2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义：第11题 不等式中的恒成立问题的求解策略（学生版+解析）

专题11不等式中的恒成立问题的求解策略（一题多变）

二优质典例*展示m

【典例展示】（1）已知/（x）=./-2«丫+2,当X£［-l,+co）时,/（丫）>〃恒成立,则〃的取

值范围是.

（2）已知对于任意的X£（YO,+1）D（5,+8）,都有工2-2（〃-2）工+4>0,则实数a的取值范

围是.

【思路分析】第（1）小题，有两种不同的思路：①寻找使不等式恒成立的充分条件，通

过解不等式来完成；②分离参数，通过构造函数寻求函数的最大值或最小值（即归结为【追

根溯源】题型三）来完成.第（2）小题，同样可有两种不同的思路：①化简多项式分离参

数小换元转化为不等式“恒成立''题型进行求解：②根据一元二次函数性质，利用判别式分

类讨论进行求解.

【精细解析】（I）解法一由已知得丁-3+2在口,y）上恒成立，

△>0,

即△=4/-4(2-4)«0或，〃《-1,^W-3<a<l.

/(T)Na，

解法二/（x）=（x-a）2+2-此二次函数图像的对称轴为x=".

i当。e（-e,T）时，结合图像知/（x）在［T”）上单调递增，卜（力］血=/（T）=2a-3.

要使/（力之〃恒成立，只需［/（力］疝,之。，即2a+3?a,解得，△-3.又a<-l,・・・-3Wa<-l.

ii当ae[-1.+x))时，[/(-OLn=/(«)=2-«2,由2—〃二2a，解得一又a*-l.

综上所述，实数。的取值范围为-3<aKl.

（2）解法一若f一2（。-2）工+。>0恒成立，则问题等价于V+4x>2ax--恒成立.

、9

令X——=t,从而市+5f+->2加.

24

9/9'

当ie（7o,0）时，、-4,4恒成立，故2。>‘+7+5=2,即〃>1；

2〃>/+7+3I4//max

9

当u29'+8)时，恒成立,故2",+》5.9

2。<1+4+5,而f+~+5>10

Umin4l

・・・心5,即实数〃的取值范围是[L5].

2

解法二^f(x)=x-2(a-2)x+at当△=4(。一2『一4。<0,即/一54+4<0时，有

1<。<4满足题意.

当△=()时，〃=1或。=4,若々=1,符合题意，若a=4,符合题意.

当&=4(4-2)2—4〃>0,即々<1或a>4时.

f（l）=l-2（a-2）+a>0,

需满足《/（5）=25—2（a—2）-5+a20.・・.4<aW5符合题意.

1<〃一2<5,

综上所述,a的取值范围为[1,5].

【题后反思】

本例是比较典型的含参一元二次不等式恒成立问题，它所提供的解法，也是基本解法.事实

上，在诸多高考题目中，含参数不等式恒成立问题并不局限于含参数•元二次不等式.还有

许多其他形式的含参数不等式恒成立问题，求解时除了通过转化向常见基本题型靠拢之外，

还需要注意运用一些解题方法和技巧.其他解法有：换元法、分离参数法、主参换位法、数

形结合法、函数最值法、构建函数法，尤其是含参数不等式成立问题常与其他数学知识相交

汇，需要在知识的联系与转化中寻找解题途径.在下面的变式及训练题中，将展示与其它知

识的交汇以及解题的多种方法.

【追根溯源】

含参数不等式恒成立问题典型题型：

题型一：设〃文)=加+反+c("0),若/(x)>0在xwR上恒成立oa>0且A<0,若

〈。在xeR上恒成立=a<0且二<0.若。的取值未指明，则必须对。=()的情况加以

讨论.

题型二：设/(x)=aF+阮+c(aw0).

b

一<->P>

(1)当a>0时，/(x)>0在xe[a,/7]上恒成立=<2a或，2。

/(«l>0,▲<0/(0>O.

/(力<0在/£例上恒成立o«

/(1)>()，

(2)当avO时，/(汇)>0在工W％例上恒成立o、

/(夕)>0.

h心一金或b

-----<a,-->A

〃x)<0在上恒成立o.2a或，2a

/(a)<0,[A<0

题型三：/(力〉。对x恒成立<=>a</(.v)min(xe[a,^]).

