三角形面积问题（解析版）-2026高考数学

第25讲三角形面积问题

一.解答题(共19小题)

I.已知焦点在x轴上的椭圆。上的点到两个焦点的距离和为10,椭圆。经过点(3,3).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆。的右焦点尸作与x轴垂直的直线4，直线4_L存在M、N两点满足OM_LON,

求△OWN面积的最小值.

(3)若与x轴不垂直的直线/交椭圆。于力、8两点，交x轴于定点线段的垂直

平分线交x轴于点N,且上竺为定值，求点M的坐标,

\MN\

V+>'2

【解答】解：(1)设椭圆的方程为=1(。>6>0),椭圆C上的点到两个焦点的距离

和为10,所以2a=10,G=5，

乂椭圆。经过点喈)，代入椭圆方程，求得〃=4,

所以椭圆的方程为：W+乙=1；

2516

(2)设”(3,加),N(3,QF(3,0),

由0M10N,所以加•丽=9+MM=0,

I39

s：=彳・3・|w-丹1=71加+—Id，故XOMN面积的最小值为9；

22yM

(3)设直线/的方程为:y=kx+m,则点设(_%,0),

k

y=kx+m

22222

xy，消去歹得(25k+16)x+50^LV+25w-400=0,

25+l6-

I50A〃？25〃/一400

-----；-------，x,x=--------；--------，

25公+16225K+I6

所以M昨"哼笋，

则的中点P的坐标为(—一当%—,—25K〃Z+小),又PNA.AB,得％=」，

25K+1625K+16'k

25k2m

则直线RV的方程为：y+一…I(、+3M，

25k2+16k25尸+16

令），=（），得N点的坐标为（—25""25km+〃化°）,则|“、|=|~翌一十%|,

25K+1625K+16k

所以版=死户寻5.k.匚~m~+9

一一・、25——；-

2mVA-2+1

当且仅当勺=2时，比值为定值，此时点M（-",0）,为〃（±3,0）,

k"1k

故加（一3,0）或（3,0）.

2.如图，椭圆C:二十与=1（。>/>>0）的离心率为L其左焦点到椭圆上点的最远距离为3,

a~b-2

点尸（2,1）为椭圆外一点，不过原点。的直线/与C相交于4,B两点,且线段48被直线。/>

平分.

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）求A48尸面积最大值时的直线/的方程.

左焦点（-c,0）到椭圆上点的最远距离为3,

即使a+c=3,可解得：a=2,c=l,

222

b=a-c=3t

.•.所求椭圆。的方程为：—+^-=1;-----------------------------（4分）

43

（2）易得直线OP的方程：y=-x,

■2

设（，”），（%），。,

AXABXB,R（xyQ）

其中No=；x。,

vJ,5在椭圆上,

%2E

-+=

43

2K2

4+

一

43一-

丹-九二二3（6分）

4丹+为2

设宜线AB的方程为/:y=~~x+m（m*。），

代入椭圆：43，整理得：3/一3机》+"/一3=0

3

y=——x+m

I2

由△〉（）可得-24<〃?<2百且w0

一3

根据韦达定理可知：xA+xB=m,xA-xB=---,-------------------------------------（8分）

1+kxX

■,•I4昨7AB\rB1=M+3J忧X/+xj-4xAXB=J+k]-y,

♦.•点尸（2,1）到直线/的距离为：d=I-"II=I先生I,

••.S型BP=；.dl4BI=g・lM-4i“4-净，------------------------（10分）

当初=1-4时，S.8/,取最大值，

此时直线/的方程j，=-|+l-V7.--------------------------（12分）

3.如图，椭圆C:二+二=1（。>〃>0）的离心率为,，其左焦点到点P（2,l）的距离为历，

a~b~2

不过原点。的直线/与。相交于n、B两点、,且线段被直线OP平分.

（1）求椭圆。的方程；

（2）求直线/的斜率；

（3）求A4O8面积的最大值.

