2026年高考数学一轮复习专练：正弦定理、余弦定理（附答案）

§4.8正弦定理、余弦定理

【课标要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2理解三角形的面积公式并能应用3能利用正弦定理、余

弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

■落实主干知识.

1.正弦定理、余弦定理

在^人^。中，若角A,B,C所对的边分别是。tb,c,R为△ABC外接圆半径，贝IJ

定理正弦定理余弦定理

标二炉+/—2/7cc()sA；

内容-^―=—^―=—^―=2R2

sin/lsinBsinC〃=c+〃-2c〃cos8；

^="+/?2—2a/?cosC

(l)〃=2RsinA,

/?=2/?sinB,.b2+c2-a2

COSA=———;

2bc

c=2RsinC；

222

Dc+a-b

变形COSB=--------

2ac

(2)sin4甘,

「a2+b2-c2

cosC=———

.r,b.〃Czab

smB=——，smC=——；

2R2R

(3)a:bc=sinA:sin8：sinC

2.三角形解的判断

4为锐角4为钝角或直角

c

zLC0

图形、y\j

补…％

ABAA'8

关系式a=bsinAbsinA<a<ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)S=表不边。上的高)；

(2)5=14加曲。二^。心曲8=；Z?csinA；

(3)S=，(a+/+c)(/•为三角形的内切圆半径).

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“x”)

(I)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(x)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB,则a>b.(V)

(3)在AABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)

(4)当〃+。2—标>0时，△ABC为锐角三角形；当加+。2—/=()时，△A8C为直角三角形；当b2+c2-a2<0

时，八ARC为钝角三角形.(X)

2.已知△ABC的内角A,B，。所对的边分别为a,b,c,若b=>H,a=\,8=知，则c等于()

A.V5B.2C.V3D.3

答案B

解析由余弦定理得COS8=,即一J=,整理得/+c—6=0,解得c=2(负值舍去).

M；2〃ac-'22c

3.在△八8c中，内角人，8,。所对的边分别为a,b,c,若。一80,〃一100,八一45。，则符合条件的三角

形有()

A.一个B.两个

CO个D.不能确定

答案B

解析由题意知，。=80,8=100,4=45。，由正弦定理，得腾=蹊，所以sin8=学.

wsinB8

因为a<b,所以B>A,故4有两解，

即符合条件的三角形有两个.

4.在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,且a=4,/)=5,c=6,则cosA=,△

ABC的面积为

答案!苧

44

解析依题意得8SA=F：：-Q2=J,

20C4

所以sinA=V1—cos2/l=—,

4

所以△ABC的面积为％csinA=竺亚.

24

国微点提醒

1.熟记△ABC中的以下常用结论：

(l)A+B+C=7i,甘桔一*

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)大边对大角,大角对大边,〃>/?=A>8=sinA>sin8,cosA<cosB.

A+RCA+Rr

(4)sin(A+B)=sinC；cos(4+8)=-cosC；tan(A+8)=-tanC；sin—cos-；cos-=sinp

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=〃cosA+acosB.

(6)三角形的面积S=7p(p-«)(P-b)(p-c)(p=g(a+b+c)).

(7)在斜△ABC中,tanA+lan5+tanC=tanA-tanBianC.

2.谨防两个易误点

(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.

(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.

---------------------------探究核心题型----------------------------

题型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1(1)(2025•重庆模拟)在4A6c中，内角A,8,C的对边分别为a,/?,c,且〃十十力《一〃.若。一

V6,a=3直sinB,则C等于()

A.-B.-C.-D.—

46812

答案D

解析在△ABC中，由〃+/+儿=4及余弦定理，可得8$4=空曰=一：，

由0<.4<71,可得A=§,

J

又b=y/6,〃=3夜sinB,

+F廿…is但•nbs】nAV6sin-v^x-i

由正弦理得「r~产=——

TEsinB=---a---=3>/2s.in3B=3>/2sinB2sin8

又sinB>0,解得sinB=y

又0<B《，BittB=-,

34

所以CE-f

(2)在△ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆的半

径R等于()

A.竽14机D.竽

BR・丁Ci

答案D

解析因为b=S,c=3,A=60°,

所以/=〃+C2-2〃CCOSA=64+9-2X8X3X1=49,所以。=7,

所以此三角形外接圆的直径小总="芋，所以R=建

2

思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧

⑴求边:利用正弦定理变形公式k需等或余弦定理求解.

