难点7 立体几何的组合题问题【练】-2025-2026学年期中重难点复习【含答案】

难点7立体几何的组合题问题【练】

试试身手

基础关5题f期中重点难点•4r

1.如图,在直角坐标平面内,已知力以P轴为旋转轴,将△/出。

（25-26高三上•黑龙江・月考）

2.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体

现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为4的正方体截去八个

••样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（）

3.等腰梯形力8CO如图所示，AB=2,CD=S,圆。为梯形力8c。的内切圆，并与nB,CD

分别切于点M，N,与力D,BC分别切于点E,尸,则图中阴影部分以"N所在直线为轴旋转一

周所形成的几何体的体积为（）

527

cVcD.12n

试卷第1页，共4页

4.已知圆锥S。的母线长为2遥，侧面展开图的圆心角为拽则该圆锥外接球的表面积

3

为（）

A.12&4B.24兀C.36万D.48乃

（25-26高三匕江西景德镇•期末）

5.已知正三棱台的高为3,上、下底面边长分别为3G和6石，其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为（）

A.180兀B.168兀C.1567cD.144兀

能力关5题+-------------期中重点难点-------------+能力晋级

J---------------U1-------------11

6.如图，在六面体力8。。-44GA中，平面力seo〃平面48c〃，四边形48co与四边

形44Gq是两个全等的矩形，AD〃A、D\,4[_L平面AB=B.C,=6,

8c=44=10,44=6,则六面体48CQ-48cB的体积为（）

A.288B.376C.448D.600

（24-25高一下•四川成都•期末）

7.如图，在棱长为3+6的正方体内恰好装入两个相外切的球«，。2,球心。，。2在正

方体的对角线上，其中球o?的半径为2,则球a的半径为（）

（25-26高二上•天津西青月考）

试卷第2页，共4页

8.如图，在直角梯形中，AB=3CD,4c=4,2力8C=30。.若梯形/14C。绕幺。所

在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（）

D_C

A

A.38兀B.48兀C.128兀D.2087r

9.已知正方休力AC。-彳圈CR的棱长为3,以顶点/为球心，J淳为半径作一个球，则该

球球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（）

B.2后D.6兀

10.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐48C悬空挂在发

酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为「若忽略三角形豆腐力8c的厚度，设

=3,8C=4,"=5,点p在MBC内部.假设对于任意点尸，满足PQ41的点。都在r内,

且对于丁内任意一点。，都存在点产，满足则丁的体积为（）

A.12+7兀C.14+7兀

素养关2题期中重点难点-成功闯关

（25-26高三上•福建度门•月考）

11.如图，梯形48CO中，AB//CD,ABA.AD,RAB=AD=\,CD=2.现选择梯形的某一

边为轴旋转一周得到一儿何体，以下选项可能是该几何体的体积的是（）

AD

57r7727兀

T~6~T

12.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰18。，△C8。，&FEO,AOEO拼成，

其中线段力。，CF,“的中点均为点O,4O=JJ8O=2VJ.若将该平面图形绕着直线。

旋转半周所围成的几何体记为a,将该平面图形绕着直线b旋转半周所围成的几何体记为

试卷第3页，共4页

直线直线儿则（）

B.Q的体积为4冗

C.经过两次旋转后，点,4所有的运动轨迹总长为47r

D.Q的表面积为（12+46卜

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】根据给定条件，利用圆柱、圆锥的表面积公式计算即司;

【详解】依题意，4B=3,BC=4,AB1BC,AC=5,

该旋转体是底面圆半径为3,高为4的圆柱挖去底面半径为3,高为4的圆锥，

其表面积S=7tx3'+2TIX3X4+7tx3x5=48兀.

故选：D

2.A

【分析】先计算正方体体积公式，再计算一个四面体体积，最后用正方体体积减去八个一样

的四面体体积，即可得该二十四等边体的体积.

【详解JV正方体=4x4x4=64,

口11…八4

/q血体=4乂5乂2*2乂2=1，

展七方体一环面体=64-?8=?，

故选：A

3.C

【分析】根据题意可知阴影部分旋转形成的几何体是以力8,CQ分别为上下底面直径的圆台

再挖去圆台的内切球剩余的部分，分别计算出圆台和球的体枳即可得出结果.

