平面向量压轴60题12类考点专练（解析版）-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

平面向量精选【压轴60题12类考点】

（期中复习专项训练）

真题实战•百填通关

选填小压轴i解答压轴

题型1向量加减法则的几何应用:题型10用基底表示向量求算问题

题型2向量的线性运算几何应用j题型11向量与几何最值问题

题型3三角形的心的向量表示j题型12用向量解决夹角问题

题型4向量夹角的计算

题型5垂直关系的向量表示

题型6平面向量共线定理的考察

题型7由向量线性运算，解决最值和范围问题

题型8由向量共线，求参数

题型9向量坐标的线性运算解决几何问题

题型一向■加减法则的几何应用（共5小题）

1.在中，|而|=|元|=|荔+元则△4?C是（）三角形.

A.等腰B.等腰直角C.等腰或直角D.等边

【答案】D

【详解】因为|而|=|比|=|荔+前|=|衣卜

所以该三角形是等边三角形.

2.如图所示，已知。，E,尸分别是的边力8,BC,C4的中点，则下列等式中不正确的是（)

B,而+诙+而=0

D.DA+DE=~FD

【答窠】D

1/60

【分析】根据向量加法的运算法则逐项判断即可.

【详解】因为。，E,b分别是的边力8,BC,C4的口点，所以DE〃4C,QE=g力。，即QE

//AF,且=4尸.

所以四边形力。E/是平行四边形

由句量加法的三角形法则可得，所+汤=的，而+饼+而=6；

由句量加法的平行四边形法则可得，DE+DA=DF=EC痔+瓦=而。亦.

所以A,B,C正确；D错误.

故选：D.

3.如图，在正六边形力8COEF中，7C=（）

AB-2AFC.2AB+2AFD.~AB+2AF

【答案】A

【分析】连接力。、BE、C尸交于点O,分析可知元=2万，再利用平面向量加法的三角形法则可得答

案.

【详解】连接彳。、BE、3交于点0,如下图所示:

由正六边形的几何性质可知△。力8、△08。、△08、QDE、AOEF、A0£4均为等边三角形,

因为OF=AF=AB=OB,故四边形力A。/7为菱形,

同理可知，四边形力BC。也为菱形，所以的=1月=。心，故定=27瓦

^&AC=~AF+FC=~AF+2'AB，

故选:A.

4.已知点。是△48C内部一点，并且满足两+2丽+历=0，△/。。的面积为£,EOC的面积为邑,

2/60

A.2B.3C.—D.y

【答案】A

【分析】利用&+2&+况=0，确定点。的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.

【详解】因为&十2办十=

^^OA+OC=-2OB=2BO.

所以丽=；（刃+反）

取4C的中点。.则，OD=1(OA+OC).

,30=00^即0为中线8。的中点，如图所示,

则△IOC的面积为S1,EOC的面积为$2,

，

\.WC=2SaCOD•1S&COD=S&AOC=2sA80c•

所以卷=2.

J,

故选：A

5.如图，O.Z//4B,点p在由射线OM、线段08及力5的延长线围成的区域（含边界）运动，且

3

【答案】4/1.5

2

【分析】利用向量加法的几何意义直接求解.

【详解】由题意：0M"/出.点尸在由射线。“、线段08及48的延长线围成的区域（含边界）运动，且

3/60

OP=-^OA+y^OB,由向量加法的平行四边形法则0尸为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB^OA

的反向延长线为两邻边.

c0%

当丽=-;次+），丽时，要使Q点落在指定区域内，即2点应落在线段。/?上（含端点。石）.

因为CD//OB，所以△OCQ~△力。氏

因为OC=；O/1,所以CQ=go〃.

所以以弓。9.

所以y的取值范围是.

所以），的最大值是g.

故答案为：

题型二向■的线性运算几何应用（共5小题）

6.在正方形力8c。中，尸是边CO上靠近。点的三等分点，连接8户交XC于点E,若

BE=mAB+nAC（m,〃eR）,则-〃的值为.

【分析】由题意知，8n三点共线，则诟=〃而，用前1和0表示出前，根据EC，三点共线，可

得到〃值，整理化简即可得到〃，和〃值，从而可得答案.

