2026高考数学高频考点练：平面向量

平面向量

一、单选题

1.已知向量可=(0,1)5=(2户),若61(5-4,),则％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

因为山伍-甸，所以研鼠砌=0,

所以片一4H=0即4+，-4x=0,故l=2,

故选：D.

2.已知向量1=(2,1),6=(1,0),c=a+tb^若1"=0,则，=()

A.—B.—1C.—2D.—

22

【答案】D

【解析】根据平面向量的数量积公式求解即可.

根据题意，c=a+/S=(2+/,l),若D=o,则2(2+f)+lxl=0,所以,=《.

故选：D

3.设£,B是向量，则“伍+研五6)=0"是"U或"="的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据向量数量积分析可知R+5>(G-6)=0等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

因为(万+另卜伍-可二^一启二。，可得『二石2,即同二恸，

可知M+B)卡")=o等价于\a\=忖，

若£=B或£=工，可得同=问，即伍+4,-5)=0,可知必要性成立；

若(1+孙俱―B)=o,即同=恸，无法得出£=B或£=_几

例如方=(1,0)1=(0,1),满足同二W，但7工办且7工工，可知充分性不成立：

综上所述，“伍+5),-6)=0”是“£=工或£=户的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知向量值=(-2,1),5=(1-2],则1在值上的投影向量为()

IZ/

A.(2,-1)B.卜盟C.卜MSD.(-2,1)

【答案】A

【解析】利用投影向量的公式鬻3计算出答案.

ab__3/、

向量B在万上的投影向量为.a-Z?=-2x-+lx(-2)=-3-2=-5,

同=,(-2)2+12=6则,口=1(-2,1)=(-2,1卜(一1)=(2,-1).

故选：A.

5.关于非零向量。，b,下列说法正询的是()

A.若问,回，则人5B.若同=同，则L

C.若五=5,则不/4D.若GHB，则万，5不是共线向量

【答案】C

【解析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可.

对于A,向量不能比较大小，故A错；

对于B,向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错：

对于C,若d=B，由向量相等的条件可得5//B，故C正确；

对于D,不相等的向量也可能是共线向量，故D错.

故选：C.

6.已知非零向量B在向量，上的投影向量为:7，且。=0,6),则不方=()

A.2B.1C.--D.-1

2

【答案】B

【解析】根据投影向量的定义即可得解.

111

由非零向量B在向量M上的投影向量为分•2可得:aba1_

同同4

即*=；，乂。=0,6),则同=，2+(5『=4,

所以万石=3同2=?X4=1.

44

故选：B

7.已知向量值二(1,-1),5=(〃?,2),若向量在向量5上的投影向量为2G,则〃?=()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【解析】由投影向量计算公式可得("小j代入题目数据可判断选项正误:

由题意知"•g=2。，又是+否=（1+加,1）,（a+b\a=l+m-\=m.

同同17

同二#二由=拒，则£Z=2Jn〃7=4.

故选：A

8.在出/8C中，/比1。=120。，。为边的中点，且力。=1,则2,48+4。的最大值为（）

A.3B.3GC.D.2V2T

3

【答案】C

【解析】通过向量关系建立等式，再结合已知条件转化为可求最值的形式，进而求得最大值.

——1——

因为。为8c中点，所以力。=5（48+/。），

两边平方可得而2=匕而,+2而充+衣）,

4

已知/ZMC=120。，AD=l,

则荔•就=1.I否85120。=]|凝||充，

所以1=；（|而I2在II衣1+1配f）,即4=1万『-1万||就|+|祀『,

设48=c,AC=bt则4=c?一儿+公,

令t=2c+b,贝i"）=/—2c,代入4=，-儿+。2可得：

4=c2-c(t-2c)+(t-2c)2=c2-ct+2c2+/2-4tc+4c2=lc2-5tc+r，

将其看作关于。的一元二次方程7£2-5h+/_4=0,

因为c存在，所以判别式—（F）?-4X7X（/_4R0,

即25"-28『+11220，-3r+lI2>0,3/4112，孚,解得「延I,

33

故24？+力。的最大值为如空.

3

故选：C.

9.已知向量的夹角为锐角，且满足,卜W=1,1=3+»,则向量£的模长可以为（）

?F）

A.—B.2C.272D.3

2

【答案】C

【解析】设向量的夹角为。，由己知可得7=5+4COS8,进而计算可求向量"的模长范围.

