2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升 培优点11 同构与异构（含解析）

培优点11同构与异构

［考情分析］同构、异构问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构、异构问题是指

在不等式、方程、函数中，通过等价变形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同

构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大.

考点一地位同等同构型

例1若©2。_好>4〃2_序+1,则（）

A.4«2>Z?2BAa2<b2

c（沪针D.G）飞y

答案D

解析因为4a2s2+1,

所以0或4/>整/+1,又乱以+12・接,

所以e此4/>e久炉，

令函数求导得/V）;

令g（K尸e'-2x,求导得8。）=g2,

当x〈In2时，g'（x）<0,当第>ln2时，g'（x）>0,所以函数g（x）在（~8,In2）上单调递减，在（In2,+8）上单调

…

则gCr）min招（In2）=e,n2-21n2=2（1-In2）>0,即八#>0,因此函数在R上单调递增，

不等式。犯4/>（?-〃等价于/2〃）》仍），于是2a>b,

对于A,B,取2a=1,h=-\,有4/二〃2,AB错误；

对于c,D,（茅田

即c错误，D正确.

［规律方法］含有地位相等的两个变量的不等式（方程），关键在于对不等式（方程）两边变形或先放缩再变形,

使不等式（方程）两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题.

跟踪演练1（多选）若2“+log2〃=才+21og血则（）

A.a>2bB.a<28

C.a>hD.a<b2

答案BC

解析由指数和对数的运算性质可得

2“+log2a=40+21。“=22Mog2b.

令y（x）=2r+iog2x,

则加）在（0,+8）上单调递增，因为">0,

所以2"+log2反2"'+log28<2"'+1（磔2/）,

所以2"+log2b<2"+log2a<22Mog22b,

即人切勺(0勺(2/力，所以b<a<2b.

考点二指对同构问题

例2(1)(2025・玉树模拟)设实数2>0,若对任意工£(1,+8),不等式』J(/l+l)x+lnx20恒成立，则2

的取值范围是()

A.(0,e]B.[e,+°°)

C.(0,i]叫+8)

答案D

解析因为对任意x£(l,+8),

不等式e;-v-(2+l)x+In工20恒成立，

即对任意x£(l,+8),不等式』'.九2x-lnx恒成立，即对任意x£(l,+8),不等式恒成

立，

因为上£(1,+°°),所以lnx>0,

又z>0，所以2r>0,令fix)=ex-x,k£(0,+°°),

则八k尸

所以JU)在(0,+8)上单调递增，

由不等式。对任意x£(l,+8)恒成立，得./(Zr)2jqn处对任意工S(1,+8)恒成立，

即Zr21nx对任意x£(l,+8)恒成立，

所以12等对任意x£(l,+8)恒成立，

令尸竽xe(i,+oo),则g'a)=l詈,

当"ve时,g'a)X),即g(x)在(1,e)上单调递增,

当x>e时，g'(x)<0,即g(x)在(e,+8)上单调递减，所以以戏网招(e)=：,

故72%即;I的取值范围是R，+8).

(2)(2025•郴州模拟)已知"r尸〃忙叫Inx(〃?>0),若_/U)有两个零点，则实数m的取值范围为()

A&DB.(0,3

C《，+8)陪，

答案A

解析若7U)有两个零点，则/U)中汨"-Inx=0有两个解，

等价于nue叫xlnx=0(x>0)有两个解，因为机>0,x>0,所以lnx>0,即x>l,

令g⑺=汨，/>0,原式等价于g(〃ir)=g(lnx)有两个解，

因为g")=(f+l)M,则当/>0时，g⑺>0,所以g")在(0,+8)上单调递增，

所以加x=lnx(x>1)有两个大于1的解.

由iwc=\nx,可得〃『也，令/?(幻二监Q1),

XX

则尸等，

当Ke时,//U)>0,当x>e时，力'(幻<0,

所以力。)在(1,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,且力(e)J,〃(%)的图象如图,

e

产力(x)y=m

le

所以当时，产〃?与力(x)二号的图象有两个交点，即7U)有两个零点，故实数〃?的取值范围是(0,

［规律方法］指对同构的常用形式

(1)积型:aea^b\nb,一般有三种同构方式:

①同左构造形式：oe"WInZ?cln",构造函数/(x)=xev;

②同右构造形式:e"lne"Wan狗造函数型x)=xlnx;

③取对构造形式:tj+ln/?+ln(lnb)(/?>l),构造函数J(x)=x+ln工

(2)商型：竺<3，一般有三种同构方式：

aIno

①同左构造形式：需，构造函数人外=?；

②同右构造形式：募W总构造函数凡i)二起

③取对构造形式:a-lnMn(lnd)(/»1),构造函数y(x)=x-ln

(3)和、差型：e±a>b±lnbf一般有两种同构方式：

①同左构造形式：ett±6f>cln/?±lnb,构造函数/x)=evix;

②同右构造形式：ctt±lncw>/?±lnb,构造函数j(x)=x±\nx.

