2026学年广东省惠州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2025・2026学年广东省惠州市八年级（下）期中数学试卷

一、单选题，本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1.（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V8B.C.D.V30

2.（3分）下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.1,1,V2B.5,12,13C.3,5,7D.2,2.5,1.5

3.（3分）在三角形48c中，NAC4=90°,N4=20",。为A3的中点，则NACQ等于（）

A.20°B.40°C.60°D.70°

4.（3分）若最简二次根式可以与g合并，则〃的值是（）

A.11B.4C.2D.1

5.（3分）如图，已知矩形A8CD,点。是对角线AC上的中点，其中48=3,4。=4,连接。8,则08

的长为（）

A________________D

O

B

75

34C--

A.2D.2

6.（3分）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里

/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（）

A.35海里B.50海里C.60海里D.40海里

7.（3分）已知点E、RG、”分别为四边形ABCO各边中点，连接AC、BD,添加以下条件能使四边形

ENG”为菱形的是（）

A.AB=BDB.AD=CDC.AC=BDD.ACLBD

8.（3分）如图数轴上有A、B、C、。四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与11-2闻最

接近（）

ABCD

I♦I■I■I■1>

-3-2-101

A.AB.BC.CD.D

9.（3分）如图，在五边形48CDE中，NA=NAEO=/Z）=90°,AE=DE=6,CD=2,AB=3,连结

BE,CE,若N8EC=45°,则△BCE的面积为（）

A.15B.20C.25D.30

10.（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：

第一步，如图（1）,在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平;

第二步，如图（2）,把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；

第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把4B折到图（3）中所示的4。处;

第四步，如图（4）,展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形.

图⑶图(4)

则下列线段的比中：①黑，②器，比值为己一的是（）

A.①②B.®@C.®®D.②③

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11.（3分）若式子;^在实数范围内有意义，则工的取值范隹是.

12.（3分）已知多边形的内角和为540。，则该多边形的边数为.

13.（3分）如图，8。是菱形A5C。的对角线，点£在3。上，过点、E作EF//3C交CD边于点、F,如果

NA4c=50°,那么NQE厂的度数为.

14.（3分）如图，实心圆柱的高为8c7〃，底面圆的周长为12c,加，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它

想吃到距离下底面4cm且与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为

15.（3分）如图，四边形A8CO中，AD//BC,AD=Scm,BC=\2cnuM是8C上一点，且BM=9cm,

点E从点A出发以lc7〃/s的速度向点。运动，点/从点C出发，以3c〃?/s的速度向点B运动，当其中

一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为/，则当以A、M、£、尸为顶点的四边形是平行四边

形时，t=____________________

三、解答题（一）；本大题共3小题，每小题7分，共21分。

16.（7分）计算：

（2）V18xJj+（2-V3）2.

17.（7分）已知。是8D的中点，OC〃A8,求证：四边形ABC。为平行四边形.

18.（7分）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学

习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量占树高度”的项目式学习活动.其中甲、乙两个研学小组

分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示：

活动课题测量古树48的高度

研学小组甲组乙组

测量示意图

图①

测量说明CEJ■八6「点E,BECD为•个矩形架，图中所CO_L/16于点。，图中所有的点都在同

有的点都在同一平面内.平面内.

测量数据CD=4m,CE=\2m,ZACE=30°.NACO=45°,Z5CD=60°,CD=4m.

请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度.（结果保留根号）

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。

19.（9分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC.

（1）尺规作图：在AC的右侧作一点。，使四边形A8CO为菱形（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接8D,交AC于点O，若80=4,四边形A8CQ周长为4代，求四边形A8C。的面积.

20.（9分）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.它的证明如下:

如图，80是RI/X4BC斜边4c上的中线，N4BC=90°,求证：B0=^AC.

证明；延长B。到点。，使。D=0B,连接AD,CD,

「B0是RtA?lBC斜边AC上的中线，

：,OA=OC.

・•・四边形48CQ是平行四边形.（①_________________________）

又「NA6C=90°,

工四边形/WCO是矩形.（②）

：.BD=AC.（③）

11

：.B0=^BD=^AC.

