第十章 第1节 随机抽样

=第十章统计与统计案例

第1节随机抽样

最新考纲1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体

中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些

简单的实际问题.

I基础殄断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本

5WM，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相篁，就把这种抽样

方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按

照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法

叫做系统抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的息体中抽取容量为n的样本，

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔对编号进行分段，当紧〃是样本容量)是整数时，取k=*

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号1(反正

④按照一定的规则抽取样本，通常是将I加上间隔k得到笫2个个体编号"+Q,

再加k得到第3个个体编号(/+2Z),依次进行下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例，从各层

独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方

法叫做分层抽样.

(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

［常用结论与微点提醒］

1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率

相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为〃，总体容量为M

每个个体被抽到的概率是？

2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()

(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除

2个学生，这样对被剔除者不公平.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

2.(必修3P100A1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天

的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5

000名居民的阅读时间的全体是()

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

解析由题目条件知，5()0()名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的

阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时

间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

答案A

3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在

显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽

样方法是()

A.抽签法B.系统抽样法

C.分层抽样法D.随机数法

解析因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选C.

答案c

4.从2017名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先

用简单随机抽样法从2017名学生中剔除17名学生，乘IJ下的2（X）（）名学生再按系

统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率（）

A.不全相等B.均不相等

C.都相等，且为湍jD.都相等，且为表

解析从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于号.

答案C

5.从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取

50人参加比赛，则应该抽取男生人数为.

解析因为男生与女生的比例为180：120=3：2,所以应该抽取男生人数为

50XT1-=30.

JIJ

答案30

I考点突破呼林彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一简单随机抽样及其应用

【例1】（1）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（）

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.

②盒子里共有8（）个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中

任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

A.OB.lC.2D.3

⑵总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表

选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到

右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

解析（1）①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不

是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因

为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是

等可能抽样.故选A.

⑵从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为（）8,（）2,

14,07,01,所以第5个个体编号为01.

答案（1）A（2）D

规律方法1.简单随机抽样是从含有M有限）个个体的总体中，逐个不放回地抽

取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.

2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否

易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适

用于总体中个体数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，

获取样本.

【训练1】（1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方

式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称

其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校

机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

（2）利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,

余下的每个个体被抽到的概率为｛则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概

率为（）

A1，〃5-10

A-4C.J4D.3

解析（1）选项A,B是系统抽样，C项是分层抽洋，D是简单随机抽样.

9I

（2）依题意，得_[解之得〃=28.

故每个个体在抽样过程中被抽到的概率p=^=^

Zo14

答案(1)D(2)C

考点二系统抽样及其应用

［例2］(1)(2018•安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全

体80()名学生中抽5()名学生做视力检查.现将80()名学生从1到800进行编号.

已知从33〜48这16个数中抽到的数是39,则在第1小组1〜16中随机抽到的

数是()

A.5B.7C.llD.13

(2)(2018♦长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分

钟)的茎叶图如图所示：

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则

其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数是________.

解析(。把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差

为16的等差数列，39在第3组.

所以第1组抽到的数为39-32=7.

(2)依题意，可将编号为1〜35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每

组中抽取一人.

成绩在区间［139,151］上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共

抽取4人.

答案(1)B(2)4

规律方法1.如果总体容量N能被样本容量〃整除，则抽样间隔为攵=否则，

•••

可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体

被抽到的机会均是

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所

抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内

所要抽取的样本号码.

【训练2](1)(2018・郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中

进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统

抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，

那么样本中还有一位同学的编号应是()

A.13B.19C.20D.51

(2)(2018・湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为

了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30,现用系统抽样的方

法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75,则抽到的最小的编号为

解析(1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52=4=13,故抽取的样本的编号

分别为7,7+13,7+13X2,7+13X3,即7号，2()号，33号，46号.

・•・样本中还有一位同学的编号为20.

(2)系统抽样的抽取间隔为第=6.设抽到的最小编号为占

则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)+(24+x)=75,所以x=3.

答案(1)C(2)3

考点三分层抽样及其应用

[例3](1)(2017・江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产

量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从

以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取

件.

⑵某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单

位：人).