设向量工石的夹角为0,因为向量1]的夹角为锐角，所以0<cos0<l,

因为C=G+*,所以+=a^-4a-h+4h=5+4cos0G§，9),

所以年(6,3).

故选：C.

10.在平行四边形/5C。中，七为边4。上的动点，。为外接圆的圆心，2前=应+而，且忸斗二|次卜2,

则DO・DE的最大值为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】根据题意确定△力8。为直角三角形并求出线段。8的长，然后以次，丽为基底去计算加瓦的值即可.

由2万5=方+小5可知。为48的中点，又因为。为△力3。外接圆论圆心，

所以△45。为直角三角形，DA上DB,所以房•方方=0，

又因为|网=|而|=2所以|隆4所以05=2后,

又因为£为边3C上的动点，所以诟=2元Hw[0,l]

D6DE=-(DJ+DB)>(DB+BE)=-(DA+函•(丽+%就)

22

=1(5^+丽)・(丽-Z75A)=g(丽2-苏j=g(国2T研1

=1((273)2-42)=1(12-4A)=6-2Z,

因为240川，所以-2/1w[-2,0]即6-22e[4,6]

所以。O,OE的最大值为6.

故选：C

二、多选题

11.已知向量£=(加-1,1),3=(2,〃?)，则下列选项正确的有()

A.若，〃二一1,则|《=WD.若，〃一1,则£,各的夹角为60。

2

C.若all，则〃7=§D.若。，反共线，则加=2

【答案】AC

【解析】A选项，根据向量模的公式计算判断；B选项，利用向量夹角的坐标公式计算判断；C选项，根据向量垂直

列方程求解即可；D选项，根据向量共线列方程求解即可.

A选项，当机=-1时，5=(-2,1),5=(2,-1),同=逐=闻，故A正确；

B选项，当机=1时，5=(0,1),/)=(2,1),则cos(a,b)=丽=以石=丁=石，故B错误；

2

C选项，因为£_1_九所以小$=2（小-1）+朋=0,解得“=］,故C正确：

D选项，因为£［共线，所以（加-l）〃?=lx2,解得小=2或-1,故D错误.

故选：AC.

12.已知。为坐标原点，过抛物线。:/=2用（〃>。）焦点尸的直线与。交于两点，其中彳在第一象限，点M（p,O）,

若用=|4W|,则（）

A.直线48的斜率为2石B.|OB|=|OF\

C.\AB\>4\OF\D./04W+N。8M<180。

【答案】ACD

【解析】由|力日二|40|及抛物线方程求得力（当,当），再由斜率公式即可判断A选项：表示出直线/3的方程，联立

抛物线求得理），即可求出|。目判断B选项；由抛物线的定义求出|力却=答即可判断C选项；由a.砺<0,

砺.砺<0求得/力。4，为钝角即可判断D选项.

P

对于A,易得产（§0）,由I4曰=MM可得点A在月W的垂直平分线上，则A点横坐标为

224

瓜P

代入抛物线可得产=2〃¥=1〃2,则力（2,理），则直线的斜率为小一=2几，A正确；

42423p_£

42

对于B,由斜率为26可得直线48的方程为x=^y+金联立抛物线方程得/一专川-p2=0,

2

设8（再,必），则四0+必=渔〃，则乂=1学，代入抛物线得（-乎）=22.用，解得玉=小则畤，-季:

26

则如1©+］钓；警刈咤

,B错误：

对于c,由抛物线定义知：|四=芋+4+〃=普>2〃=4|。同，C正确；

43

对于D.江.丽・匕个）.（1勺I"|好（?13/<0,则力四为钝角，

4233/’32k5）4

又以.哈（—衿）.（—母（一当卜当卜殍卜一,<0,则4M8为钝角，

又/AOB+/AMB+ZOAM+NOBM=360,则Z.OAM+NOBM<180,D正确.