【解答】解：⑴设椭圆的左焦点的坐标为S）,则由已知可得冷，且

7（2+C）2+12=710,

解得a=2,c=1>所以力=\/J,

所以椭圆C的方程为—+^=1;

43

（2）设4（阳，乂），B（x1,为），的中点为做,%,汽），

22

再M

+-

4-3=1

，两式作差可得：3--）（*+♦）+/一小）（乂+%）=0,

,K

石

+43

4-3=1

X+

产犷巧工且=”4

所以&=导=一『+=一|

故直细的斜率为.|:

1

（3）由（2）设直线/的方程为丁=-耳X+/〃，

则点o到直线/的距离为d=」〃"=引善，

2V13

3

y=——x+w

"2

联立方程消去y整理可得：3x?—3mx+m—3=0»

当且仅当m2-\2-m2,即m-工娓时取等号,

此时三角形AOB的面积的最大值为6.

22

4.已知点力（0,-2）,椭圆E:二+与=1（。＞/）＞0）的长轴长是短轴长的2倍，厂是椭圆上的

（TD

右焦点，直线力b的斜率为述，O为坐标原点.

3

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点4（0,-2）的动直线/与椭圆E相交于P,。两点.当AOPQ的面积最大时，求

直线/的方程.

22

【解答】解：（1）设尸（c,0）,由条件知「国'a=2b=c=

又可得〃=1,a2=4,

椭圆E的方程：y+r=l.

（2）依题意当/_Lx轴不合题意，故设直线/:y=履-2,设P（X1,乂），Q（X2,y2）

Y2

将》=去-2代入椭圆E的方程：—+/=1.得（1+4-*_16米+12=0,

4

当△二16（4代一3）＞0,即

16"12

…=言mX询

从而|P0|=Jl+如区―/1=4.左::;‘丁2

又点。到直线PQ的距离＜/=-y==.

所以NOPQ的面积=，"•I尸。1=曹

24k।+1

设J4V-3=1­Q

则/>0,一^AOPQ

当且仅当f=2,k=号成立,且满足△〉（）,

所以当AOPQ的面积最大时，/的方程为：y尊x—2或y=4x_2.

5.已知厂为抛物线_/=x的焦点，点44在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其

中。为坐标原点）.

（1）求证：直线48过定点；

（2）求A44。与A4FO面枳之和的最小值.

［解答］解：（1）设直线力8的方程为：x=my+n，点A（x］,y}）,B（x2»y2）»liOA-OB=2,

可得入用+乂必=2，①,

二点力a，乂），5（另，力）在抛物线上可得力=必一三=£,②

由①©可得必必=-2或1（舍去），

X=〃?》+〃n

可得/?―/町一〃=0

{y'=x

根据韦达定理有必•为=-«=-2,

直线43过定点（2,0）；

（2）♦.,点、A,8位于x轴的两侧，不妨设力在x轴的上方，则乂>0,又焦点尸七，0）

4

111992B2~

S+S2XX+=3

MBOMFO=-（y\-y2^4^11月一乃=储必+-=•

当且仅当乂取号，

.•・A48O与AJF。面积之和的最小值是3,

6.如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，点尸为抛物线C：V=%的焦点，且抛物

线C上存在不同的两点力，B.

（1）若48中点为M,且满足尸4,尸8的中点均在。上，证明：0M垂直于），轴；

（2）若点力，〃在该抛物线上且位于x轴的两侧，刀•砺=6（0为坐标原点），且A4BO与

MFO的面积分别为S\和&,求E+4s2最小值.

【解答】解：（1）证明：设尸（.%,%）,A（y；,乂），6（6,乃），

因为直线产/,尸8的中点在抛物线上，

所以必，为为方程（^^二匕尹的两个根，

2

即y-2yoy+2y0-2y：=0,的两个不同的实数根,

所以必+必=2%，

所以垂直于），轴.