(2)求角：利用正弦定理变形公式s)nA=坐等或余弦定理的推论求解.

0

(3)利用式子的特点转化：如出现/+〃一/=〃/)的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐

次式用正弦定理.

跟踪训练1(l)Q025•八省联考)在△ABC中,8。=84。=10«05/孙。1,则448。的面积为()

A.6B.8C.24D.48

答案C

解析由余弦定理得AC^AG+A犷IA/^ACcos/ZMC,即64=100+A"-2A8X10X3

5

"弘1248+36=0,

・•・AB2+8C2=AC2,.\AB±BC,

S.ABC=^ABBC=gX6X8=24.

(2)(多选)在△A8C中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.已知a+〃=l(),c=5,sin28+sin8=(),

则下列结论正确的是()

A.a=3B.b=7

C.B=60°D.sinC=—

14

答案ABD

解析由sin28+sin8=0,得

2sinBcos2+sinB=0,

因为在△ABC中，sinBNO,得cosA=一：,

由余弦定理b2=a2+c1-2accosB,

因为b=]0~a,所以(10—4=〃+52_2乂々乂5乂(_§,解得〃=3,所以6=7.

由cosB=一；,得8=120°,则sinB=与.

由正弦定理得sinC=^sinB=pq=等

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形的形状判断

例2在中，内角A,〃，C所对的边分别是a,b,c,梏c-acosB=(2a-b)cosA,则△A8C

的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案D

解析方法一因为c—Geos8=Qa—〃)cosA,

。=兀一(A+3),

所以由正弦定理得sinC-sinAcosB

=2sinAcos4—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA-sin8cosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以4=1或B=A或8=兀一人(舍去)，

所以AABC为等腰或直角三角形.

方法二因为c—«cosB=(2a—b)cosA,

由余弦定理得

222222

a+c-bC.xbA-c-a

化简得(a—/?)(〃+/一屋)=。，

所以a—b=0或b2-\~c2—a2=0,

所以a=b或b1-\-c1=cr,

故△ABC为等腰或直角三角形.

命题点2三角形的面积

例3(2024・武汉模拟)在△A3C中，内角A,8,。所对的边分别为a",c,若8=芋,b=6,4+占

4

=2y/2ac,则△ABC的面积为.

答案3

解析由余弦定理得〃=/+/—2accosB,

即36=苏+/+缶。=24/c+@:=3&ac,

所以QC=6或，

所以△48C的面积

S=：acsin8=：X6A/^Xg=3.

222

命题点3与平面几何有关的问题

例4已知。是RtZXABC斜边8c上一点，AC=V5OC.

⑴若ND4C=30。，WJZADC=；

⑵若BD=2DC,且DC=1,则AO的长为

答案(1)120。(2)V2

解析(1)在中，由正弦定理得/，

''△A。。sinz.ADCs\nz.DAC

所以sinNAZ)C=esin皿。=叵,

DC22

又/4QC=8+N/M/)=B+(900—NQAO=3+60°>60°,

所以NADC=I20。.

(2)由BD=2DC,且DC=1知BC=3,

又AC=V5OC,贝ijAC=V5,

所以RtZXABC中，cos。=翌=—,

BC3

在△AOC中，由余弦定理得

AOLAG+OC2—2ACOCCOSC=(V3)2+I-2V3X1X#=2,

«3

所以AQ=V2.

思维升华(1)判断三角形形状的两种思路

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.

(2)三角形面积公式的应用原则

①对于面积公式S=)戾inC=)csin8=，csinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

跟踪训练2⑴设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若当=2,S+c+a)S+c—〃)

SlHoC

=3bc,则△ABC的形状为.

