中考数学总复习《角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质》专项测试卷（含答案）

中考数学总复习《角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质》专项测试卷（含

答案）专项训练

考点一角平分线的判定与性质

例1.（2026•江苏连云港•二模）如图，四边形A8CO是矩形tanNC8D=；,AC,8。交于点0,DE平分NBDC,

根据尺规作图的痕迹，若CE=4,则。/的长是（）

A.8B.2x/10+2C.3x/5+2D.12

例2.（2026•湖南岳阳•二模）如图，在中，ZC=90°,以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB,AC

于点D,E,再分别以点。，E为圆心，大于goE为半径画弧.两弧在N84C内相交于点八作射线A尸交边8C

于点G,若CG=4,下列结论正确的是（）

B.AC=BG

C.点G到AB的距离为4D./8=30。

例3.（2026•江苏苏州•一模）如图，在VA4c中ZBAC=90°,8。平分/ABC,AC=10且AD:0C=2:3,贝ij8C

的长为（）

A.15B.46C.16D.6>/5

例4.（2026•河南许昌•二模）如果三角形的两个内角Na与“满足2a+Q=90。，那么，我们将这样的三角形称为

“准互余三角形如图，在VABC中已知NC=90。BC=3AC=4点。在AC边上连接80.如果△A8O

第1页共32页

为“准互余三角形”那么线段AO的长为

例5.（2026•四川成都•二模）如图在“磁中。。是NAC8的立分线在0c的延长线上取一点E连接AE

BE已知NC4E+NC8E=ZAEC=45。=AC=y则8c的长.

例6.（2026•四川成都•二模）如图在VA3C中ZBAC=90M为VA8C三条角平分线的交点过点M作

EFLAM分别交ABAC于点EFN为BC的中点连接MNBMCM若4W=4MB=2MC则。尸的

长为MN的长为.

变式L（2026•浙江杭州•一模）如图点P是ZAO8的角平分线上一点PE±OA于点E点/是射线。8上任意

PFNPEC.PF<PED.PF4PE

变式2.（2026•山东临沂•一模）如图在VA8C中AB=\0AC=6S**=32.按如下步骤作图:

①以点A为圆心以适当长为半径画弧交AB于点G交AC于点”再分别以点G"为圆心以大于gG”的

长为半径画弧两弧在/B4C的内部相交于点石作射线AE交8c边于点。

第2页共32页

②分别以点4。为圆心以大于《月。的长为半径画弧两弧相交于点MN作直线交4。于点足则△越「

的面积为（）

A

A.2B.16.5C.12D.10

变式3.（2026•安徽芜湖•二模）如图在8c中NAC4=90。ZBAC=45°4。平分NZMC交BC于点、

D延长AC到点E使CE=C£＞连接BE交A。的延长线于点广则下列结论错误的是（）

A.AD=BEB.AB=AE

C.AB:BD=2五D.CD:BD=y/2:2

变式4.（2026•山西忻州•模拟预测）如图在用48c中ZBAC=90°AB=5BC=13.点、D七分别在AC

BC边上连接OENAED的平分线交线段AC于点/若CD=DE=5则线段"的长为.

第3页共32页

变式5.（2026•湖北•二模）如图V48C中CO平分/ACBDE；/AC交BC于点E若BC=7DE=3则BE

长度为

变式6.（2026•云南大理•二模）如图在VA8C中ZACB=90°以点8为圆心适当长为半径面弧分别交网

BC于点MN再分别以点MN为圆心大于;MN的长为半径画弧两弧交于点P作射线AP交4。于点

。.若CO=4AB=13则△ABD的面积为.

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考点二垂直平分线的判定与性质

例1.（2026•山东聊城•模拟预测）如图矩形48c力中点E是边4B的中点点尸是对角线AC的垂直平分线上的

一动点若/W=1OAD=\2则A/+即的最小值是（）

A.2病B.13C.8D.4G

例2.（2026•内蒙古通辽•模拟预测）如图在VA3C中ZACA=90。.分别以点A和点C为圆心大于;AC的长

为半径作弧两弧相交于M，N两点作直线MN.直线MN与A8相交于点。连接C。若AB=6则。。的长

例3.（2026•湖北♦二模）如图点。在O±以点。为圆心适当长为半径作弧交弦AB于M，N两点再分别以

点M和点N为圆心大于:MN的长为半径作弧两弧在。。外相交于点P射线。P交。。于点C若

NBDC=25。则/AOC的度数是（）

A.25°B.30°C.45°D.50°

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例4.（2026•云南昆明•二模）如图在VA4C中AB=2AC=3分别以点B和点C为圆心大于;8C的长为

半径作弧两弧相交于MN两点作直线MN交AC于点。连接4。则△AB。的周长为.