【详解】由题意知，瓦旦尸三点共线，户是边CO上靠近。点的三等分点，

则屁=〃旃=〃阿+泊卜灰+|曲，

4/60

253

又EC/三点共线则〃+5〃=》=i,即〃=1,

则南=（瑟+河=（胸一砌一］而=_而+（工，

38

所以m=-1,/?=-,^m-n=--.

7.已知。为△/4C内切圆的圆心，且2万+307+3玩=0，则下=_________.

AC

【答案】：/2:3

【分析】取8c的中点力，则。5=3。方+反），代入等式可证4。,。三点共线.设

。。=1,由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系.

【详解】如图，设4c的中点。，圆。与/4MC分别相切于点££,由。为8c的中点，知

OD=^OB+OC\

乂2次+3砺+3双=0，明以2次+6而=0，即而=3丽.则4，”三点共线.

因为O为△力8c的内切圆的圆心：所以/5=/C,0Q_L3C.

不妨设0。=1,则04=3,0石=0"=1.

在RtZXO力£中，AE=>l0A2-0E2=732-12=25/2.

FC/）|CD

由△O"SaCD4,知下二而，即2五=丁，解得CO=&，月.CE=C。,

ZAC=AE+CE=2>/2+V2=3>/2，所以~•

8.正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P,。,凡ST为顶点的多边形为正五

边形且"二苴二1,则（）

AT2

5/60

Pi

B、E

0

CD

A.BP-TS=^-RSB.CQ+TP=^-TS

22

c.ES-AP=^—DRD.AT+BQ=^—CR

【答案】AC

【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断.

【详解】在正五角星中，以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形，且"=五二1.

AT2

对于A,~BP-TS=TE-TS=~SE=^^-~RS,A正确；

2

对于B,^+TP=PA+TP=TA=^^-STB错误：

对于C,ES-AP=RC-QC=RQ=^^-DRC正确；

对于D,AT+BQ=SD+RD,^^-CR=RS=RD-SD^

若有+诙=当」瓦，则而=6，不合题意，D错误.

故选：AC

9.在ZU8C中，点b为线段4C上任一一点（不含端点），若丽=31丽+），阮,则2+'的最小值为（）

xy

A.IB.4C.9D.16

【答案】D

【分析】由题意得3x+y=l,月.x>0j>0,再利用基本不等式力”的妙用求解即可.

【详解】

由题意，在△力4C中，点尸为线段4c上任一点（不含端点），

6/60

若丽=3x丽+），册，则有x>0,y>0,

]^~AF-XAC，则BF=BA+AF=BA+-BA^=(\-A^BA-VXBC,

所以3x+y=l-4+4=1,

则+“(3x+),)=9+l+型+%10+2I型•左=16,

xy\xy)xy\xy

3y3xi3]

当且仅当一=一，即x=y=:时，等号成立，故一+一的最小值为16.

xy4xy

故选：D.

10.正五角星是一-个非常优美的凡何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以

P,Q,R,S,r为顶点的多边形为正五边形，且万=与1行，设无-9=义丽（/l€R）,则4=（：

AV5+1RV5—1「y/5+1口1—V5

2222

【答案】D

【分析】由平面向量的加减及线性运算即可求解.

【详解】由题意：ES=RCJAP=QC,

则丽-"二蓝-反=正+质:尬

因为万=与行，同样皿=与!声，

所以题=一_/=止!函=_@zl丽=匕好瓯

，5+1222

则有匕虫.

2

故选：D

题型三三角形的心的向・表示（共5小题）

11.下列命题为假命题的是（

7/60

A.两个具有共同终点的向量，•定是共线向量

B.若£与3同向，且则

c.人、〃为实数，若/1£=方石，则£与5共线

D.。是△48C所在平面上的任意一点，且满足丽=5+以而+就），/le（0,-Ko）,则直线片尸一定

通过△48。的重心

【答案】ABC

【分析】根据向量的有关性质判断A、B；特殊值4=4=0,即可判断C；取4c中点。，应田向量加减

的几何意义得到万=22而，即可判断D.

【详解】A,当两起点与终点不在同一直线上时，虽然终点相同，向量不共线，错，

B,两个向量不能比较大小,错,

c,当义=〃=。时，£与各可以为任意向量，满足冗£=,但3与5不一定共线，错，

D,如图所示，取8。中点O,OP=OA+2,（AB+AC）,即而一刀二%（而+元），

・•・9=2/1而，即/、P、。三点共线，故/P一定通过△力鸟。的重心，对.

