反比例函数-人教版九年级《数学》上学期复习讲义

专题05反比例函数（期末复习讲义）

.明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

反比例函数相关掌握反比例函数的有关基础概念，能够区较少直接考查，若考查也是以选择题、填空

概念分反比例与正比例函数的形式差异.题形式考查，难度低。

反比例函数的图要熟练根据k的符号判断图象位置和增减基本出现在选择题或解答题的某一问中，常

象与性质性，能结合图象分析进行函数值的大小比考函数值比较或增减性分析，注意k符号的

较和变化趋势。影响。

反比例函数A的理解1k|的几何意义，能求解图象与坐考查大热门，在选择题、填空题出现的概

几何意义标轴围成的三角形或矩形面积问题。率较大，要用数形结合思想进行解答，多

训练，掌握解题方法。

待定系数法求反熟练运用待定系数法求函数解析式的方基本在解答题中以其中一间的形式进行考

比例函数解析式法步骤查，难度不大，注意按步骤解答。

反比例函数与一掌握联立方程求两个函数的交点坐标，在期末考查中常与一次函数、儿何图形结合

次函数的综合应能结合图象比较不同范围内函数值的大在一起，难度一般较大，特别是动态问题中

用小。的函数分析，尖子生要重点突破此类型题

型。

反比例函数的实能够从实际问题中抽象出反比例函数模选择、填空和解答题均有考查题型，题干

际应用型，利用函数解析式解决实际问题。会给出生活实际场景，需要找出等量关系，

难度中等偏下。

.记•必备知识，

国知识点01反比例函数的相关概念

（1）概念：一般地，形如尸&4为常数，原0）的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是函数.自

x

变量X的取值范围是不等于0的一切实数.

（2）三种表示形式

k

®y=—a为常数，原0）.

x

②肛4a为常数，原0）.

③），二丘"a为常数，原。）.

k

（3）反比例函数尸一中的x,'成反比例，无论变量-），怎样变化，2的值始终等于x与y的乘积，因此

x

人们习惯上称々为比例系数，若上0,则广0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义.

国知识点02反比例函数的图象和性质

（1）反比例函数图象的画法

①列表：自变量的取值以原点。为中心，一般地，在点。的两边分别取三列表对或三对以上互为相反

数的数，并计算相应的1y值，以表格的形式表示出来；

②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点：

③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸.

（2）反比例函数图象的特点

①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；

②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；

③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线产x或直线产-工）.

（3）①自变量x的取值范围是入¥0的一切实数；

②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；

③因为对0,乃⑷，所以图象不可能经过原点，旦与x轴、y轴都没有交点；

④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点.

（4）反比例函数的性质：

于第一、第三象限，在每一个于第二、第四象限，在每一个

象限内，y随x的增大而减小象限内，y随工的增大而增大

愿知识点03反比例函数k的几何意义

如图，过双曲线上任意一点P（x,y）分别作x轴、），轴的垂线PM,PN,所得长方形PMON的面积S=PM-PN

=1州x|=g|.因为y一七，所以不M，所以S=|川，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的

X

面积为kI.

国知识点04用待定系数法求反比例函数的解析式

（1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为y=K（Z。。）；

x

（2）代——把它的一对对应值（x,y）代入y=A中，得到关于攵的方程；

x

（3）解一解方程，求出常数公

（4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式.

国知识点05反比例函数的实际应用

用反比例函数解决实际问题的步骤：

（1）审一审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系.

（2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.

（3）列——由题目中的己知条件列出方程，求出待定系数.

（4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.

（5）解——用函数解析式去解决实际问题.

（6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.

（7）答一写出实际问题的答案，保证解题的完整性.

■破•重难题型.

国题型一反比例函数相关概念

解I题I技I巧

一；只别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式），二人或变形形式町=&（A•是常数,

H0）,》=依一（我是常数，原0）进行筛选.

【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

A.y=2x-lB.y=—C.y=!D.y=-x2+2x

xx

【答案】B

【分析】根据形如y=K伏为常数，&工0）的函数称为反比例函数，即可判断.