例5.（2026•江苏南京一模）如图在V44C中分别作N4BC的平分线和3C的垂直平分线相交于点。且点。

例6.（25.26九年级下•四川成都•阶段检测）如图在VABC中AB=ACAB的垂直平分线交AB于点。交AC

于点E.已知的周长为8AC-BC=2则48的长是_________.

变式1.（2026•陕西榆林•模拟预测）如图在VABC中AC=1BC=\0AB边的垂直平分线分别与48BC交

于点。E连接4E则ASCE的周长为（）

A.17B.24C.26D.27

第6页共32页

变式2.（2026•天津宁河•二模）如图在VA4c中分别以点3C为圆心大于58c长为半径画弧两弧交于点

MN作直线MN交边AC于点。交边BC于点E连接8。若CD=2CE则的大小为（）

B.110°C.120°D.130°

变式3.（2026•天津西青•一模）如图在VA3。中BOAOAB以点A为圆心A8的长为半径作弧交3c于

点。再分别以点。和点。为圆心大于的长为半径作弧两孤分别相交于点M和点N作直线MN交AC于

点七交BC于点F.若BD=6DF=4VADE的周长是15则V4BC的周长为（）

变式4.（2026•湖南•模拟预测）如图/历=2分别以点AB为圆心A8长为半径画弧在A8两侧交于点C

D连接CD则CD的长为

第7页共32页

变式5.（2026•辽宁铁岭•一模）如图在VA4c中NAC3=90。AB=6分别以点AC为圆心以大于（AC

的长为半径画弧两弧相交于MN两点作直线MN与斜边AA交于点。与直角边AC交于点E连接CO.则

线段C7）的长为

变式6.（2026•河南郑州•一模）如图在矩形囚灰刀中Z4Cfi=60°5C=8点P为对角线AC上一点将线段

”绕点尸逆时针旋转得到线段PQ点。在射线AB上当PQ的垂直平分线MN经过矩形一边的中点时AP的长

参考答案

例1.（2026•江苏连云港•二模）如图四边形AB8是矩形tanZCBD=|ACRD交于点ODE平分NBDC

根据尺规作图的痕迹若CE=4则。”的长是（）

A.8B.2x/10+2C.3石+2D.12

【答案】B

【分析】过点E作于点〃由角平分线性质定理得硝=CE=4根据tan/C8O=*得BH=T2

0/73

求得8。=4屈+4再证明。户是VA8C的中位线即可求解.

【详解】解：如图过点E作EH上BD于点H

四边形A8CO是矩形

-­•ZBCD-=ZABC=900AO=CO=BO=DO

第8页共32页

•DE平分NBDCEH1BD

••EH=CE=4

EH1

在Rt二5切中EH=4tanZCSD=—=-

BH3

•••8H=12

在RtBK”中由勾股定理得8七=JBH?+EH?=7122+42=4而

•，.BC=BE+CE=4V10+4

由尺规作图的痕迹知=NAC8

OF//BC

,AF_AO

~FB~~CO

'：AO=CO

••AF=BF

•・•点尸是A8的中点

。”是VA8c的中位线

OF=-BC=2x/10+2.

2

例2.（2026•湖南岳阳•二模）如图在中ZC=90°以点4为圆心适当长度为半径画弧交ABAC

于点。E再分别以点。E为圆心大于为半径画弧•两弧在N3AC内相交于点尸作射线A尸交边8C

于点G若CG=4下列结论正确的是（）

C.点G到A8的距离为4D.NB=30。

【答案】C

【详解】解：由作图得AG平分/8AC

•.CG=4

第9页共32页

•••点G到A8的距离=CG=4故C正确

根据题氤无法得到NCAG=4AC=BGZfi=30°故ABD错误.