【详解】梯形ABCD以MN所在直线为轴旋转一周形成以/"=2,8=8分别为上下底面直

径的圆台，

该圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,

由圆。与梯形力8CQ相切可得40=1+4=5,圆台的高1=J5?_(4_1)2=4,

则圆台的体积匕=；x4x7rx(12+42+lx4)=287T.

圆。以BN所在直线为轴旋转一周形成球,得球。的半径R=百=g=2.

则球。的体积为"F•二浮.

故图中阴影部分以，MV所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为28兀-半=半.

故选：C

4.C

【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆维底面半径〃=24，在出△力。8中,

答案第1页，共9页

利用勾股定理可构造关于员I锥外接球半径R的方程，解方程求得〃，根据球的表面积公式即

可求得结果.

【详解】设圆锥SO的底面半径为小由题意得：黑=2"，解得：尸=2上.

如图，S/是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心8在SO上，连接。4,AB,

设圆锥的外接球的半径为R，则/A=S5=H,

则OS=>ISA2-OA2=J(2时一°可=724-8=4,

AB2=OA2+(OS-SB)2,即解=(2&『+(4-尺『，解得：火=3,

••・圆锥的外接球的表面积为4TX32=36乃.

故选：C.

5.A

【分析】先通过构造直角三角形等方法来求出球的半径，再根据球的表面积公式求解.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小后,即4=3,弓=6,

设球心到上下底面的距离分别为4，球的半径为八，

即-36=3,即」火2-9=3+〃2-36，

平方可得：JR2-36=3,解得肥=45;

所以球的表面积为5=47cA2=18071.

故选：A.

答案第2页，共9页

6.B

【分析】先根据题意把六面体力8CO-4AGR可以看成长方体的一部分；再结合柱体体积

和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解.

【详解】在长方体力与GO-4及G4中，4B1=AD=IQ,44=6.

根据题意可知：六面体48CO-4用GR可以看成长方体力层。2。-44。3。2的一部分.

因为长方体力46。-4〃£2的体积展工长3中4|=10x10x6=600；

直三棱柱BB\B2-CGG的体积匕=邑明为XWcI=；X(10-6)X6X10=120；

直三棱柱GGG—OQA的体枳％=S"£Gx|Z)G|=；x(10-6)x6x10=120；

三棱锥C—C£G的体积匕=；XS.C£GX|CC2|二；X；X(10_6)X6X(10_6)=16,

所以六面体/GA的体积上一匕-匕+K=600-120-120+16=376.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查不规则几何体体积的求法，涉及柱体和锥体体积公式.

解题关键在于不规则几何体借助于规则几何体去求解即可.

7.A

【分析】作出对角线4c及球心«,。2所在的截面，建立对角线4。与两个球的半径的等

答案第3页，共9页

量关系式即可求解.

【详解】

设正方体为4球Q,。2的半径分别为彳，G，

作出对角线4c及球心a，o?所在的截面，如图所示，

・•,正方体的棱长为3+JJ,，3(3+JJ『=3+36,

在直角△4C4中，sinZJO1=^=^^=—,

4c3+3V33

/.sinZ.ACA.-—^―=二一，sinZ.ACA,-,

1

'CO2COJAR'

,9=25"°=方=/

A{C=+q+G+C02,

.•.3+3石=V§7：+4+2+2.6，解得q=L

故选：A.

8.D

【分析】根据题中条件，先求出各个边长，由题意，旋转后的几何体为圆台，取其轴截面,

设外接球球心为O，分别讨论O在线段X。上和在延长线上两种情况，根据勾股定理,

列出方程组，化简计算，求出炉，代入面积公式，即可得答案.

【详解】过C作CE/川9,交.AB于E,

则CE=Z?Csin300=2、BE=2?Ccos30°=2百，

因为48=38,且四边形力QCE为矩形，

所以4E=OC=6，即月8=3。.

