人教版九年级数学上册 实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题）导学案

25.3实际问题与一元二次方程

（第3课时单循环赛问题）（导学案）

01学习目标

（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同

模型问题，热练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，规

范解题步骤.

（2）经历“情境感知一＞手动枚举一规律推导一模型归纳T变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建

模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.

（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值：在自主探究与合作交流中，增强探究意

识与学习自信心，养成严避规范的解题习惯.

重点：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式（工0一1）；利用单循环通用模型建立一元

二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.

难点：理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“x-1”和的实际意义；区分单循环与双循环问题，规避

2

两类模型公式混用错误；结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取舍方程的实数根.

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场,

求一共有多少个班级参赛？

师生活动：

1.教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；

2.抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；

3.学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐一枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。

新知探窕

【学法指导】

新知自研：自研课本第23页的内容

【学法指导】自研课本P23页内容

（一）自主探究，探究模型

活动1:参加比赛有几支队伍？

设有X支队伍参赛，遵循单循环赛制.

追问1.每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（X-1支）

追问2.所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x（x-l）场）

追问3.单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）

师生归纳总结：

总场数二总配对次数+2,得出单循环通用公式：总场数='x（x-1）

2

规范解题：结合导入情境列方程

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

lx（x-1）=21

2

整理得：x~-x-42=0

解得：X]=7,x2=—6

根据班级数量为正整数，舍去x=-6

答：一共有7个班级参赛.

（二）模型归类，同类迁移

活动2：归纳同模型题型

学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重匆的问题均适用单循环公式，如：

1.体育单循环球赛、棋类比赛；

2.多人两两握手、两两拥抱；

3.多人之间互通一次电话；等等.

教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复''为单循环；“主客场、互赠、双向互动''为双循环.

及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？

学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.

典型例题

【自研自探】

自研课本P23页内容

典型例题

例1・九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手

15次，有多少人参加聚会？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有工人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握

手（工一1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有5M1T）次，设出未知数列方程解答即可.

———^=15

【详解】解；设有x人参加聚会：根据题意列方程得，2,

解得芭=6,X2=-5（不合题意，舍去）；

答：有6人参加聚会.

例2.某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），

根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛.

（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参寒？

（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（”7）场，根据题意列出方程，即可解答；

（2）设至少需要。天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答；

解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.

【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（“一1）场，

业心=4x7

根据题意可得2,

解得％=8e=-7（舍去），

故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；

（2）解：根据题意可得邀请1。个队伍参赛，则每个队伍比赛9场，

设至少需要〃天完成比赛，

10x9«

-------<5a

可得2,

解得。之9,

故至少需要9天完成比赛.

第二环节合作探究

1.讨论单循环赛问题模型.

2.讨论单循环和双循环问题模型的区别与联系.

拓展提升：1.如图，在6x8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动点P，Q分别从点F,AH1发向右移

动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运

动.

（1）请你在图1中，画出2秒时的线段P。；

（2）在动点P,Q运动的过程中，△oQ8能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理

由.

【详解】（1）解：•・•点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，

点P运动的路程为：2x2=4（2个单位），点Q运动的路程为：2x1=2（个单位），

•••68的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,

・•.2秒时线段如图1所示：

F—►PE

A—►B

图I

（2）解：在动点P,Q运动的过程中，能成为等腰三角形.

t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为27个单位,

如图2所示：过点Q作于H,

则尸P=2f个单位，个单位，尸七=作一”）个单位，8Q=（8T）个单位,

依题意得：四边形八跳尸为矩形，

ZF=ZA=Z.E=90°,AF=BE=6个电位,庄=/48=8个单位，

又.；OH工EF,

.•・匹边形AFHQ为矩形,

,AQ=FH=1个单位,Q”=4尸=6个单位，

HP=FP-FH=/个单位，

在"△PQ”中，由勾股定理得：PQ2=〃A+Q〃2=/+36

在左△即E中，由勾股定理得：P82=PE?+86=（8-+36,

又由叱=（8一）;

分三种情况讨论如卜.:

①当PQ=P8时，厂+36=(8-2/)+36,整理得：3/=8,解得：~3,

，2

②当PQ=4Q时，r+36=(8-/)，整理得t=：l16/=28,解得：'一二

③当P8=8Q时，(8_2/)~+36=(87),整理得：3尸-⑹+36=0,

••・判别式A=（T6）2+4x3x36=—176<0

...方程3/-⑹+36=0没有实数根,

...不存在PB=BQ.

_87

综上所述：当‘一3秒或I秒时，△尸Q8是等腰三角形.

03巩固练习

课堂练习：课本P23随堂练习

皿真题感知

1.(2025.青岛校考)某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，

可俏售4。个，售价每上涨1元，销量将减少3个.如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元,

设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为()

A(22+x-15)(40-3x)=l56B(x-15)[40-3(x-22)]=156

C(22+A)(40-3X)=I56D(22+x)(40-3x)-15x40=156

【详解】根据题意知，每件商品的利润为(22-15+x)元，俏售量为(曲一3工)件，

则可列方程为3+x-15)(40-3x)=156,

故选：A.

2.(2025•荆州统考)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条

件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程

为()

Ax(x+1)=28Bx(x-1)=28

L(x+l)=28-X(X-1)=28

C.2V7D.2''

【详解】每支球队都需要与其他球队赛&T)场，但两个队之间只有1场比赛，

-x(x-1)=28

・.闰列方程：2,

故选：D

3.我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行

了28场比赛，则参加比赛的球队共有()

A.4个B.6个C.8个D.10个

【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，

解得：X=8,”-7(舍去)，

.••参加比赛的球队共有8个,

故选：c.

4.（2025•深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购

进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销

售量为400件.

⑴求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价I元，月销售量就

会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？

【详解】（I）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256（1+叶=400,

解得：N=025=25%,=-2.25［不符合题意，舍去），

答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为（68-45-〃?）元，月销售量为（400+20加）件，

根据题意得：（68-45-〃?）（400+20间二84叫

整理得：〃/一35-4。=（）,

解得：町=8,网=-5（不符合题意，舍去），

答：当该款吉祥物降价8元时，月销仕:利润达8400元.

05随堂笔记

1.知识技能：（1）核心模型：掌握单循环赛制规则，熟记单循环通用计数公式ZKH；6）模型迁移:

能快速识别球赛、握手、互通电话等所有两两单次互动的同类问题,精准建立一元二次方程；（3）解题规

范：熟练运用六步解题法，明确计数类问题解必须为正整数,