例3.（2026•江苏苏州•一模）如图在VA8C中ZBAC=90°8。平分NA8CAC=10且AD:DC=2:3则

BC的长为（）

A.15B.4石C.16D.6x/5

【答案】D

【分析】本题主要考查了角平分线的性质和勾股定理根据已知条件求出4。长度再利用角平分线的性质得到

A。与点。到AC的距离相等最后在此一ABC中根据勾股定理求得BC.

【详解】解：•.4C=1OAD:DC=2:3

?933

/.AD=ACx-----=10x-=4DC=ACx—=10x-=6

2+352+35

如图：过点O作8c边上的高OE

则有OW±BC

Q4O平分/ABCZBAC=90°DF±BC

:.AD=DF

在用ABD^Rt中

AD=DF

BD=BD

RfaFBD(HL)

:.AB=BF

DF1BC

・••在RaOFC中DC=6AD=DF=4

。尸2+FC?=DC2

.'.42+FC2=62

.•.尸C=2石

第10页共32页

•：AB=BF4c=10BC=BF+FC=BF+2后

在Rl.ABC中AB?+AC2=BC2

B/2+1()2=(B产+2逐丫

BF=4也

BC=BF+FC=4亚+2君=6币.

例4.(2026•河南许昌•二模)如果三角形的两个内角Na与勿满足2a+/=90。那么我们将这样的三角形称为

“准互余三角形”.如图在V4BC中已知NC=90。BC=3AC=4点。在AC边上连接BO.如果△A8O

为“准互余三角形”那么线段4。的长为.

【分析】作DW1A8于点M设AZ)=x则DC=AC—4O=4—x根据题意分类讨论当NX+2N44Q=90。

时易得8。平分/AAC根据角平分线的性质和/A的正弦值列出方程求解即可当244+440=90。时

易得NA=N/)8C根据-A的正切值列出方程求解即可.

【详解】解：如图过点。作于点M

设AO=x贝iJ/)C=AC-AD=4-x

•・•在V/IBC中ZC=9008c=3AC=4

•••AB=>/AC2+BC2=V32+42=5

..BC3BC3

则nsinAA==—tanAA==—

AB5AC4

△A8。为“准互余三角形”

ZA+2Z4BD=90°^2ZA+Z4BD=90°

当NA+2ZA8O=90。时

•；ZA+ZABD+ZDBC-90°

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・•.NABD=NDBC即BD平分NABC

DM上ABZC=90°

DM=DC=4-x

在RtZkAMO中sinA=—=-即50M=3AO

AD5

贝i」5（4-x）=3x

解得户g

当2NA+ZABO=90。时

'：ZA+ZABD+ADBC=90°

・•.ZA=ZDBC

+生DC3

在Rt△BCZ?中tanA4=-----——

BC4

综上所述线段A。的长为T或

例5.（2026•四川成都•二模）如图在△AC4中CQ是/AC8的立分线在0c的延长线上取一点七连接AE

BE已知NC4E+NCAE=ZAEC=45。tanzfCTE=-AC=—则3C的长__________.

127

【答案】

119

TT

【分析】作出辅助线得到.SHE为等腰直角三角形由此可得NC4”=NC8E再利用正切值以及勾股定理可求

解八H与"C的长度再由等腰可得，£二八"由此可得CE=5再由三角形三切的关系设CM=5x再利用

角的关系得到NC8M=NC8E结合三角形面积得到边的比例可解得砥=12利用勾股定理求解文的值由此

可解.

【详解】解：过点A作A，_LED的延长线于点，过点B作AM_LCO过点C作CN_LBE如图

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A

B

•：AH工EDZAEC=45°

・•.A/花为等腰直角三角形

ZEAH=45°即ZC4E+ZC4/7=45°

vZC4E+ZCBE=45o

ZCAH=NCBE则tanZCAH=tan/CBE=卷

在Rt^AHC中tanZC4/7=—=—

AH12

^HC=—AHKAC=—

127

在Rt：.AHC中A"?+HC2=4C2

即+=（竺］解得4H=的

112））7

56025

则，C=—AH=—X—=一

121277

：.HE=AH=—

7

..CE=HE-HC=AH-HC==5

77

•••CO是/ACA的平分线

ZACH=NBCM

67C

在Rt.AHC中tanZACH=--=

HC275

在RJBCM中则tan/BCM=—=—

CM5

设CM=5x则8M=12x

2222

在Rt^AHC中BC=VCM+BM=>/（5X）+（12X）=I3X

•••Z4C，=NBCM

在Rt..AHC中ZACH+ZCAH=90°

在Ri一BCM中/BCM+NCBM=90°

第13页共32页

：-4CAH=4CBM

乙CBM=ZCBE

••.8C为NEBM的角分线

:BM上CDCNA.BE

:.CM=CN

c—xBMxCM.

