2026高中数学10大导数：专题15 导数中同构与放缩的应用(教师版)

专题15导数中同构与放缩的应用

同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，

通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数

等混合式子结构的等式或不等式问题．

当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要

求也是比较高的，

考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）

【方法总结】

在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：

当＞且时，有logax，当＞且时，有x

(1)a0a≠1xa(2)a0a≠1xlogaa

再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)

(3)xｅxｅxlnx，xlnxln(xｅx)

ｅxｅx

(4)ｅxlnx，xlnxln

xx

xx

(6)ｅlnxx，lnxxln

ｅxｅx

x

再结合常用的切线不等式：ｅxx1，ｅxex，lnxx1，lnx等，可以得到更多的结论

ｅ

(7)xｅxｅxlnxxlnx1，xlnxln(xｅx)xex1．

xex

xｅxｅxlnxｅ(xlnx)，xlnxln(xｅx)＝xｅx1．

ｅ

ｅxｅxｅx

(8)ｅxlnxxlnx1，xlnxln－１

xxx

ｅxｅxｅx1

ｅxlnxｅ(xlnx)，xlnxln

xxx

xxx

(9)ｅlnxxlnxx1，lnxxln－１

ｅxｅxｅx

xxx

ｅlnxxｅ(lnxx)，lnxxln

ｅxｅxｅx1

【例题选讲】

[例1](1)已知f(x)lnxxxｅx1，则函数f(x)的最大值为________．

答案－2解析f(x)lnxxxｅx1xlnxｅxlnx1xlnx(xlnx2)2．(当且仅当x＋

lnx＋1＝0取等号)．

lnx1

(2)函数f(x)ｅx的最小值是________．

x

lnx1xｅxlnx1ｅxlnxlnx1lnxx1lnx1

答案1解析f(x)ｅx1(当且仅当x

xxxx

＋lnx＝0取等号)．

x2ｅx2lnx

(3)函数f(x)的最小值是________．

x1

x2ｅx2lnxｅx2lnx2lnxx2lnx12lnx

答案1解析f(x)1(当且仅当x＋2lnx＝0取等

x1x1x1

号)．

[例2](1)不等式xｅxaxlnx10恒成立，则实数a的最大值是________．

xexlnx1xexlnx1exlnxlnx1

答案1解析xｅxaxlnx10恒成立a()

xminxx

xlnx1lnx1

1，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．

x

(2)不等式xｅxa(xlnx1)0恒成立，则正数a的取值范围是________．

答案0＜a１解析xｅxa(xlnx1)0xｅxa(xlnx1)0ｅxlnxa(xlnx1)，当x

ｅxlnxｅxlnxxlnx1

＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，a，由于=1，当

xlnx1xlnx1xlnx1

且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以a１，故0＜a１．

(3)不等式xｅxa(xlnx)0恒成立，则正数a的取值范围是________．

答案0aｅ解析xｅxa(xlnx)0xｅxa(xlnx)0ｅxlnxa(xlnx)ｅtat(令

ｅt

a(t0)

ta0

txlnx)0aｅ．

ｅtaｅ

a(t0)

t

(4)已知函数f(x)xbｅxalnxx1(x1)，其中b＞0，若f(x)0恒成立，则实数a与b的大

小关系是________．

ｅxblnxx1

答案ab解析f(x)0xbｅxalnxx1ｅxblnxx1alnxa，由于

lnx

ｅxblnxx1xblnx1x1

b，当且仅当x＋blnx＝0等号成立，所以ab．

lnxlnx

(5)已知函数f(x)aｅxlnx1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．

１lnx1

答案a解析aｅxlnx10a，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当x＝1

ｅｅx

lnx1x1１

等号成立，则，所以a．

ｅxexeｅ

(6)已知不等式ｅx1kxlnx，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

exlnex

答案kｅ－1解析ｅx1kxlnxk，由于ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当x

xx

ｅxlnexexlnex

＝1等号成立，所以ｅ，1则ｅ1，所以kｅ－1．

xxxx

(7)已知不等式axxｅaxlnx10，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

1

答案(，]解析xｅaxaxlnx1ｅaxlnxaxlnx1axlnx1axlnx10，当且

ｅ

lnxlnx1

仅当－ax＋lnx＝0，即a时等号成立，由a有解，易得a．

xxｅ

(8)已知函数f(x)xｅxa(xlnx)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案(ｅ,)解析f(x)xｅxa(xlnx)ｅxlnxa(xlnx)，令txlnx,tR，显然该函数