X

【解答】解：4、），=2'-1是一次函数，不是反比例函数，

故A选项不符合题意；

B、），=」是反比例函数，4=1,

x

故3选项符合题意；

C、），=!不是反比例函数，

故C选线不符合题意；

D、=-x2+2x的次数是2次的，不是反比例函数，

故D选项不符合题意，

故选：B

【典例2】已知函数y=（旭+2〃1川-3是关于％的反比例函数，则实数血的值是.

【答案】2

【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一-般形式进行计算即可.

【详解】解：•・•函数'=（租+2）工1刈-3是关于％的反比例函数，

|m|-3=—!♦且m+2H0,

An=2,

故答案为：2.

【变式I】下列函数不是反比例函数的是()

A.y=3x_1B.y=—yC.xy=5D.y=~

【答案】B

【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式:y=£(k手0)或y=kx-1

或9=k的函数是反比例函数.根据反比例函数y=§(k*0)或y=履t或盯=k的形式解答即可.

【详解】解：A.y=3、T是反比例函数，故该选项不符合题意；

B.y=-竽是正比例函数，故该选项符合题意；

«5

C.xy=5是反比例函数，故该选项不符合题意；

D.y=或是反比例函数，故该选项不符合题意；

故选:B.

【变式2】函数y=(m—2)/-而是反比例函数，则〃『().

A.1B.2C.-2D.2或一2

【答案】C

【分析】本题主要考有反比例函数，反比例函数的形式为y=kx-\k*0),因此指数必须为-1且系数非零，

解答即可.

【详解】解：•・•函数y=(m-2)/-7浓是反比例函数，

；・3—m2=-1且zn-2工0,

An=±2且m丰2,

.*.n=­2.

故选：C.

该题型二反比例函数的图象与性质

解|题|技|巧

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=_%

②一、三象限的角平分线y=/：对称中心是：坐标原点.

易|错|点|拨

1.反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内

2.反比例关系不一定是反比例函数，比如），与/成反比例，但），不是工的反比例函数，但反比例函数

中的两个变量一定成反比例关系

【典例1】关于反比例函数），=3,下列说法中错误的是（）

X

A.x>0时，y随％的增大而减小B.当l<x<3时，lvyv3

C.它的图象位于第二、四象限D.当匕-1时，y有最小值为-3

【答案】C

【分析】根据反比例函数），=3的单调性、所在的象限进行判断即可.

x

【解答】解：A、・.乂=3>0,反比例函数y=3位于第一、三象限，且在每一个象限内），随x的增大而减

x

小；故本选项正确，不符合题意；

B、,.乂=3>0,反比例函数y=±位于第一、三象限，目.在每一个象限内），随x的增大而减小；当1。<3

x

时，故本选项正确，不符合题意：

C'、・M=3>0,反比例函数y=±位于第一、三象限，故小选项错误，符合题意；

。、•.次=3>0,反比例函数），=」位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当工，-1时，

x

3,则），有最小值为-3,故本选项正确，不符合题意；

故选：c.

【典例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y=［的一支曲线是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】本题考查反比例函数的图象与性质.根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断.

【详解】解：反比例函数y经过点(2,3),则由图知，第④个符合题意，

故选：D.

【典例3】如图，双曲线)，=&与直线》，=/世相交于力、B两点,4点坐标为(-2,-3),则A点坐标为(

x

A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(2,-3)

【答案】B

【分析】反比例函数的图象是中心对■称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

【解答】解:•.•点A与B关于原点对称，且点5坐标为(-2,-3),

二.A点的坐标为(2,3).

故选：B.

【典例4】若点―,80，T)，。(小,3)均在反比例函数y=W二(J为常数)的图象上，则％1，如

内的大小关系是()

A.xx<x3<x2B.x2<xz<x3C.x1<x2<x3D.x3<x,<x2

【答案】D

【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的

解析式是解答此题的关键.先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的

性质即可得出结论.

【详解】解：•・•反比例函数y=W二中，-(a2+l)<0,

・•・函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，y随工的增大而增大，

V-2<-1<0<3,

・•・力、8两点在第四象限，C点在第二象限,

x3<X1<x2-

故选：D.

【变式1】函数y=3的图像大致是（）

A.

【答案】B

【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.

根据函数解析式确定该函数是反匕例函数，根据反比例函数的性质即可得答案.

