高一预习（人教A版）高中数学必修一《诱导公式》知识点总结练习（解析版）

第21讲诱导公式

【人教A版2019】

■内居航

一模块一：诱导公式

L题型1诱导公式二、三、四的应用

L题型2诱导公式五、六的应用

L题型3三角函数的化简、求值——诱导公式

J题型4三角函数恒等式的证明——诱导公式

J题型5诱导公式在三角形中的应用

I题型6诱导公式与其他知识综合

思维导图

公式一二三四口诀：函数名不变，符号看象限;

公式五六七八口诀：函数名改变，符号看象限

诱导公式_今式一、公式二、公式三、公式四、公式五、公

式六

诱

(l)、in(〃z+〃)=(一I)"sina(nGZ).

导(2)cos+a)=(-I)cos«(«GZ).

公诱导公式-(3)sin-«)=(-1)'sinrx(M^Z).

.■,■;__'■_____

(4)cos(//^—«)=(-I)ccs〃(〃£Z).

式J一组重要公式

⑴求值：负化正，大化小，化到锐角为终了

诱导公式的两.

⑵化简：统一角，统一名，同角名少为终了

个应用

诱导公式

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》知识梳理

1.诱导公式

(1)诱导公式

公式—二三四五六七八

l+a33

角2kn+a(女£Z)乃+a-an-a2-aQ冗+a尹一a

正弦sina-sina-sinasinacosacosa-cosa-cosa

余弦COSQ-cosacosa-COSQsina-sinasina-sina

正切tanatana-tana-tanacota-cota-cotacota

余切cotacota-cota-cotatana-tana-tanatana

口诀函数名丕变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.

(2)诱导公式的作用

诱导公式作用

公式一将任意角转化为0〜2兀的角求值

公式二将。〜2江的角转化为0~九的角求值

公式三将负角转化为正角求值

公式四将5〜江的角转化为0〜］的角求值

公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

2.一组重要公式

(1)sin(〃兀十a)=(-I)"sina(〃UZ).

①当〃=2k(%£Z)时，由诱导公式有sin(2而+a)=sina=(T)*sina(女£Z).

②当n=2k+\(kwZ)时,由诱导公式有sin[(2k+1)+a]=sin(2ATT+乃+a)=sin(兀+a)=-sina

=(-l)2*+,-sina(ArGZ).

(2)cos兀+a)=(—1)"cosa(n£Z).

①当〃=2A(%£Z)时，由诱导公式有cos(2%7r+a)=cosa=(T)"cosa(A£Z).

②当n=2k+1(k£Z)时，由诱导公式有cos[(2左+1)乃+a]=cos(2kn+江+a)=cos(乃+a)=-cosa

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=(-l)2*+'-cosa伏£Z).

类似地，有：

(3)sin(nn—a)=(-1)w-1sina{nZ).

(4)cos57r-«)=(-l)z,cosa(n£Z).

3.诱导公式的两个应用

⑴求值:负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2曲置：统一角，统一名，同角名少为终了.

啕题型归纳

【题型1诱导公式二、三、四的应用】

【例1】(24-25高一上•广东江门•阶段练习)已知cos(53；a)=g则8$(127。+戊)=()

A.B.等C.1D.

【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式化筒即得.

[解答过程】由cos(53°-a)=|,得cos(1270+a)=cos[180°-(53。-a)]=-cos(53°一a)=-"

故选：D.

【变式1.1](24-25高一上•浙江湖州•期末)tan(—2040。)=()

A.yB.-yC.-V3D.V3

(解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即.

【解答过程】tan(-2040°)=tan(-12x180°+120°)=tan(180°-60°)=-tan60°=-V3.

故选：C.

【变式1.2](24-25高三上湖南常德•阶段练习)求值：sin300°+tan600°=()

A.£B.C.平D.-学

2222

【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.

【解答过程】sin300°+tan600°=sin(-60°+360°)+tan(60°+180°x3)

=sin(-60°)+tan60°=-sin600+tan60°=-y+V3=y,

故选:A.

【变式1.3](2025高二上•北京•学业考试)在下列各数中，与coslO。相等的是()

A.sin80°B.cos80°C.sinl70°D.cosl70°

【解题思路】由半角和全角诱导公式;逐项化简即可；

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【解答过程】对于A,sin80°=sin(90°-10°)=coslO%故A正确;

对于B,cos80°=cos(90°-10°)=sinl0°,故B错误:

对于C,sinl70°=sin(180°-10°)=sinlO°,故C错误;

对于D,cosl70°=cos(180°-10)=-coslO°,故D错误;

故选：A.