乙乙

（I）认真阅读上面证明过程，在括号内填写相应的推理依据.

（2）类比探究逆命题：如图，CO是△ABC的中线，CO=^AB,/XABC是否为直角三角形？如果是,

请说明理由.

21.（9分）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”

来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较Q=2旧和b=3位的大小，我们可以把。和b分别平方.W

=1,从=18,则/<从,a>0,b>0,a<b.

【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如.

比较夕-历和布-仃的大小，可以先将它们分了有理化如下:

（万一乃）（"+、6）1

V7—V6=

斤+、后

（逐一店）（乃+店）

瓜一遍=1

、吊+而

VV7+V6>V6+V5,

11

V7-V6<V6-V5.

根据材料，解决下面问题：

（I）比较c=4&,d=2V7n勺大小，Cd（填写V"或“=

（2）比较大小；V100-V99历一画（填“>”，"V”或“=

（3）若。=求。2・4。+3的值.

五,解答题：本大题共27分，其中22题13分，23题14分。

22.（13分）【数学背景】

我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”，其中3,4,5是一组勾股数，课外兴趣小组查

阅资料后发现3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；…，这些也都是勾股数.于

是为了更好地学习和理解勾股数，决定探究勾股数的规律.

【尝试探究】

（1）观察：3,4,5：5,12,13；7,24,25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有问

断过.

事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是1x（32-1）,1x（32+1）；勾是5时，股和弦的算式分别

是；x（52-1）,-x（52+1）.根据你发现的规律，分别写出勾是7时，股的算式

为,弦的算式为;

【猜想证明】

（2）根据（I）的规律，请用含“（”为奇数，且〃23）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，

猜想它们之间的相等关系，并加以证明；

【深入思考】

（3）继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数.且从4起也

没有间断过，运用类似上述探索的方法，当勾为〃?时，直接用加（加为偶数.且〃[24）的代数式来表

示股和弦，不用证明.

23.（14分）综合与实践

【问题提出】数学课上，学习完四边形章节后，同学们发现对于很多问题，把一个条件和结论调换后仍

然是正确的，或者把一些严格的限制条件更换成宽泛的要求，结论仍然成立，于是兴趣小组针对课本上

给出的一些问题，进行更改条件后对此进行探究.

【动手探究】

（1）如图1,正方形AHCD,M是BC上的一点，连接AM.点N是A例上的动点，过点N作EFVAM,

分别交直线AaCD于点、E,F.求证：AM=EF.

(2)如图2,正方形的边A8CQ,M是线段8c上的一点，连接AM,过点M作"Q_LAM,交正方形

的外角NOCG平分线于点Q,我们知道，当M是BC中点时，有AM=MQ,如果去掉M是8C中点这

个条件，。这个结论是否仍然成立？

【拓展应用】

(3)如图3,正方形ABC。中，4B=4,历是上的一点，且8M=I,连接AM•点N是AM上的动

点，过点N作EF1AM,分另！交直线A&CO于点E,F,连接ME,AF,求ME+A/的最小值，并说

明理由.

2025・2026学年广东省惠州市八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题，本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1.（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V8B./L5C.D.V30

【分析1根据最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数不含分母：2.被开方数不含能开得尽方的因

数或因式，对各选项逐一判断即可.

【解答】解：根据最简二次根式的两个判定条件逐项分析判断如下：

V8=V43?2=2V2,故4不是最简二次根式，不符合题意；

皎的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意；

的被开方数含分母，故。不是最简二次根式，不符合题意；

俪的被开方数30不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，故选

项。是最简二次根式，符合题意.

故选：D.

2.（3分）下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.1,1,V2B.5,12,13C.3,5,7D.2,2.5,1.5

【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可.

【解答】解：Vl2+12=2,（V2）2=2,

（夜）2=2,能构成直角三角形，不符合题意；

B、V52+122=25+I44=169,132=169,

.\52+122=132,能构成直角三角形，不符合题意；

C、V32+52=9+25=34,72=49,

A32+52^72,不能构成史角二角形，符合题意；

D、V1.52+22=2.25+4=6.25,2.52=6.25,

A1.52+22=2.52,能构成直角三角形，不符合题意.