etet

单调递增，即etat0有两个根，即a有两个根，令g(t)，g(t)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋

tt

，．

∞)单调递增．g(t)ming(1)eae

[例3](2020届太原二模)已知函数f(x)lnxax1.

(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)xex恒成立，求实数a的取值范围．

1

解析(1)f(x)定义域是(0,)，f(x)a，

x

①当a0时，f(x)0，f(x)在定义域上单调递增，不可能有两个零点；

11

②当a0时，由f(x)a0，得x0，

xa

1

当x(0,)时，f(x)0，f(x)在定义域上单调递增，

a

11

当x(,+)时，f(x)0，f(x)在定义域上单调递减，所以当x时，f(x)取得极大值．

aa

1

当x0时，f(x)，当x时，f(x)，因为f(x)有两个零点，所以f()0，

a

解得1a0．

xexlnx1

(2)要使f(x)xex恒成立，只要lnxax1xex恒成立，只要a恒成立，

x

xexlnx1xexlnx1exlnxlnx1xlnx1lnx1

令g(x)，则1，当且仅当时取等号．

xxxx

所以f(x)xex恒成立，实数a的取值范围为a1．

【对点精练】

1．函数f(x)xｅxxlnx的最小值为________．

1．答案解析f(x)xｅxxlnxｅxlnxxlnxxlnx1xlnx1，当且仅当x＋lnx＝0等号

成立．

xｅxlnx

2．函数f(x)的最小值为________．

x1

xｅxlnxｅxlnxlnxxlnx1lnx

2．答案1解析f(x)1，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．

x1x1x1

3．函数f(x)(lnxx1)ｅxx的最大值是________．

xlnx1xｅxxlnx1ｅxlnx

3．答案0解析f(x)(xlnx1)ｅxx

ｅxｅx

xlnx1(xlnx1)

0(当且仅当x＋lnx＝0取等号)．

ｅx

4．已知不等式xｅxa(x1)lnx，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

xｅxlnxxｅxlnxｅxlnxlnx

4．答案a1解析xｅxa(x1)lnxa，由于

x1x1x1

xlnx1lnx

1，所以a1．

x1

5．已知函数f(x)xｅxｅa(xlnx1)，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．

5．答案0＜aｅ解析f(x)0xｅxｅa(xlnx1)ｅxlnxｅa(xlnx1)，当x＋lnx＋1≤0

ｅxlnxｅｅxlnxｅｅ(xlnx)ｅ

时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，a，由于=ｅ，当且

xlnx1xlnx1xlnx1

仅当x＋lnx＝1等号成立，所以aｅ，故0＜aｅ．

6．已知函数f(x)aｅ2xlnx1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．

１lnx1

6．答案a解析f(x)aｅ2xlnx1a，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，两者都是当且仅

2ｅe2x

lnx1x1１

当x＝1等号成立，则，所以a．

ｅ2x2ex2e2ｅ

7．已知a，b分别满足aeae2,b(lnb1)e3，则ab＝________．

a2a2

a2aeeaee

aee

7．答案e3解析同构化处理，并利用函数的单调性．b，

3bb2bln

b(lnb1)elnelneee2

eee

b

blnbb

aealnee，令f(x)xex，显然该函数单调递增，即f(a)f(ln)，即aln，则ab＝e3．

eee

已知是函数2x2的零点，则2x0．

8．x0f(x)xelnx2elnx0________

e2e2e2e2

8．答案2解析x2ex2lnx2＝０x2ex22lnxxexlnlnxxln(ln())ln()，

xxxx

2

e

所以ln()x，即2lnxx，或ｅ2xx，则e2x0lnxxlnx2．

x000

考点二整体同构携手脱衣法

【方法总结】

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到

这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数

模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单

调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构

方程），简称同构法．

1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）

fx1－fx2

(1)>k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx为增函数；

x1－x2

fx1－fx2kk(x1－x2)kkkk

(2)<(x1<x2)f(x1)－f(x2)>＝－f(x1)＋>f(x2)＋y＝f(x)