/(“<a对一切xe[a,闭恒成立=〃>/(-v)imx(XG[«,/?]).

题型四:f(x)>g(x)对一切恒成立<=>在xe[a,例,f(力的图像在g(x)的图像的

上方.

题型五：分清含参数不等式恒成立与能成立的差异，相对于题型三，下面的题型是能成立问

题.

若存在升)e[a,0,使/(.r0)>a成立=aV/⑸回(xe反问).

若存在％)w[a,闭，使/(见)Va成立=aN/(力神(xG奴用)•

k«il__________

,一题多变•变一

【变化角度】变含参二次函数为含参分段函数，增加恒成立问题求参数范围的难度.

+2*।ri2V<C)

(2018♦天津•高考真题)已知。tR,函数/(x)=,二'一'若对任意共[,3,

-x~+2x-2a,x>0.

+00),f(,r)4M恒成立,则a的取值范围是

【思路分析】针时分段函数均是二次函数，需分两类讨论x>0和x<0的情况，结合恒成立

的条件，按参变分离思想，应用二次函数的图像和性质整理计求得最终结果.

【详解】

【详解】分类讨论:①当x>0时，/(%)«]即:一尸+2x—2aWx9

整理可得："&#+#

由恒成立的条件可知：一不(x>。)，

I」,/nwx

结合二次函数的性质可知：

当工=，时，__x2+-XI=__+-=-,pill67>1.

2I22Lx848,川-葭

②当-3WxW0时，/(力4|乂即：X2+2x+a-2<-x»整理可得：a<-x2-3x+2»

2

由恒成立的条件可知：a<(-x-3x+2)ijn(-3<x<0),

结合二次函数的性质可知：

当1=或x=0时，(_f_3x+2)=2,则

\/min

综合①②可得”的取值范围是L，2],故答案为",2.

oJ[_o

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(l)ef(x)恒成立〃?小；(2)a<f

(x)恒成立而以有关二次函数的问撅，数形给合，密切联系图象是探求解题思路

的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面

分析.

.一愿多变•变二

【变换角度】与函数的奇偶性、单调性、指数函数相结合，转化成根据一元二次不等式恒成

立求参数范围.

(重庆高考题)己知定义域为R的函数/(工)=母1上是奇函数.

(1)求a、b的值.

(2)若对任意的feR,不等式〃尸一2。+/(2/_力<0恒成立，求Z的取值范围.

【思路分析】第(1)问，由/(x)是R上的奇函数，由/⑼=0确定》的值，由/⑴=-/(一)

确定〃的值.并注意检验符合题意.第(2)问，两种转化思路，一是计算函数值，应用指数

函数的性质，二是利用函数单调性转化为【追根溯源】中的题型一求解.

【详解】(1)・・・f(x)是R上的奇函数，・・・f(0)=0,即22=0,解得力=1•

从而有又由/(1)=一/(一1)知一2+1=一1解得a=2.

2+"4+a-\+a

经检验，a=2,。=1符合题意.，a=2,b=\.

（2）解法一由（1）知=

一2'J力+1-22/2-1+1

又由题设条件得上।<0.

2f-2，.|+222广-&+1+2

即（2=-"|+2）卜2>3+]）+仅七川+2）卜2"J+1）<0,

整理得2才-1>1.丁底数2>1，故3/一2/-4>0①

①式对一切fwR均成立.其判别式4+⑵皿解得％V，即人的取值范围为卜8,一；

解法二由⑴知〃.i）=1£=_；+“•①

由①式易知/（X）在R上为减函数，又因为/（“是奇函数,

从而不等式/（尸-2）+〃2/一女）<0等价于/（尸一2/）<寸（2/一k）=/（一2产+A）.②

V/（八是R上的减函数,由②式可推得『—2/>-2『+八

即对一切fwR有3/-2/-攵>0恒成立，

故其判别式A=4+I2女<0,解得&V-

即k的取值范围为,8，-1.