故选：C.

3.（3分）在三角形A8C中，ZACB=90°,NB=20°,。为A8的中点，则NACD等于（）

A.20°B.40°C.60°D.70°

【分析】先求出NA的度数，再根据斜边中线性质得到边相等，利用等腰三角形等边刈等角即可求出/

ACD.

【解答】解：如图，

VZACB=9（）a，Z13=20°，

•・•。为的中点，

1

：,CD=AD=5力氏

・・・NACO=NA=70°.

故选：D.

4.（3分）若最简二次根式可以与m合并，则。的值是（）

A.11B.4C.2D.1

【分析1先化简S泛，再根据最简二次根式的定义作答即可.

【解答】解：根据题意可知,V12=2V3,

又•・,亚钉可以与虹合并，

。+1=3,

解得：4=2.

故选：C.

5.（3分）如图，已知矩形43。，点。是对角线AC上的中点，其中A3=3,AO=4,连接04,则OB

的长为（）

AD

F

BC

75

A.3B.4C.-D.-

22

【分析】利用矩形性质得出BC=4D=4,ZABC=90c：.再利用勾股定理求出AC再利用直角三角形

斜边性质即可求解.

【解答】解：V^C=AD=4,/A3c=90

：.AC=y/AB2+BC2=5,

丁点。是对角线AC上的中点，

：.0B=|i4C=1.

故选：D.

6.（3分）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口4出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里

/小时的速度从港口人出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（）

A.35海里B.50海里C.60海里D.40海里

【分析】根据力位角可知两船所走的力向正好构成了直角.然后根据路程=速度x时间，得两条船分别

走了48,36.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离.

【解答】解：•・•两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

••・/84。=90°,

两小时后，两艘船分别行驶了16X3=48,12X3=36海里，

根据勾股定理得：,482+362=60（海里）.

故选：C.

［匕B

西/口东

南

7.（3分）已知点E、尸、G、〃分别为四边形4BCD各边中点，连接4cBD,添加以下条件能使四边形

EFG”为菱形的是（）

A

Lx

A.AB=BDB.AD=CDC.AC=BDD.AC1.BD

【分析】根据四边形E尸G”为菱形得到/^=R7=G，="E,由三角形中位线定理得AC=B。，故可得

结论.

【解答】解：当四边形EFG”为菱形时，EF=FG=GH=HE,

•・•点£、「、G、”分别为四边形ABCO各边中点，

:,EF、R7分别为△ABC、△BC。的中位线，

：.AC=2EF,BD=2FG,

：.AC=BD,

故选项。正确，选项A,B,Z）不正确，

故选：C.

8.（3分）如图数轴上有A、B、C、。四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与11-2夜最

接近（）

ABCD

I♦I■I■I■1>

-3-2-101

A.AB.liC.CD.D

【分析】先估算出11<2我5V12,再根据不等式的性质，得到一1V11—2宿V0,即可得到答案，

【解答】解：V2733=7132,且⑵V132Vl44,

J>/121<A4132<V144,

.,.11<2V33<12,

A-12<-2V33<-11,

A-Kll-2V33<0,

即点C表示的数与11-2闻最接近，

故选：C.

9.（3分）如图，在五边形ABCDE中，NA=N4EQ=NO=90°,AE=DE=6,CD=2,AB=3,连结

BE,CE.若N8EC=45°,则△BCE的面积为（）

A.15B.20C.25D.30

【分析】在C。的延长线截取O"=AB=3,连接证明aEAB和全等，MOEB=EH,NAEB

=/DEH,根据NAED=90°,ZBEC=45a得NBEC=NHEC=45°,由此可得△BEC和全

等，RIJS^BEC=S^HEC,然后根据C，=5,。£=6可得△"EC的面积，据此可得△8EC的面积.