【详解】解：•・•函数解析式为y=£

・••该函数为反比例函数，图像为双曲线，

V5>0,

.・.图像在一、三象限，

・•.四个选项中，只有B选项符合题意，

故选:B.

【变式2】已知反比例函数y=-%下列结论不正确的是（）

A.图象必经过点（一1,3）B.若x>l,则一3VyV0

C.图象在第二、四象限内D.），随x的增大而减小

【答案】D

【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可.

【详解】解：,・>二一三，-3<0.

/X

・•・图象在第二、四象限内，在每个象限内，），随X的增大而增大，

当x=-1时，y=3,

・・・图象必经过点（-1,3）,

当x=l时，y=-3,

，当无〉1时，-3VyV0；

综上，只有选项D的结论不正确；

故选D.

【变式3】如图，直线y=与双曲线y=人相交于4-2,1）、3两点，则点8坐标为（）

2x

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

【解答】解：•.•点A与8关于原点对称，

「.B点的坐标为（2,-1）.

故选：A.

【变式4】已知点4（一2,%），8（-1,乃），。（3,丫3）在反比例函数V=V0）的图象上，则丫1，无，内的大小关

系一•

【答案】yz>yT>y6

【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数y=当kV0时，经过二、四象

限，在每一象限内，y随汇的增大而增大；反之经过一、三象限，y随X的增大而减小.据此即可解答.

【详解】解：♦・*<（）,

・•・反比例函数y=：（kV0）经过二、四象限，在每一象限内，y随汇的增大而增大，

・・・/（一2/1）,8（-1,%）在第二象限，。（3,%）在第四象限，

•••y2>yi>丫3,

故答案为：y2>yi>丫3・

包题型三反比例函数k的几何意义

易I错I点I拨

由于Y有正、负之分，在利用反比例系数&的几何意义，求面积时，加上绝对值符号.

△044的面积是1.5,则反比例函数），=&中，攵是（）

X

C.3D.-3

【答案】C

【分析】根据所给三角形的面积'得出母=1.5,再根据所给图象即可解决问题.

【解答】解：因为的面积为1.5,

所以四=1.5,

2

则七=±3.

又因为反比例函数的图象在第一象限,

所以&=3.

故选：C.

【典例2】如图，点A是反比例函数），=&。＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形八以工＞,使点笈、

x

C在x轴上，点。在），轴上.已知平行四边形4BCD的面积为6,则人的值为（）

A.6C.3D.-3

作A£_L3C于石，由四边形A8C。为平行四边形得AO//X轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以

S，F行四边形ABC。=S矩形WE，根据反比例函数攵的几何意义得到品物叱=H|，利用反比例函数图象得到.

【解答】解：作A£_L3C于石，如图,

，•四边形A4c。为平行四边形,

轴,

四边形4XM为矩形,

$平行四边形ABC。=S速形八点七'

而S矩形4DOE=|一"|

:\-k|=6,

而欠vO,HP<0.

/.A=-6.

【变式1】如图，点a是反比例函数y=K（&W0,xv（））图象上一点，过点p作尸AJ_）,轴于点A,点3是点A

x

关于尤轴的对称点，连接心，若“便的面积为18,则Z的值为（）

A.18B.36C.-18D.-36

【答案】C

【分析】根据点“与点4关于x轴对称，求出。4=。6,再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函

数系数&的几何意义可求出k的值.

【解答】解：连接OP,

•.•点8是点4关「X轴的对称点，

：.OA=OB,

…=S^POB=2SyRB，

♦.•AE48的面积为18,

*'•S&人op=9，

."1=18.

又反比例函数的图象在第二象限,

.•4=-18.

故选：C.

【变式2】如图，点4B,C为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作工轴，y轴的垂线,

与x轴的交点分别为点。，E,F,图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为S],S?,其中OD:OE:“=

【分析】本题考杳反比例函数系数k的几何意义，设反比例函数解析式为y=((kHO),由OD：DE:EF=

1:2:3,则有c=：k,d=^k,通过反比例函数系数k的几何意义可得S[+a+b=b+c+d=k,

632

S2+a+b+c=b+c+d=kt2(b+a)=c+S2»则有6+a+^k+^k=kf^k+2a=^k+6,求得a=3,

k=18,然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.