■一癌多变*变三

【变换角度】与三角函数相结合，转化成一元二次不等式恒成立问题，或利用“参变分离法”

结合函数的性质求参数范围.

7T

对于0c0,-,cos26+2〃?sin0-2〃L2Vo恒成立，求实数m的取值范围.

【思路分析】二次型三常函数不等式在某区间上恒成立，一般有两种解题途径：一是通过

换元构造二次函数，借助数形结合，得到确定图像位置的不等式或不等式组，解之求得参数

机的范围.二是通过参变分离转化为求三角函数的最值，为使解题过程简捷，也需结合换元

法求解.

【详解】

解法一原不等式变形为：-sin2Z94-2/Hsin^-2/zz-l<0>B|Jsin2/9-2/zzsin/9+2/72+1>0.

令sin6=r,ZG[0,I],t2-2mt+2m+\>0,令/（/）=产-2"〃+2/%+l,

:.原题转化为了⑴>0在，40』上恒成立.

-2m_-2m,

--<0,---->1,

2x1或，或，2x1

2

/(0)=2/n+l>0△(-2/7/)-4xlx(2/w+l)<0/(1)=l-2//z+2/??+l>0,

|11）

解得一5<〃?<0或0工机《1或切>1,/.m>--1.即机的取值范围为［一］,+8）.

22

解法二原不等式变形为m（2sin夕-2）v2-cos20.

当。=］时，不等式恒成立.

当0t0,/J时,1(sin^+l"

2(sin^+l)'21l-sing)

1(2

令l-sin6=l,则sin8=1-f,0</<1,Iy+r-2

9

）,=>/在小（0』上单调递减，ymin=3.

除一211)

Am>--,即〃?的取值范围为--,+«>.

22\/

)]Imax

•一践多变♦变四

【变换角度】与等差数列相结合，通过构造函数转化成一元二次不等式恒成立问题.

（2024.湖北.二模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且工二"+机，〃若对于任

意的不等式亍24。+2恒成立，则实数X可能为（）

A.-2B.0C.1D.2

【思路分析】由S“与句的关系且｛g｝为等差数列，求出对,由£<2,得

X2-(1+a)x-2(r-a+2>2,构造函数g(ci)=2c『+(1+幻。-/+x,由g(4)工0在4w[0,1]时恒

成立，求实数x的取值范围.

【详解】

因为S"=，/+"?，〃=1时，Oj=St=l+m,

“N2时，aa=S〃-S“_|="机=277-1,

所以4=I+〃?，％=3,《=5,

因为｛《｝为等差数列,所以q=l,〃?=0,

从而1,—=2—<2,

所以x~—(1+u)x—2a'-a+222,即—2a~-(1+x)a+-x20,

则当0WaW1时，g(a)=IcT+(1+x)a-x2+x<0恒成立，

g(0)=-Y+x<0

解得不«-1或x23,

g⑴=2+1+X-X2+A<0

只有选项A符合题意,

故选：A

III

（22-23高一下•江苏•开学考试）

1.已知心0,AeR,若人＞0时，关于%的不等式（公2）（x2Ibx4”0恒成立，贝帅十：

的最小值为（）

A.2B.2-jsC.4D.372

（23-24高一下•山东•期中）

2.已知菱形A8C。的边长为1,设AM=2A8+/AO”eR）,若卜必知恒成立，则向量AB

在A力方向上投影向量的模的取值范围是.

（2024高三下•全国•专题练习）

3.已知/（x）=6+x-a,若3x+l-2a对一切实数x恒成立，则实数〃的取值

范H为•

（23-24高一上.吉林延边•期中）

4.已知函数f（x）=1一+〃，且“Ig2）+f（lg5）=3.若时,/（同24'+〃z恒成立，

则〃?的取值范围为

（2024•全国•模拟预测）

5.已知函数/（力=|2%-4,且/（力函的解集为

⑴求”和〃的值；

⑵若/（.x-）＜|x-/|在［-1,0］上恒成立，求实数t的取值范围.