x1－x2x1x2x1x2x2x1x1x2

＋k为减函数；

x

含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，

如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）

2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）

同左aea(lnb)elnb构造函数f(x)xex

三种同构方式构造函数

(1)积型：aeablnb同右ealneablnbf(x)xlnx

取对构造函数

alnalnbln(lnb)f(x)xlnx

mmmmm

如，2x3lnxmexx2lnx2exx2lnx2exlnｅx，后面的转化同(1)

x

说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．

alnbx

ee构造函数e

同左f(x)

alnbx

aa

eb三种同构方式eb构造函数x

商型：同右

(2)af(x)

alnblnelnblnx

取对alnalnbln(lnb)构造函数f(x)xlnx

alnb构造函数x

两种同构方式同左eaelnbf(x)ex

(3)和差：eaablnb

aa构造函数

同右elneblnbf(x)xlnx

如；ｅaxaxln(x1)x1ｅaxaxｅln(x1)ln(x1)axln(x1)．

3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）

同乘(无中生有)

(1)aeaxlnxxaxeaxxlnx，后面的转化同2(1)；

1同加(无中生有)

(2)exaln(axa)aexlna(x1)1exlnalnaln(x1)1xexlna+xlna

a

ln(x1)x1ｅln(x1)＋ln(x1)xlnaln(x1)；

lnx

(3)axlogxexlna(xlna)exlnaxlnx，后面的转化同2(1)．

alna

【例题选讲】

例若，则

[4](1)0x1x21

．x2x1．x2x1．x1x2．x1x2

Aeelnx2lnx1Beelnx2lnx1Cx2ex1eDx2ex1e

1

解析设f(x)exlnx，则f(x)ex，故f(x)在(0,1)上有一个极值点，即f(x)在(0,1)上不是

x

exex(x1)

单调函数，无法判断f(x)与f(x)的大小，故A、B错；构造函数g(x)，g(x)，故g(x)在

12xx2

，．

(0,1)上单调递减，所以gx1gx2选C

若，都有成立，则的最大值为

(2)0x1x2ax2lnx1x1lnx2x1x2a()

１

A．B．1C．eD．2e

2

lnxlnx11lnx1lnx1lnx1

解析12，即12，令f(x)，则f(x)在(0,a)上为增函数，

x1x2x2x1x1x1x2x2xx

lnx

f(x)0在(0,a)上恒成立，f(x)，令f(x)0，解得x＝1，f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,)

x2

上为减函数，a1，a的最大值为1，选B．

f(p1)f(q1)

(3)已知f(x)aln(x1)x2，在区间(1,2)内任取两实数p，q，且p≠q，不等式1

pq

恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析①当p>q时，f(p1)f(q1)(p1)(q1)即f(p1)(p1)f(q1)(q1)，令

g(x)f(x1)(x1)，则g(p1)g(q1)，g(x)在(1,2)递减，即g(x)aln(x2)(x1)2(x1)，

a

在(1,2)递减，ｇ(x)0在(1,2)上恒成立，ｇ(x)2(x1)10在上恒成立，a2x27x6

x2

2．②

在(1,2)上恒成立，a(2x7x6)min15当p<q时，同理可得出a28，综上所述

a(,15][28,)

[例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数

kx

(1)log2xk20

kxkxlog2xkx，x．

解析log2xk20xlog2xkx2(log2x)2kx2f(x)x2

m

(2)x2lnxmｅx0

mmmmm

解析x2lnxmｅx0xlnxｅxlnxln(lnx)ln，f(x)xlnx．

xxx

1

(3)a(ｅax1)2(x)lnx

x

1

解析a(ｅax1)2(x)lnxaxｅaxax2x2lnx2lnxaxｅaxaxx2lnx2lnx2

x

2

axｅaxaxlnx2ｅlnxlnx2，f(x)xｅxx

(4)xalnxｅxxa(x1)