答案等边三角形

解析因为翌=区，

sinfic

所以三=色，所以6=c.

bc

又(b+c+a)(b+c、-〃)=38c,

所以b1-^c1—a2=bc,

222

Hi.b+c-abe1

所以COSA=F^=荻=3

因为4£（o,71）,所以A=?,

J

所以△A8C是等边三角形.

（2）（2024♦新课标全国I）记444。的内角A,13,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V^cosA,a^b1

—c2=y/2ab.

①求B；

②若AABC的面积为3+8,求c.

解①由余弦定理有〃+护一/=2出JCOSC,

因为a2-\-b2—c2=\[2ab,

所以cosC苛,

因为CG（0，冗），所以sinOO,

从而sinC=V1-cos2C=Jl-（Y）=y，

又因为sinC=V2cosB,

即cosB=：,

又B£（0,兀），所以8=弓.

J

②由①可得8=g,cosC=y,C£（0,兀），

从而C=~,sinA=sin（A+C）=sin停+：）

_V3v_|_1v_\/6+V2

-------A----T―zx--------------------.

22224

方法一由正弦定理有二=:，

sin-sin-

从而/?=?.«<?=*?,

由三角形面积公式可知，

△48C的面积可表示为S.\ABC=，osinA

1限>?6+V23+^3少

-2"TCC_48-C，

由已知△ABC的面积为3+V5,

可得噌(2=3+75,所以c=2x/2.

8

方法二记R为△ABC外接圆的半径，

由正弦定理得

S38(?=#必sinC=2/?2sinAs\nBsinC

=0R2V%+'反遍0

422

^^•/?2=34-V3.

4

所以R=2.

所以c=2R7nC=2X2X^=2x/2.

■微拓展,

相关定理在解三角形中的综合应用

1.角平分线定理

在△曲中,也为NW的角平分线，贝嘿=筮

进而得到（1）AD2=ABAC-（斯库顿定理）.

(2)—=—=SAAB。

[fAC~~CD~S&ACD，

2.张角定理

在△ABC中，D为8c边上的一点，连接，若=Q,ZCAD=fi,

贝修+sinasin(a+0)

ABAD

3.中线长定理

在中，A。为AC边上的中线，贝|JA"+AG^ZCAON+QC2）.

典例⑴在△然€*中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=7,/?=8,c=9,则AC边上的中线长

为________

答案7

解析方法一在△ABC中，设80是AC边上的中线，由中线长定理知，

AB2+BC1=2(BD2+DC2),

即^+。2=2(8。2+：/)2),

_..cz+azh281+4964

贝lj=-----------=------------=49,=7,

2424

故AC边上的中线长为7.

22_2_]]

方法二因为"738,c=9,由余弦定理得cos於三了7+98

2X7X9-21'

设。是AC的中点，则而="瓦5+近)，

两边平方得|丽F=X瓦/+2BA^BC.+~BC2)

=>(81+2x9x7x…)=49,

4

所以|丽|=7,即AC边上的中线长为7.

(2)在△43C中，角A,8,。所对的边分别为a",c"Q是/84C的角平分线，若,AD=2^3,

贝IJ2/，+c的最小值为

答案6+4V2

解析如图，・・・4。是N8AC的角平分线，

：.ZBAD=ZCAD

=2N8AC=—,

26

由张角定理干sinziBHC_s\nz.BAD+sinzC/lD

ADACAB

„„si•n-IIsi•n-IIsi.n-IIiii

即T=—i=1

2V3bc'bc2

A2/?+C=(2/?+C)Q+i)X2

=x.2c,4。、，,,2c4b

6+—b+—c26+27—bx—c

=6+4企（当且仅当与=，且£+i=1,

即c==2或+2时取等号）.

