安徽省合肥市某中学2026届高三年级下册学期强化训练（一）数学试卷

安徽合肥市第八中学2025-2026学年第二学期强化训练一

高三数学试卷

一、单选题

1.已知集合4=V7-2,0},B={x|log2X<2},则AP|8=()

A.[-1,2]B.[-1,4)C.(0,1]D.(0,2]

2.已知z=2-i,则归+"=()

A.4B.4x/2C.3\/3D.2a

3.若平面向量。力工两两夹角相等，且同=1,|同=2,同=3,则|2+石+目=()

A.73B.36C.75或6D.3或36

4.已知函数=f+siru,且3'=2,y=ln2,z=J,则/(x),/()，)，/(z)的大小关系为()

A./W>/(y)>/(z)B.f(y)>f(x)>f(z)

C./(z)>/(y)>/(x)D./(z)>/(x)>/(y)

5.已知直线/:侬+，少+/=0断+〃2W0)与圆C:Y+()，+3)2=8交于AB两点，若〃A成等差数列，则

NAC8的最小值为()

6.在VA8C中，内角AI,C所对的边分别为a.b,c,若。=2,3二+史&=3,则VA8C面积的最大值

1+COS/4sinA

为（）

3

A.3B.1C.V3D.2《

7.在三棱锥尸一A8C中，底面ABC为正三角形，尸A_L平面A6C/W=G,PA=2,若尸,A,艮C四点都在

球。的表面上，则点/）到平面08c的距离为（）

A.5B.-C.立D.也

555

21

8.已知3为数列｛q｝的前〃项和，bn为数列⑸｝的前〃项积，若不+丁=2,则4=（）

<3n..n

57

A.2B.-C.3D.—

22

二、多选题

9.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X,掷出点数之和为y,则（）

A.事件“X为奇数”发生的概率:

O

B.事件“X=3”和事件"丫=5”相等

c.事件17”发生的概率为

75T4

D.事件“X=4”和事件“丫二6”独立

10.已知函数=f-%炉+9%+机，则（）

A.3aeR,使得了"）为单调函数

B.VaeR,/a）的图象恒有对称中心

C.当a=2时，/（X2）>/（5A+4）

D.若/，与，七是方程/（力=。的三个不同的根，则为七+%占+工2%3=9

11.在棱长为2的正方体ABCO-ABCIQ中，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确

的是（）

A.存在点/>,使得

B.若AP〃平面ABC,则点P的轨迹长度为x/2

C.若AP与AD所成的角为B，则点P的轨迹长度为三

62

D.若以A为球心，空史为半径的球面与侧面c/）QG的交线长为名叵江.

39

三、填空题

I9.已知随机变量J〜N（2.4）,〃、b是正实数.满足尸（黑〃）+产德>2〃）=1,则宗和勺最小值为.

13.设85（0+0=7,51。1印1/=3,则（：00（0一4）=.（用含7的式子表示）

14.如图，已知过抛物线丁=2/〃（P>0）的焦点厂的直线与抛物线交于48两点，过点A作抛物线的准

线的垂线AA，垂足为A，抛物线的准线与x轴交于点0为坐标原点，记52,S3分别为VAO8,

4

△AFM,AAA/的面积.若S|+；§2=S3,则直线AB的斜率为.

四、解答题

15.设几｝是各项都为正数的递增数列，已知q=l,且。“满足关系式（％+《「1）2=44.MVWN”.

（1）求生，4及数列M的通项公式；

⑵令包=■瑞;I”求数列｛々｝的前〃项积小

16.如图，在四棱锥--AAC。中，底面A8CD是边长为4的正方形，PA=PD=2^,M、N、G分别为

PD、PB、AD的中点，平面0ADJ_平面ABCO.

（2）求平面P8C与平面AMN所成角的余弦值；

PF

⑶若截面4MN与PC交于点E,且亍=2,求2的值.

17.现有8张大小质地完全相同的K片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张K片放入一个不

透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为儿，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡

片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取-•张另一种颜色的卡片放入袋中（即

若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片.记经

过八次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为X”.

⑴求P"o=2）；

(2)当乂=2时，求随机变量X2的分布列和数学期望；

⑶求随机变量X的数学期望.