【详解】解：如图，设反比例函数解析式为y=：(kHO),

*.b=-k,c=-k,d=-k,

632

.\S1+a+b=b+c+d=k,S2+a+b+c=b+c+d=k,2(b4-ci)=c+S2,

.\2(-k+a)=^k+6,6+a+-k+-k=k,

\6/363

.*.-Zc+2a=-/c+6,

33

=3,k=18,

：.b=3,

：.S1+3+3=18,

：.S1=12,

故答案为：12.

官题型四待定系数法求反比例函数解析式

解|题|技|巧

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数y=与中，只有一个待定系数上，因此只

x

需要知道一对％、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出攵的值，从而确定其解析式.

【典例1］已知反比例函数的图象经过点（1,-3）,那么该反比例函数的表达式为（）

33

A.y=—B.y=-C.y=3xD.y=-3x

x'x

【答案】A

【分析】根据待定系数法求反比例函数解析式解答即可.

【解答】解：设反比例函数解析代为丁=V,

•・・反比例函数的图象经过点(1-3),

4=—3,

，反比例函数解析式为y=

x

故选：A.

【变式1】若反比例函数的图象经过点(-3,5),则该反比例函数的解析式为()

A.y=-—B.y=—C.y=-15xD.y=15x

xx

【答案】A

【分析】把(-3,5)代入函数丫=&中求出左的值即可求出函数解析式.

x

【解答】解；设反比例函数的解析式为)，=4,

X

把(―3,5)代入函数＞，=X，得,A;=-3x5=-15.

x

所以，反比例函数的解析式为：)，=-".

X

故选：A.

【变式2】如图，已知在平面直隹坐标系中，正方形A8CO的顶点8、。在x轴负半轴上，反比例函数y=

：(%VO)的图象经过点。(-1,3),交八8于点E.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求△C8E的面积.

分析：(1)反比例函数y=g(xVO)的图象经过点。(-1,3)可得反比例函数关系式;

(2)求出点E的坐标，利用面积公式代入数据计算即可.

解：(1)•・•反比例函数y=：QVO)的图象经过点。(-1,3),

:・k=-1x3=-3,

反比例函数解析式为：y=--

(2)VD(-1,3),

:・BC=DC=3,

・••点B的坐标(-4,0),

当x=-4时，）=:

3

：.BE=

4

139

SACBE=_x3x—=

国题型五反比例函数与一次函数的综合应用

解|题|技|巧

反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方

程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

易|错|点|拨

【典例1］在同一平面直角坐标系中，函数），=依-女与），=K（%HO）的图象大致（）

【答案】D

【分析】&<0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可.

【解答】解：

.•.一次函数），=依-我经过一、二、四象限，反比例函数），=）的图象经过二、四象限,

X

故D选项的图象符合要求.

故选：D.

【典例2］如图，已如反比例函数力=生（自＞0）与一次函数y?=k2x+1（七=0）相交于4、8两点（点

A在第一象限），AClx轴于点C.若△CMC的面积为1,且丝=2.

⑴求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数%的值大于一次函数丫2的值？

【答案】⑴刈=^：y2=x+l

（2）B点的坐标为（-2,-1）,当％＜-2和0VxVI时，＞y2.

【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函

数的性质是本题的解题关键.

（1）根据tan乙4OC=2,△OAC的面积为1,确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求

解：

（2）根据两个解析式求得交点4的坐标，观察图象，得到当戈为何值时，反比例函数月的值大于一次函数

力的值.

【详解】（I）解：在RiaO/lC中，设0C=m.

.\AC=2m.

〈Sgoc=^'0C-AC=^m-2m=1,

.*.m2=1.

・・・m=1(负值舍去).

••・A点的坐标为(1,2).

把A点的坐标代入必二字中，得Ai=2.

・•・反比例函数的表达式为%=：

把A点的坐标代入中=k2x+1中，得&+1=2,

/.k2=1.

，一次函数的表达式丫2=x+1.

（y=x+1

（2）由题意得：2,

y=-

解得代U

B点的坐标为（―2,-1）.

由图可知：当x<—2和0<x<1时，yx>y2.

【变式1】在同一平面直角坐标系中，若他<0,则函数y=+〃与〉，=2的大致图象是（）

【分析】根据〃、。的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论.