故选：ACD.

y

13.点P是半径为2的圆。内一定点，且|OP|=1,过点尸作圆。的两条互相垂直的弦力8,C。，则（）

A.可.而为定值B.方•历的取值范围是卜4,-2]

C.急・丽为定值D.四边形4C8O面积的最大值为4G

【答案】ABC

【解析】对于A,由相交弦定理可判断选项正误；对于B,由题可得力.痂=4cosN4O8，

然后由题可得cos/%。？范围，据此可判断选项正误；对于C,由题可得祝•丽=（正-力）•（而-而），然后由题及

选项A分析可判断选项正误；对于D,由题可得5=2，（4—[0町]（4-,然后由|OM『+|。。『=1结合基本不等式

可判断选项正误.

对于A,如图，作过P,。两点的直线：与圆。交于E,尸两点.

则由题知|。£|=|。日=2,又A,P,8三点共线，则由相交弦定理可得：

丽丽=-网僻卜-丹严卜-伽卜评|）@叶僧3,故A正确;

对于B,宓•丽=俘|•卢卜os4OB=4cos4O8,当4O,3三点共线，

即cos4O3=-l时，》.砺取最小值-4.如图，过。做力8垂线，垂足为。，

由垂径定理，可得乙4。8=2/4。。，

则方•丽=4cos（2N/OQ）=dReos?N40Q-1）,

\OQ\\OQ\I..

注意到8$/＜。。=窗=彳^5,当且仅当48与以。为圆心，|。日=1为半径的圆

相切时取等号，M2cos2ZAOQ-\<--^OAOB<-2.

综上，方•砺的取值范围是卜4-2],放B正确；

对于C,祝•丽=（正-万）回一而卜无.比-苏.而-南加■标两.

注意到万质二斤•方=0，则祝•丽二正•而+可屈，

又由A分析可得：斤・方=方.而=-3，则%•诙=-6，故C正确；

对于D,四边形4CBQ面积为S=；|五邳而如图过。作CO垂线，垂足为M,

由垂径定理可得|MC|二,3卜281,

则画=2,所_仅『，庐|=2Jpcf-pMj,

则S=2^,（4-pM|2）（4-^|2）,

注意到四边形PQOM为矩形，则lOMf+QQF=|op『=],

8MQ

则S=244To明（4_|OQ『）<2^（-|°NET=7，

当且仅当|OM『=|O0f=；时取等号.故D错误.

故选：ABC

14.已知同=2,忖=3,同=4,则下列选项正确的是（）

A.1+5+W的取值范围是[0,9]B.伍+讣必办的最大值为30

C.伍+力卜（』+苫）的最小值为一弓D.（）+6>（）+£）的最小值为一10

【答案】ABC

【解析】利用向量模的三角不等式|,+方+1国,|+仍|+用|（当且仅当久瓦1同向时时取等号）用该不等式求解卜+5+[|

的最大值，把1而首尾顺次连接构成封闭三角形时，|"5+日=0是最小值，利用向量数量积化简年+力）•（】十办分析

最值,利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值.

对于选项A：由向量模长的三角不等式+B+3区伍|+忸|+|1|=2+3+4=9,

当且仅当区了万同向时,取得最大值9；

当这三个向量当2首尾顺次连接构成封闭三角形时，M+5+E=0,模长为o,

由户长度为2,3,4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，

故,十5十^的取值范围是[0,9],故选项A正确.

对「选项B,

('+〃)•(1+c)=a2+a-c+a-b+b-c=4+Scos[a,c)+6cos^a,b^+\2cos^b,c^

当瓦瓦1同向时，cos〈,©=cos(G,5)=cos住5)=1,

仅+。)・(5+2)的最大值为4+8+6+12=30,B选项正确.

对于选项C,D,(a+b)(a+c)=a2+a-c+a^b+b-c=a2+a^c+b)+b-c,

设2=B+5，则上式为IGF+HI+BN①,

当G与2反向时，当2=2x冏cos冗=-2同

2.[=0+斗0+司=,I2+|c|2+2b-c=9+\6+2hc,

所以5Gbi二丝代入①式得面|"「-25阿-4昨17M-2)-21,

2II222

所以当口|=2时，取得最小值为一日，比时几万=-日，

_21

所以「水/石尸、_一爹-7,这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的.

Vv/o、U*V

3x48

故选：ABC

15.已知。为出ABC内部的一点，满足E+历+双苟,|国|=2|砺卜2,砺灰=0,则()

A.阿卜石B.cosz"AOB=—

5

C.网=2&D.AO=—AB+—AC

33

【答案】ACD

【解析】把次+砺+反=。变形得刃=-砺-双然后两边平方，再由平面向量数量积的运算律计算即可判断A：根

据数量积的运算律和定义计算即可判断B；根据向量的求模公式和数量积的定义计算即可判断C：杈据向量的线性运

算即可判断D.

