析】由10（〃+3〃+44+%）=1,得。=0.01,A错误；

车速在[60,70）内的频率最大，所以车速众数的估计值是65,B错误；

车速的平均数约为0.1X45+0.3X55+0.4X65+0.2X75=62,车速的中位数/ne[60,70）,则（〃?一

60）X0.04=0.1,解得加=62.5,C错误,D正确.

4.某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.

成绩/分919293949596979899100

人数■■1235681012

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是()

A.平均数，方差B.中位数，方差

C.中位数，众数D.平均数，众数

【答案】C

【解析】由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50—(12+10+8+6+5+3+2+1)=3(人)，成绩为

100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25,26位的两个数都是98

分，所以数据的中位数为98,所以中位数和众数与被遮盖的数据无关.

5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通

过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，我

国成年人的身体质量指数在18.5~23.9内属正常范围.已知A,B,C三人的体质指数的平均值为20,方差为

3D,£两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为()

【答案】A

【解析】设A，B,。三人的体质指数分别为a,b,c,由于A,B,C三人的体质指数的平均值为20,方差

为3,故32年巴31=3,则5—20)2+s—20)2+(c—20)2=9,由于"丝"23=空包产

=20,故5个人的体质指数的平均数为20,故：［(。-20)2+(力-20)2+(。-20)2+(18—20)2+(22—20月=

9+4+417Xi17

―n--o=—，故方差为o三.

6.已知数据为，念，X3,…，即0满足M—g=l(2WiW10),若去掉内，箝。后组成一组新数据，则新数据与

原数据相比，下列说法错误的是()

A.中位数不变

B.若3=1,则数据为，X2，不，…，X10的第75百分位数为7.5

C.平均数不变

D.方差变小

【答案】B

【解析】原来的中位数与现在的中位数均为宁=更少=为+4.5,故中位数不变，故A正确；

当即=1时，数据按从小到大的顺序排列为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.因为10X75%=7.5,所以该

组数据的第75百分位数是第8个数8,故B错误；

由于Xj—Xi-i=l(2WiW10),故工2=即+1，%3=XI+2,…，沏=汨+8,片0=制+9,原来的平均数为

红苦一空=空±=为+4.5,去掉为，»o后的平均数为勺一“3：“+孙=出产=为+4.5,平均数不变,

1010o8

故C正确；

原来的方差为13一汨一4.5)2+(此一为一4.5)?d-----h(xio-X|—4.5)2]=8.25,去掉制，孙)后的方差为口(右一

1Uo

X|—4.5)24-(X3—X|—4.5)2d----F(X9—Xi—4.5)2]=5.25,方差变小，故D正确.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的

件数E勺一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3,则关于这组数据的结论正确的是()

A.极差是4

B.众数小于平均数

C.方差是1.8

D.数据的80%分位数为4

【答案】AC

【解析】数据从小到大排列为1,I,2,3,3,3,3,4,5,5.

该组数据的极差为5—1=4,故A正确；

众数为3,平均数为一丝丁;二"印乂，=3,两者相等，故B错误；

方差为总义[(1-3)2乂2+(2—3)2乂1+(3—3)2乂4+(4—3)2)<1+(5—3)2X2]=1.8,故C正确；

・・・10K80%=8,.•.这组数据的80%分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D错误.

8.移幻互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市

场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023年11月，中国市场智能手机新机激活量为2871万台，同比增长

12.9%(同比增长率=本期宵需期数据X100%),具体分为7个品牌排名，统计数据如表所示，则下列说法

•11%IIJ/'，J1

正确的有()

排名品牌当月新机激活量/万台同比新机激活量增长/万台

No.14604.413.0

No.2B524.3160.5

No.3C403.145.0

No.4D401.4172.9

No.5E383.3-47.5

No.6F376.3-44.8

No.7G178.228.0

A.该月7个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4

B.该月7个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数

C.该月力品牌新机激活量同比增长率人于75%

D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2600万台

【答案】BCD

【解析】同比新机激活量增长数据的极差为172.9—（一47.5）=22（）.4,故A错误：

该月新机激活量数据的平均数为手乂410.14,该月7个品牌新机激活量数据的中位数为401.4,故B正确；

去年同期D品牌新机激活量为401.4—172.9=228.5,所以同比增长率为黑X100%-75.67%>75%,故C正

确；

设去年同期中国市场智能手机新机激活量为x,由题意可得弋=X100%=12.9%,解得启2543<2600,

故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.一组数据按从小到大的顺序排列为2,4,，〃，12,16,17,若该组数据的中位数是极差的|,则该组数据

的