【解答】解：•.•aO<O,

①若。>0，b<0,则旷=必:+/2经过一、三、四象限，反比例函数），=2位于二、四象限,

x

②若avO,〃>0,则>、=如+〃经过•、二、四象限，反比例函数y=2位于，三象限,

x

只有选项A符合题意，

故选：A.

【变式2】如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=?的图象交于点/（一1,4）,且与x轴和y轴分别交于

点B(3,0)和点C.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)直接写出不等式1>ax+b的解集为；

(3)连接0A,已知P为反比例函数y=?图象上一点，且S4OBP=2sMic，求点P的坐标.

【答案】(l)y=-％+3,y=-£

(2)-1<x<0或%>4

⑶(-2,2)或(2,-2)

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出

对应的函数解析式是解题的关键.

(1)把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出〃，的值，把点A和点6的坐标代入一次函数解析式中可求

出。、〃的值；

(2)根据(1)所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数

图象可得答案；

(3)根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出AOAC的面积，则可得到aOEP的面积，根据三角形面

积计算公式可求出点尸的纵坐标，据此可得答案.

【详解】⑴解：•・•一次函数”ax+b与反比例函数y二:的图象交于点力(一1,4),

171

••・4A=—,

-1

.\m=-4；

•・•一次函数y=ax+b与反比例函数y=9的图象交于点A(T4),且与x轴交于点8(3,0),

.f-a+b=4

**l3a+Z?=0'

Ac=-1»b=3,

..y=-x+3,y=--；

（2）解：由（1）得一次函数解析式为y=-％+3,反比例函数解析式为y=—：

y=-x+3;二或%=-1

联立

丫=一；y=4，

，一次函数y=-x+3与反比例函数y=一;的另一个交点坐标为（4,一1）,

・•・由函数图象可知，不等式巴>ax+匕的解集为一1<%V0或%>4：

（3）解：在、=一工十3中，当％=0时，y=3,

."(0,3),

SMOC=$0C,咫1=$x3x|-l|=a，

:•5△OBP=2sAOAC=3;

VF(3,0),

：・0B=3,

・'SABOP=QOB,\yp\=ax31ypi=3»

yP=±2,

在『二一：中，当、=一［二-2时，x=2,当y=-g=2时，x=-2,

:.点P的坐标为(一2,2)或(2,—2).

国题型六反比例函数的实际应用

解|题|技|巧

1.反比例函数解决实际问题的方法：

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数值的取值上

的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.

2.实际问题中常见的反比例关系：

（1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例.

（2）面积型

①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例.

②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例.

（3）物理应用型

①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例.

②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例.

③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例.

【典例1】某品牌蓄电池的电压为48V,使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在•定函数关系，则电流/（单

位：A）关于电阻R（单位：C）函数图象大致是（

【答案】A

【解答】解:根据题意得/=竺，

R

二.电流/（单位：A）关于电阻R（单位:C）函数是反比例函数,

故选：A.

【典例2】在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：骋If溶解度

浴剂质量100

已知20'C时，氯:化钠的溶解度是36克，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠），克，则y关于x的函数关系

式是（）

A.y=0.36xB.y=36xC.y=—D.y=—

x36

【答案】A

【解答】解：由题意可得：^=—,

A100

故y=0.36%.

故选：A.

【奥例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）.开始一段时间风速平均每小

时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙

尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间大（时）成反比例函数关系.

（1）这场沙尘暴的最高风速是千米/时，最高风速维持了小时.

（2）当4ExW10时,求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式.

（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该

沙尘暴在整个过程中的“危险时刻''共有多长时间？

【答案】（1）32,10

⑶59.5

【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解

题意，读懂图象是解决本题的关键.

（1）速度=增加幅度x时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与T轴平行的一

段风速不变，最高风速维持时间为20-10=10小时；

（2）当4WxW10时函数解析式为丫=。工+人将（4,8）,（10,32）代入，利用待定系数法即可求解；

（3）求出当4&XW10和％220,y=10时，求出对应x的值，然后求差即可求解.