【解答】解：在CO的延长线截取QH=A8=3,连接如图所示：

VZA=ZAED=ZD=90°,AE=DE=6,

AZA=ZEDH=90°,

在△E48和△££)”中，

AE=DE

LA=乙EDH=90°,

DH=AB

,•.△EABmAEDH(SAS),

:.EB=EH,4AEB=4DEH,

VZAED=90°,NBEC=45：

，NAEB+NCED=NAED・NBEC=90°-45°=45°,

：・NDEH+NCED=450,

工NHEC=NDEH+/CED=45°,

/.ZBEC=ZHEC=45Q,

在aBE＜。和△”以；中，

(EB=EH

{/.BEC=乙HEC,

(EC=EC

：,/\BEC出AHEC(SAS),

:&BEC=S4HEC,

*：CD=2,DI/=3,

:・CH=5,

11

:.S4HEC=rzCH*DE=掾x5X6=15.

SABEC=S^HEC=15.

故选：A.

10.（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程:

第一步，如图(1),在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平;

图⑴图(2)

第二步，如图(2),把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；

笫三步，折出内侧矩形的对角线A8,并把折到图(3)中所示的A。处;

第四步，如图(4),展平纸片，折出矩形8CDE就是黄金矩形.

则下列线段的比中：畴，②黑，端，唬，比值为罟的是()

A.①②B.①③C.②@D.②③

【分析】设MN=2〃，则BC=OE=2a,AC=m根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别计算相应

线段的长，再计算①@③④中的比值即可解答.

【解答】解：①设MN=2。，则BC=Z)E=2a,AC=a,

在RtA/lBC中，AB=y/AC2+BC2=y/a2+(2a)2=居a,

如图(3),由折叠得：AD=AB=V5a,

/.CD=AD-AC=AB-AC=\5a-a,

.CD\[Sa.—(xV5—1

''DE~2a-2；

*=箸=咨

-ADy[5a5

③：四边形MNCB是正方形，

:,CN=MN=2a,

:,ND=a+瓜i,

.DE__2a______2_而1

…ND-a+\[5a~1+V5-2

ACaV5

④力用二W；

J5-1

综上，比值为七一的是①③；

故选：B.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11.（3分）若式子在实数范用内有意义，则x的取值范围是戈>-5.

【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式组求解即可.

【解答】解：根据题意得｛费:I。，

解得x>-5,

故答案为：x>・5.

12.（3分）已知多边形的内角和为540°,则该多边形的边数为二.

【分析】多边形的内角和可以表示成（〃-2）・180°,因为已知多边形的内角和为340°,所以可列为

程求解.

【解答】解：设所求多边形边数为〃，

则（〃-2）・180°=540°,

解得〃=5.

13.（3分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在8。上，过点、E作EF〃BC交CD边于点F,如果

ZABC=50°,那么NQEF的度数为25°.

AD

占

BC

【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得NOAC,然后根据两直线平行同位角相等，据

此即可解答.

【解答】解：・・・/ABC=50°,

J.ZDBC=^Z-ABC=25°,

VEF//BC,

；・/DEF=/DBC=25°.

故答案为：25°.

14.（3分）如图，实心圆柱的高为8a〃，底面圆的周长为12a〃，在圆柱卜底面的点A处有一只蚂蚁，它

想吃到距离下底面4c〃？且与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为，

an.

【分析】把圆柱体展开，连接A班可知AG、BG,再由勾股定理即可得解.

【解答】解：如图，圆柱体展开图为长方形4CDE，

E

A

・・・NAG3=90°,BG=4an,

AG=-xAC=6cm,

：.AB=ylAG2+BG2=2^13cm,

故答案为：2>/13.

15.13分）加图，四边形/WCD中，AD//BC,AD=Sem,BC=\2cnu”是AC上一点，且AM=9c”,

点七从点A出发以的速度向点。运动，点/从点C出发，以3c•〃?/$的速度向点B运动，当其中

一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为7,则当以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边

【分析】分两种情形列出方程即可解决问题；

【解答】解：①当点/在线段8M上，AE=FM时，以4、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形,

则有f=9+3r・12,解得/=?,

②当/在线段CM上，AE=RW时，以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形,

则有，=12・9・3f,解得/=*,

33

-或-

综上所述,42以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形.

33

故答案为：;或：；

42

三、解答题（一）；本大题共3小题，每小题7分，共21分。

16.（7分）计算：

（2）718x点+（2-次产

【分析】（1）先算开方，再算加减即可；

（2）先算乘法，完全平方公式，再算加减即可.