..SBCM:2JMDx

sKELXBEXCNBE

2

c—xCMxBM厂&〃

又...L^L=2=CM

SscELXCEXBMCE

2

CMBMniI5x12x

CEBE5BE

解得BE=12

•:ME=CMiCE=5x\5

在Rt-BME中BM?+ME?=BE2

则（12X『+（5X+5）2=I22

即169W+50x-119=0可得（169x—119）（x+l）=0

1|Q

解得x=¥（负值舍掉）

169

…厂口119119

故BC=13x——=——.

16913

例6.（2026•四川成都•二模）如图在VABC中ZBAC=90M为VA8C三条角平分线的交点过点M作

EFLAM分别交48AC于点EFN为BC的中点连接MNBMCM若AM=4MB=2MC则C尸的

长为.MN的长为

【答案】2Vl7

【分析】根据两角分别相等证明BEM-MFC利用相似三角形对应边成比例结合条件用8=和4W=4

计算出C尸的长通过添加中点构造中位线构成新的直角三角形根据勾股定理求出MN的长.

【详解】•/ZBAC=90M为VABC三条角平分线的交点

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/.NE4M=ZFAM=-NBAC=45O4MBe=-ZABCNMCB=-/ACB

222

VEF1/W

:.ZAME=ZAMF,=90°

：.ZAEM=ZAFM=45°

：.AM=ME=MF

QAM=4

AM=ME=MF=4

・・Z4EM=ZA"=45。

NBEM=180°-ZAEM=180°-45°=135°

4CFM=180°-z^FM=i80°-45°=135°

.-.ZBEVf=ZCFW=135°

,、1

/BMC=180°-(NMBC+/MCB)=180。七NA8C+5NACB

=180°-3(180。-/船(7)=180°-450=1350

/./BMC=4BEM=ZCFM=135°

ZFMC=180-NBMC-NBME=180-NBEM-4BME=NEBM

BEMjMFC

.BEEM_MB

~MF~~FC~~CM

\MB=2MC

:.BE=2MF=8CF=-ME=2

2

连接8/取斯的中点?连接M?PN

则MP为AEBF的中位线PN为ABFC的中位线

MP//BEPM=-BE=4PNHCFPN=-CF=\

22

/ARF=/MPFZAFB=ZNPF

­.•NBAC=90

?./MPN=NMPF+/NPF=/ABF+ZAFB=180。-ZBAC=90

在用MPN中根据勾股定理得

MNDIPMRPN?=142+1=布•

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£

W

S

变式1.（2026•浙江杭州•一模）如图点P是乙408的角平分线上一点PE工OA于点、E点尸是射线。8上任意

PF>PEC.PF<PED.PFGPE

【答案】B

【分析】先结合角平分线的性质得点。到OB的距离=律又因为垂线段最短得出炉之所即可作答.

【详解】解：•.・点户是NAO4的角平分线上一点PE_L0A于点E

:.点P到0B的距离=EP

•••点F是射线。8上任意一点

••PFNPE.

变式2.（2026•山东临沂•一模）如图在VA4c中AB=\0AC=6S^ABC=32.按如下步骤作图：

①以点A为圆心以适当长为半径画孤交点G交AC于点、H再分别以点G〃为圆心以大于《GH的

长为半径画弧两弧在NB4C的内部相交于点E作射线AE交边于点力

②分别以点A。为圆心以大于34。的长为半径画弧两孤相交于点MN作直线MN交4。于点足则

的面积为（）

A.2B.16.5C.12D.10

【答案】D

【分析】由①可知A。为N3AC的角平分线由②可知MN为A。的垂直平分线由角平分线的性质得到点。到

A4的距高与点短到AC的距离相等则可推出'则可求出5八m二20再由线段的垂直平分线的性

◊ACDHL3

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质和三角形的中线平分三角形的面积可得答案.