由况+砺+反=0=刀=-砺-反，又瓯卜2网=2,砺灰=0,

所以网=卜砺-因+\pc\+2OB^OC=V4+T=V5,故A对;

由瓯(=(④-砺『=彷卜"[+而无=i+5+2两柄际408=4,

所以cos/AOB=-»故B错；

5

同=|丽-刀卜《回—两=J网2+|词：2方•丽

=《5+1-21词国COSNNOB=I6-2X>/5X1X-—,6+2=2\f2।故C对;

，而(赤-函+」(反-闪」方JOC-?历

333、,3、,333

=g(08+0C)-|OA=g(-0勾~^0A=-0A=4C,故D对；

故选：ACD

16.已知。为坐标原点，点尸(cosa,sina),0(cos⑶sin.),4。,1),则下列说法正确的是()

A.OPOQ=cos(a-J3)

B.若丽=遢，贝“所卜|丽|

C."0P和△”。。的面积之和的最大值为1

D.若/尸/。=:，则次•丽=|万『

【答案】ABD

【解析】根据向量的数量积的坐标运算及数量积运算可判断A；根据向量的定义及向量的模长公式可判断B；根据两

点间的距离公式、同角关系式、三角形面积公式计算可判断C；由P(cosa,sina)在单位圆上，结合题意分析可知当且

仅当与单位圆相切时，NU1O取最大值，此时恰为5,再由向量的数量积的坐标运算及模长运算可判断D.

4

对于A：由题意得，OPOQ=cosacos^4-sincrsin/?=cos(a-河，故A正确；

对于B：若而二函，则|7|=1,乂因为0(cos£,sin0,所以。(1,0)或。(0,1),

若0(1,0),则C(0,l),此时园=|可=&,

若。(0,1),则夕(1,0),此时阀|=|词=夜，故B正确;

对于C：|49|=«TT=6\

\OP\=x/sin«2+cos2a=[,\OQ\=Jsin斤+COS?0=1»

所以S.心+S/0=；|力。||0P忖必/0/>+；|<。||。2忖必力0。，

整理得争sin/4O尸+sinZAOQ)<争2=41，

所以△力。尸和△力。。的面积之和的最大值为0,故C错误;

对于D：若/尸力。=四，注意到尸(cosa,sina)在单位圆上，

4

当且仅当尸/I与单位圆相切时，NP4OE又最大值，此时恰为

故”。。为以。4为斜边的等腰直角三角形，

所以刀.而=&以曰=|衲2=],故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

17.已知向量万，B满足卜一+51+可=恢一可，则问=.

【答案】6

【解析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令°=6,结合数量积的运算律运算求解.

法一:因为B+*忸_4，即,+5)2=(窗一5)2,

则a+2a-b+b=4ci-4a-b+b»整理得。-2ab=Of

又因为归一闸=石，即倒-0=3,

则/一2a0+/=1=3，所以W=K.

法二：设c=q_/)，则卜卜百，。+方=c+»,加一方=2c+/?,

由题意可得：=(2c+b),则/+4c3+4屋=4c'+4c2+屋，

整理得：n，即W=N=道.

故答案为：\(3.

18.已知向量所=(3,-4),万=(—12,5),则玩•万+同=.

【答案】-43

【解析】利用平面向量数量积的坐标运算结合平面向量的模长公式可求得结果.

因为向量所=(3,-4),斤=(一12,5),

则和万+司=3x(—⑵+(-4)x5+J(—⑵2+5?=-36-20+13=-43.

故答案为：-43.

19.已知向量不=(一2,1),5=(1/),若G//5,贝-B)=.

【答案】昌7.5

2

【解析】由词出可解得X的值，即可写出坂的坐标，从而得到G-B的坐标，再由数量积的坐标形式即可得出答案.

由初出，可得-2工-1=0,解得x=-g

则E=(i,-加-5=C所以小(彳-5)=6+"|=弓

故答案为：蓝.