【解答】解：（1）卜心一、［

+4+3-4V3

=誓+7-46.

17,（7分）己知。是80的中点，DC//AB,求证：四边形43co为平行四边形.

【分析】可证明△AOBgZXC。。（/US）,得到AO=CO,即可解答.

【解答】证明：・・・AB〃CQ,

：・NOCD=/OAB.

:。是8。的中点,

在△AO台和△CO。中,

ZOAB=ZOCD

Z-AOB=乙COD'

OB=OD

:.XAOB@4COD(A4S),

：,AO=CO.

OD=OB,

・•・四边形ABC。为平行四边形.

18.（7分）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学

习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动.其中甲、乙两个研学小组

分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意型及测量数据如表所示：

活动课题测量古树AB的高度

研学小组甲组乙组

测量示意图

图①

测量说明CE_LA3于点E,8ECO为一个矩形架，图中所CO_LA8于点。，图中所有的点都在同一

有的点都在同一平面内.平面内.

测量数据CD=4〃i,CE=\2m,ZACE=30°.ZACD=45°,Z^CD=60°,CD=4m.

请你选择其中的一种测量方案，求古树A4的高度.（结果保留根号）

【分析】选甲组，根据矩形的性质得出8石的长，再根据勾股定理求出人七的长即可得出结果；

选乙组，根据含特殊角的直角三角形的性质得出AD与BD的长即可得出结果.

【解答】解：选甲组，

•••四边形8EC。为矩形，

：.BE=CD=4m,

在RtZXACE中,NAC£=30°,

：.AC=2AE,

由勾股定理得，AC2-AE2=EC2,

BP44E2-AE2=122,

解得AE=4A/5（负值舍去），

：,AB=AE+BE=（4V3+4）in；

选乙组，

在RlZXBCD中，NBCD=60°,CD=4w,

：.BC=2CD=^m,

：.BD=>/BC2-CD2=V82-42=4>/3（m）,

在RtZ\AC。中，ZACD=45°,

/.ZACD=ZCAD=45°,

・・.AO=CO=4,

：,AB=AD+BD=（4V3+4）m.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。

19.（9分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC.

（1）尺规作图：在AC的右侧作一点。，使四边形ABCO为菱形（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）连接8。，交AC于点O，若BD=4,四边形A8CZ）周长为4遍，求四边形4BCQ的面积.

【分析】（1）在AC的右侧，分别以A,。为圆心，A4为半径作弧，两弧交于点。，连接入。，CD,四

边形ABCD即为所求；

（2）利用勾股定理求出QA,再利用菱形A8CQ的面积=%C・BO求解.

【解答】解：（1）如图，四边形4B8即为所求;

(2)•・•四边形A8CD是菱形，周长为4代，

：.AC1BD,OA=OC,OB=OD=^BD=2,AB=BC=CD=AD=V5,

・••0A=>JAB2-OB2=V5^4=1,

：.AC=2OA=2,

工菱形ABCD的面积=Ix2X4=4.

20.（9分）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.它的证明如下：

如图，B。是RlAABC斜边AC上的中线，NABC=90。，求证：BO=^AC.

证明；延长80到点。，使OD=OB,连接AD,CD,

・：BO是RtZ\ABC斜边AC上的中线，

：.OA=OC.

•••四边形/WCO是平行四边形.（①对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又・・・NABC=90°,

・•・西边形A8CD是矩形.（②有一个角是直角的平行四边形是矩形）

：.BD=AC.（③矩形的对角线相等）

：.B0=gBD=yAC.

（1）认真阅读上面证明过程，在括号内填写相应的推理依据.

（2）类比探究逆命题：如图，CO是△ABC的中线，CO=\AB,△ABC是否为直角三角形？如果是,

请说明理由.

【分析】（1）延长BO到点。，使。。=。8,连接A。，CD,由O4=0C可依据对角线互相平分的四边

形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形.再由NABC=90°可依据有一个角是直角的平行四边

形是矩形，然后根据矩形的对角线相等得3O=AC据此可得出结论；

（2）延长C。到E,使EO=C。，连接AE,BE,则CE=2C0,根据CO=得C£=A8,再根据

EO=CO,AO=BO得四边形ACBE是平行四边形,进而判定平行四边形ACBE是矩形得NAC8=90°,

由此得△ABC是直角三角形.

