2026年高考一轮复习讲义：空间直线、平面的平行（附答案）

§7.4空间直线、平面的平行

【课标要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明2掌握直线与平

面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

・落实主干知识・

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线

与此平面内的i条直——a

判定定理/____b/bua}=a//a

线平行，那么该直线h____/a^_b)

与此平面平行

一条直线与一个平面

平行，如果过该直线

\=^a//b

性质定理的平面与此平面相

ar\p=b)

交，那么该直线与交

线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内

判auB)

的两条相交直线bu6

定

与另个平面平aC\b=P

定a〃a

行，那么这两个口

理b〃a,

平面平行

两个平面平行，

性

如果另一个平面a〃)、

质

与这两个平面担afly=a，=。〃b

定/?Ay=b

交，那么两条交严t

理

级平行

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(X)

(2)若直线。与平面。内无数条直线平行，则a〃a.(X)

(3)若直线au平面«,直线从=平面“，a//b,则a//p.(X)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(X)

2.如果直线a〃平面”，那么直线。与平面a内的()

A.—条直线不相交

B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交

D.任意一条直线都不相交

答案D

解析因为直线。〃平面a,直线。与平面a无公共点，因此直线。与平面a内的任意一条直线都不相交.

3.设有两条不同的直线〃?，〃和两个不同的平面a,P，则下列命题正确的是()

A.若tn//a,n//af则m//n

B.若〃?〃a,/n〃£,则a〃/?

C.若m//〃，in//a,则n//a

D.若a//fifmc.a,则m//fi

答案D

解析若m//a,n//a,则in,n且以平行、相交或异面，故A错误；

若,m///i,则a〃夕或a/相交，故B错误；

若mi/n,m//a,则n//a或〃UQ,故C错误；

若a//p,mca,则m//p,故D正确.

4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形ErG”为截面，则四边形的形状为.

答案平行四边形

解析,・,平面A8五石〃平面DCGH,

又平面平面ABFE=EF,

平面EFGHC平面DCGH=HG,

・・・石尸〃”6.同理工”〃尸6,

四边形EFGH是平行四边形.

回微点提醒

1.掌握三种平行关系的转化

________________性质定理

行一P一判定定理二KF一一定定理4工b一

线线叫FST线面叫面面平仃

2.灵活应用以下结论

⑴垂直于同一条直线的两个平面平行，即若川,则。〃佚

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃夕，p//y,则a〃y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即。_1扇b上a,则。〃儿

(4)若a〃夕，aua,则4〃伙

---------------------------探究核心题型---------

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥/MBCO中，底面A3CO为梯形，AB/7CD,AB=2,CD=4,E为PC的中点.

求证：BE〃平面PAD

证明方法一如图，取P。的中点尸，连接£7"£4.

由题意知E尸为△PQC的中位线，

C.EF//CD,且EF=1CD=2.

又•：AB〃CD,AB=2,CD=4,C.AB^EF,

・•・四边形尸为平行四边形，

：.BE//AF.

又AR=平面PAD,BEU平面PAD,

，8七〃平面PAD.

方法二如图，延长D4,相交于H,连接PH,

'JAB//CD,AB=2,CD=4,

•・HC~CD~2，

即8为的中点，

又E为PC的中点、：,BE"PH,

又跳五平面PAD,PHu平面PAD,

."E〃平面PAD.

方法三如图，取C。的中点〃，连接HE,

TE为PC的中点,

J.EH//PD,

又平面PAD,POu平面PAD,

••・E〃〃平面PAD,

又由题意知，

••・四边形A3”。为平行四边形、：.BH//AD,

又AOu平面PAD,平面PAD,

・・・8，〃平面PAD,

又BHCEH=H,BH,EHu平面BHE,

，平面BHE〃平面PAD,

又BEu平面BHE,.'.BE〃平面PAD.

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥RA8C。中，四边形A4C。是平行四边形，M是PC的中点，在。用上取一

点G,过G和PA作平面交BD于点H.

B

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接AC交8。于点O,连接。例.

I

奉，

•・•四边形A8CQ是平行四边形，・・・。是AC的中点，

又M是尸C的中点，

：.PA//OM,

又OMu平面BMD,P4U平面BMD,

平面BMD,

又P4u平面PAHG,平面P4”Gn平面BMD=GH,,PA//GH.

思维升华（1）判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义（无公共点）.