12.已知点。是△力3C所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）

A.^OA+OB+OC=d^则。为△/AC的重心

B.若网=网=|因，则。为△48C的内心

C.若O为zMSC的重心，力。是6C边上的中线，^3AO=AD

D.若方+丽=万，则打欢二3沙。

【答案】AD

【分析】取8C的中点。，则痂+反=2。方，得20万=-5，即可判断A；若|刀卜|砺卜口斗，则O为

△48C的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意函=刍羽，则3；方=2而，即可判断C；取相

8/60

的中点£，则方+砺=2诋，得前=2诙，|喝=；|词，即可判断D.

【详解】取4c的中点。，连接。。，则玩=2/，

若方+而+1=6,则2历=衣，则。,4。三点共线，且2|西二|明,

则。为△48C的重心，故A正确；

若万i|=|砺卜|人卜则。为△力8C的外心，不一定是内心，故B错误；

若0为△N8C的重心，力。是8C边上的中线，则|祠=§|回，则3瓦=2而，故c错误:

取48的中点E,连接。£，则万i+而=2砺，

若方+丽=函，则1=2砺，则。。/三点共线，且胸层同，

则s△皿=；S—8C，故口正确・

故选：AD.

13.已知O,G分别为的外心和重心，N为平面内MB。一点，且满足丽=8+赤+反，则下列

说法正确的是（）

A.GA+GB+GC=O

B.N为△48C内心

C.OG=-GN

2

D.对于△ABC平面内任意一点P,总有方=g（莎+方+定）

【答案】ACD

【分析】根据二角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项

9/60

的正误.

【详解】A：由G为△48C的重心，则3而=’(五S+正)，-CG=-(CA+CB)y-BG=-(BA+BC),

222222

3一—一1一—————_

所以5(4G+CG+8G)=5(48+,4C+O+C8+84+8C)=0,即豆+而+沅=0,正确：

A

8C

B：ON-OA=OB+OC^>AN=OB+OC^由。为外心，所以(赤+反)_L沅，

即前1而，同理丽_L就,E_L而，故N为垂心，错误.

CtOG=OA+JG=OB+BG=OC+CG.所以痂=而+丽+反+75+超+M•

因为就+而+1=0，故砺=；(厉+砺+3)，而丽=方+赤+反，

所以。不二！0处=4。4+而)，即。不二;而，正确.

D：~PG=PA+JG=PB+BG=PC+CG，所以3所二百+万+无+而+瑟+且，

因为就+用+而=0，故而=，为+?至+无)，正确.

故选：ACD

14.已知点。，尸在△力4c所在平面内，满万+赤+反=6，囱=附=附|,则点。/依次是ZVlBC的

()

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

【答案】A

【分析】设中点为。，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，。在△力4c的中线CQ,

进而得。为△4?。的重心，根据题意得点P为ZUBC的外接圆圆心，进而可得答案.

【详解】解：设中点为£>,因为E+赤+反=0，

所以由+砺+方=2历+灰=6，即一2历=云，

因为谢，氏有公共点。，

所以，0,0,。三点共线，即。在△力AC的中线C。，

同理可得。在△48。的三条中线上，即为^力台。的重心：

10/60

因为闷=网=网

所以，点P为的外接圆圆心，即为△力8。的外心

综上，点。，尸依次是△力4。的重心，外心.

故选：A

15,已知力，B,C是平面上不共线的三点，。是△N8C的重心，动点P满足丽:丽+2反

31247

则点尸一定不是（）

A.44边中线的中点

B.43边中线的三等分点（非重心）

C.△力8c的重心

D.44边的中点

【答案】ACD

【分析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到历反，判断出尸的位置，对四个选项一一验

证，得到正确答案.

【详解】因为。是△然。的重心，所以况+砺+反=6，

所以丽中洛+；历+2可=；（［反+2反卜;反、

所以点P为。。的中点，即为力8边中线的三等分点（非重心）

故选：ACD

题型四向■夹角的计算（共5小题）

16.已知向量1为单位向量：（q-2g）JL,,则1,1的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】根据向量垂更列方程，由此求得cosH，进而确定正确答案.

e=e2

【详解】因为卜I-2电），刍,所以（q\\2cle2

11/60

=l-2cosepe2=0,cos^,^=—,

由于0。工［，1工180。，

所以£1=60。.