（2）根据题意可得/d，0）,

4

设4（%,乂）,8区，%），则阳=）彳，&=贡，

所以x1x2+m2=M式+m2=6，则乂%=-3或凶％=2,

因为4,8位于x轴的两侧，所以必为=-3,

设直线AB的方程为x=ty+m，

联立｛2，得y-（y—〃?=0,

y=x

所以认力=~,n=一3,则加=3,

所以直线过定点（3,0）,

所以R+4S2=gx3x|必一七l+4x；x；|y|

3/、13,3、%.

=7x（必一为）+-y,=-x（y,T+'=2y,6,

222M2

当且仅当2M=上9，即必=3士时取等号，

2必2

故SI+4邑的最小值为6.

7.如图，已知点P是），粗左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y=4x上存在不同的两点力，

4满足21,P4的中点均在。上.

（I）设中点为“，证明：垂直于y轴；

=l（x<0）上的动点,求AP/IB面积的取值范围.

【解答】解：（I）证明：可设尸（见〃）,

力8中点为M的坐标为（短；"'，ZL±A）,

抛物线C:/=4x上存在不同的两点A,B满足PA,P8的中点均在C上,

ni+-

可得（L-

22

化简可得乂，当为关于旷的方程V-+Sm-n2=0的两根,

可得X+%=2〃，乂必=Mi*，

可得〃=匕上匹，

2

则PM垂直于y轴；

（另解：设尸8的中点分别为七，F,

EF交PM于G,EF为APAB的中位线,

EF//AB,又M为AB的中点，

G为防的中点，

设AB\y-kx+hx,EF\y=kx+b2,

由「=4x,y=Ax+4,y=kx+b2,

4

解得义所以PM垂宜.于），轴）

k

2

（n）若尸是半椭圆/+匕=IQ<O）上的动点，

4

可得/+°=1,—1-^7<0,-2<n<2,

4

由（I）可得“+必=2〃，y]y2=8〃，一〃2,

由垂直于y轴，可得“48面积为S=g|PM|“M-%|

=|（"-⑼•｛（必+乃f一5%

乙O

=1A（4/-1+2n2）--ni]--32/〃+4/J

=^21（‘J-4m）\ln2-4m,

4

可令/=-4〃?=^4-4/w2-4m

可得•时，/取得最大值V5；

2

机=-1时，，取得最小值2,

即2廿班，

则5=逑〃在2b班递增，可得Sc[6啦，—V10],

44

"AB面积的取值范围为[6及，—V10].

4

8.已知椭圆?+?=1,6，人为左、右焦点，直线/过K交椭圆于力，B两点•

(1)若直线/垂直于x轴，求|力例；

(2)当/648=90。时，/在x轴上方时，求力、"的坐标；

(3)若直线/耳交y轴丁直线6G交y轴丁N,是否存在直线/,使得二?8=邑？西，

若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)依题意，6(2,0),当48_Lx轴时，则4(2,扬,8(2,-&),得|/8|=2收；

(2)设4(%,凶),・.•/848=90。(/64苍=90。),

AF^AF2=(再+2,%)・(内一2,必)=xJ-4+yJ=0,

又/在椭圆上,满足工+左=1,即凹2=«1一邑,

848

2

...X：_4+%1—工)=0,解得』=(),即4(0,2).

8

直线AB:y=-x+2,

y=-x+2

联立｛J2,解得6(3,-±);

—+—=133

84

(3)设/(七，必)，B(X2,必)，必(0,为)，阳0,乂),

直线/:x=，即+2，

则巨知8=gI斗巴卜1必-必1=2|y-%I，

S*\MZ=jI6°M%一乂1=1%一以I•

x=my+2

联立31得(m2+2)y2+4niy-4=0.

-----1------=1

84

=

则弘+为=一一筌，)\y2^77-

m+2m+2

由直线月片的方程：y=-^-(x+2),得〃纵坐标必=3」；

/+2x,+2

由更线8G的方程：y=»—(x+2),得N的纵坐标以=且-.