②利用线面平行的判定定理（。仁。,baa,a//b=>a//a）.

③利用面面平行的性质S〃/y,au（i=a〃［，）.

④利用面面平行的性质（a〃夕，a（tp,a//a=^a//p）.

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

跟踪训练1如图，四边形A8CO为长方形，点E,厂分别为A。，QC的中点.设平面QDCn平面

PBE=l.

证明：

(1)。尸〃平面PBE；

(2)。尸〃/.

证明(I)取P8的中点G,连接FG,EG,

因为点尸为PC的中点，

所以FG//BC,FG=^BC,

因为四边形ABC。为长方形，

所以BC//AD,且BC=AD,

所以DE//FG,DE=FG,

所以四边形QEGF为平行四边形，

所以DF//GE,

因为平面PBE,GEu平面PBE,所以〃平面PBE.

⑵由(1)知〃平面PBE,

又OPu平面PDC,平面POCD平面PBE=l,

所以DF〃/.

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3(1)如图，在三棱柱A3C-4&G中，D,E,尸分别是棱囱G，AC,8c的中点.证明：4。〃平面

C\EF

证明连接。D

因为E,产分别是棱AC,8C的中点，所以EF//AB.

因为ER=平面C\EF,ABU平面CiEF,

所以A8〃平面C\EF.

因为D，尸分别是棱巴G,8c的中点，所以BF7/GD,BF=C]D,

所以四边形BDGP是平行四边形，则BD//CxF.

因为GFu平面GEF,BQC平面CtEF,所以8。〃平面GEF.

因为ABCBD=B,AI3,"Ou平面ABD,

所以平面AA。〃平面CiEF,

因为AOu平面A8O,所以AO〃平面GEF.

(2)如图所示，A4,8%为圆台的两条不同的母线，。”。分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证:

AiBi/7AB.

证明•・•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，

.••圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

・•・母线A4与母线881的延长线必交于一点，

,4,3,,四点共面.

;圆。i〃圆0,且平面ABBACY0尸48，平面ABBAC圆O=AB.

「・4向〃A8.

思维升华（1）证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行（/，/_L.=a〃0.

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行（。〃夕,

（2）当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.

跟踪训练2如图所示，在三棱柱A8C-4BG中，过BC的平面与上底面48G交于GH（G”与SG

不重合）.

（1）求证：BC//GH；

（2）若E,F,G分别是AB,AC,A向的中点，求证：平面E尸4〃平面8C”G.

证明（1）・・•在三棱柱中，

,平面ABC〃平面A山］G,

又•・•平面BCUGA平面ABC=BC,

且平面8C”Gn平面AiBiG=GH,

・•・由面面平行的性质定理得BC//GH.

⑵・・，E,尸分别为AB,AC的中点,

：.EF//BC,

BCHG,8Cu平面I3CHG,

・・・EF〃平面BCHG.

又G,E分别为4片，A8的中点

：.AxG^=EB,

J四边形4EBG是平行四边形，・・・AE〃G8.

•••AiEC平面BCHG,GBu平面BCHG,

・・・4E〃平面BCHG.

又〈AiECEF=E,A]E,石尸u平面EFA一

・•・平面EF4〃平面BCHG.

题型三平行关系的综合应用

例4如图，在斜三棱柱/WC-A出G中，D,。分别为AC,4G上的点.

用A\DiC\

B

⑴当当为何值时,8G〃平面ABQi；

(2)若平面8G。〃平面4E5，求竽I勺值.

解(1)当黑1=1时，〃平面A加。i.

如图，连接A山交八8于点。，连接0U.

由棱柱的性质知，四边形4AB历为平行四边形，

・••点。为A小的中点.

在△4BG中，O,。1分别为AxB,A1C1的中点，

:・OD、〃BC\.

又OQu平面ABiDi,8GC平面ABD,

・・・8G〃平面ABA.

,当黑1=1时，BG〃平面ABB.

01cl

(2)由已知，平面8GD〃平面ABIOI,且平面平面,平面48GCI平面A8Qi=OQ].

因此BG〃O。，同理AO/OG.

♦A[D]_Ai。i4[D[_DC

**DiCi~OB，-iCj4Z/

又黑=1,••考=1,即M：i.

OBADDC

思维升华解决面面平行问题的关键点

(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在

应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于

“模式化”.