解析xalnxｅxxaxｅxxalnxaｅxlnｅxxalnxa，f(x)xlnx．

(5)x2ｅxlnx0

lnx1111

解析x2ｅxlnx0xｅxxｅxlnｅxlnｅxln，f(x)xlnx．

xxxxx

已知不等式x，对任意正数恒成立，则实数的取值范围是

[例6](1)alogax(a0,a1)xa

________．

1lnx

答案aee解析axlogxexlna(xlna)exlnaxlnx

alna

(xlna)exlna(lnx)elnxf(x)xex(1)

xlnaxlna

elnexlnxf(x)xlnx(2)(三种模式，只要写一种)，由(3)得，xlnalnx，

xlnaln(xlna)lnxln(lnx)f(x)xlnx(3)

lnx11

即lna，由导数法可得lna，从而所以aee．

xｅ

(2)已知函数f(x)mln(x1)3x3，若不等式f(x)mx3ex在(0,)上恒成立，则实数m的

取值范围是()

A．0m3B．m3C．m3D．m0

解析mln(x1)3(x1)mx3exmlnex3ex(同构)，令g(x)mlnx3x，由g(x1)g(ex)，且

m

1x1ex，知g(x)在(1,)为减函数，所以g(x)30m3xm3．故选C．

x

(3)对任意x0，不等式2ae2xlnxlna0恒成立，则实数a的最小值为________．

xxxxx

解析2ae2xlnxlna02ae2xln2xe2xln2xln2xlnln(ln)(积型同构取对

aaaaa

xxxx

数)，令f(x)xlnx，则f(x)为增函数，由f(2x)f(ln)，得2xln，即a恒成立，令g(x)，

aaｅ2xｅ2x

12x111

则g(x)，易得g(x)g()，所以实数a的最小值为．

ｅ2xmax22e2e

(4)已知函数f(x)ｅxaln(axa)a(a0)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取

值范围是()

A．(0,e2]B．(0,e2)C．[1,e2]D．(1,e2]

1

解析f(x)ｅxaln(axa)a0ｅxlna(x1)1ｅxlnalnaln(x1)1ｅxlnax

a

lnaeln(x1)ln(x1)(和差型同构)，令g(x)exx，显然g(x)为增函数，则原命题等价于g(xlna)

g(ln(x1))xlnaln(x1)lnaxln(x1)，由于xln(x1)x(x2)，所以lna2，即

得0ae2．

1

(5)对任意x0，不等式a(eax1)2(x)lnx恒成立，则实数a的最小值为________．

x

1

解析a(eax1)2(x)lnxax(eax1)(x21)lnx2(eax1)lneax(x21)lnx2(积型同构)，令

x

x111x1

f(x)(x1)lnx，则f(x)lnx，f(x)=，易知f(x)在(0,1)上递减，在(1,)上

xxx2x2

递增，所以f(x)f(1)20，所以f(x)在(0,)上单调递增，则(eax1)lneax(x21)lnx2f(eax)

2lnx2lnx22

f(x2)eaxx2ax2lnxa，由导数法易证，所以a．

xxee

1

(6)已知不等式xalnxxa对任意的x(1,)恒成立，则实数a的最小值为()

ex

e

A．eB．C．eD．2e

2

11

解析xalnxxaxxaalnxxalnxaexlnexxalnxa，令f(x)xlnx，

exex

x1

则f(x)，易知f(x)在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以f(ex)f(xa)，x(1,)，

x

1xx

ex(0,)．根据选项只讨论a＜0的情况，当a＜0时，xa(0,1)，exxa，a．令h(x)，

elnxlnx

1lnx

则h(x)，所以h(x)在(1,e)上递增，在(e,)上递减，则h(x)h(e)e，即ae，故选C．

(lnx)2max

ln(x1)