【题型2诱导公式五、六的应用】

LJ【例2】（24・25高一上•云南保山•阶段练习）若cos(a+沪I，MsinQ-a)=()

A.--B-IC一三

•5D-1

【解题思路】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果.

【解答过程】因为（a+J+(5-吗所以sin(Aa)=加卜(a+;)]=cos(a+如|1

故选：D.

【变式2.1]（24-25高一上•山东泰安•阶段练习）已知sin（工一3二-彳，则cos（詈+§=（）

.Vii

A---c--TD-T

【解题思路】利用三角函数的诱导公式即可求解.

【解答过程]cos+0=-cos+0=-sin[^~(^+f)]

./5na\V5

=-sin(---J=T

故选：D.

【变式2.2]（24-25高一上•江苏盐城•阶段练习）已知sin（a-m）=",则cosa）的值等于（）

「2V2D.手

A•后B-Ic•一亏

【解题思路】根据诱导公式化简求值.

【解答过程】因为"与日

所以cos一a)=cos

b(a-T)]=cos存+(。-T)]=-sin(a-T)=-1

故选：A.

【变式2.3]（24-25高一上・浙江宁波・期末）已知角。的终边过点（5,-12）,则30+0）=（）

A.—B.-AcD•弋

13-77

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【解题思路】根据三角函数定义得到sine=-蔡，由诱导公式得到答案.

【解答过程】由三角函数定义知，sinO=-12

V52+(-12)2

cos6+0)=一sin”意

故选：C.

【题型3三角函数的化简、求值——诱导公式】

【例3】(24-25高一上•江苏常州•阶段练习)计算：sin(-3n+^)-cos(y+^)+tan(7-;)=()

A.3B.1C.与D.T+l

222

【解题思路】利用诱导公式化简即可求值.

［解答过程］sin(-3IT+2)-COS(y+J)+tan得-§

/TT\/TTTT\/31TTT\

=sin(-4TT+TT+—j-cos(2n4--+—J+tan(2n+---J

.n,.n,-cos］1,依，T1+店

=_Sln_+sin_+4=__+_+^=_

42

故选：A.

【变式3.1](24-25高一上•江苏南京•阶段练习)计算sin(3IT-/一cos(T+：)+tan(g-§=()

A.V2+1B.1C.V2-1D.-V2+1

【解题思路】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.

【解答过程】原式=sin(n-彳)一cos(]+：)+tan管-=sin；+sin：+tan；=&+1.

故选:A.

【变式3.2](24-25高一上•全国•课后作业)化简COS2(180。+a)tan(-a+180°)—2sin(-1800+a)cos(—a).

【解题思路】根据诱导公式化简即“『求解.

【解答过程】原式=cos2a(-tana)-2(-sina)cosa

/sina\

=cosz7a------+2sinacosa

\cosa/

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=sinacosa.

sin(3n-a)cos(y+«)tan(5n-a)cos

【变式3.3]（24-25高一上•河南洛阳•阶段练习）(1)化间：一7n^~~7-----------1--------------;----;

sin^—+ajcos(2n-a)cos(6ir-a)

(2)已知sin(75。+a)=%求cos(a-15。)+sin(105。一a)的值.

【解题思路】（1）利用诱导公式运算求解即可;

(2)以75。+a为整体，结合诱导公式运算求解即可.

【解答过程】Q)原式=驷3+*吧=增一呼=o；

-cosacosacosaCOS'Qcos'a

(2)因为(75。+a)-(a-15。)=90。，(75。+a)+(105。-a)=180°,

所以cos(a-15°)+sin(105°—a)=cos[(75°+a)—90°]4-sin[180°—(75°+a)]

=2sin(750+a)=

【题型4三角函数恒等式的证明——诱导公式】

【例4】（24-25高一上•上海•课后作业）已知sin（a+0）=1,求证：tan（2a+夕）+tan。=0.

【解题思路】由已知可得。=2碗+]-/?（k£Z）,代入等式左边，再利用诱导公式推理即得.

【解答过程】由sin(a+/?)=l,得a+/?=2kn+](keZ),则a=2/aT+：—/?(keZ),

因此tan(2a+0)+tan/?=tan[2(2/cir+^—/?)+/?]4-tan/?

=tan(4Zcn+n—20+0)+tan/?=tan(4/cn+n-/?)+tan/?

=tan(ir—/?)4-tan/?=—tan/?+tan/?=0,

所以原等式成立.