答案第4页，共9页

由题意得，梯形力4。。绕月。所在直线旋转一周得到的几何体为圆台，取圆台的轴截面,

如图所示，设外接球球心为0,半径为火，OA=h,

当。在线段力。上时，则。0=2-/】，

R2=OA2+AB2R2=h2+27

由勾股定理得

R&=OD'+CD，朋=(2-〃f+3

整理得"5=0,即/?=-5,不成立，故。不在线段上;

当球心。在。4的延长线上时，则。。=2+〃，如图:

所以［R2=OQ、CQ2'口方=(2+〃)。3

解得人=5,所以收=25+27=52,

所以该圆台外接球的表面枳为47rA2=208限

故选：D

9.D

【分析】根据题设条件求出截面圆的半径和弧所对的圆心角的弧度数后可求曲线的长.

【详解】

因为正方体的棱长为3,故正方体的体对角线长为3人〈及1，

故球仅与3个侧面有截线(如图所示),

设与侧面9G。的截线为g,连接狼/户,DE,DF,

答案第5页，共9页

则AE=AF=际,DE=DF,

因△49E为直角三角形，故。E=j21-9=25

因△QQE为直角三角形，故g=瓦互=6

故tan/ROE二立，而NDQE为锐角，故卬DE=j

36

同理/尸。。=5,故NEDF=g故房的长度为2Gx三=叵，

6663

由对称性可得另外两段弧长也为叵，

3

故球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长6兀，

故选：D.

10.B

【分析】由题意可知：T是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆

柱、球和棱柱的体枳公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果.

【详解】空间中，7在垂直于平面48c的角度看，如下图所示：

其中：BCDF,力CE/和H8G”区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；

CDE,BFG,力川区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为C1"；

ABC区域内的几何体是高为2的直三棱柱.

因为四边形BCDF和ACE1为矩形，则4DCB=ZECA=y,

可得NOCE=2兀一兀一//。8=兀一//CB,

同理可得：ZFBG=it-ZABC,ZHAI=n-ZCAB,

所以NQCE+NqG+N，”=3兀一（//。8+/力8。+/。/夕）=3兀-兀=2兀，

可得CQE,BFG,加〃区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，

答案第6页，共9页

4,4

则CQE,BFG,力/〃区域内的几何体的体积之和匕=§7TX13=5兀；

又因为8CQF,4CE/和区域内的几何体的体积之和匕=3"/、(3+4+5)=6花；

"C区域内的直三棱柱体积匕=gx3x4x2=12,

4T)

所以7的体积为针+6n+12=12+丁儿

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查立体几何中的体积问题，解题关键是能够根据7的形状，进而

由对应几何体的体积公式求得结果.

11.ABD

【分析】分别以力。、AB.BC、QC为轴旋转，判断几何体的构成，结合圆锥、圆柱、圆

台的体积公式求几何体体积即可.

【详解】以力。为旋转轴旋转，如卜图：

几何体为上底半径为1,下底半径为2,高为1的圆台,

17

所以体积〃=?以(兀+2兀+4兀)=鼻兀，故D正确；

JJ

以44为旋转轴旋转，如K图：

几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1,高为1的圆锥,

所以体积厂=2兀一;乂以兀=(兀，故A正确；

以8C为旋转轴旋转，如二图：

答案第7页，共9页

几何体为一个底面半径、高为血的大圆锥加上一个上下底半径分别为岑、0,

高为”的圆台再去掉一个底面半径、高为”的小圆锥组成，

22

所以体积P=gxV^x2兀+；x^^x,+J,x2n+2）一;，兀;

以。。为旋转轴旋转，如下图:

儿何体为一个底面半径、高为1的圆柱和一个底面半径'高为1的圆锥组成,

।4

所以体积J/=7TX12xl+5X7CX12xl=§兀，故B正确.

故选：ABD

12.ABD

【分析】该平面图形绕着直线。旋转半周所围成的几何体为2个圆台挖去2个圆锥，根据圆

台和圆锥的体积公式计算可判断A；该平面图形绕着直线力旋转半周所围成的几何体为2个

大圆锥挖去2个小圆锥，根据圆锥的侧面积、体积公式可判断BD；该平面图形绕着直线。

旋转半周，点力的运动轨迹为半径为3的半圆，该平面组形绕着直线6旋转半周，点力的

运动轨迹为半径为白的半圆，根据圆面积公式可判断C；

【详解】如图，过点力作直线。的垂线，垂足为〃，过点力作直线6