人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》导学案

人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》导学案开篇引言同学们，在我们的生活中，存在着大量具有平行四边形形态的物体，比如我们课桌上的书本封面、窗户的框架、楼梯的扶手图案等等。这些图形不仅美观，而且具有独特的性质和广泛的应用。从小学阶段对平行四边形的初步认识，到初中阶段对其进行系统的学习，本章将带领大家深入探索平行四边形的世界，理解其定义、性质、判定方法，并进一步研究几种特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。通过本章的学习，我们不仅能掌握新的几何知识，更能提升逻辑推理能力和解决实际问题的能力。让我们一起启航，探索平行四边形的奥秘吧！学习导航核心目标1.理解并掌握平行四边形的定义、性质定理和判定定理，并能运用它们进行有关的证明和计算。2.掌握矩形、菱形、正方形的定义、特殊性质和判定方法，明确它们与平行四边形之间的联系与区别。3.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。4.体会转化、类比等数学思想方法在研究平行四边形及其特殊图形中的应用。5.能够运用所学知识解决简单的实际问题，感受数学与生活的密切联系。重点难点*重点：平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形的特殊性质与判定。*难点：平行四边形性质与判定的灵活应用；特殊平行四边形之间的联系与区别及综合应用。学习建议1.温故知新：在学习新知识前，回顾三角形全等的判定与性质、平行线的性质等相关知识，为学习平行四边形打下坚实基础。2.动手实践：积极参与画图、测量、折叠等活动，通过直观感知帮助理解抽象的几何性质和判定。3.勤于思考：对于每个性质和判定定理，不仅要记住结论，更要理解其推导过程，明确条件与结论之间的逻辑关系。4.善于总结：及时对所学知识进行梳理，构建知识网络，特别是注意比较各种特殊平行四边形的异同点。5.多做练习：通过适量的练习巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力，注意解题格式的规范性。18.1平行四边形的性质18.1.1平行四边形的定义与相关概念温故知新：我们已经学习过三角形、平行线等基本几何图形。在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。那么，大家能想象一下，由四条线段首尾顺次相接组成的图形是什么吗？（学生思考：四边形）情境引入：观察我们教室里的黑板面、课桌面，或者翻开的课本封面（假设是长方形，引导学生注意其对边平行的特征），它们都给我们一种“方方正正”或“平平”的感觉。如果我们将这些图形的两组对边分别画得平行，会得到什么样的图形呢？探究新知：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。*关键词：两组对边、分别平行、四边形。*如何表示一个平行四边形呢？我们通常用符号“▱”来表示。例如，一个平行四边形ABCD，可以记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”。*注意：表示平行四边形时，通常按一定的顺序书写顶点字母，如按顺时针或逆时针方向。2.相关概念：*在▱ABCD中，AB与CD是一组对边，AD与BC是另一组对边；*∠A与∠C是一组对角，∠B与∠D是另一组对角；*连接不相邻两个顶点的线段叫做对角线，如AC和BD都是▱ABCD的对角线。即时反馈：1.请你在草稿纸上画一个平行四边形，并表示出来。2.如图，在▱ABCD中，写出所有的对边和对角。18.1.2平行四边形的性质探究提出问题：我们已经知道了平行四边形的定义——两组对边分别平行。根据这个定义，我们能进一步猜想平行四边形的边、角之间还有哪些特殊的关系吗？动手探究：1.探究边的关系：*画一个▱ABCD。*用直尺分别测量AB、CD、AD、BC的长度，你发现了什么？（AB=CD，AD=BC）*由此你能提出什么猜想？（平行四边形的对边相等）2.探究角的关系：*用量角器分别测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，你又发现了什么？（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等）*由此你能提出什么猜想？（平行四边形的对角相等，邻角互补）思考与验证：1.对于“平行四边形的对边相等”这一猜想，你能结合平行线的性质和三角形全等的知识进行简单的推理说明吗？*（引导学生连接一条对角线，如AC，将平行四边形分成△ABC和△CDA。因为AB∥CD，AD∥BC，所以∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC。又因为AC是公共边，所以△ABC≌△CDA（ASA），从而得出AB=CD，AD=BC。）2.对于“平行四边形的对角相等”，你能根据上述三角形全等或平行线的性质直接得出吗？*（由△ABC≌△CDA可得∠B=∠D，∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，所以∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA，即∠BAD=∠BCD。或由AB∥CD，AD∥BC，同旁内角互补，也可推出对角相等。）3.“邻角互补”是如何得到的？*（因为AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，所以∠A+∠D=180°，同理可证其他邻角互补。）归纳总结：平行四边形的性质定理：1.平行四边形的对边平行且相等。*几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。2.平行四边形的对角相等，邻角互补。*几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等。18.1.3平行四边形的对角线的性质情境引入：我们已经研究了平行四边形的边和角的性质，那么平行四边形的对角线又有什么性质呢？动手探究：1.画一个▱ABCD，并连接它的两条对角线AC和BD，它们相交于点O。2.用直尺测量OA、OC、OB、OD的长度，你发现了什么？（OA=OC，OB=OD）3.由此你能提出什么猜想？（平行四边形的对角线互相平分）思考与验证：你能尝试证明“平行四边形的对角线互相平分”这一猜想吗？*（引导学生利用已有的性质和三角形全等。在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，所以∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC。因此△AOB≌△COD（ASA），所以OA=OC，OB=OD。）归纳总结：平行四边形的性质定理3：3.平行四边形的对角线互相平分。*几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（O为对角线AC、BD的交点）。例题解析例1：在▱ABCD中，已知∠A=50°，AB=8cm，BC=10cm。求其他各内角的度数以及CD、AD的长度。分析：直接运用平行四边形的对边相等和对角相等的性质即可求解。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=50°（平行四边形的对角相等）。AB∥CD，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B=180°-∠A=180°-50°=130°，∴∠D=∠B=130°（平行四边形的对角相等）。CD=AB=8cm，AD=BC=10cm（平行四边形的对边相等）。