17.已知瓦B为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是()

A.忸+5卜1

B.(a+^)±(j-h)

C.若E=2G+B，则cos<3,，>=好

5

D.若cos<2,/>=；,则口-a的最小值为孝

【答案】BD

【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解.

【详解】由题意得G5=0,所以,+方［=伍+5)-=G2+2鼠5+户=同2+何2=］+1=2,

所以收+石卜故A错误；

由R+孙(万一5)=12_庐=同2_瓦=0,所以伍一/)),故B正确;

又不竟=不«21+6)=2/+必6=2同2=2,

所以同2=(22+盯=4a2+43•B+7=4同2+J,=5,所以\c\=>/5,

‘°济㈤=端=焉=竽，故C错误；

口一-d2-2ci-a+a2=一2同同cos(2,1)+同2=口『一口|+1=("卜;)+',

当@时，口一值卜当，所以口-a的最小值为当，故D正确.

18.已知同=4,|*3,且(2"研2"3町=61,求一与J的夹角。=.

【答案】y

【分析】先展开向量的数量积运算式，代入已知模长求出两向量的数量积，再利用向量夹角公式计算余弦

值，最后结合夹角的取值范围确定最终角度.

12/60

【详解】由（2"现2"35）=61,展开得4同2j.）-3回=61,

代入同=4帆=3,得4x16-4,3-3x9=61，

64-45^-27=61，即37—41.6=61，

解得。石=-6.

Aa-b-61

由颉"丽=而=一5,

X^e[O,n],故。=苧.

19.设点P在△48C所在平面内，且点G、〃、。、/分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列

结论正确的是（）

A.丽=；（可+而+码

B.若痂+3而+4沅=0,则cos4〃8=q

____________________1

C.若|。*=|。8|=|。。|=1且40/+3。8+20。=0，则。8。。二一了

4

一（AQ、

D.若4=2不一-+-=~-（AeR）,则MAC为等腰三角形

481cos8|/IC|cosC）

【答案】ABD

【分析】对A,取，“的中点。，根据重心的性质化简判断即云；对R,根据垂心的性质推导可得

17AHC~=TIA7TB=~HCHB再设7Z5•衣=7Z?•丽=77?•丽=工，根据3丽=一2立一4祝可得

1"卜1不，同理可得I而卜百，再根据向量的夹角公式求解即可：对c,化简可得

3OB+2OC=-4OAf再两边平方化简即可；对D,根据条件推导万•沅=0即可.

【详解】对A,取相的中点。，因为G是△力8。的重心，有2丽=而，

所以，2（PD-PG）=PG-PC,即2而+正=3所，

又因为苏+方=2而，所以⑸+A7+1=3的，故A正确；

对B,因为〃为△力8。的乖心，则7771^7）即而.正=0,

13/60

即屈.(比一筋)二加.沅一而屈=(),则包.阮=苏.丽,

同理，HA~HC=HCHB^所以互i城=用百»=麻而,

设而•沅=俞序=沅•卷=工，

因为2苏+3锯+4布=0，所以2锚二一4沅-3/，

即2而、-4近万-3麻屈=-7门则xvO，所以同

因为3麻=一2立一4瓦，所以3证2=-2HA~HB-4HCHB=-6x^

___.___.LIAwrrn

所以|麻卜则cos乙4HB=cos典丽)=

RR

x_V7

V7|j|---»故B正确;

--X•J-2x

2

对C,若|8R丽4(5^1=1.^465+305+205=6，贝万十2。己=一4(万，

两边同时平方可得：9OB~+4OC2+\2OBOC=\6OA2

所以13+12而灰=6即砺衣故C错误;

f・・・'•・一

一AHAC

对D,因为/为△48c的内心，AI=A\---------F=：--------UeR),

ABIcos5ACcosC

ABAC

故4〃C=2BC=A

而「os4|^c|cosC

=2(-|5C|+|5C|)=0,即前,前,

故点/的轨迹为垂直于8C的直线，乂力/平分乙%C,因此4是8C的中垂线,

△48。是以8。为底边的等腰三角形，故D正确.

20,设向量G、B满足同=1,忖=2,且/、B的夹角为60。，若向量G-2B与向量应+B的夹角为钝角,

则实数/的取值范围是

【答案】口卜;，+0°

【详解】向量，、B满足同=1,|q=2,且G、B的夹角为60。,

故鼠B=H|・Wcos60o=lx2xg=l.