（上海•高考真题）

6.设函数/(幻=卜2一4*一5|

(I)在区间［-2,6］上画出函数/(X)的图象；

(2)设集合A={x"(x)N5},8=(3,-2］30,42［6.内).试判断集合A和8之间的关系,

并给出证明；

(3)当&>2时，求证：在区间［T5］上，、=履+3%的图象位于函数/(x)图象的上方.

专题11不等式中的恒成立问题的求解策略（一题多变）

?■优质典例*展示///

【典例展示】（1）己知〃工）=丁-2ax'+2,当xw|-l,+a>）时，。恒成立，则a的取

值范围是.

（2）己知对于任意的X4YO,+1）=（5,+8）,都有f-2（a-2）x+a>0,则实数〃的取值范

围是•

【思路分析】第（1）小题，有两种不同的思路：①寻找使不等式恒成立的充分条件，通

过解不等式来完成；②分离参数，通过构造函数寻求函数的最大值或最小值（即归结为【追

根溯源】题型三）来完成.第（2）小题，同样可有两种不同的思路：①化简多项式分离参

数小换元转化为不等式“恒成立”题型进行求解；②根据一元二次函数性质，利用判别式分

类讨论进行求解.

【精细解析】（1）解法一由已知得9-如+2-/0在卜1，收）上恒成立，

A>0,

即△=4/一4（2-。）<0或y1,解得.

解法二/（x）=（x-a『+2-此二次函数图像的对称轴为x=a.

i当。«口,-1）时，结合图像知“力在『1,y）上单调潴增，［”x）L=/（T）=2a-3.

要使/（x）2a恒成立，只需［/（x）］min，即2a+3Na,解得aN-3.又a<-1,，一3<々<一1.

ii当aw［-l,+oo）时，［/（犬）］疝、=/（〃）=2-42,由2—々2之〃，解得一2<a4l.又。之一1,

・•・-\<a<\.

综上所述，实数。的取值范围为-3WOW1.

（2）解法一若V—2（a-2）x+a〉。恒成立，则问题等价于f+4x>恒成立.

乙）

9

从而八5一/2,〃.

9/9'

当ie（7o,0）时，、-4,4恒成立，故2。>‘+7+5=2,即〃>1；

2〃>/+7+3I4//max

9

当u29'+8)时，恒成立,故2",+》5.9

2。<1+4+5,而f+~+5>10

Umin4l

・・・心5,即实数〃的取值范围是[L5].

2

解法二^f(x)=x-2(a-2)x+at当△=4(。一2『一4。<0,即/一54+4<0时，有

1<。<4满足题意.

当△=()时，〃=1或。=4,若々=1,符合题意，若a=4,符合题意.

当&=4(4-2)2—4〃>0,即々<1或a>4时.

f（l）=l-2（a-2）+a>0,

需满足《/（5）=25—2（a—2）-5+a20.・・.4<aW5符合题意.

1<〃一2<5,

综上所述,a的取值范围为[1,5].

【题后反思】

本例是比较典型的含参一元二次不等式恒成立问题，它所提供的解法，也是基本解法.事实

上，在诸多高考题目中，含参数不等式恒成立问题并不局限于含参数•元二次不等式.还有

许多其他形式的含参数不等式恒成立问题，求解时除了通过转化向常见基本题型靠拢之外，

还需要注意运用一些解题方法和技巧.其他解法有：换元法、分离参数法、主参换位法、数

形结合法、函数最值法、构建函数法，尤其是含参数不等式成立问题常与其他数学知识相交

汇，需要在知识的联系与转化中寻找解题途径.在下面的变式及训练题中，将展示与其它知

识的交汇以及解题的多种方法.

【追根溯源】

含参数不等式恒成立问题典型题型：

题型一：设〃文)=加+反+c("0),若/(x)>0在xwR上恒成立oa>0且A<0,若

〈。在xeR上恒成立=a<0且二<0.若。的取值未指明，则必须对。=()的情况加以

讨论.

题型二：设/(x)=aF+阮+c(aw0).

b

一<->P>

(1)当a>0时，/(x)>0在xe[a,/7]上恒成立=<2a或，2。

/(«l>0,▲<0/(0>O.