X2+2X2+2

若S心B=S#、MN，即21必一%1=1必一居I，

I必一居H飞一驾H二24一二217H(丝”狂21必

玉+2X2+2my{+4niy2+4。〃乂+4)(7/zv,+4)

2

.1.I(w.V1+4)(〃?乃+4)|=4,|my}y2+4加(必+为)+161=4,

代入根与系数的关系，得|二^二+4/〃・三%-+16|=4,解得〃?=±G.

rn-+2nr+2

.•.存在直线x+后一2=0或%-后一2=0满足题意.

9.已知椭圆。:]+==1(〃>6>0)的左、右焦点分别为片，F2,过右焦点用且斜率为1

的直线交椭圆于力，8两点，N为弦48的中点，且ON的斜率为-3.

4

(1)求椭圆。的离心率e的值:

（2）若/=4c,/为过椭圆。的右焦点名的任意直线，旦直线/交椭圆。于点尸，0,求

△F、PQ内切圆面积的最大值.

【解答】解：（1）设点力的坐标为（$,乂），点B的坐标为（/,必），则线段的中点为

22

直线AB的斜率为配=&二以=1,直线ON的斜率为*=2」+匕

再一马五y_0为+巧

2

所以，直线48和直线。N的斜率之积为正匹=车?.=ix（-3）=N,

Xj-x2X1+x2$一石44

%2

F

2

由于点力、8在椭圆C上，则仔

21

Z)2

上述两式相减得宁+y=。，化简得一提二注二一%所以，~

因此，椭圆的离心率为《=£=

a2

（2）由（1）知，〃=2c,由于“2=4c,得4c，=4c,由于c>0,得c=l,所以，a=2,

b=\la2—c2=V3»

22

所以，椭圆c的标准方程为m+亡=1,

43

△^P0的周长为4a=8,

椭圆C的右焦点为6（1,0）,设直线/的方程为x="y+l,设点P（.q,必）、居），

将直线/的方程代入椭圆C的方程并化简得（3//+4）y2+6my-9=0.

△=(6/??)2-4x(3m2+4)x(-9)=144(w2+l)>0,

由韦达定理可得%+居=~"一9_

3〃广+4%居=-京+4

△F}PQ的面积为

c1ill,.11cr-----r；—:----I6m72'/9、\2\Jm2+1

公冈…l=”x而幻二嬴"(一就R—4x(一藐寸F77r

12r12/_12

令/=J〃/+R,则m2=r-1,所以，S

£段一3(/_])+4-3/+]-i

Jrn—

由于函数y=3/+1在区间[1,+8)上单调递增，

t

所以，当z=l时，△耳尸0的面枳取到最大值券一3,

15S

设△片尸。的内切圆的半径为〃，则;x4"x〃=S/0,所以，/一寸瞑，^,

当△ZP0的面积取到最大值时，其内切圆的半径r取到最大值;，

因此，△石尸。内切圆面积的最大值为"X(42=2乃.

416

10.已知椭圆。：捺+£=1(〃＞力＞0)的左、右焦点分别是G和K，离心率为:，以尸在椭

圆E上，且△/?凡用的面积的最大值为G.

(1)求椭圆。的方程：

(2)直线/过椭圆。右焦点行，交该椭圆于力、B两点,中点为Q,射线。。交椭圆

于尸，记A4。。的面积为百，A3P。的面积为S2,若£=3S/求直线/的方程.