因为向最方-2石与向最疝十」的夹角为钝角,

14/60

所以（,-2孙（而+B）<o且向量与向量疝+B不共线（反向），

所以1-21+1-2x22<0且1x1工-2x1,

解之得：/>-7且EW-g,

故实数t的取值范围为卜7,+8）.

题型五垂直关系的向量表示（共5小题）

21,已知正三角形4AC的边长为2,设施=2%BC=b,则下列结论正确的是（）

A.卜+可=1B.albC.（4a+B）_lBD.标=一1

【答案】CD

【分析】由题意知同=1，W=2,[与5的夹角是120°,可判断B：利用向量数量积的公式可判断D：利

用模长公式可判断A：证明（41+5）3=0可判断C.

【详解】由题意知同=1，W=2,£与5的夹角是120。，故B错误；

^=|a||^|cosl20o=lx2x[-|l=-l,故D正确；

伍+6）2=12+户+2万石=1+4+2«—1）=3,

所以故A错误；

（4a+b）b=4ab+b2=4x（-l）+4=0,

所以（41+B）J_B,故C正确.

22.已知同=2石，R|=6,且（2"B）_L（M—3与，则方与B的夹角为

【答案】y

【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得.

【详解】（2G+B）（G-3B）=2同2一51万一3%『=2x仅括了一5济石一3x（追了=0,

15/60

则用=5,则。£咽=筋=乖焉《，故〈咽g

23.关于向量,万忑，下列命题正确的是（）

A.\a-b\>a-bB.存在向量用氏1，使得R石上=可儿丹

C.印/D.若小6=0,则同=0或|同=（）

【答案】AB

【分析】根据向量及其数量积的性质判断即可.

【详解】对『A,向最的数量积，石是实数，根据绝对值的基本性质：对任意实数X,都有|x,x,因此

网”5恒成立，故A正确；

对于B,该命题是存在向量满足等式，若取1=0，

任意瓦-左边（6瑛=0,右边00到=°，等式成立，

因比存在满足条件的向量，故B王确；

对于C,对■不等式两边平方得：卜+可2=户+2不B,

\a-b^=a2+b2-2a-b,原不等式等价于々石20,不是恒成立.故C错误；

对于D,两个非零向量垂直时，点积也为0.

若1=（1,0）石=（0,1）,满足不方=0,但同=W=1,不满足题意，故D错误.

24.给出下列命题，不正确的有（）

A.伍句/-伍I仍不与干垂直B.若。为非零向量，则三与。同向

7Ia\

C.若万〃E，b//c^则不〃5D.已知4,〃为实数，若%=而,则G与5共线

【答案】ACD

【分析】根据平面向量的垂直、单位向量、向量平行及向量数乘的基本性质，逐项进行判断即可.

【详解】对于选项A,[01”—@酬卜=（九中工一伍⑹如

所以（5句"（五]"与云垂直，故A错误；

16/60

对于选项B,对•「非零向量2,言是与万同向的单位向量,

因为单位向量的模长为1,且方向与原向量相同，所以言与,同向，故B正确；

对于选项C,当B=6时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量。和己，

都有。〃八月〃1,但此时。与।不一定平行，故C错误；

对于选项D,当几=〃=0时，无论。与B的方向如何，都有加=〃很=0,

但此时。与B不一定共线，故D错误.

综上所述，选项ACD都是错误的.

25,下列说法正确的是（）

A.a±b=>a-b=0

a-b

B.向量方在6方向上投影数量为时

c.数量积的几何意义为。的长度同与B在方方向上的投影数量|B|cos&5〉的乘积

D.在△/14C中，）瓦w<0，则的形状是钝角三角形

【答案】ACD

【分析】利用垂直关系的向量表示判断A：利用向量数量积的几何意义判断BC；利用平面向量数量积的

定义判断D.

【详解】对于AytzJLZ;=>a-b=0yA正确；

对于B,向量B在£方向上投影数量为|B|cos63〉二"，B错误；

对于C,数量积£石的几何意义等于£的长度|£|与6在［方向上的投影数量|5|cos&后的乘枳，C正确;

对于D,在△/IBC中，7BCB=（-BA）（-BC）=BABC=\BA\\JC\COSB<0,

则ccsAvO,而OVAVTT.<R<n,△力AC为钝角三角形，D正确.