，2

18.已知椭圆。:'+今=1(。>5>0)的长轴长为4,焦距为20，过点尸。,0)的直线/与椭圆C交于A,B

两点，过点4作A。_1_工轴，交椭圆。于另一点。(异于点A,B).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)证明：直线50过定点M,并求点〃的坐标；

(3)求△N/如面积的取值范围.

19.已知函数f(%)=(ox-l)e*(awR).

⑴讨论/")的单调性；

⑵当”=1时.

(i)求曲线)，=/(力的斜率为e的切线方程：

(ii)当王〈/时，/(%)=/(々)="2，证明：％+2/〈机(■|一1)+1.

参考答案

1.D

【详解】已知集合A=H/7_2W0},

由丁7_240,十字相乘可得3—2)(x+l)W0,

二次函数9一工一2=0开口向上，解得—1W2,即集合4=何一1。42}.

已知集合8={刈082%<2},

由嗔2工<2,可得{,解得()<x<4,即集合5={x0<x<4,

[log2x<log24

所以AC8={M_1WXW2}C{H0VXV4}={M0VXW2},即Ap|8=(0,2].

2.B

【详解】由题意可得/=(2—产=4—4i+i2=3—4i,

所以归+1|=|4-4i|=742+(-4)2=472.

3.C

【详解】因为平面向量Z，b，3两两夹角相等，所以夹角有两种情况,

即入即工两两夹角为0。或120。，

当夹角为0。时，%+6+目=同+|5|+同=1+2+3=6；

-3

当夹角为120。时,ab=-tbc=-\ca=--f

贝|JB+5+同=J(d+6+，2=yla2+b2+c2+2db+2ac-^2bc

=^l24-22+32+2x(-l)+2x^-|^+2x(-3)=V3；

综上所述：,+万+寸=6或,+5+1=\/J.

4.B

【详解】由题意得x=log：、2='r二〉°,3-=ln2>0,-=log2e>0,

log?3v

则上=譬3=]08V<],所以％<),,

)，log23

j.1|

因为x=log32>log；3，，即y=ln2<lne=l,所以z=耳<x<)，<I,

因为在上，)，=/单调递增，y=sinx单调递增，所以/a)单调递增,

所以.">)>/'*)>/(z).

5.C

【详解】

由题意可知：圆C:V+(y+3)2=8的圆心为。(0,-3),半径r=2拒,

因为〃成等差数列，所以设〃?=〃-△,/=〃+4,

则〃氏++/=0可化为-d卜+〃y+〃+d=0,

即(l-x”+(x+y+l)〃=O,

令二)L=()'..•二.2,可知直线过定点双卜2),

且产+(—2+3)2<8,所以。(1,一2)在圆c内部，

当COJ.A8时，弦长|相|最短，此时/AC8最小，

又理|=1(1-()『+(-3+2)2=丘,所以|A却=2J产-|CD『=2病二=2几,

所以g4小士四『8串府

2r2x82

又4。/?£(0,兀),所以/40?二1，

故选:C

6.A

【详解】对/二十笔=3进行化简，

I+cosAsinA

通分可得

5sin24+(l+cos/l)cos45-4cos2A+cos/A-(4cos>4-5)(cosA+1)一(4cosA-5)

=3,

(l+cosA)sinA(l+cosA)sinA(l+cosA)sinAsinA

34

即5-4cosA=3sinA,Xsin2A+cos2A=I解得sinA=-,cosA=一

55

8

已知4=2,由余弦定理/=〃2+。2一26ccosA,可得4=//+c?-,

根据基本不等式〃2+c,2之班•（当且仅当〃=c时取等号）,

QQ7

则4=〃+c2--hc>2bc--bc=—bc,可得Z?c<1(),

133

三角形面枳S"=?csinA=^AW布xlO=3,当且仅当人c时等号成立,

故选：A.