课时精练

［分值：100分］

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共3（）分）

1.（2025・海口模拟）在AA8c中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,sinA=g,则sinA

等于（）

A.-B.ZC.-D.i

4334

答案A

解析若a=2，/?=3,sinA,

则由正弦定理得，-r—=-r—,即寺=一^,

sin/lsinf?-sinB

2

所以sin

4

2.在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,贝UcosB等于（）

A

答案A

解析依题意，由余弦定理得，^^2=4C2+/?C2-2ACBCCOSC=42+32-2X4X3X|=9,即A8=3,所

心+靖一心9+9-16_1

以cosB=

2ABBC2x3x3-9,

3.（2024・长沙模拟）已知在△ABC中，内角4,3,C的对边分别为a,b,c,且三边之比a：b：c=2：3：4,

sin4-2sinB

则等于（）

sin2C

B•三C.2D.-2

答案C

解析因为在△A8C中,a：b：c=2：3：4,

设a",c分别为2k,3k,4k,QO,

由余弦定理?=«2+/?2-2^cosC,

可得16Zr=4Z:24-9Zr—12ArcosC,

解得cosC=-7,

4

可得sin4-2sin8_sin4-2sin8a-2b2〃-2x3k_

sin2c2sinCcosC2ccosC2x4〃x(-^)'

4.在AABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知sin=+?=；,则△ABC的形状为()

22C2

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

答案A

解析.・.*+*=;

.1-C3S/I1b._b

，・・一

22~^cosA1,

...b2+c2-a2b

.cosA=-----------=-

2bcC

，/+/一屏=2〃，/.b2+a2=c2,

•••△ABC为直角三角形,且。=90。.

5.（2024・榆林模拟）在△ABC中，角A,8,C的对边分别是a,b,c,且三边满足加=5+。2—4或，B=

7,则AABC的面积为（）

4

A.2-V2B.4-2V2

C.2+V2D.4+2企

答案A

解析因为/?2=(a+c)2-4企=々2+”+2%*—4或,所以标+/一力2=4a—2ac,

因为B=；,由余弦定理得，

4

222

八\^2a+c-b2\[2-ac

COSB=—=-----------=---------

22acac

所以<7C=4>/2—4,

故△ABC的面积

S="sin«=i（4V2-4）X^=2-V2.

6.（2025・上海模拟）在△ABC中，角4,A,C所对的边分别为a",c,若a=V5,且c—2〃+275cosC=0,

则该三角形外接圆的半径为（）

A.lB.V3C.2D.2V3

答案A

解析•.•〃=V5,；・c'—2b+24cosc=0,

sinC—2sin8+2sinAcosC=0,

.*.sinC—2sin（A+C）+2sinAcosC=0,

sinC_2sinAcosC_2sinCeosA+2sinAcosC=0,

AsinC-2sinCeosA=0,

VsinOO,.*.cosA=1,

•・・A£（0,兀），三，

设该三角形外接圆的半径为r,由正弦定理得

=更=2=2r

sinA叵*

2

：.r=\.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.在△A8C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,则下列条件能确定2个三角形的是（）

A.A=",b=1,c=2

4

B.B=y,b=1,c=2

C.A=g、b=3,ci=y/3

D.8=2,b=V5,a=2

4

答案CD

解析对于A,因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定I个三角形；

对于B,由正弦定理可知，sinC=誓=享=75>1,无解，

b1

故R诜项的条件不能确定三角形；

对于C,由正弦定理可知，立］8=等二誓=曰＜1,又〃＞〃，即7T）,

所以B=9或8=4，故C选项的条件能确定2个三角形；

。O

对于D,由正弦定理可知，sin4=给产=三喜=噜=21,

bV3V33

又即n）,又易知$"=春＞听=当，则3也4=当有两个解，

故D选项的条件能确定2个三角形.

8.已为△A8C的内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是（）

A.若讹osA=〃cosB，则△ABC是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,则△A8C是等腰三角形

C若白=忌=表，则。改是等边三角形

D.若8=60。,b2=ac,则△ABC是直角三角形

答案BC

解析对于A,若t/cosA=bcosB,则由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,

・・・sin2A=sin2B,则2A=28或24+23=180。,即A=8或4+8=90。，则△ABC为等腰三角形或直角三

角形，故A错误；

对于B,若bcosC+ccosB=b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCeos8=sin（8+C）=sinA=sinB,即A=

B,则△ABC是等腰三角形，故B正确；

对于C,若，则由正弦定理得"4=^^=学，则tanA=tanB=tanC,即A=B=C,

cosAcosBcosCcoszlcosBcosC

即△ABC是等边三角形，故C正确；

对于D,由于8=60。，b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c--ac,可得3—。）2=0,解得,故4

AOC是等边三角形，故D错误.