【解答】解：(1)依题意，显然当P在短轴端点时，鸟的面积最大为gx2cxb=百，

222

即儿二百，又由离心率为e=£=L,a-b=c,

a2

解得/=4,〃=3,c2=1,

所以椭圆C的方程为W+4=i•

43

(2)因为$2=3',

所以110Pli081sin^BQP=3^-\QA\\QO\s\nAAQO,

22

所以|。尸|=3|。0],所以。尸|=4|。0|,

当力8斜率不存在时，邑=£,不合题意，

当/出斜率存在时，设直线方程为y=Z(x-1),

设点力(为,乂)，B(X2,y2),

(2

再

d4-X=i，

贝\,两式作差得：

uV=

4J£七一七药十七4

+V"=1

即KB,人》=一：，

故直线OP的方程为：歹=-巨.丫,

4k

，3

y7

一2

必

联

，VI•<

-22

X匕

-T-

443

d

3

y=---x皿"4k

联立4k,解得勺=直布

尸左(x-1),"

因为“爪所以肃卓…各

即公=_1,解得：k=±~,

42

所以直线43的方程为丁=±3*-1）.

11.已知椭圆C:=十二=1（。>h>0）的左、右焦点分别为ki,k2,离心率e=立，点产（2,夜）

a'b~2

在椭圆。上，直线/过£交椭圆于力，8两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当/瑞力8=90。时，点力在x轴上方时，求点力，8的坐标；

（3）若直线4巴交y轴于点时，直线8入交y轴于点N,是否存在直线/,使得与

AA/A/的面积满足S“”=2SWM,若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）由题意可知，,a2-b2=c2,又2+2=|,

a2a~b~

联立方程组可解得："=8,b2=4,

所以椭圆C的方程为=

84

（2）设/（x,y）,依题意，［（一2,0）,乃（2,0）,因为/鸟力4=90。，所以/用力用=90。，

即6彳•64=(再+2,必)・区-2，M)=x「_4+yJ=0,

v222

又力在椭圆上，满足工+222

¥=1,即必2=4(1一±),X1-4+^,=X1-4+4(1-=0,

8

解得$=0,即%(0,2),

直线AB:y=x+2,

y=x+2

，解得8(-±-2).

联立方程组X=i

33

84

（3）存在直线/』=述夕-2或x=-友y-2,使得&48凡与AMA/的面积满足

33'•

S&ABF：=2sdMNF、，

设力（王，乂），B（X1，%），加（0,8），NW]%），

直线/”=〃少-2（斜率不存在时不满足题意），

则S-=；I秋HM-%1=21必一必I，S-=；I6°•旧71=1乃fI•

x=my-2

22

联立方程组V整理得(〃/+2)y-4my-4=0.

—+—=1

84

贝1」凹+%=-^4，%出

由直线4F,的方程：y=_A_（x_2）,得M纵坐标必=3

（x「2）x}-2

由直线8工的方程：y=»—（x-2）,得N纵坐标乂二二

X2-2x,-2

由S“g=2S,“g，得I必-必1=1%一乂I•

所以M-居目书—二*1=1三%—-=^TH（"J，"T必一月I，

$-2x,-2机匕-4my2-4（my1-4）（〃少？-4）

2

所以I。叫一4）（〃少2-4）|二8,|my}y2-4加（乂+^2）+16|=8,

代入根与系数的关系式，得|聿7-4〃?•坐7+16|=8,解得小=±迫.

m+2m+23

存在直线x=¥y-2或x=-¥y-2满足题意.

12.已知椭圆{=的左、右焦点分别为《，凡，|《八|=2,椭圆离心率

Q-b~

e~——.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/过椭圆的右焦点招，交椭圆于力，B两点,若△力68的面积为半，求直线/

的方程.

2c=2

2222

【解答】解：（1）可得，c\=>c=1,a=2,5=1,

e=r=一

/2

•••椭圆。的方程为：y+r=l.

(2)v^(l,O),该直线/的方程设为x=〃?y+l,

联立,“刑丁；1可得（〃5+2）炉+2叩-1=0.

x~+2y2=2

—2m—1

设片区，乂），B®,%）,则必+必=—r，）\y=--7■

2+m22+m

△加注的面枳S=；x|丹丹冈,一为1=）弘_必）2_4必力=「*：?）=¥­

2w+23

解得m=±2.

二直线，的方程为±2），-1=0.