7.C

【详解】设底面中心为D取BC的中点E,连接AE,则A,D,E三点共线，连接PE,过

点。作底面的垂线4,

取棱心的中点Q，在平面%E中，过。作雨的垂线3则4与4的交点即为球心0,

37

在正VA8C中，AB=g,AE=ABxsin600=—,得Q0=AO=.xA£=1,

23

又PA=2PQ=2,即尸Q=l,

则OPnJpQ'QO?=啦,PE=>JPA2+AE2=|,OE=」OD'+DE2=冬

由余弦定理得cosZOPE=OP-+PE；OE-=772,则$出=也，

2xOPxPE1010

过。作尸£的垂线，垂足为G,由8C_L4E,BCLPA.

因为E4nAE=A,PAtAEu平面RLE,所以8CJL平面小E,

又BCu平面PRC,则平面总C_L平面以正，

又平面尸4EH平面依C=PE,OGu平面%E,因此061平面P8C,

B।

在RtZXPOG中，OG=POxsinNOPG=&x4=L,

105

所以球心0到平面PBC的距离为!,

则三棱锥O-尸8c的体积为1x_LxGx，L正，

322512

而SON=」><Gx且=巫，设点?到平面OBC的距离为〃，

w224

由％..=九次，得且」x巫力，解得力=必，

12345

则点P到平面08c的距离为叵

5

8.D

【详解】由己知京+［=2得S―言1且女产。，b=,取〃=1,由得

3”%血一］22

由于"为数列｛s.｝的前〃项积，所以黑.萨7…

2%—1Z/72—I一1

2b,2b、2%两式相除，可得券彳=誓，

则---------------------=bL,

AJ2瓦一I2%-1向'

由于“。，化简得/1=(即％8总，其中〃村

所以数列｛4｝是以4=；为首项，以d=5为公差的等差数歹U,

317

所以打二+乎八亍

故选：D

9.AC

【详解】对于A,事件“X为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为

-13=-，故A正确;

2)8

对于B,事件“X=3”样本空间点为｛(1,1,3),(131),(311)｝,事件“丫=5”的样本空间点为

｛(1,1.3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)｝,所以事件“X=3”和事件“丫二5”不相等，故

B错误；

对于c,事件“丫＜17”的对立事件为“y=17或y=18”,而“y=i8”等价于“3次掷出的点数

均为6”，

其概率为仕］=—,“y=17”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5"，其概率为

216

因此尸八⑺一（盛+表卜茅故c正确;

对于D:

事件“X=4”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4（有3种不同情况），或者2个2和

1个1（有3种不同情况）"，其概率为P（X=4）=提=幺

21636

事件"丫二6”等价于"3次掷出的点数中有3个2（有1种情况）；或者2个1和1个4（有3

种不同情况）；或者1个1、1个2和1个3（有A；=6和不同情况）”，其概率为

p(r=6)=1+3+65

216108

31

而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率P（X=4J=6）=^=五.

1515

P(X=4)P(y=6)=------X---------=-------X-------p(X=4,r=6)^P(X=4)P(X=6),

361087254

所以事件“X=4”和事件“y=6”不独立

故D错误.

故选：AC.

10.ABD

【详解】A：由题设/'3=3/-6以+9=3，—2"+3）,所以/'（x）是开口向上的抛物线,

要使/（X）为单调函数，只需V一波a+320恒成立，即A=4标一］2WO，得-6KaW。,

所以九£R,使得/(“为单调函数，对；

B：对于f(x)=V-3ar2+9x+〃2=(x-a)3+(9-3c/)(x-a)+〃z+9a-2a1

所以/(x)+f(2a-x)=2(“+9«-2«3),即/(x)恒关于点(4m+9〃-2/)对称，对；

C：由题设/(力=父-6/+9x+m,若x=(),显然/(/)=/(())=〃?</(5x+4)=f(4)=4+m,

错；

32

D：由题设/(X)=(X-内)(x-x2)(x-x3)=x-(x1+X2+X3)X+(X}X2+X2X^+)x-x}x2x-.,

2

又/(x)=V-3ar+9x+rn,则x1x2+内&+x2x3=9,对.

故选：ABD

11.AD

【详解】以。为坐标原点，。&DC.。4所在直线分别为*Az轴，建立空间直角坐标

系.

正方体棱长为2,则。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),[(2,0,2),B,(2,2,2)；

点P在侧面8AG(含边界)上，设P(0,y,z)(0<y<2,0<z<2).