(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.

跟踪训练3如图，在四棱锥A-BCOEU」，N是8c的中点，四边形8CDE为平行四边形.试探究在线

段AE上是否存在点M,使得MN〃平面ACO?若存在，请确定M点的位置，并给予证明；若不存在,

请说明理由.

解在线段AE上存在点M,且M为AE的中点，使得MN〃平面ACD

证明如下：

取A0的中点G,连接CG,GM,如图.

因为M为AE的中点，

所以GM//DE,且GM=^DE.

因为“为的中点，且四边形BCDE为平行四边形，所以CN//DE,且CN=^DE,

所以GM//CN,且GM=CN,

所以四边形CNMG为平行四边形.

所以GC//MN.

因为GCu平面ACD,MNU平面ACD,

所以MN〃平面ACD

课时精练

［分值：90分］

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.已知两个不同的平面a,£和两条不同的直线/〃，小下面四个命题中，正确的是（）

A.若in//〃，〃ua,则in//a

B.若〃7〃a,〃〃a且〃?u/?,则a〃夕

C.若〃z〃"，〃u"，则〃/〃〃

D.若inYa,m-L/i,则a//p

答案D

解析对于A,若m//n,〃ua,则in//a或mua,故A错误；

对于B,当m//a,n//a，mu”,nuQ且in与n相交时，a//P,故B错误；

对于C,若in//a,〃UQ,则用〃〃或m与n异面，故C错误；

对于D,由线面垂直的性质可以证得，故D正确.

2.如图，已知P为四边形48C。外一点，E,尸分别为8。，P。上的点，若E"〃平面P8C,贝小）

\.EF//PA

B.EF//PB

C.EF!/PC

D.以上均有可能

答案B

解析由线面平行的性质定理可知EV〃夕正

3.（2025・贵阳模拟）设/为直线，a为平面，则/〃"的一个充要条件是（）

A.a内存在一条直线与/平行

B./平行a内无数条直线

C.垂直于a的直线都垂直于/

D.存在一个与a平行的平面经过/

答案D

解析对于A中，由。内存在一条直线与/平行，则/〃a或/ua,所以A不正确；

对于B中，由/平行a内无数条直线，则/〃a或/ua,所以B不正确；

对于C中，由垂直于a的直线都垂直于I,则/〃a或lua,所以C不正确；

对于D中，如图所示，由/〃a,在直线/上任取一点P作直线a,使得a//a,因为/fla=P且I,仁平面p,

所以a//p,即充分性成立；反之，若存在一个与a平行的平面经过/,根据面面平行的性质，可得l//u.,

即必要性成立，所以D正确.

4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面a〃平面A8C,且Q分别交线段PA,PB,PC于点、A',方，C,

若PA':AA'=2：3,则Swsc:Sase等于（）

A.2:3B.2:5

C.4:9D.4：25

答案D

解析•・•平面a〃平面A8C,

^A'CV/AC,A'BV/AB,BC//BC,

:SWBC:：PA)2,

又PA':AAf=2:3,：,PA'：PA=2：5,

SAABC':SA.A8c=4:25.

5.（2024•衡水模拟）如图，Q为平行四边形ABC。所在平面外一点，石为4。的中点，F为PC上一点、,当PA

〃平面E8F时，£等于（）

答案D

解析连接AC交8E于点G,连接产G,因为PA〃平面EBF,PAu平面PAC,平面PACCl平面EBF=FG,

所以PA//FG,所以登二区又AO〃8C,E为4。的中点，

所以冷祟J所以会提

6.（2025・广州模拟）如图，在三棱柱A8C-A向G中，AM=2MAlfBN=2NBi，过MN作一平面分别交底面

△ABC的边8C,AC于点E,F,则（

\.MF〃EB

B.Ai&〃NE

C.四边形MNE/为平行四边形

D.四边形MNE/为梯形

答案D

解析由于8,E,尸三点共面，尸£平面BEF,

MC平面BEF,EB不过点尸，故加尸，E8为异面直线，故A错误；

由于当,N,E三点共面，田£平面8WE,A任平面8WE,NE不过点巴，故481，N£为异面直线，故B

错误;

•・•在平行四边形中，AM=2M4,

BN=2NB\,：・AM〃BN,AM=BN,

故四边形AMN8为平行四边形，.*MN〃A8.