题型六平面向・共线定理的考察（共5小题）

26.如图，设方=，工=>0,y>0）,线段。E与8C交于点八且丽二：z，通过计算得

一1一4—14

到：力尸==卜^+=X/。，则一十一的最小值为（）

55xy

17/60

A

E

D

169

Bc.D.

-IT5

【答案】C

【详解】由萧二：），下+而及点产,E共线，得1+?=1,

JJJJ

工八八、、

而因此mII；1r}4=<.1+p4xz(wy+4Mx)=s8+豆y+196x之？8一2.d不y・16豆x二不16

当且仅当三=等，即x="y=I时取等号，

5x5y82

所以的最小值为学.

xy5

———/、21

27,已知力、8、。三点共线（该直线不过原点0）,且。4=加％+2〃0。（〃?>0,〃>0,则一+一的最

mn

小值为.

【答案】8

【分析】根据共线定理的推论得加+2〃=1,然后利用常数代换法可得.

【详解】因为《、B、C三点共线，所以〃?+2〃=1,

5、i21(21\cc4〃/〃，cI4nm门

所以—F—=—I■—(/〃+2〃)=2+2+F—>4+2.--------=8,

mnIninJmnvmn

4Hm

-------

当且仅当〃7〃，即阳=不"=:时，等号成立，

m+2rn=1I24

所以42+上1的最小值为8.

mn

28.在△月6C中，点。在6c上，且函=2赤，过点O的直线分别交直线/也,4。丁不同的两点MN,若

AB=mAM，AC=nAN»〃？>0，〃>0，则()

A.2m+n=3B.4〃5+〃2的最小值为9

C.■!■+网的最小值为?D.」二+—工的最小值为三宜1

mn3m+2n+\8

【答案】ACD

----2—1—2-----1——

【详解】对于A,由函=2丽得，AO=-AB+-AC=-mAM+-nAN,

18/60

21

又〃,O,N共线，则*力+”=1,所以2〃?+〃=3,A正确；

对于B,由亨《聆手得，4〃1屋（2〃7）2g

当且仅当26=〃=31时取等号，即4,/+”2的最小值为9:，B错误；

2______

m+n

对于C，1a,3〃]~33,2〃3/〃2pi~3w8,

mnmn33/M〃3,3"?n3

当且仅当/=网，即〃=3帆=苫时取等号，

3mn5

所以—*■—的最小值为?，C正确；

mn3

对于D,由2机+〃=3得，2（/n+2）+（M+l）=8,

所以।J」「十卜2）（+1）]/3十〃+'2（〃7+

m+2〃+18【用+2〃+1户'''〃8[m+2〃+1

>13+2、户.迎辿3+20

8、机+2〃+18-

当且仅当二=2（，〃+2）,即〃[=6.4收，〃=8拒-9时取等号,

m+2/2+1

所以工+一1的最小值为三逑，D正确.

m+2/?+18

29.如图，在△/18C中，点。是8c的中点，过点。的直线分别交射线44,4C于不同的两点M,N.设

AB=mAM，AC=nAN»则卜列选项错误的是（）

A.加+〃=2B.mn<1C.m1+/?2>2D.—+—<1

mn

【答案】D

【分析】根据向量的共线定理可得〃?+〃=2,即可判断A,利用均值不等式判断BCD.

【详解】由图可知〃?>0,〃>0,

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因为芯=1而+:衣=坐而+，丽，且〃,O,N三点共线,

2222

所鸣4”即-2.选项A正确;

m+n

ninW=1,当且仅当m=〃=1时等号成立，B正确;

~2~

（mI2mn>（―十"）=2，当且仅当切=〃=1时等号成立，C正确；

'72

11，nmnm

(…仕+2+-+->2,当且仅当二二上，即w=〃=1时等号成立，D错误.

mn2Im"J2<m〃7mn

尸。过G点，AP=mAB，AQ=nAC,则,+'=()

30.如图所示，△力8c中G为重心,

mn

A.1B.2C.V2D.3

【答案】D

［详解］设荏=d,就=B,根据题意而=:2而=2177+；配）=；）+；月，

3322

因为万=〃?而，~AQ=nAC，只G,。三点共线，则存在4,使得夕0=2对，

11-)Ab

gp=即〃5—ma-A,-a+—b-ma-

[33J133

21

-m=---mA

3II

所以.，整理得3〃?〃=〃?+〃，所以一+一=3.