选项A：解=（-2,y,z—2）,丽=（一2,-2,-2）

.若A/_L4。，则而.丽=0,

即4-2y-2（z-2）=0,化简得y+z=4.

ffi0<y<2,0«z42范围内，

y=2,Z=2（即P与G重合）时满足，故存在点尸，故选项A正确;

选项B：法一：作出过4与平面A&C平行的平面4G。，

则点尸的轨迹为平面AG。与侧面的交线，即线段0a.

法二：求平面4花的法向量，鬲=(0,2,2),AC=(-2,2,0),设法向量。=(乂y,z),

则(n-AB.=2y+2z=0,取x=l,得万=/1』,一1\).若…AP//平面A8Q,则一•万二0,

f)AC=-2x+2y=()

即—2+y—（z—2）=0,得y=z,则尸的轨迹为侧面CDD£上从0（0,0,0）到C,（0,2,2）的线段,

长度为J(2-()/+(2-()『=20,故选项B错误;

选项c：因为AO//AA，所以AP与4。所成的角等于AP与AQ所成的角，即/尸

6

在R/ZUQP中，3=2,tan/PAR=^=g,所以。尸=逋

4233

则点P的轨迹为以。为恻心，孚为半径，圆心角为;的圆弧,

所以点P的轨迹长度为三又辿=叵，故选项C错误；

233

选项D：设球面与CG的交点为G,球面与CD的交点为凡可得交线为以。।为圆心的FG的

弧长.

由题知4a_L平面CORG，则△RAG为直角三角形,

皿|="G12TzM『=J(孚)2-22=华,则/GRG=《：

同理可得做=苧，所以/对。=看，所以“RG嗫

所以弧尸6=土叵乂工=名网.故选项D正确.

369

12.2+6

【详解】由随机变量岁~双(2,4),且尸&Na)+产仔＞3)=1,得〃+»=4,而。＞0力＞。,

则2+1=!(a+2b)(2+g)=，(8+竺+¥)＞2+-V3,

ab4ab4ab

当且仅当竺=当，即。=26-2,人=3-6时取等号，

ab

23

所以一十三的最小值为2+6.

ab

故答案为：2+G

13.-2T

［详解】由题知cosacos/"sinasin/?=7,sirmsm,=3,

cosacosp

解得cosacos/?=-■!■7,sinasinfl=--T,则cos(a-/?)=cosacos4+sinasinP=-2T.

22

故答案为：-2T

14.73

/、

n/、/、

【详解】设直级A“倾斜角为〃a0,5,入(芭,y),R(G，y)K>°，

可知：xx=|AF|cos<9+y,yl=|AF|sin/9,

且IA目=%+5=Icos0+〃，解得|A日=|二%,

则y=|叫sin0=，'叱,

1—cos。

同理可得％=-产吗，

I十cos0

可知一见「加那黑+黑P_

52sin0

1p〃sin。p1sin0

§3=；|4川,=—x---------x----------

2l-cos。1-cos02(1-cos^)2

4

因为£+~则上+工P。。…、

5=S,

23人」2sin。32(1-cos。)2(1-cos^)-

整理得2cos°8+3cos9-2=0,解得cos。=；或cos"-2,

且Ow［。,，］,则cos®:，，可得o=¥,

I2)23

所以直线AH的斜率为〃=tan。=75.

故答案为：x/3.

15.(1)/=4,%=9,4=//

⑵刀=(〃+1)(2〃+1)，

【详解】(1)由己知(4+1+4-1)2=44+同“,〃€1<,

令〃=1代入得（％+4-1）2=4。］%，即嫉=4。2，解得。2=4或0（舍去），

令〃=2代入得（/+%-1）~=4。3a2，即（4+3）~=16%,解得。③=9或1（舍去）,

已知｛q｝是各项都为正数的递增数列，且4=1,故从第二项开始每一项都大于1,故

4+1+%_[>()，

对式子（。,+1+-1丫=也+得”,"eN♦两边开根号得%+an-\=2^an+iafl,

即4用+4「2＞。=7=1，整理得（、Z二一疯）=1，故：施:'

又8=1,故数列｛、Z｝是首项为1,公差为1的等差数列，

故口=l+（〃-l）xl=〃，所以。”=〃2

（2）因为〃=⑵-）%=仅=

口刀“〃（〃+1）（2八+1）”〃+1）（2〃+1）

n(2n-\)n(2n-\)n2〃一1

(w+l)(2n+l)(〃+1)(2〃+1)w+12〃+1

1415〃⑵?-1)

所以（=4也也……〃广$1T丞x…x

。?+1)(2〃+1)

_Ix2x3x…x〃Ix3x...x(2/z-1)_1

2x3x4x5x…x(〃+1)3x5x7x-.-x(2n+1)(w+1)(2,»:+1)

故T=(〃+I)(2〃+1).