跟踪演练2(2025•郑州模拟)已知函数於尸三照.

⑴求曲线产/(幻在点(1,次1))处的切线方程；

(2)当x£(0,2)时，求证：兀v)Wx-L

(1)解由题意可知人©上3吗纪吟

则八1)=1，又川)二().

故所求切线方程为产1X(x-l),y=x-1.

(2)证明当工£(0,2)时，要证/U尸三也Wx-1,

目口、p】nx”x-1

即证不忘就7，

即证盘W台在工£(0,2)上恒成立・

OftIP人工

令〃。)哈，则P。审,

故当时，〃'(x)>0,当x>l时，p'(x)<0,

所以P(X)在G8,1)上单调递增，左(1,+8)上单调递减,

令/(x)=lnx-x+l,工>(),

，/、

贝n.i1,1-X，

|JrV)=—X1=—X

故当0<x<l时，rf(x)>0,当x>\时，「(x)vO,

所以;(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则心)皿=葭1)=0,故1nXWx-1.

当xW(0,2)时，有即

故p(lnx)<〃(x-l),

即墨W若在x£(0，2)上恒成立，

故当上£(0,2)时，_/U)Wx-l.

考点三异构

例3证明：xe，-1>1nx+sinx.

证明要证xe'-1>ln.r+sinx,

即证.2-1-Inx-sinA>0,

又xcx-1-Inx-sinx=eA+,nr-l-In.r-sinx

=ev+lnx-(x+lnx)-1+x-sinQ>0).

令TU)二e0-l,.*./(x)=ex-l.

・••当大£(-8,o)时，/(x)<0；

当x£(0,+8)时,/(x)>0,

・・../U)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

工yWminX0)=0,

^0,当月仅当x=0时等号成立.

/.eA+1,t-(x+ln.r)-1^0,

当且仅当x+ln.r=0时取等号.

令3")=x-sinx(x>0),

•'e0)=1-cosGO,

・・・9(x)在(0,+8)上单调递增，・••贝r)>9(0)=0,

即x-sinx>0,

・•・ev+,Br-(x+lnx)-l+(x-sinx)>0,

即原不等式成立.

［规律方法］异构是指在不等式或方程中构造多个不同的函数，常与不等式e'2x+l,lnx^-1,x-sin

Q0(Q0)等相结合，考查不等式恒成立、证明不等式、求函数零点等.

跟踪演练3(2025・南昌模拟)己知正实数-y满足>2y-2=lnt+ln)，，则)产等于()

A.2B.V2C.-D.—

42

答案C

解析方法一,**j+2y-2=lnx+\ny,

.r>0,_y>0,

/.--Inx-2=lny-2y,

令/(x)=^-lnx-2,.r>(),

・•・/(旧W2，

八2x2x

当xE(O,2)时，/(A)<0,

当XE(2,+8)时，/(x)>o,

・7/U)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,

・，(x)min=/⑵=-ln2-1,

令g(y)=lny-2y,y>0,

$2==

当){(0,3时，g'()>0，

当)，£(卜+8)时，g'»)<0,

・・・g(y)在(。乡上单调递增,在a+8)上单调递减，

^(y)max=g(|)=ln1-1=-ln2-1,

・g)min=g(y)max,又fix)=g(y),

X2,后，.•.六(/W

方法二由题设可得ln(xj，)W+2)，-222月-2(当且仅当户4量时取等号),

即lnQ>，)N2j^-2,由于x,y均为正实数，

则In、传

设〃7(x)=lnxr+l,.rX),则小。)=31=9，

当X>1时，〃z'(x)<(),〃?(x)在(1,+8)上单调递减,

当(KE1时，W(.t)>0,〃?(x)在(0,1)上单调递增,・・・wia)W/n(l)=0,

In1,当且仅当JI=1时取等号，

1•InJxyW,当且仅当时取等号，

故{.;解喉2G”

专题强化练

［分值：58分］

单选题每小题5分，共20分

1.若命题“ma,a-cosbWb-cosa”为假命题，贝Ua,Z?的大小关系为()

A..a<hB.a>bC.aWb

答案B

解析由题意，命题的否定“Va、OUR,a-cosb>b-cosa**为其命题，即a+cosa>0+cos①

设/x)=v+cosx,则/(x)=1-sinx20,

所以JU)为增函数，又人。)次〃)，所以

2.(2025-白银模拟)若正实数x,y满足yln(.v>f)=e'»则y的最小值为()

A.lB.VeC.eD.2

答案C

解析由MnQy尸e',得外历⑶尸城，

故ln(xy)-e,n(ry)=xe'.