【详解】解：由①可知40为的角平分线

•・•点。到AB的距离与点D到AC的距离相等

设点。到A8的距离为〃

./=48jo=5

S,ACD1ACh4。63

2

S.ABC=SABD+SACD=32

•*,SABD=ABC=2。

J"•J

由②可知MN为人。的垂直平分线

:.DF=-AD

2

*，,sBDI.=5sABD=io.

变式3.（2026•安徽芜湖•二模）如图在R【Z\A8C中46=90。ZBAC=45°A。平分N8AC交BC于点、

D延长AC到点E使C£=CO连接BE交A。的延长线于点F则下列结论错误的是（）

C.AB:BD=26D.CD:BD=42:2

【答案】C

【分析】由NAC8=90。N84C=45。可知VABC为等腰直角三角形设AC=3C=〃.利用角平分线定理求出CO

与BD再用勾股定理分别计算AOBEAE的长度及各比值即可判断各选项的正误.

【详解】解：•,48=90。ZI3AC=45°

.，人AC是等腰直角三角形

设AC=8C=a

/.AI3=dAC?+BC?=Oa4%=45°

平分NB4c

ZBAD=ZCAD=22.5°

•••八。平分/R4C

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点D到AB的距离等于CD的长

c4/?

SABD二

故由面积关系可知-^-=—BD

J△八CDACSACDCD

.变=空=回=夜

CDACa

BD=42CD

BD+CD=BC=a

:.CD（五+l）=a

CO=（&-1）〃BD=Q-啦）a

在RtZXACD中AD2=AC2+CD2=a2+（42-I）2a2=（4-242）a2

CE=CD={\[2-\]a

:.AE=AC+CE=a+（y/2-\）a=>/2a=AB

，选项B正确

在Rl-BCE中BE2=BC2+CE1=a2+«2（V2-I）2=（4-2夜）/

:,BE=AD

二•选项A正确

CD（夜一山_垃_1__也

BD~（2-V2）t?->/2（x/2-1）-x/2-2

：.CD:BD=y/2:2

选项D正确

,工荐Z:、心1工2上

BD（2-@aV2（V2-1）

二选项C错误.

变式4.（2026•山西忻州•模拟预测）如图在中ZBAC=90°AB=5BC=T3.点、D七分别在AC

8C边上连接。ENBED的平分线交线段AC十点/若CD=DE=5则线段A/的长为.

12

【答案】

【分析】先利用勾股定理求出4C的长通过作辅助线构造相似三角形求出相关线段长利用角平分线性质得到点

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尸到OE和8c的距离相等最后结合等面积法建立方程求出。尸的长进而求得人尸.

【详解】在RQA6C中N'SAC=90。A6=58c=13

由勾股定理得AC=^C2-AB2=>!i32-52=\2

如图过点尸作F7/8C于点尸过点、F作FQjDE于点Q

■:EF斗，分NBEDFP1BCFQ1DE

：.FQ=FP

设DF=a贝I」CF=CD+DF=5+a

•••NFPC=NBAC=90°/C=NC

:...CFSCBA

FPCF

ABBC

ABCF5（5+a）25+5〃

BC13----13

过点D作DHJ.BC于点H

•:CD=DE=5DHIBC

：.CH=EH=-CE

•：/DHC=NBAC=90。NC=NC

.kCDHsqBA

CHCD

ACBC

A-C----C--D---=1-2--x-5---=6-0---

1313

过点E作£K工AC于点K

VNEKC=NBAC=90°ZC=NC

:.CEKsCBA

EKCE

.丽一正

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120

A4CE"瓦600

--sDEF=-DEFQ=-DFEK

25+5i1600

—x5x=-X4X---

2

解得：〃吟

.•.AF=AC-CD-DF=\2-5--=l--=—.

IIIIII

变式5.（2026•湖北•二模）如图VA8C中。。平分NAC8。石〃AC交BC于点E若BC=7DE=3则踮

长度为.

【答案】4

【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到NC/）E=/ECO再根据等角对等边得到。£=。£最后利

用线段的和差关系求解.

【详解】解：・.8平分/AC8

:.NACD=NECD.

DE\AC

:.NCDE=NACD

:.NCDE=NECD

:.CE=DE.

DE=3

:.CE=3.

・.•BC=7

:.BE=BC-CE=7-3=4.