【详解】（1）解：由函数图象可知；0〜4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时；

4〜10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6X4=32千米/时；

10〜20时，风速不变；最高风速维持时间为20-10=10小时;

故答案为：32,10；

（2）解：设当4WXW10时函数解析式为、=。％+匕，将（4,8）,（10,32）代入，

解得：｛f=4

110a+b=323=-8

当4WXW10时，出风速），（千米/时）与时间x（时D的函数关系式为y=4汇一8；

（3）解：•・,当4WxW10,y=10时，10=4%-8,解得％=三

4

・••郛f风速为10千米/时，

当XN20时，设风速），（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为产;

将Q0,32）代入，得32=/

解得k=640

所以当冥，20时，风速），（千米/小时）与时间十（小时）之间的函数关系为y二然;

当为N20,y=10时，—=10,解得％=64

X

“危险时刻”的时间为：64—4.5=59.5（小时）.

・•・在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时.

【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积

V（单位：n?）的反比例函数.已知p与V之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.p=yB.当V=1,时，p=100

C.当V<2时，p<48D.当1.6时，0Vp<60

【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.先利用待定系数法求出

反比例函数的解析式为p=£（V〉0）,由此即可判断A错误；再将V=1代入求出p的值，由比即可判断B

错误：然后将P=2和1/=1.6代入求出”的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即

可得.

【详解】解：设p与P之间的函数解析式为p=?（kW0），

将点（1.2,80）代入得：k=1.2X80=96,

.*.p=^（V>0）,则选项A错误;

当U=1时，p=：=96,则选项B错误;

当U=2时，p=”=48,

当V=1.6时，p=々=60,

1.6

•・,在函数口=手中，96>0,

・••在第一象限内，p随着V的增大而减小，

二当V<2时，p>48,则选项C错误；

当1.6时，0<p<60,则选项D正确；

故选：D.

【变式2】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置4

处悬挂重物A,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离武。〃），观察弹簧秤的示数

），（N）的变化情况.实验数据记录如下：

r(cm)...1015202530•••

y(N)…3020151210•・・

猜测y与％之间的函数关系，并求出函数关系式为.

【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数,

设"々攵工0）,

把工=10,y=30代入得：4=300

将其余各点代入验证均适合,

二），与x的函数关系式为：y=—

故答案为：y=---

【变式3】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒

药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：mg/n?）与时间x（单位：min）成正比例函数关系，药物燃烧

完成后，），与X成反比例函数关系，函数图像如图所示.

信息窗

1.药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量

为6mg/mL

n

2.空气中的含药量不高于1.6mg/n?时，学生方可回

O“Ix/rhin到教室.

3.当室内空气中的含药量不低于3mgzm3时，对杀灭

病毒有效.

（1）直接写出m,〃的值;

⑵求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：

（3）从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？

【答案】（l）m=8,n=6

⑵本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟

⑶从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室

【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药最为6mg/n?”可得m=8,n=6：

（2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点（8,6）代入后求出关系式，再把y=3代入关系式

分别解出工的值相减即可；

（3）空气中的含药量不高于1.6mg/m3时，学生方可回到教室，把y=1.6代入y=?中，解出工的值即可；

本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值

等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意知m=8,71=6.

（2）•・•消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系，

.••设y=kxf

把点（8,6）代入y=匕中，得6=8k,解得*=

・•・药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y=：x（0<x<8）,

•・•当室内空气中的含药量不低于3mg/m3时，对杀灭病毒有效,

药物燃烧时，当y=3时，%=4,

；・药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效；

•・•药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，

・•・设反比例函数式为y=%

把点（8,6）代入y=:中，得a=6x8=48,

・•・反比例函数式为、=?（无＞8）,

药物燃烧完成后，当y=3时，x=16,

A16-4=12（min）,

・•・本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟.

（3）•・•空气中的含药量不高于lEmg/n?时，学生方可回到教室,

把y=1.6代入y=蓝中，解得％=30,

即从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室.

.过•分层验收.

期末基础通关练（测试时间：10分钟）

1.下列函数关系式中属于反比例函数的是（）

A.y=3xB.y=-\c.y=^2D-、二枭

【分析】根据反比例函数的定义解答即可.

【解答】解：4、＞=3%不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，不符合题意:

B、y=—1是反比例函数，符合题意；

C、y=当不是反比例函数，不符合题意；

xL

。、y=*不是反比例函数，不符合题意，

人"iO

故选：B.