例2：如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知OA=3cm，OB=4cm，求AC和BD的长度。分析：利用平行四边形对角线互相平分的性质。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA=2×3=6cm，BD=2OB=2×4=8cm（平行四边形的对角线互相平分）。随堂练习1.在▱ABCD中，∠B=110°，则∠A=______，∠C=______，∠D=______。2.在▱ABCD中，AB=5，BC=3，则它的周长为______。3.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=10，BD=14，则OA=______，OB=______。4.如图，▱ABCD的周长为28cm，AB=6cm，则AD的长度为多少？课时小结1.本节课我们学习了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。2.平行四边形的三条重要性质：*对边平行且相等；*对角相等，邻角互补；*对角线互相平分。3.在探究性质的过程中，我们运用了观察、测量、猜想、验证（推理证明）的方法，体会了将平行四边形问题转化为三角形问题来解决的“转化”思想。18.2平行四边形的判定18.2.1平行四边形的判定方法（一）温故知新：上节课我们学习了平行四边形的性质，知道了平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。那么，反过来，如果一个四边形具备了这些性质中的一些条件，它是否就是平行四边形呢？情境引入：小明同学想做一个平行四边形的框架，他手里有一些细木条和钉子。他应该如何选取木条并钉制，才能保证做出的是平行四边形呢？探究新知：1.定义判定法：*我们知道，平行四边形的定义是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”。那么，根据定义，我们可以直接判定一个四边形是不是平行四边形。*几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。*这是最基本、也是最重要的判定方法。2.探究“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”：*猜想：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形吗？*动手操作：请你用直尺和圆规画一个四边形ABCD，使AB=CD，AD=BC。然后用量角器或直尺检验一下，这个四边形的对边是否平行？*验证推理：你能结合三角形全等的知识证明这个猜想吗？*（引导学生连接对角线AC。在△ABC和△CDA中，AB=CD，AD=BC，AC=CA，所以△ABC≌△CDA（SSS）。因此∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC。从而AB∥CD，AD∥BC。根据定义，四边形ABCD是平行四边形。）*归纳：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。*几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。3.探究“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”：*猜想：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形吗？*思考验证：已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。求证：四边形ABCD是平行四边形。*（提示：四边形内角和为360°。∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D=2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC。同理可得AB∥CD。∴四边形ABCD是平行四边形。）*归纳：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。*几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。18.2.2平行四边形的判定方法（二）情境引入：除了上述从边和角的角度考虑，我们还学过平行四边形对角线互相平分的性质。那么，如果一个四边形的对角线互相平分，它是不是平行四边形呢？探究新知：1.探究“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：*猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？*验证推理：已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。*（引导学生证明三角形全等。在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS）。∴AB=CD，∠OAB=∠OCD。∴AB∥CD。∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形——这个我们稍后会学，或者也可证明另一组对边相等）。）*归纳：对角线互相平分的四边形是平行四边形。*几何语言：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。2.探究“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”：*情境：如果小明做框架时，只保证了一组对边平行且长度相等，这个框架会是平行四边形吗？*猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？*验证推理：已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。*（连接AC。∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA。又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SAS）。∴AD=BC。∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。或者也可证明另一组对边平行。）*归纳：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。*（“平行且相等”常用符号“”表示，读作“平行且等于”。∴ABCD。）*几何语言：∵AB∥CD，AB=CD（或ABCD），∴四边形ABCD是平行四边形。归纳总结：平行四边形的判定方法：1.定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2.边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3.边：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4.角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。5.对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。思考与辨析：*“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个说法对吗？为什么？*（不对，例如等腰梯形。）*“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”这个说法对吗？*（引导学生思考，通常此说法不成立，可构造反例。）例题解析例3：已知：如图，在四边形ABCD中，AD