变式6.（2026•云南大理•二模）如图在V/WC中248=90。以点A为圆心适当长为半径面弧分别交班

BC于点MN再分别以点MN为圆心大于的长为半径画弧两弧交于点尸作射线8尸交AC于点

D.若CD=4A3=13则△A3。的面积为.

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A

【分析】根据作图痕迹可得8。是NA8C的平分线过点。作小，人/于点E根据角平分线的性质可得

DE=CD=4利用三角形面枳公式即可求解.

【详解】解：由作图痕迹可知8。平分NA8C如图过点。作于点E.

/.DCLBC.

QAO平分/ABCDEJ.ABCD=4

:.DE=CD=4

:.S,l(l)=-2ABDE=-2x\3x4=26.

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考点二垂直平分线的判定与性质

例1.（2026•山东聊城•模拟预测）如图矩形48c力中点E是边4B的中点点尸是对角线AC的垂直平分线上的

一动点若/W=1OAD=\2则A/+即的最小值是（）

A.2相B.13C.8D.4G

【答案】B

【分析】连接bCE由线段垂直平分线的性质可得A/从而可得"+EF=b+样NCE再结合矩形

的性质以及勾股定理计算即可得出结果.

【详解】解：如图连接C/CE

•••点/是对角线AC的垂直平分线上的一动点

：.AF=CF

.-.AF+EF=CF+EF>CE

••・四边形ABC。为矩形

.-.BC=AD=\2?B90?

•:点E是边AB的中点

:.BE=-AB=5

2

-CE=SJBE2+8C2=13

・•.AF+EF的最小值是13.

例2.（2026,内蒙古通辽•模拟预测）如图在VA4C中NAC4=90。.分别以点A和点。为圆心大于的长

为半径作弧两弧相交于"，N两点作直线MN.直线MN与AB相交于点Q连接CO若AB=6则C。的长

是（）

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M

C

A.1.5B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】由作图过程可知MN是4c的垂直平分线由垂直平分线的性质可得AO=C。由等边对等先得出

ZA=Z4CD进而证明NB=N8CD推出8可得CO是RlZsACB斜边上的中线进而即可求解.

【详解】解：由作图过程可知MN是AC的垂直平分线

：.AD=CD

：.ZA=ZACD

•••NAC8=90。

ZA+"=90°ZACD+/BCD=90°

：.4B=4BCD

:.BD=CD

AD=BD

:.CD是RtAACB斜边上的中线

■:AB—6

CD=-AB=3.

2

例3.（2026•湖北•二模）如图点。在上以点。为圆心适当长为半径作弧交弦A3于M,N两点再分别以

点M和点N为圆心大于（MN的长为半径作弧两弧在《。外相交于点"射线OP交于点C若

ABDC=25°则/AOC的度数是（）

A.25°B.30°C.45°D.50°

【答案】D

【分析】根据题意得知OP是线段MN'的垂直平分线得至命利用在同一个圆中等弧所对的圆心角相等

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同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解.

【详解】解：如图所示连接OS

由题意知：0P是线段MN的垂直平分线

"c=i；c

:.ZAOC=N80C,NBDC=-ZBOC

2

­：ZBDC=25°

例4.（2026•云南昆明•二模）如图在VA8C中AB=2AC=3分别以点8和点C为圆心大于35c的长为

半径作弧两弧相交于MN两点作直线MV交AC于点。连接8。则的周长为.

【分析】证明△A8Q的周长=43+AC即可解决问题.

【详解】解：由作图可知ON垂直平分线段CB

:.DB=DC

•••△A8D的周长=A5+AO+5Z）=A8+AO+OC=AB+4c=2+3=5.

例5.（2026•江苏南京•一模）如图在VA8C中分别作/A8C的平分线和BC的垂直平分线相交于点。且点。

在AC边上.若AO=2CD=4则8C=.

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【答案】4G

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得〃?=DC=4/DRC=/C结合角平分线的定义可得利

用两角对应相等证明根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可.

【详解】解：•・・点。在8C的垂直平分线上

；.DB=DC=44DBC=/C

Q8。平分/ABC

：.ZABD=ZDBC

ZABD二，C

又ZA=ZA

ABD^.ACB

ABADBD

~AC~~AB~~CB

•.•AD=2CD=4

AC=AZ）+CO=2+4=6

ABAD“，，

由K=F■得■=AOAC=2x6=12

ACAB

vAB>0

AB=4v2=2yl3

迎二四二二亚

CBACBC6

...g华=46.