【变式4.1](24-25高一上•全国•课后作业)证明：sin(2170-a)cos(a-127o)+cos2(1270-w)tan2(53o+

a)=1.

【解题思路】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立.

【解答过程】加(217。一。)=$皿180。+(37。-。)]=-sin(370-a)

cos(a—127°)=cos(127°—a)=-sin(37°—a),cos2(127°-a)=sin2(37°—a),

匕储⑸。+a)=sin2(53°+a)_siMW-(37°-*=cos2(37i)

cos2(530+a)cos2[900-(370-a)]sin2(370-a)'

故等式左边=sin2(37°—a)+cos2(37°—a)=1,等式成立.

[变式4.21(24-25高一•全国•课后作业)已知A、8、(:为△48c的三个内角，求证：sin《+习=cos(等-：).

【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出等=v，再结合诱导公式可证得原等式成立.

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【解答过程】证明：在△ABC中，.4+8+C=n,则等=为士

(B+Cfn-Aw\/TTAn\Fn(A,n\]

所以，cos-J=cos(—"J=C0SU-7-7)=C0S17-U+7)l

=而《+》

故原等式得证.

【变式4.3】（24-25高一.全国•课后作业）求证,当〃=2或3时,寻黑瑞髭细=黑.

【解题思路】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.

当〃_时左边

【解答过程】2=tan(2n-a)tan(2n+a)_-tancrtana_tan2a_sina

一"cos(4n-a)sin(5n+a)cosa(-sina)cosasinacos3a

左边」an(3n-a)tan(3n+a)_-tanatana_taMa_sina

当A=3时,

cos(6ir-a)sin(7n+a)cosa(-sina)cosasinacos3a

综上，k=2或k=3有原等式恒成立.

【题型5诱导公式在三角形中的应用】

【例5】（24.25高一上•全国•课后作业）已知在△A8C中,sin(n4-A)=-I，则cos(8+0=()

A•当D・1

B-4C.±y

【解题思路】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果.

【解答过程】由sin（7t+I）=-,可得sinA=$

易知cos(8+C)=COS(K-71)=-cosA

所以cos/4=±V1-sin2?l=±今所以cos(B+C)=±苧.

故选：C.

【变式5.1]（2025高一上•全国・专题练习）在△48C中，下列等式一定成立的是（）

A.sin(/l+B)=-sinCB.cos(/l+F)=cosC

cB+C.An.B+C.A

C.cos———sin-D.sin———sin-

2222

【解题思路】根据三角形中角之间的关系，结合诱导公式化简即可.

【解答过程】在△48C中，有A+8+C=TT,

sin(/l+B)=sinC.故A错误;

cos(A+8)=—cosC,故B错误;

cos等=cos(等)=Sinp故C正确;

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sin^=sin=cosp故D错误.

故选：c.

A+B-C.A—B+C

【变式5.2]（25-26高一上•全国•课后作业）已知角48,C为△ABC的三个内角，若sin---=sin---

22

则△ABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出8=。，从而判断三角形的形状.

A+B—C.A-B+C

【解答过程】因为sin-----------=sin------------,A+8+C=IT,

2

n-2C.it-2B

所以sin-----=sin-------

22

可得cosC=cosB,

又因为e(0,n),

所以8=C,^\AC=AB,所以△,4BC一定是等腰三角形.

故选：C.

【变式5.3]（24-25高一下•浙江•期中）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（）

A.sinA=sin(F4-6)B.cosB=-cos(/l4-C)

厂.AB+C

C.sin-=cos——D.cos-=-sin——

2222

【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为7T.逐个去分析即可选出答案.

【解答过程】由题意知，在△4BC中，A+B+C=TX,

对A选项，sin(C+=sin(n-/I)=sinA,故A选项正确;

对B选项，cos(zl+C)=COS(IT-B)=-cosB,故B选项正确;

对C选项，cos^X=cos与2=sin],故C选项正确；

对D选项，sin^=sin^^=cos1»故D选项不正确.

故选：D.

【题型6诱导公式与其他知识综合】

J【例6】（24-25高一上•全国•周测）已知角a终边上一点P（l,2）,则坐宅等2=（）

sinJ-sin（2n+a）

A.2B.-2C.0D.\

3

【解题思路】由三角函数的定义可得出tana的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.

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【解答过程】由题意，点P(l,2)为角Q终边上一点，由三角函数定义可得tana=2,

所以小(升a)-cos(n-a)=2cosa=2=_?

sin(1-a)-sin(2n+a)cosa-sina1-tana*

故选：B.