13.已知椭圆c：£+*ig〉b>o）的离心率为当，其左、右焦点分别为片，F2，点户（%,

必）是坐标平面内一点，且片+），；=（.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点S（0,-；）且斜率为人的动直线/交椭圆于4、8两点，问：在y轴上是否存在定点

M，使以力8为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；

若不存在，说明理由.

【解答】解：（1）设耳（一。,0）,玛（c,0）,

由西•丽=］，即为（一《一/，—坊）・（°一工0,一为）=］，

44

即有片+$-/=］,乂4+），；=；,

44

解得c=1,又e='=,则a=V2»6=1,

a2

*>

因此所求椭圆的方程为：y+/=l;

（2）动直线/的方程为J，=h-

由y=,得(1+26*/履_3=0,

x2+2y2=23

设彳区，乂），仅9，%），

4k16

则$+々=----------,xx=-

3(1+2公)1}2?9(1+242)

假设在y轴上存在定点M(0,〃?)，满足题设，则

MA=(X],必一〃?)，MB=区，y2-w),

2

MA*MB=x]x2+(匕-m)(乃-m)=x[x2+y1y2-+y2)+m

=x1x2+(kx]-；)(依2-一ni(kx1-^+Ax,--)+/?/

,121

=(1+公)再/-k(—+m)(Xj+/)+"J+—〃?+—

16(1+公)・仪；+〃?)・4k，21

+nr+—〃？+—

9(1+2/)311+2/)39

18(〃/-1)/+(9〃/+6〃7-15)

9(2k2+1)

由假设得对于任意的4wA，砺•碗=0恒成立,

。:二5.。'解得〃"L

HP-

因此，在y轴上存在定点M,使得以力8为宜径的圆恒过这个点,

4

点M的坐标为(0,1)这时，点M到AB的距离d=

341+产

|月8|二J(1+如)(3一%)2,

S-=\-\AB\d=JJ(M-/a='/甘—4再/

4JJ

216k26484+9A-2

一3^2(1+2*>49(1+2解)-5\(1+2产y，

设1+2/=z则公=勺得/€口，+8),-e(0.1],

2t

当且仅当L1时，上式等号成立.因此，AM"面积的最大值是3.

t9

22i

14.已知椭圆二+4=1（心8>0）的左、右焦点分别为不F,,离心率为L过椭圆右焦

a~b~2

点的直线交椭圆于X，8两点，△月£6的周K为8,O为坐标原点.

（I）求椭圆的方程;

（II）求&4O8面枳的最大值.

【解答】解：（I）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于力，B两点、,△力片4的周长为8,

则由椭圆的定义可得4a=8,所以。=2,

又e=£=L,所以c=l,则〃=3,

a2

故椭圆的方程为二+4=1;

43

（II）由（I）值,玛（1,0）,

则可设直线AB的方程为：x=WV+1,

代入椭圆方程可得：（4+3〃/）/+6my-9=0,

-一9

设4（』，乂），B（X,E），则必+22,M乃=.；22,

24+5m4+5m

所以I册=疝版•UNKK=07版•

=G.m可】2（i+?

4+3w24+3〃/

原点到直线AB的距离为d=一=,

\]\+m2

所以三角形4C8的面积为5=?小|月例="方」=」。（1：”?

22V1W4+3/

2

6V1+w_6---j---»令［=yj\+m2

4+3〃「后二

Jl+/〃2

所以s=」7，当ra时，函数单调递增,

3"t

所以当"1时，S_=^=|,

故三角形水加的面积的最大值呜.

15.已知抛物线C：r=2px（p>0）上有一点0（2,%）到焦点F的距离为|.

（I）求p及％的值：

（H）如图，设直线y-辰与抛物线交于两点,4（$,乂），B（X2,乃），且|必一为1=2,

过弦如？的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点。，连接/1。，BD.试判断A44。

的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.

【解答】解：（/）由抛物线。:产=2〃以〃>0）,可得焦点（§0）,

・・♦抛物线上的点0（2,%）到焦点F的距离为1.

rP5.