16.(1)证明见解析

【详解】（1）-PA=PD,G为AO中点，.•.PG_LA。.

又平面24。_L平面48c。，且交线为ADPGu平面尸AO,

「.PGJ_平面A3CQ,而BDu平面ABCD,，PG上平面ABCD,

s.PGLBDx

•.•M、N为PD、PB中点、,则有M*〃皿入

:.MN1PG；

(2)如图以G为坐标原点，过G作直线G”与A/3平行，以GA、GH、GP分别为％、八z轴

建立空间直角坐标系，

PG=dPlf-Glf=,20-4=4,

则G(0,0.0),A(2,0,0),P(0.0,4"(2,4,0),0(-2,0,0),C(-2,4,0),M(-l,0,2),N(l,2,2).

.•.AM=(-3,0,2),iWV=(2.2,0),PC=(-2,4,-4),^P=(-2,0,4).

设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),

ri-AM=-3x+2z=0.、

则有一，令x=2,可得力=(2,-2,3).

n-MN=2x+2y=0

­.­ra=(2,4,-4),^C=(-4,0,0),设平面PEN的一个法向量为初二(x，y,zj,

m-PB=2x+4y.-4z.=0/、

则有'_''',可取庆二(0,1,1),

m-BC=-4xi=0

-2+3A

cos(/n,〃)

j4+4+9\/m34

二•平面/由C与平面AMN所成的锐二面角的余弦值为亘

34

(3)vPE=APC=(-2A,4^-4A)t

AE=AP+PE=(-2,0,4)+(-2/l,4A,-4/1)=(-2-2/1,42,4-42).

.\nAE=-4-4/l-8/l+12-12/l=0.

3

17.(1)|

⑵分布列见解析，|

呜

r2rl243

【详解】（l）依题意，P（X0=2）=-^-=—=-.

Coo30/

（2）当X=2时，若摸出红色卡片，则Xz的值为1,若摸出蓝色卡片,2的值为3,

2I

所以夕"2=1）=屋P（X2=3）=-,

所以X?的分布列为

X。13

22

p

33

01S

数学期望为E（X2）=1X；+3X（=|.

（3）儿的取值为0,1,2,3.

小=。）=警44尸（X。力普WV

吵。=2）=等得4尸（4=3）=警

X1的取值为0,1,2,3.

P（X.=O）=P（Xo=l）xl=l,

25

P（X1=l）=P（Xo=O）xl+P（Xo=2）x-=-,

25

P（X1=2）=P（X0=l）x-4-P（X0=3）xl=-,

P（X,=3）=P（X0=2）xl=l

Jt

所以随机变量X的数学期望为E（XJ-O[+1*+2*+3X；楙.

18.（1）—+^-=1

42

⑵（4,0）

⑶用

【详解】（1）由题意得2。=4,2c=2\/2»则a=2,c=五,b7=（r-cP=2»

由题意可得直线AB的斜率存在且不为0,

设直线A8的方程为X="少+1（加工（）），A（x“J,8（号必），则。（七,一）［），

x=my+1

联立/2得（加+2））,2+2,股-3=0,yl+y2=^L,y,y2=^-

——+—=1x'nf+2iff+2

42

々种=”4,则直线8。：y+x=»j（x—xj

工2一七占一%

吧评LM+y-（x+%）Wy+i）、—M+y、）1+乃+2〃明力

」二〃心，2-凹）机（）’2一,）"〃心’2一巧）〃?（乃一乂）

-2/?iv+8"i-2/7?（x-4）

〃?（片-）»（〃，+2）m（y2-），J"+2）

所以直线8