/(力<0在/£例上恒成立o«

/(1)>()，

(2)当avO时，/(汇)>0在工W％例上恒成立o、

/(夕)>0.

h心一金或b

-----<a,-->A

〃x)<0在上恒成立o.2a或，2a

/(a)<0,[A<0

题型三：/(力〉。对x恒成立<=>a</(.v)min(xe[a,^]).

/(“<a对一切xe[a,闭恒成立=〃>/(-v)imx(XG[«,/?]).

题型四:f(x)>g(x)对一切恒成立<=>在xe[a,例,f(力的图像在g(x)的图像的

上方.

题型五：分清含参数不等式恒成立与能成立的差异，相对于题型三，下面的题型是能成立问

题.

若存在升)e[a,0,使/(.r0)>a成立=aV/⑸回(xe反问).

若存在％)w[a,闭，使/(见)Va成立=aN/(力神(xG奴用)•

隹B_______________

•一题多变*变一

【变化角度】变含参二次函数为含参分段函数，增加恒成立问题求参数范围的难度.

+2*।ri2V<C)

(2018♦天津•高考真题)已知。tR,函数/(x)=,二'一'若对任意共[,3,

-x~+2x-2a,x>0.

+00),f(,r)4M恒成立,则a的取值范围是

【思路分析】针时分段函数均是二次函数，需分两类讨论x>0和x<0的情况，结合恒成立

的条件，按参变分离思想，应用二次函数的图像和性质整理计求得最终结果.

【详解】

【详解】分类讨论:①当x>0时，/(%)«]即:一尸+2x—2aWx9

整理可得："&#+#

由恒成立的条件可知：一不(x>。)，

I」,/nwx

结合二次函数的性质可知：

当工=，时，__x2+-XI=__+-=-,pill67>1.

2I22Lx848,川-葭

②当-3WxW0时，/(力4|乂即：X2+2x+a-2<-x»整理可得：a<-x2-3x+2»

2

由恒成立的条件可知：a<(-x-3x+2)ijn(-3<x<0),

结合二次函数的性质可知：

当1=或x=0时，(_f_3x+2)=2,则

\/min

综合①②可得”的取值范围是L，2],故答案为",2.

oJ[_o

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(l)ef(x)恒成立〃?小；(2)a<f

(x)恒成立而以有关二次函数的问撅，数形给合，密切联系图象是探求解题思路

的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面

分析.

.一愿多变•变二

【变换角度】与函数的奇偶性、单调性、指数函数相结合，转化成根据一元二次不等式恒成

立求参数范围.

(重庆高考题)己知定义域为R的函数/(工)=母1上是奇函数.

(1)求a、b的值.

(2)若对任意的feR,不等式〃尸一2。+/(2/_力<0恒成立，求Z的取值范围.

【思路分析】第(1)问，由/(x)是R上的奇函数，由/⑼=0确定》的值，由/⑴=-/(一)

确定〃的值.并注意检验符合题意.第(2)问，两种转化思路，一是计算函数值，应用指数

函数的性质，二是利用函数单调性转化为【追根溯源】中的题型一求解.

【详解】(1)・・・f(x)是R上的奇函数，・・・f(0)=0,即22=0,解得力=1•

从而有又由/(1)=一/(一1)知一2+1=一1解得a=2.

2+"4+a-\+a

经检验，a=2,。=1符合题意.，a=2,b=\.

（2）解法一由（1）知=

一2'J力+1-22/2-1+1

又由题设条件得上।<0.

2f-2，.|+222广-&+1+2

即（2=-"|+2）卜2>3+]）+仅七川+2）卜2"J+1）<0,

整理得2才-1>1.丁底数2>1，故3/一2/-4>0①

①式对一切fwR均成立.其判别式4+⑵皿解得％V，即人的取值范围为卜8,一；

解法二由⑴知〃.i）=1£=_；+“•①

由①式易知/（X）在R上为减函数，又因为/（“是奇函数,

从而不等式/（尸-2）+〃2/一女）<0等价于/（尸一2/）<寸（2/一k）=/（一2产+A）.②

V/（八是R上的减函数,由②式可推得『—2/>-2『+八

即对一切fwR有3/-2/-攵>0恒成立，

故其判别式A=4+I2女<0,解得&V-

即k的取值范围为,8，-1.