由题意得，工>0,xy>0,er>0,所以ln(xy)>0.

设,/«二裙，”0,则八。二(什1对乂)，

・・・加)在(0,+8)上单调递增，

,：An(xy)=xt

/.xy=ev,即>=—,x>0,"=

X"一X；2把,

当x£(o,I)时，y<o,产?在(0,1)上单调递减，

当x£(l,+8)时，)，>0,广三在(1,+8)上单调递增，，当尸1时，)，取得极小值也是最小值，最小值为e.

3.已知关于x的不等式axe'+x>l-ln.i有解，则实数。的取值范围为()

A(-M+B(V，+8)

D.(-8,

答案A

解析因为当工£(0,+8)时，ay+x>l-lni有解，

即axe'>1-Inx-k1-ln(xe*)(x>0)有解，

即譬%>。)有解，

令三汨(x>0),贝口£(0,+8),则詈有解，

设儿尸岁(。0),则八/尸等，

当owe」时，/(z)<o,yw单调递减,

当时，/(r)>o,人。单调递增，

所以当00,+8)时，财羽©2)二・专,

所以实数〃的取值范围为(一已，+8).

4.(2025•青岛模拟)若函数/)=x(l-e')+lnx+〃有2个零点，则实数a的取值范围是()

A.(-8,0)B.(-8,1]

C.[0,+8)D.(l,+8)

答案D

解析因为J(x)=x(1-ev)+lnx+a有商个零点，

所以.v(l-ev)+lnx+a=O有两个不同的解，

故x+lnx+«-eA+,n,I=O有两个不同的解，

设贝

r=jr+hix,A>0,X

故厂K+lnx在(0,+8)上单调递增，

而当工f()时，ff-8,当1f+8肘，/f+8,

故r=j+lnjv的值域为R,

故f+a-e'=0在R上有两个不同的解，

f

设s(n=/+a-et则s'")=l-e'，

当/<0时，sW>0;当/>0时，s")<0,

故s⑺在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，故s⑺ma、f(0)=a-l>0,即。>1,

又当；一+8时，—当，--8时，

故当。>1时，5(。有两个不同的零点，所以。的取值范围是(1,+°°).

5.(5分)已知x,y为正实数，Inx+lny=],则x+y的取值范围是.

答案[2,+°°)

解析由Inx+lny=^-x,x>0,y>0,

得In,v+x=-lnyH--=ln-+-,

•yyy

构造函数7(x)=lnx+x,x>0,

则/⑶=》1>0,

所以Kr)=lnx+x在(0,+8)上单调递增，

又Inx+x=\n^+^t所以7W1(；)，则弓，即所1，

由基本不等式可知x+y^2jxy=2,

当且仅当尸产1时等号成立，所以x+y的取值范围为[2,+8).

6.(5分)己知函数/U)=lnx+{a-1)x+1,不等式恒成立，则a的取值范围是

答案(-8,2]

解析依题意\nx+(al)x+l<xe，恒成立，

即e^^-Cv+lnx)-l-(a-2)x20恒成立，

令g(j[)=c^nx-(x+\nx)-l-(t7-2Xr(.r>0),

Vex-A-1^0,当且仅当产()时等号成立，

.*.eA+1,t-(x+lnx)-1^0,当且仅当x+ln.t=O时等号成立，

当a>2时，若InXO+X()=O(A()>O),

则^(Ao)=e°-O-1-(a-2)x()=-(a-2)x^<0,与g(x)20矛盾；

当aW2时，•・”>(),・・・(a-2)x<0恒成立，显然g(x)20恒成立，满足题意，

故〃的取值范围为(-8,2].

7.(13分)(2025・晋中模拟)已知函数尸骨巴.

(1)讨论火幻的单调性；(6分)

(2)若产」+公孑2班》)对任意.re(0,+8)恒成立，求实数a的取值范围.(7分)

解(1)函数及r)=W竺的定义域为(0,+8),

又/V尸-臂，令八幻=0,得尸1,

当％E(0,1)时，八幻>0,所以府)在(0,1)上单调递增；

当工七(1,+8)时，八幻<0,所以yw在(1,+8)上单调递减.

所以凡T)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1,+8).

⑵由欢X)对任意x£(o,+8)恒成立，得e""+ar-x21n加1对任意工£(0,+8)恒成立,即六

i+a