[例7]已知函数f(x).

x

(1)判断f(x)在(0,)上的单调性；

(2)若x0，证明：(ex1)ln(x1)x2．

x

ln(x1)

xx

解析(1)f(x)x1，令g(x)ln(x1)，g(x)0，g(x)在(0,)上

x2x1(x1)2

单调递减，g(x)g(0)0，即f(x)0，f(x)在(0,)上单调递减．

x2ln(x1)xln(x1)ln(ex11)

(2)要证(ex1)ln(x1)x2，即证：ln(x1)即证：即证：，

ex1xex1xex1

ln(x1)

令h(x)，即证：h(x)h(ex1)，由(1)，h(x)在(0,)上单调递减，即证：xex1．令

x

s(x)exx1，s(x)ex10，s(x)在(0,)上单调递增，s(x)s(0)0，exx10，即

xex1．

－

[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

1

解析(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，∴f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1．

x

∵f(1)＝e＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e－1＝(e－1)·(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，

－2

，0

∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，e－1，

－2

12

∴所求三角形面积为×2×|e－1|＝．

2e－1

－－1

(2)解法一：∵f(x)＝aex1－lnx＋lna，∴f′(x)＝aex1－，且a>0．

x

－1

设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

x2

当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；

111

111

当a>1时，<1，∴ea<1，∴f′af′(1)＝a(ea1)(a1)0，

a

x－11

∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝ae0－＝0，且当x∈(0，x0)时f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时f′(x)>0，

x0

x－11

∴ae0＝，∴lna＋x0－1＝－lnx0，

x0

x－111

因此f(x)min＝f(x0)＝ae0－lnx0＋lna＝＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2·x0＝2lna＋1>1，

x0x0

∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；

当0<a<1时，f(1)＝a＋lna<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立．

综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)．

解法二：f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx，

令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx)，

显然g(x)为单调递增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，

11－x

令h(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1＝，

xx

在(0，1)上h′(x)>0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)单调递减，

∴h(x)max＝h(1)＝0，lna≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．

【对点精练】

已知函数ｅx，若对任意正数，，当＞时，都有

1．f(x)mlnx(mR)x1x2x1x2f(x1)f(x2)x1x2

成立，则实数m的取值范围是________．

，

1．答案m≥0解析由f(x1)f(x2)x1x2得，f(x1)x1f(x2)x2令g(x)f(x)x，

m

g(x)g(x)，g(x)在(0,)单调递增，又g(x)f(x)xｅxmxx，g(x)ｅx10，

12x

在(0,)上恒成立，即m(1ex)x，令h(x)(1ex)x，则h(x)ex(x1)10，h(x)在(0,)

单调递减，h(x)max0(但取不到)．m≥0．

ｅx

f(x1)f(x2)

2．已知函数f(x)ax，x(0,)，当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a

xx2x1

的取值范围是()

ee

A．(,e]B．(,e)C．(,)D．(,]

22

f(x1)f(x2)

2．答案D解析由0，得x1f(x1)x2f(x2)，令g(x)xf(x)，则g(x)在(0,)上单

x2x1

exex

调递增，又g(x)ｅxax2，g(x)ｅx2ax0在(0,)上恒成立，即a，令h(x)，则

2x2x

ex(x1)e

h(x)，令h(x)0，则h(x)在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，h(x)h(1)，

2x2min2

选D．

1

3．对不等式ｅ2xlnx0进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

11

3．答案f(x)xｅx解析ｅ2xlnx0ｅ2xlnx2xｅ2xxlnx2xｅ2x(lnx)ｅlnx

2

4．对方程ｅx2xlnx0进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

-

4．答案f(x)xlnx解析ｅx2xlnx0ｅxxxlnxｅxlnｅxxlnx．

5．对不等式aln(x1)2(x1)ax2ｅx进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

5．答案f(x)alnx2x解析aln(x1)2(x1)ax2ｅxaln(x1)2(x1)alnｅx2ｅx

lnx

6．设实数0，若对任意的x(0,)，不等式ｅx0恒成立，则的最小值为_____