■一癌多变*变三

【变换角度】与三角函数相结合，转化成一元二次不等式恒成立问题，或利用“参变分离法”

结合函数的性质求参数范围.

7T

对于0c0,-,cos26+2〃?sin0-2〃L2Vo恒成立，求实数m的取值范围.

【思路分析】二次型三常函数不等式在某区间上恒成立，一般有两种解题途径：一是通过

换元构造二次函数，借助数形结合，得到确定图像位置的不等式或不等式组，解之求得参数

机的范围.二是通过参变分离转化为求三角函数的最值，为使解题过程简捷，也需结合换元

法求解.

【详解】

解法一原不等式变形为：-sin2Z94-2/Hsin^-2/zz-l<0>B|Jsin2/9-2/zzsin/9+2/72+1>0.

令sin6=r,ZG[0,I],t2-2mt+2m+\>0,令/（/）=产-2"〃+2/%+l,

:.原题转化为了⑴>0在，40』上恒成立.

-2m_-2m,

------<0.0<--<1,------>1.

2x1或《2x1或-2x1

/(0)=2/n+l>0A=(一2〃]y-4x1x(2/〃+1)<0f(])=1-2机+2〃？+1>0,

解得一；<〃？<0或0K机«1或切>I,即用的取值范围为一；,+8

/.m>—

2

解法二原不等式变形为m(2sin夕-2)v2-cos20.

当。=]时，不等式恒成立.

sin2夕+11(sin^+l"

当0t0,/J时,即m>

2(sin0+l)"sin夕,

1(2

令l-sin6=l,则sin〃=l-f,0</<1,Iy+r-2

9

)，=”在文0,1]上单调递减，Win=3.

11

Am>--,即〃?的取值范围为--,+«>

2I」

■一癌多变*

【变换角度】与等差数列相结合，通过构造函数转化成一元二次不等式恒成立问题.

(2024.湖北.二模)已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且工二"+机，〃若对于任

意的不等式,</_(]+〃*-2a'a+2恒成立，则实数x可能为()

A.-2B.0C.1D.2

【思路分析】由S“与句的关系且｛《,｝为等差数列，求出％,由£<2,得

x2-(\+a)x-2a--a+2>2,构造函数g(ci)=2c『+(1+x)a-12+x,由g(〃)K0在"w[0,1]时恒

成立，求实数x的取值范围.

【详解】

因为S“=/J+"?,〃=1时，q=5[=l+〃？，

〃22时，勺=S〃-S,“="相=2n-l,

所以4=I+〃?，％=3,《=5,

因为｛《｝为等差数列,所以q=l,〃?=0,

从而1,—=2—<2,

所以x~—(1+u)x—2a'-a+222,即—2a~-(1+x)a+-x20,

则当0WaW1时，g(a)=IcT+(1+x)a-x2+x<0恒成立，

g(0)=-Y+x<0

解得不«-1或x23,

g⑴=2+1+X-X2+A<0

只有选项A符合题意,

故选：A

III

（22-23高一下•江苏•开学考试）

1.已知心0,AeR,若人>0时，关于%的不等式（公2）（x2Ihx4b0恒成立，贝必十：

的最小值为（）

A.2B.2-jsC.4D.372

【答案】C

22

【分析】注意到原题条件等价于当OvxW一时，/+b._4«0恒成立，当工2—时，

aa

22

工2+》丫一420恒成立，故当x=一时，y=x2+bx-4=0,从而得力=2a—,由此结合基本

aa

不等式即可求解.

【详解】设y=ar-2(x>。)，y=x2+/?x-4U>0),

2

因为a>0,所以当0<x<一时，y=av-2<0；

2

当x=_时，y=ar-2=0；

a

2

当x>_时，y=av-2>0；

av-2>0

由不等式（”_2）卜2+/»_4）之0恒成立，得'；；+；二4。或.

Y+辰一420

2

即当0<xK—时，/+加一4W0恒成立，

a

2

当大之一时，父+布.一4之。恒成立，

2

所以当x=一时，y=x2+bx-4=(),

42b-4=0,即〃=2"2,

则~+一

a~a

2

则当4>0时,当且仅当2a二,即4=1时等号

成立,

4

故匕+一的最小值为4.

a

故选：C.