【变式6.1](2025•辽宁•三模)已知tana=g则吧3gh=()

2cos(-a)-sin(n-a)

A.-1B.1C.-3D.3

【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.

sin(a+沪。s(»_

【解答过程】cosa+sinal+tana二串3,

cos(-a)-sin(n-a)cosa-sina1-tana

故选：D.

【变式6.2]（24-25高一上•山东淄博・期末）已知角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P（2,3）.

⑴求sina,cosa的值;

_COSa)sing+a)-2sin(n+a)cos(-a)

⑵求一的值.

cos(1+a)sin(-n-a)

【解题思路】（1）由求出点丁二|0P|的值，结合三角函数定义可得;

（2）利用诱导公式化简可得.

【解答过程】（1）由题意知，因角a的终边与“轴的正半轴重合，且终边过点P（2,3）,

则点P到原点。的距离丁=\0P\=V224-32=V13,

m.i.y33mx22V13

cos(半一a)sin(与+a)-2sin(rr+a)cos(-a)cos(竽-a)sin(9a)+2sinacosa

(2)

cos(]+a)sin(-n-a)-sinasina

2VB

-sinacosa+2sinacosacosa~TT2

--------------------------==—*=.

-sinasina-------sina--------3vB3

13

【变式6.3]（24-25高一上•云南曲靖•阶段练习）已知a是第三象限角，且/。弋-6双升由_=;

sin（aItan（2n-a）sin（n4-a）L

⑴求tana的值;

(2)求sin2a+3sinacosa的值.

【解题思路】（1）借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可;

（2）构造齐次式，将弦化切，代入tana=或计算即可.

cos(n-a)cos(n+a)_(-cosa>(-cosa)_cosa_]_£

【解答过程】（1）由题意,

sin(^-a)tan(2n-a)sin(n+a)cosa(-tana)(-sina)tanasinatan2a2’

解得tan2a=2,又a是第三象限角,

•••tana=V2.

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(2)由(1),tana=V2»a是第三象限角，则cosa工0,

sin2a+3sinaccsa_tan2a+3tana_2+3或

sin2a+3sinacosa=

sin2a+cos2ctan2a+l3'

课后作业(19题)

一、单选题

I.(24・25高一上•安徽合肥•阶段练习)cos罕=()

«5

A11n代

A.----BD.—C.-----D.——

2222

【解题思路】根据诱导公式即可求解.

【解答过程】因为COS^I^=COS("4、：+2)71=cos(674n+.=COSy=-1.

故选：A.

2.(24-25高二上•浙江杭州•期末)若sin得一%)=I，且0V%V则sing+%)=()

A衣Q1

A-TJ3D.

［解题思路】根据》范围计算蓑-工范围,再结合sin管-%)的正负性，得出0<与一％v手则可计算cos管

幻，最后利用诱导公式化简sinQ+x)=sinb管一切即可.

【解答过程】则一曰<今一刀〈乃，

2838

又sin得一%)=：>0,则0V获一万<多，

故cos管7)=今

./n,\\n(3n\1Z3n\V5

即6+%)=sm卜一%一切=cos(--%)=T-

故选：A.

3.(24-25高一上•云南德宏•期末)sin20250的值是()

A.一9B.C.

222

【解题思路】根据诱导公式求值.

【解答过程】sin2025°=sin(5x360°+225°)=sin225°

=sin(180°+45°)=-sin450=-y.

第io页共15页

故选：A.

4.(24-25高一上•广东汕头•期末)cos330°+tan6000=()

A.WB.竽C."D.乎

2222

【解题思路】利用诱导公式化简即可求出.

【解答过程】cos330°+tan600°=cos(360°-30。)+tan(360°+180°+60。)

=cos(-3U“)+tan(18Uv+60v)

=cos300+tan60°

=，+遍=*

故选：D.

5.(24-25高一上•云南昭通•期末)sin停+a)=I，那么cosa=()

22八3卜3

AAD

-IB.-iC.--D,-

【解题思路】根据三角函数的诱导公式，可得答案.

【解答过程】因为sin得+a)=sin(2冗+,+Q)=sin售+a)=cosa=|,所以cosa=1.

故选：D.

6.(24-25高一上•浙江杭州•期末)已知sin停一%)=g,且0＜耳V贝!Jsin偿+%)=()

A.|B.—C.D.--

3333

【解题思路】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.