Xmn

n=—

3

题型七由向量线性运算.解决最值和范围问题（共5小题）

31.在△力。C中,AB=(2m,m+5)./(?=(cosa,sina),(wcR.〃uR),若对任意的实数，.

牌一就闫万-毛恒成立，则4C边的最小值是.

【答案】V19

【分析】设诟=/元，得至“而一次卜|砺以|万|恒成立，得出力CJL8C,根据题意，结合勾股定理,

得到忸q=,阿_®2,即可求解.

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【详解】设而=/7心，如图所示,

因为对任意的实数/,那有胸7狗＞\AB-园恒成立,

由AB-(AC\=\AB-AD\=\DB\>KN恒成立，则力C_L8C,

因为48=(2〃?,〃?+5),JC=(cosa,sina),所以|洞二应加+y+20,|^c|=1,所以

忸q-J研一|研一,5(〃?+1)2+20-13J20-1一炳,

当且仅当〃?=-1时，等号成立.

”=3,力。=4,A/、N分别为线段8C、CD上的点，且满足

则x+V的最小值为

【分析】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据％=x万W+y而得到6=二±,。=土也，根据

yx

志+备T得唬+/(*，％变换X+…?，计算金。得到答案.

【详解】由题意，易知不为0,建立如图所示坐标系，

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设点A/(3,a),N(b,4),0<<z<4,0<b<3,

JC=(3,4),加=(3,a),京=他4),

3=3x+W)

1C=xAM+yAN,(3,4)=x(3、〃)+y(44),即

4=xa+4y'

,3-3x4-4y

o=-------,a=-------,

yx

A22

i=]=i-]=]=iy

CM2~(4-a)2-T6(X+^-1)2，CN2~(3叫2-9(x+y-1)2

利—十-/=i，即±+《=(x+y-i)2,

攸[6(X+J，_1)29(x+y-l)210y

设X+)'=M,

当％MC三点共线时X+J=l,4。在直线MN的异侧，故〃”1,则x=m-几

贝IJ⑺()+y=(〃?一尸，即25/-18,町，+9"户-144(w;-I)3=0,

故A=(1故)2—4X25X(9m2-144(w-l)2)>0,即24m2-50m+25>0»

解得机或m(舍去)；

46

故答案为：:.

4

33.在直角梯形中，AB1.AD,AB//DC,AD=DC=l,48=2,动点尸在以点。为圆心，且与

直线相切的圆上移动，设万=2痛+〃前(A〃eR),则，最大值是.

【答案】4

【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出8。的方程，求出圆的方程，设出P(x,y),求出三个向量

的坐标，用尸的坐标表"则>2?=2・m,根据直线小尸质与(i)2+(z)w有交点，求

出范围.

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【详解】解.：以片为原点，分别以48,4。方向为X/轴，建立如图所示直角坐标系:

所以4(0,0),8(2,0),C(l,l),0(0,1),所以力=(0,1),茄=(2,0),

因为圆C与直线相切，而/8c：x+2y-2=0,圆心C(lJ),

1所以圆C：(x_l)2+(y_l)2=",

所以半径，•二4V

设P(*M，则方=(xj),而=(0,1),方=(2,0)

又万=2而+〃益="0,1)+〃(2,0)=(2〃,/1)

所以(xj)=(2〃")，则x=2〃/=N,所以4=]/l=y

2,VV—0

所以一=2-2=2・一不表示坐标原点力与点P两点之间连线的斜率★的2倍，

因为动点P在圆。上移动，所以直线解：y二云与(X-1『+()，-1)2=(有交点,

则圆心C(1,1)到y=Ax的距离■为

解得:1〈RK2,贝IJ1S2-204

2x

所以1工2工4,则人最大值是4.

故答案为：4.

34.如图，在直角梯形力BCO中，AD//BC.ABLBC,力。=1网=2,尸是线段相上的动点，则回+4P4

的最小值为.

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【答案】6

【分析】以8点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设48=a,8P=x(04xW。)，写出各点坐标，结合向

量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.

【详解】如图，以8点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设48=4,80=x(0(怅a