三、填空题（每小题5分，共10分］

9.（2024・开封模拟）记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=［,a=3b,则cosA

答案T

6

解析在△48C中，cosC=1,a=3b,

由余弦定理可得

222222

「a+b-c9b+b-c2

cosC=F^=2.=5，

解得c=VS〃,

再由余弦定理可得

.b2+c2-a2炉+6匕2_9b2V6

cos=2b«b=一7

10.（2024•成都模拟）在△ABC中，AC=1,ZACB=-,延长84到点。，使得AO=/,ZADC=-,贝UAB

46

的长为.

答案当

解析•・•在△ABC中，AC=i,ZACB=-,延长BA到点。，使得4。=/，ZADC=-,

46

J由正弦定理得缶=磊

ADsin£ADC_V2

可得sin/ACQ=

2

可得/ACO=B,AZBAC=ZACD+ZADC=-+7=,ZABC=n-^--=

446121243

・••在AA8c中，由正弦定理得

AB_AC

sinz.ACBsinz.ABC'

即名=工，解得/W=4.

sin-sin-3

43

四、解答题（共27分）

11.（13分）（2024・新课标全国H）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+V5cosA=2.

（1）求A；（5分）

（2）若a=2,V2/?sinC-csinW,求△AHC的周长.（8分）

解（1）方法一常规方法（辅助角公式）

由sinA+V3cosA=2,

可得/inA+*osA=l,

即sin（A+；）=l,

由于A£（0,加A+衿信第：

故A+产，

解得A=£

6

方法二常规方法（同角三角函数的基本关系）

由siiM+x/3cosA=2,

又siMA+cos2A=1,

消去sin力得到

4cos2A—4V3cosA+3=（）=（2cosA--\/3）2=0,

解得cosA=1,

又AE（0,花），故A=[

6

（2）由题设条件和正弦定理得，

V2Z?sinC=csin28=V5sinBsinC=2sinCsinBcosB,

又8,C£（0,兀），则sinBsinCWO,

进而COS,得到B=^,

于是C=n-A-B=^,

sinC=sin（7r—A—8）=sin（A+8）

=sinAcos3+cosAsinB

_\/2+V6

4-，

由正弦定理可得，

a_b_c

sin/sinBsinC'

即急飞=施’

解得b=2y/2,c=V6+V2,

故△ABC的周长为2+遍+3企.

12.（14分）（2025・南昌模拟）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10,ZBAC=

g,/OAC=5,3Q交AC于点E

A

⑴求BD2；(7分)

(2)求AE.(7分)

解(1)囚为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10,,ZDAC=v,8。交AC于

34

点E,

可得AB=AC・cosN8AC=l()X；=5,

AD=ACcosZDAC=10X^=572,

2

因为N8AO=/8AC+NDAC=E+E,

34

所以cosZBAD=cos-cos--sin-sin-

3434

_lV2V3V2_V2-V6

-----Av———Av--------------------.

22224

所以在△45。中，

BD2=AB2+AD2-2ABADCOSZBAD

=25+50-2X5X572

4

=50+25/3.

(2)因为sinZBAD=sin(-+-)=,

\34/4

又因为S/MBD=SMBE+Sa.ADE,

所以!48ADsinNBA£>=4ABAEsinN8AE+3AEAOsinNEA。，

222

即工X5X5&X^^=Z><5XAEX包+3XAE><5aX立，

242222

解得AE=58一5.

10能力拓展

13题6分，14〜16题每小题5分，共21分

13.(多选)在△48C中，角4,8,C的对边分别是〃，6,c,若iz=VTO,标+於一/="sinC,acos8+

Z?sinA=