【解答过程】因为0V%＜；,所以一

由平方关系可得cosC-x)=Jl-sin2Q-=竽，

所以sinQ+x)=sin[|n-Q-x)]=cos6-%)=手

故选:B.

7.(24-25高一上•江苏镇江・期末)已知角。的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

产(-3,-4),则sin(6+9=()

A.B.C.|D.：

DD3

【解题思路】根据任意角的三角函数的定义求出cos。，再化简sin(。+乡可求得结果.

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【解答过程】由题意得cos。=3

V(-3)2+(-4)25,

所以sin(。+3=cos6=-

故选：B.

8.（24-25高一上•广西百色・期末）已知角a的终边过点（一5,12）,则当中与1=（）

sin^--aj+cos

177

A.-1B.1C.——D.—

【解题思路】由三角函数的定义求得tana,利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.

【解答过程】因为角a的终边过点（-5,12）,所以tana=—1

所以sin(-a)+cos(n-a)_-sina-cosa

sin(y-a)+cos管+a)cosa-sina

_-tana-1_-(_^)T_]_

1-tanai_(一豹17,

故选：D.

二、多选题

9.（24-25高一上•浙江温州•期末）已知sina=—g,贝ij（）

A.sin(n+a)=1B.sin(n—a)=1

C.sinQ+a)=^D.cos(«-j)="1

【解题思路】根据诱导公式逐项分析即可得解.

【解答过程】由诱导公式知，sin（T+a）=-sina=p故A正确；

sin（n-a）=sina=-故B错误：

sing+a）=cosa=±V1-sin2a=±J,故C错误；

cos——sina——故D正确.

故选：AD.

10.（24-25高一上•安徽亳州•期末）在△ABC中，下列关系成立的是（）

A.sin（7l+8）=sinCB.cos（/I+B）=cosC

Cc.t.an-A-+-B=tan-CcD.s.inA-+-8-=cos-C

2222

【解题思路】应用三角形内角关系结合诱导公式计算求解各个选项即可.

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【解答过程】由己知A+8=IT-C,所以sin(A+B)=sin(ir-C)=sinC,A正确：

cos(A+B)=COS(K-C)=~cosC,所以B错误；

nC+A+B./ITC\sin(下号cosj1

因为丁=5一弓，tan—=tan^4(=—^=—7，

s,ntan

乙乙乙乙\///COS^-2/22

sin=sin(7-7)=cos故C错误D正确.

故选：AD.

II.(24-25高一上・安徽合肥•期末)已知角。的始边为工轴的非负半轴，角a的终边与单位圆的交点为P(日,-

纨则()

A.tana=x/2B.sin(-a)=当

C.COS(TT-a)=-D.cos(a-5)=-当

【解题思路】根据三角函数的定义可得sina=-与,cosa=?,tana=-V2,即可结合诱导公式逐一求解.

【解答过程】由题意可知：sina=-y,cosa=y,tana=-V2,

故sin(-a)=-sina=日，COS(TT-a)=—cosa=——,cosfa-^=sina=——,故BCD正确，A错误，

•JJ\4/

故选:BCD.

三、填空题

12.(24-25高一上•云南玉溪•期末)已知sin(。一f=g则cos(8-?)='.

【解题思路】由8$(8-曰)=8$[(6-9一1，利用诱导公式求解.

【解答过程】cos("村)=cos[(0-5)-7]=cos9(。-况=sin("§=5.

故答案为：

13.(24-25高一上•山西大同•期末)tanl(T+tanl7(r+sinl866。-sin(-606。)=0.

【解题思路】根据诱导公式化简计算即可.

【解答过程】原式=tanl0°+tan(180°-10°)+sin(5x3600+66。)-sin[(-2)x360°+114°]

=tanl0°-tan10°+sin66°-sin(180°—66°)=sin66°-sin66°=0.

故答案为：0.

14.(24-25高一上・江苏•期末)已知sin(%+?)=3则sin(g-x)+siMg-X)=_今_.

33362

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【解题思路】利用诱导公式及同角公式计算得解.

【解答过程】由sin(x+^)=g得sin(y-x)+sin2(^-x)=sin[n-(^+x)]+sin2[^-(g+%)]

=sin(^+x)+cos2(^+x)=sin(j+x)+1-sin2(j+x)=g+l

故答案为:p

四、解答题

15.(24-25高一上•全国•课后作业)化简sin(1-a)cos(£+a)+sin(TT-a)sin(T+a),

【解题思路】利用诱导公式进行化简求值.

[解答过程】sing-a)=cosa,cos(y+=cosQ+a)=-sina,sin(n-