篮球组书画组乐器组

高一4530a

高二151()20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加

这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为

解析(1)因为样本容量〃=60,样本总体N=200+400+300+100=1000,所以

抽取比例为导悬4

3

因此应从丙种型号的产品中抽取300X京=18（件）.

1?30

（2）由分层抽样得肃荷=就］，解得。=30.

答案（1）18（2）30

规律方法1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是:

层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.

2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系

样本容量〃—该层抽取的个体数

°）总体的个数%=该层的个体教；

（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

【训练3】（1）（2015.北京卷）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分

层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该

样本中的老年教师人数为（）

类别人数

老年教师900

中年教师1800

青年教师1600

合计4300

A.90B.100C.180D.300

（2）（2018・唐山调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样

的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲

设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.

解析（1）设该样本中的老年教师人数为羽由题意及分层抽样的特点得肃=

320

T600*故尸180・

⑵由题设，抽样比为搞=加

设甲设备生产的产品为x件，则者=50,.”=3000.

故乙设备生产的产品总数为4800—3000=1800.

答案(1)C(2)1800

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：25分钟）

一、选择题

1.为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生

进行调查，事先己了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较

大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法

是（）

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样D.系统抽样

解析不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.

答案C

2.（2018.佛山质检）为了解1（）00名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中

抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）

A.50B.40C.25D.20

解析根据系统抽样的特点分段间隔为蟹=25.

答案C

3.下列抽样试验中，适合用抽签法的为（）

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的5（）（）（）件产品中抽取1（）件进行质量检验

解析因为A,D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产

的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B

中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.

答案B

4.（一题多解）（2018•长沙一中测试）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为

了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样

本，已知从高中生中抽取7（）人，则〃为（）

A.100B.150C.200D.250

解析法一由题意可得飞；=襦，解得〃=100・

n—7013UU

701

法二由题意，抽样比为了丽=济，总体容量为3500+1500=5000,故〃=

5000X^=100.

答案A

5.在一个容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统抽

样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为

Pl，P2,P3,则（）

A.pi=p2Vp3B.p2=p3Vpi

C.p]=P3Vp2D.〃i=〃2=P3

解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个人体被抽到的概率都相等，故诜

D.

答案D

6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来

米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批

米内夹谷约为（）

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

解析由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为备XI534g169（石）.

答案B

7.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…，999,从中抽

取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,

001,002,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为

（）

A.700B.669

C.695D.676

解析由题意可知，第一组随机抽取的编号7=15,

分段间隔数%=^=曙=20,由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为

公差的等差数列，则抽取的第35个编号为15+（35—1）X20=695.

答案C

8.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、

乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为M其中

甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,

21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数77为（）

A.101B.808

C.1212D.2012

解析甲社区每个个亿被抽到的概率为版1?=点1样本容量为12+21+25+43=

101,所以四个社区中驾驶员的总人数乂=半=808.

8

答案B

二、填空题

9.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，

从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为.

解析设男生抽取x人，则4有5就r.，解得X=25.

答案25

10.（2018・武汉调研）从编号为0,I,2,…，79的80件产品中，采用系统抽样的

方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最

大编号为.

解析由系统抽样知，抽样间隔攵=当=16,

因为样本中含编号为28的产品，

则与之相邻的产品编号为12和44.

故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76,即最大编号为76.

答案76

11.在距离央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合

演的《猴戏》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进

行调查，得到如下数据：

网民态度支持反对无所谓

人数(单位：人)8000600010000

若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取

的人数为.

解析持“支持”态度的网民抽取的人数为48xXI

oUUUi0UUUi1uuuuo

=16.

答案16

12.从编号为001,002.…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样

本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007.032,则样本中最大的编号应

该为.

解析根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令6=7,〃2=32,4

=25,所以7+25(〃-l)W500,所以“W20,最大编号为7+25X19=482.

答案482

能力提升题组

(建议用时：10分钟)

13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,()2,…，33的33个个体

组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法

是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则

选出来的第6个红色球的编号为()

•1954435482173793237887352096438126349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.23B.09C.02D.17

解析从随机数表第1行