20.在用8c中，BC=1,ZJ=601,AD=^AB,CE=^CD,记布=G,*=方，用2B表示荏=

;若

脐=；施，则近•疗的最大值为

…4、1-113

【答案】[+Y7—

4224

【解析】空1：根据向量的线性运算，结合E为C。的中点进行求解；空2：用23表示出万，结合上一空答案，于是

荏."可由万万表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

诟+历=而

空I：因为E为。。的中点，则加+反=。，可得，

力E+F.C.—AC.

两式相加,可得到2荏=而+Z，

BP2AE=—tz+h,则力£=,4+‘右；

242

一1一一一[ZF+FC=^C

空2：因为5尸=彳8。，贝1」2尸B+FC=G，可得《——一

3AF+FB=AB

得至ij/+京+2("+而卜元+2%豆,

___一2_1一

即3彳/7=2〃+坂,即力尸

JJ

于是乐."=(%+利停+别《国+24

记AB=x,AC=y,

则AE-AF=-^^2a+5ab+2bj=(2x2+5xycos60+2y2卜:+^^A,Vi2y2

在cfe/Z?。中，根据余弦定理：I3C2-.v2+y2-2xycos60,-x2+y2-xy-\,

于是万通=\

由x?+y'-xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=\>2xy-xy=xy,

故个小，当且仅当x=y=l取得等号,

13

则x=y=l时，万.力/有最大值土.

24

I-।-|3

故答案为：—«+—/?；—.

4224

c

21.已知正方形46CO的边长为1,DE=2EC,^BE=ABA+pJc,其中4〃为实数，则2+〃=；设厂是线段8E

上的动点，G为线段的中点，则万•丽的最小值为.

45

【答案】?-国

【解析】解法一：以｛或，元｝为基底向量，根据向最的线性运算求丽，即可得4+〃，设扰左康，求疣虎,结

合数量积的运算律求而•丽的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求屁，即可得％+〃，设

F（a-3a）,ae-1,0,求游诧,结合数量积的坐标运算求万.丽的最小值.

不千'不早不不*'不串'早日

1------|-,****♦*****1*•***Ho

解法一：因为。£=一。£,即。£=一加，则BE=BC+CE=—84+BC,

233

i4

可得丸=二,〃=1,所以％+〃=；：

J3

由题意可知：而卜网=1同面=0,

因为广为线段“上的动点，设瓦』初二夫而+诙入［0,1］,

则万=而+而=行+/屁=（3—/函+/,

乂因为G为"'中点，则的=刀+前=一芯+；万=；（；左一1］加一（；％—1）比，

可得亦•方5=（；〃_|）而+4前苴$_/而+(?_/同

又因为丘［0』，可知：当k=l时，万•丽取到最小值

1O

解法二：以8为坐标原点建立平面自角坐标系,如图所示.

则力(—i,o)]((),o),c(o,i),o(-i,i),《q,i

可得丽=（7,0）,近二（0,1）,诟=鸟,1）,

因为豆豆=/1项+4胚=（一九4）,贝小一="3,所以％+〃=：；

力=1

因为点尸在线段4E：y=-3x,xe-1,0上，设产（q,-3a）,qw-；,0,

JJ

且G为力打中点，则G（jF■，-1,

1N乙）

可得万=（“+l,_3a）,丽=（等,一|。_1）,

MJF-D5=6；）+（—%）（一方-+$-Q

且-1，0，所以当时，万•方d取到最小值为二；

3J31o

故答案为：:4；­5.

31o

22.若1=（44）,B=（3,5）,且5与日的夹角为锐角，则2的取值范围是.

【答案】（号,§D（5,+8）

【解析】由题设条件，可得:U+20>0且52-12^0,解之即得.

口ab32+20

设,为"与丐的夹角,则8"=丽=〃"6.衍

因为。为锐角，所以一34+口20〉八。，解得2>-2与0，且见工12?，

5X—12工U35

所以见的取值范围是（喘20着12）5?1,2+8）.

201212

故答案为:（-y,y）U（y,+oo）.

23.已知直线"+y+l=0与圆C：x2+y2-2y-3=0交于力，8两点，且君.祀=6，则太=.

【答案】±73

【解析】根据圆与直线相交的几何性质结合向量数量积的几何意义求解相交弦长|月却，再根据直线与圆相交弦长公式

列方程求解左的值即可.

取中点力，连接C。,

因为点。为4?中点，所以

所以|4即二2百或|阳=