2+—=—»p=1.

22

y~—2.v»

把0（2J。）代入抛物线方程，解得九=±2・

222

（〃）联立，+,得：kx+2(kb-l)x+b=0(k*0),A>0,即1一2姐>0,

y~=2x

2(1—kb)b2

$+%=—/—，咐).

KK

1)1一%『三二1玉一七|2=〃T(X[+吗)2_4芭巧]=4：4.

K

:A-2kb=k2,

M（号4），以亲》

.••。80的面积5=口〃。卜|必_为卜!><|上学|'2=」.

22242

16.已知点。是抛物线。:了2=2〃工（〃>0）上的动点，点。到抛物线准线与到点。（一!",1）的

2

距离之和的最小值为收.

(1)求抛物线。的方程；

(2)如图，设直线y=仃+/)与抛物线C交于两点力(不：弘)，B(X2,多)且必1=2,

过弦AB的中点M作垂直于>•轴的直线与抛物线C交于点D,求AABD的面积.

【解答】解:(1)•.•点。到抛物线准线叮到点尸(-工，1)的距离之和的最小值为0,

二点。到抛物线的焦点与到点P(-1,1)的距离之和的最小值为夜，

二.p=1，

抛物线C的方程为y2=2x；

(2)联立直线y=kx+b与抛物线C得：k2x2+2(kb-l)x+〃=0(%w0),△>0,即1一2协>0,

2(1+kb)b2

xx

玉+々二—K”—A'i2=7F'

I乂一月1=〃I玉-*21=d—p-=2,

:.\-2kb=k2,

-M1、八/11、

十，/。(左，/

AJ8O的面积5=4〃0||必_%1=，乂|1^^］、2=，.

222A2

17.如图，在平面直角坐标系xQy中，椭圆。:提+£=1(。>〃>0)的离心率是半，曲线E

是抛物线x2=4)，在椭圆C内的一部分，抛物线x2=分的焦点F在椭圆。上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设。是E上的动点，且位于第一象限，E在点尸处的切线/与C交于不同的两点/,

8,线段44的中点为。.直线。。与过。且垂直于x轴的直线交于点V.

(i)求证：点M在定直线上；

(ii)直线/与)，轴交于点G,记APFG的面枳为E，APDM的面积为S2,求白■的最大值

及取得最大值时点尸的坐标.

【解答】解：(1)抛物线的焦点尸(0,1),因为尸在椭圆C上,

所以6=1,

又因为离心率？=£=且=、［^,

a2xa'

所以可得6=4,

2

所以椭圆的方程为：—+/=1:

4

2

(2)(i)设尸(阳,2-),m>0,

因为寸=4y,所以了=1,

在P点的切线的方程即y=一”,

4224

设力(西，乂)，B(X2,y2),。(.％，y0)

+4/=4

223

联立m加2,整理可得：(l+w)x-wx+—-4=0,

y=X4

24

由△>(),得0<〃?<J8+4石)(*)

m.

----4

且i=言4

/超=.

1+/〃2

因此x°=：x_J,将其代入ymm2出m

»田肾=一

21+in'4(1+〃/)

所以生=__L,所以直线。。的方程为y=--!-x,

x02m2m

___1_

联立方程〉二一茄"解得点M的纵坐标为-,，

2

x=m

所以点”在定直线)，=-<上;

4

（"）由（0知直线/的方程为y=-x--,

24

令X=0,得y=_丝，所以G(0,—4),

44

232

又尸(机,1),尸(0,1),D[-^,-，U)>

41+〃广4(1+m)

所以耳=，•|G尸|・〃?=’+")〃?,

28

S?=:仍0卜同一%|=1m?+2m(2+ni2)m(2+m2)'

—x-----x--------=-------—

242(1+m’)16(1+〃/)

S,2(4+〃/)1+〃/)

—=--------»设/=〃厂+2,

S2(2+〃/A

19

则