275

例6.（25・26九年级下•四川成都•阶段检测）如图在VA3C中AB=AC48的垂直平分线交A5丁点。交AC

于点E.已知aBCE的周长为8AC-BC=2则A8的长是__________.

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A

【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=8£结合..BCE的周长为8推出4C+8C=8结合4C—8C=2

即可求解.

【详解】解：-DE垂直平分AB

•••AE=BE

・「8CE的周长为8

BE+CE+BC=AE+CE+BC=S即AC+8C=8

•・,AC-BC=2

AB=AC=5.

变式1.（2026•陕西榆林♦模拟预测）如图在VAAC中AC=7BC=1045边的垂直平分线分别与A8BC交

于点。E连接AE则A4CE的周长为（）

A

A.17B.24C.26D.27

【答案】A

【分析】根据垂直平分线的性质可得A石=4石则△ACE的周长=AE+Cf+4C=8E+CE+4C=8C+AC即可

求解.

【详解】解：•.•QE-是AA功的垂直平分线

:.AE=BE

•••△/48的周长=4£：+。£：+4（7=8石+6£+4。=8。+4。=10+7=17.

变式2.（2026•天津宁河•二模）如图在V48C中分别以点8C为圆心大于38。长为半径画弧两弧交于点

MN作直线MN交边AC于点。交边BC于点E连接8/）若CD=2CE则NAPB的大小为（）

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A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根据题意中尺规作图可知M/V是8C的垂直平分线从而BD=CD再由CO=2CE得到NC£）E=30。

利用等接三角形三线合一的性质得出/皿=60。从而利用补角的定义得出结果.

【详解】由作图痕迹可知MN为8c的垂直平分线

..BD=CDDELBC

:"BDE=/CDE

：CD=2CE

CF\

在Rt^CDE中sin/CDE=—=-

/.ZCDE=30°

；.NBDE=/CDE=3。。

.­.ZBZX7=6O°

二ZADB=180°-ZBDC=120°.

变式3.（2026•天津西青•一模）如图在VA3C中BC>AC>AB以点4为圆心A8的长为半径作弧交3c于

点。再分别以点D和点。为圆心大于go。的长为半径作弧两弧分别相交于点M和点N作直线MN交AC于

DF=4VAOE的周长是15则VA8C的周长为（）

C.25D.29

【答案】D

【分析】AB=ADDE=CE通过同一个圆的半径相等和垂直平分线的性质运用可得之后代换即可.

【详解】解：由题意可得：ABfD,DE=CEDF=CF

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CABC=AB+BC+AC

=AD+（BD+CD）+（AE+CE）

=AD+BD+2DF+DE+AM

=（AO+AM+DE）+BD+2DF

=15+6+2x4

=29.

变式4.（2026•湖南•模拟预测）如图AB=2分别以点AB为圆心A8长为半径画弧在A8两侧交于点C

D连接CO则。。的长为.

【答案】26

【分析】连接ACICA。］。由作法得：AC=BC=AB=AD=BD=2且CO垂直平分A8再结合勾股定理可

得OC。。的长即可.

【详解】解：如图连接AC,ACADB。

由作法得：AC=BC=AB=AD=BD=2且CQ垂直平分45

:.A0=—AB=1

2

••。。=〃。2一°片=下＞

同理OD=6

:.CD=OD+OC=2>H.

变式5.（2026•辽宁铁岭•一模）如图在VABC中NACB=90。AB=6分别以点4C为圆心以大于

2

的长为半径画弧两弧相交于MN两点作直线与斜边人8交于点。与直角边4C交于点E连接。。.则

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【分析】根据线段垂直平分线的性质得出44二。根据等腰二角形的性质得出/八「力=/4根据余角的性质得

出ZBCD=NB根据等腰三角形的判定得出C。=3力即可得出答案.

【详解】解：由作图步骤可知直线MN是线段AC的垂直平分线

•・・点。在AC的垂直平分线上

.-.AD=CD

.'.ZACD=ZA

又•.Z4C8=90。

.•."8=90。一NACO

vZB=90°-Z