2.已知反比例函数丫=-%下列说法中错误的是（）

A.图象必经过（1,-5）

B.y随x的增大而增大

C.图象在第二、四象限

D.图象关于原点中心对称

【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可.

【解答】解：A、把x=l代入解析式得y=-5,所以点（1,-5）在函数图象上，故本选项正确，不符

合题意：

B、•・•&=-5V0,

・・・在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；

C、'：k=-5<0,

・••函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；

D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意.

故选:B.

3.函数），=〃与函数），=—1在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可.

【解答】解：中的2>0,

・•・直线y=2A•位于第一、三象限.

•・・尸一：中的-1<0,

・・・双曲线），=一9立于第二、四象限，

综上所述，只有B选项符合题意.

故选:B.

4.已知函数>=是反比例函数，则机=.

【分析】由反比例函数的定义得到加・3=7且2M,由此求得t的值.

【解答】解：依题意得：|词-3=-I且，“-2和,

解得m=-2.

故答案为：・2.

5.在功W(J)一定的条件下，功率P(W)是做功时间t(5)的反比例函数，P(W)与IG)之间的函

数关系如图所示.当1=35时，P的值为W.

【分析】先求出尸(IV)关于f(s)的函数解析式，再将『=35代入计算即可.

【解答】解：设函数解析式为。=竽，

由图象可知，反比例函数图象过点(60,20),

w

・・.20=看

.*.VV=1200,

・•・函数解析式为P=半，

当1=35时，?=甯=明

故答案为：言.

6.已知反比例函数y=3乎，其中火是常数.

(I)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围；

(2)当攵取什么值时，在每个象限内)，随x的增大而减小？

【分析】(1)根据反比例函数的图象与系数的关系求解即可；

(2)根据反比例函数的性质求解即可.

【解答】解:(1)由题意得，24+3V0,

解得：ZV一,：

(2)•・•反比例函数y=等的图象在每个象限内丁随x的增大而减小，

；・2女+3>0,

3

2-

7.新学期开学前，小美同学买了一个可以调节亮度的护眼灯，她通过阅读说明书并实践操作发现：护眼灯

调节亮度原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，护眼灯的电流/（单

位：A）与电阻/?（单位：Q）满足反比例函数关系，其图象如图所示.

（1）求/关于R的函数表达式.

（2）当-=1500。时,求/的值.

0.3卜一

o]~800飞

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）把R=1500C代入解析式可求解.

【解答】解：（1）设/关丁A的函数解析式为：/=彳

由题意可得：03=焉，

"=240,

・•・/关于的函数解析式为：1=-

R1\

（2）当R=1500Q时，/=音24卷0=0.16,

・•・/的值为0.16.

期末重难突破练（测试时间：10分钟）

1.二次函数），=a好+/状+。（〃和）的图象如图所示，则反比例函数y=?与一次函数），=-a+c在同一直角坐

标系内的大致图象是（）

OXx

A.B.

【分析】判断出a，A，c的符号，确定反比例函数，一次函数图象的位置可得结论.

【解答】解：由题意，aVO,"VO,c>0,

・•・反比例函数y=勺的图象在二，四象限，一次函数），=-云+c的图象经过一，二，三象限.

故选：C.

2.已知反比例函数）=5（女>0）,当2人3时，函数），的最大值为“，则当・2SW・1时，函数），有（）

A.最大值-2aB.最小值-2aC.最小值・aD.最大值

【分析】根据反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，）：随着X的值的增大而减小性质，可求得k

=a,进而可判断：当尸・2时，函数有最大值>'=骂=—a,当x=-1时，函数有最小值产普=-2a.

【解答】解：•・•）=1（Q0）,

・•・反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小，

•・•当2人3时，函数丫的最大值是a,

・•・当x=2时，y=a,

••k2x。――2G»

当-2人-1时，反比例函数在第三象限，

・••当x=-2时，函数有最大值），=驾=一小当x=7时，函数有最小值当=一2”.

故选：B.

3.某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻

Ri（C）（如图1）,当人站上踏板时，电阻拓随人的质量”的变化而变化，此时可通过电压表显示的

读数Uo换算为人的质量机（kg）.已知Uo连Ri的变化而变化（如图2）,Ri