中考数学-一题多解-相似三角形中的分类讨论（原卷版）

第22讲相似三角形中的分类讨论

【应对方法与策略】

由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，函数一般是一次函数和二次函数，几何图形一

般是三角形和四边形。

一般有是否存在点P,使得：①△PDES/\ABC②以P、D、E为顶点的三角形与aABC相似。一般以大题

为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特

殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理.、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的

大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利

用相似来列方程求解。

涉及知识点：全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直第三角形中锐角三角函数，勾股定理，求

线段的长，要用到两点间的距离公式。

【多题一解】【一题多解】

一、解答题

1.(2022秋•吉林长春•八年级长春市第二实验中学校考期末)如图，已知。中，AB=AC=\0cm,

BC=8cm,点。为的中点.如果点P在线段8c上以3cm/s的速度由8点向C点运动，同时，点。在

线段CX上由C点向力点运动，设点P运动的时间为/

(I)用含/的代数式表示线段PC的长度.

（2）若点。的运动速度与点。的运动速度相等，经过1s后，△4PO与△C0P是否全等，请说明理由.

（3）若点。的运动速度与点尸的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使48尸。与△CQP全

等.

2.（2022秋•湖南长沙•八年级期中）在△力8c中，48=/C=10cm.

图1图2图3

（1）如图1,4W是△/4C的中线，MDL48于。点，于七点，MZA3cm,则ME=_cm.

（2）如图2,在（1）的条件下，连接DE交41/于点F,试猜想：

①FD_FE（填，'、"=”或"V"）；

®AM_DE（填位置关系）.

（3）如图3,3C=8cm,点。为14的中点，点尸在线段8c上由4向。运动，同时点。在线段C力上以

每秒2cm的速度由C向月运动，没点夕的运动时间为/秒.问：运动时间/为多少时，ABDP与APQC全

等？

3.（2021秋•江苏泰州•九年级姜堰区实验初中校考阶段练习）已知：如图，在矩形力8CQ中，AB=\0,

AD=4,动点E从点。出发，以5cm/s的速度沿着射线D4运动，动点尸问时从点/出发，以lcm/s的速

度向点4运动，当点厂运动到点8时，两点同时停止运动.

（1）设点E运动的时间为心当点后在线段力。上时，请用/的代数式表示4E=

2

（2）当，=gs时,

①求证：AE，=AF-DC;

②求证：AAEF〜4ECF；

（3）是否存在某一时刻，使得与△OEC相似？如果存在，请直接写出此时，的值.

4.（2021秋河南南阳•九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知RIZX4O8的两条直角边。力,

08分别在歹轴和x轴上，并且N,08的长分别是方程一―7x+12=0的两根动点尸从点A

开始在线段4。上以每秒1个单位长度的速度向点。运动；同时，动点。从点"开始在线段84上以每秒2

（2）求当f为何值时，以点A,P,。为顶点的三角形与V408相似，并直接写出相应点。的坐标；

（3）当1=2时;在坐标平面内，是否存在点使以A,P,〃为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请直接写出“点的坐标；若不存在，请说明理由.

5.（2021秋•上海长宁•九年级上海市延安初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为

…后,0）,点8在直线/：y=（x上且位于第三象限，过点8作48的垂线，过原点O作直线/的垂

线，两垂线相交于第二象限内的点C.

(1)设AC与力。相交于点。，

①若BA=BO,求证：CD=CO；

②求：点力到直线/的距离；

(2)是否存在点8,使得以力、B、C为顶点的三角形与以点&C、。为顶点的三角形相似？若存在，求

。8的长；若不存在，请说明理由.

6.(2021秋•河南平顶山•九年级校考阶段练习)如图，抛物线y=or2+6+c(c#0)与x轴交于/(I,0),

B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)设点P是位于直线8c下方的抛物线上一动点，过点尸作y轴的平行线交直线8c于点0,求线段

。。的最大值.

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线8C交于点M,问是否存在点P,使得以历，P,。为顶点

的三角形与△C8O相似？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

7.（2022•浙江•九年级专题练习）已知抛物线》=，（x+2）（x-〃?）与x轴负半轴交于点儿与x轴正半轴交

于点氏与y轴交于点C,点尸为抛物线上一动点（点P不与点C重合）.

(1)当414。为直角三角形时，求ZvlBC的面积.

(2)皿图，当4P〃8C时，过点尸作夕。心轴于点。，求8。的长；

(3)当以点力，B,尸为顶点的三角形和△48C相似时(不包括两个三角形全等)，求〃?的值.

8.(2022•安徽•统考模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，已知△/iBC中，乙48。=90。，8(4,0),

C(8,0),tan乙4c4=2,抛物线+以经过力，C两点.

(1)求点力的坐标及抛物线的解析式；

(2)如图2,过点力作/。1/14交4c的垂线于点Q,动点。从点4出发，沿线段力4向终点4运动，同时点

。从点C出发，沿线段CO向终点。运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为/秒，过点。作

PEL4B交AC于点E.

①过点E作EFL4D于点凡交抛物线于点G.当/为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？

②连接E0,在点P,。运动过程中，，为何值时，使得△CEQ与ZM8C相似？

9.(2022春•湖南娄底•九年级统考期中)如图，二次函数历・2的图象与x轴交于点4(-4,0)

和点8(1,0),与y轴交于点C,点、P(〃］，〃)在第三象限内的二次函数图象上运动.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,设四边形4/1PC的面积为S,试求S的最大值并求出比时点。坐标;

(3)如图2,点。在二次函数图象上，且位于直线力C下方，过点0作2MLiC,

垂足为点M,连接C。，若△CM0与NIOC相似，求点。的坐标.

10.(2020秋•湖南常德•九年级校考期中)如图，RAABC中,N4cB=90°,AC=6cm,8C=8cm.动点

“从点8出发，在4/1边上以3cm/s的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在C4边上以2cm/s的

速度向点8运动，运动时间为，5(0</<与)，连接MM.

(1)当/为何值时，与A/IBC相似？

(2)连接4V,CM,如图1所示，若ANA.CM,求/的值.

(3)当,为何值时，MMN是等腰三角形？

11.(2022•山东济宁•统考一模)如图，已知抛物线判=«?+与-6与x轴的交点/(-3,0),B(1,()),

与y轴的交点是点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线对称轴上一点，当P8+PC的值最小时，求点P的坐标；

(3)点M在抛物线上运动，点N在)，轴上运动，是否存在点"，N,使得NCMN=90,且以点C,M,N为

顶点的三角形与VO力C相似？若存在，求出点M和点N的坐标：若不存在，说明理由.

12.(2022・全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线》="?+以+1的对•称轴为直线工

=:,其图象与x轴交于点力和点8(4,0),与y轴交于点C.

(备月图)

(1)直接写出抛物线的解析式和乙C4O的度数:

(2)动点.Z,N同时从力点出发，点"以每秒3个单位的速度在线段48上运动,点N以每秒&个单位的

速度在线段力。上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.