(23-24高一下♦山东•期中)

2.已知菱形ABC。的边长为I,设AM=2AB+L4£>(/eR),若卜加上1恒成立，则向量AB

在A。方向上投影向量的模的取值范围是.

_6一

【答案】。，当

【分析】由己知条件可知向量人6在AO方向上的投影为/仍MD，令ARAO=G，将卜八夕21

恒成立转化为产+4&+320恒成立，利用AW0即可求出参数的取值范围，即可求解.

【详解】因为菱形A3CD的边长为1,所以,⑷=卜4=1,

且向量AB在AO方向上的投影为IMCOS，=|A4氤渝=A8A。,

若WM21恒成立,则+恒成立，

所以12A8+»。「21,即4A层+4tABAD+rAD2>1.

令M・4D=a，贝IJ4+4W+-之1,即产+M+320,

要使，+4〃+3N0(fwR)恒成立,

则△=16/—4xlx340,解得一旦空,

22

AD

又向量加在AO方向上的投影向量为网cos。.阿

故其模的取值范围为:

故答案为：。,

（2024高三下•全国・专题练习）

3.已知/（犬）=办2+X-4,若对一切实数工恒成立，则实数4的取值

范围为.

【答案】（2,田）

【分析】思路一：移向转换为（。+2）/+4%+。-1>0对一切实数尸恒成立，对。分类讨论即

可求解.：思路二：移向构造函数，对〃分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思

路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解.

【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得依2+x—〃>_2f—3x+l-2〃，

即（a+2）V+4工+。-1>0对一切实数x恒成立.

当。=—2时，4x—3>0不可能恒成立，

[«+2>0

从而由二次函数的性质可得，只能A〃“小，n八，解得。>2.

[A=4--4（a+2）（a-l）<0

因此实数a的取值范围为⑵住）.

解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得（a+2）/+4x+〃-l>0,

令g（x）=（a+2）x2+4x+a-],则原问题转化为g（x）>。对xwR恒成立.

当。<-2时，抛物线开口向下，显然不合题意；

当。=-2时，R*）=4X-3,其图像是一条直线，也不合题意：

当。>—2时，抛物线开口向上，只要g*）mm=g（言）>（），即—6>0.

解得〃<一3或〃>2,，。>2,因此实数。的取值范围为（2,+00）.

解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：

•cix^+x—。>—2工2—3x+1-2。恒成乂.

•・响题转化为"号产对XCR恒成立'r-2x2-4x+l

从而a>

、-x2+l

-2/—4x+l2(2x+l)(x-2)

令g(x)=贝Jg'（x）=

x2+1（叫

令g，(x)NO,则x4一耳或x?2.

从而g(x)在(TO,-；，⑵+00)上单调递增，在(-/2)上单调递减.

又g(-g=2,且当XT+8时，g(x)vO,故g(x)3=(?(-3)=2.

于是。>2,因此实数。的取值范围为(2,+8).

故答案为：(2,+8).

(23-24高一上•吉林延边•期中)

4.已知函数了(^n^^+a,且/(lg2)+/(lg5)=3.若xw[T,l]时，/(x)N4'+.恒成立，

则〃?的取值范围为

(7~|

【答案】e,-』

【分析】根据/。)+/(1-幻=1+%，即可由对数运算求出“，再根据一元二次不等式与二

次函数的性质即可求解.

【详解】因为/("=志+〃，

4AA\~XAX4

所以/(x)+/(I-x)=-------+4+—：-------+4=---------+------------+2a=1+2〃，

'八4x+241+24v+24+2x4、

又因为怆2+怆5=1,所以〃Ig2)+/(lg5)=l+2a=3,即〃=1,

所以"x)=Q+l.

»I乙

因为/(X)24、+〃2恒成立，

等价于（4V）2+〃⑷+2/??-2<0恒成立，

令，贝ij/e卜,

原不等式等价于/+，〃/+2〃・2工0在恒成匕

4

,—+—m+2m-2<0,『7

则T64»解得〃】V,

16+4