【解答】（1）证明；延长BO到点。，使。。=08,连接AD,CD,如图I所示：

,:BO是RtAABC斜边AC上的中线，

：.OA=OC,

・•・四边形八6C。是平行四边形.（①对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又・.・NA8C=90°，

・・・四边形ABCD是矩形.（②有一个角是直角的平行四边形是矩形）

：,BD=AC.（③矩形的对角线相等）

：,B0=^BD=1AC.

故答案为：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③矩形

的对角线相等；

（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：

延长C。到£,使EO=CO,连接BE,如图2所示：

图2

：.CE=E0+C0=2C0,

：,CE=AB,

〈CO是aABC的边A8上的中线，

：,AO=BO,

在四边形AC8E中，EO=C（）,AO=BO,

・•・四边形ACBE是平行四边形，

又••，CE=AB,

・•・平行四边形AC8E是矩形,

/.ZACB=90°，

•••△ABC是直角三角形.

21.（9分）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”

来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较a=2百和b=3企的大小，我们可以把〃和〃分别平方./

*2

=1,庐=18,则0Vb2,a>0fb>0,a<b.

【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如.

比较b-遍和遍-遍的大小，可以先将它们分子有理化如下:

（"一石）（右）=

小—V6=77+1

"+、后—0+底

（乃-店）（乃+店）1

A/6—V5=

乃+底7^,

vV7+V6>V6+V5,

11

y/7—V6<V6—y/5.

根据材料，解决下面问题：

（1）比较c=4&,d=2夕H勺大小，c>d（填写<”或“=

（2）比较大小；V100-V99<V99-V98（填或"=

（3）若a=梳2,求。2・4。+3的值.

【分析】（1）利用平方法比较c、d的大小：

（2）利用分母有理化分别求出auu-回和回-回的倒数，比较大小即可;

（3）利用分母有理化把。化简，再利用完全平方公式计算.

【解答】解：（1）?=（4V2）2=32,/=（2V7）2=28,

故答案为：>;

1_____________，100+>/99______1>/99+:98

(2)=V100+强,

A/IOO-V^一(V100-\/99)(Vi004-\/99)回一同一（、颂一回）（回+v画

V99+V98,

V/100+V99>V99+廊,

AA/100-V99<V99-廊,

故答案为：V：

⑶“后二高擒广通+2,

则a-2=V6,

，(a-2)2=6,

.*.a2-4a+4=6,

-4〃=2,

a2-4«+3=5.

五,解答题：本大题共27分，其中22题13分，23题14分。

22.(13分)【数学背景】

我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”，其中3,4,5是一组勾股数，课外兴趣小组查

阅资料后发现3,4,5：5,12,13：6,8,10：7,24,25：8,15,17；…，这些也都是勾股数.于

是为了更好地学习和理解勾股数，决定探究勾股数的规律.

【尝试探究】

(1)观察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间

断过.

事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是?x(32-1),(32+1)；勾是5时，股和弦的算式分别

是:x(52-l),ix(52+1),根据你发现的规律，分别写出勾是7时，股的算式为：X(72-I),

22~2

弦的算式为\X(72+1)；

【猜想证明】

(2)根据(I)的规律，请用含〃(〃为奇数，且〃23)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，

猜想它们之间的相等关系，并加以证明；

【深入思考】

(3)继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；可以发现各组的第一个数都是偶数.且从4起也

没有间断过，运用类似上述探索的方法，当勾为机时，直接用阳(加为偶数.且加24)的代数式来表

示股和弦，不用证明.

【分析】(1)根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；

(2)把(1)中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；

(3)发现：股和弦总是相差为2.主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1.

【解答】解:(1)股的算式为［x(72-1),弦的算式为工x(72+1)；

22

11

故答案为：广（727）,广。2+»

（2）当〃23,且〃为奇数时，勾、股、弦分别为：小-（储7）,-（A1）,

2