又平面ABC,ABu平面ABC,

.'MN〃平面48c.

又MWu平面MNEF,平面MNE/n平面ABC=EF,：.MN//EF,：.EF//AB,

显然在△48。中，EFWAB，:.EFWMN,

・•・四边形MNE/为梯形，故C错误，D正确.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.下列说法不正确的有（）

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

答案ABD

解析若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直线可能立行，也可能异面，也可能相交，故A错误；

若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，这两个平面可能平行，也可能相交，故B错误；由线面

平行的性质定理可知C正确；若两个平面垂直同一个平面，则两平面可以平行，也可以垂直，故D错误.

8.已知三棱台ABC-/T夕U,上、下底面边长之比为1：2,棱A8,BC,4c的中点分别为点M,P,N,则

下列结论错误的有（）

A.A'N〃PC

B.A了与AC为异面直线

C.A8/平面AC了

D.平面AMN〃平面BCCB'

答案AC

解析对于A,因为4Nu平面A'C'CA,CW平面AVCA,PC平面A'C'CA,且CWA'N,所以ATV,PC是

异面直线，故A错误；

B

对于B,因为ACu平面ACCA,平面/VCC4,PC平面ACC4,且AqAC,所以4尸与AC为异面直

线，故B正确；

对于C,因为棱人8,8C的中点分别为点M,所以AC〃MP,因为AC//A'C,所以,可得

平面4cpM=M,故C错误；

对于D,因为A8,AC的中点分别为点M,N,所以MN//BC,因为MNC平面BCCB,ACu平面BCCB1,

所以WN〃平面BCCB',因为AC/ZA'C,A'C'=^AC=NC,所以四边形ACCN为平行四边形，可得A7V〃

CC,因为AMt平面BCCB,CCu平面BCCB',所以47V〃平面BCCE,因为MNCA'N=N,MN,A'Nu

平面/VMN,所以平面/TMN〃平面ACCE,故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.如图，a//p,△P48所在的平面与a,4分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则A8=.

答案|

解析、：a〃B,△PA8所在的平面与a,4分别交于CQ,/W,

J.CD//AB,贝IJ竺二殁,

PAAB

.iPAXCD5X15

..AD=---P-C-=--2--=-2.

10.如绍所示，在正四楂柱/WCO-ASG"中，E,F,G,”分别是棱CG，G。，0c的中点，N

是3c的中点，点M在四边形EFG〃及其内部运动，则M只需满足条件,就有MN

〃平面“由DOM注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案点M与点〃重合（点M在线段777上即可）

解析连接“N,尸“，RV(图略)，

则EH//DDi,HN//BD,FHRHN=H,FH,HNu平面FHN,L)l)\,8Ou平面,

，平面/7/N〃平面BiBDDi,只需MSFH,

则MMz平面FHN，二MN〃平面&BDDi.

四、解答题（共28分）

11.（13分）如图，P为平行四边形ABC。所在平面外一点，M,N分别是A8,PC的中点.

AMB

（1）证明:MN〃平面PAD；（7分）

⑵若平面PAOn平面P8C”判断BC与/的位置关系，并证明你的结论.（6分）

⑴证明取C。中点。，连接M。，NQ.

因为M,N,。分别为48,PC,C。的中点，

故MQ〃A。，NQ//PD,

又M2c平面PAD,ADu平面PAD,

故M2〃平面PAD,同理NQ〃平面PAD.

又MQ,NQu平面MNQ,MQC\NQ=Q,

故平面MNQ〃平面PAD,

又MVu平面MNQ,故MN〃平面PAD.

(2)解BC//1,证明如下.

因为四边形A8C。为平行四边形，

H.AD//BC,

又BCU平面PAD,AOu平面PAD,

故8C〃平面PAD.

又平面P/Wn平面PBC=l,BCu平面PBC,

故BC〃l.

12.(15分)如图，在直四棱柱A8CQ-A出G。中，底面ABC如为正方形,E为棱的中点,48=2,44=3.

(1)求三棱锥4-BOE的体积；(6分)

⑵在。G上是否存在一点P,使得平面PAC〃平面E8D如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在,

请说明理由.(9分)

解⑴在直四棱柱A8CD-A囚G。中，44_1平面43。。，

所以P三棱椎八-/吸=丫三横锥E-ABD=-AE-S/.AHD

£«5

=-X-X-X2X2=l.