函数的性质（讲义）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）解析卷

第7讲函数的性质•讲义（解析卷）

一、考情分析....................................1

二、知识清单....................................2

1.函数的单调性............................................................2

2.函数的奇偶性............................................................3

3.函数的对称性............................................................3

4.函数的周期性............................................................3

5.重要技巧................................................................4

三、方法总结............7

考点一：函数的单调性.......................................................7

考点二：函数的奇偶性.......................................................8

考点三：函数的对称性与周期性...............................................8

考点四：函数性质的综合应用.................................................9

四、典题精讲............9

考点一：函数的单调性.......................................................9

考点二：函数的奇偶性......................................................12

考点三：函数的对称性与周期性..............................................14

考点四：函数性质的综合应用................................................18

五、高考真题............22

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考查内容

202619题•解答题17分抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用

20255题•单选题5分函数的奇偶性与周期性的综合应用

20246题-单选题5分分段函数的单调性及参数范围求解

20248题•单选题5分抽象函数的递推关系与不等式应用

近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答

题的抽象性质综合探究，占有一定分值.

2.命题角度与特色

・核心考点：考杳函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与

抽象函数.

•命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思

维和逻辑推理能力的要求逐步提升.

・试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题

则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.

3.备考策略

・扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与

奇偶性.

・强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心

技巧.

•提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时,

注意临界条件和定义域的限制.

二、知识清单

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

一般地，设函数/(%)的定义域为4区间0G4

如果对于。内的任意两个自变量的值%1，%2当％1<%2时，都有f(%T)V1(%2)，那么就

说/(%)在区间0上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值X1，%2»当％1<%2时，都有f(%l)>f(%2)，那么

就说/(%)在区间0上是减函数.

•属于定义域/内某个区间上；

•任意两个自变量%1,Q且<X?;

・都有/(与)Vf(M)或/(，)>f(%2)；

・图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

(2)单调性与单调区间

•单调区间的定义：如果函数/。)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数/(X)在

区间。上具有单调性，。称为函数/(X)的单调区间.

•函数的单调性是函数在某个区间匕的性质.

(3)复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函

数，内层函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是

减(增)函数，复合函数是减函数.

2.函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个％,都有/(-%)=/(%),那么关于y轴对

偶函数

函数/(X)就叫做偶函数称

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个工,都有/(-%)=-〃>),那关于原点

奇函数

么函数/(X)就叫做奇函数对称

・关系判断法：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果/(-幻-

/(%)=0或与?=1(/(X)¥0)，则函数f(x)为偶函数；如果/(-X)+/(%)=0或与?=

-1(/(%)^0),则函数/(%)为奇函数.

•定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对

于定义域内的任意一个工,-％也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3.函数的对称性

•若函数y=/(%+Q)为偶函数，则函数y=f(X)关于X=Q对称.

•若函数y=f(x+Q)为奇函数，则函数y=关于点(Q,0)对称.

•若/(X)=/'(2Q-X),则函数/(X)关于X=Q对称.

•若/。)+/(2a-x)=2b,则函数/(%)关于点(Q,b)对称.

4.函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当工取定义域内的任何值时，都有

/(x4-7)=/(%),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做

f(x)的最小正周期.

5.重要技巧

(1)单调性技巧

①证明函数单调性的步骤

・取值：设/，乃是/(》)定义域内一个区间上的任意两个量，且%1<》2；

•变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

•定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

•得出结论.

②函数单调性的判断方法

・定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值-变形-判断符号-下结论”进行

判断.

・图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

•直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

③记住几条常用的结论

•若/(%)是增函数，则-/(X)为减函数；若/(X)是减函数，则一〃%)为增函数；

,若/'(%)和g(%)均为增(或减)函数，则在/'(%)和g(%)的公共定义域上f(x)+g(x)为增

(或减)函数；

•若/。)>0旦为增函数，则函数历5为增函数，六为减函数；

•若/(%)>0且f(x)为减函数，则函数"^为减函数，六为增函数.

(2)奇偶性技巧

•函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

・奇偶函数的图象特征：函数是偶函数O函数f(x)的图象关于y轴对称；函数/(X)

是奇函数o函数f(x)的图象关于原点中心对称.

・若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；偶函数y=/(x)必满足

f(x)=/(|x|).

•偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

•若函数/(%)的定义域关干原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数

的和的形式.记g(x)=][/(%)+/(-%)]，八(%)=]f(x)-/(一X)]，则f。)=g(x)+%。).

•运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四

则运算所得的函数，如f(%)+g(x),f(x)-g(x),f(x)xg(x),/(%)+g(%).对于运算函数

有如下结论：奇±奇二奇；偶±偶=偶；奇±偶二非奇非偶；奇x(+)奇=偶；奇X(+)偶

二奇；偶x(+)偶=偶.

・发合函数y=f[g(x)]的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇.

•常见奇偶性函数模型：

奇函数：①函数/(x)=m(盘号)(》工0)或函数/(x)=m(痣1).②函数f0)=

±3-尸).③函数f(x)=脸当=loga(1+怒)或函数/(%)=】ogaf^=

22

loga(1-黑④函数/(%)=loga(Vx+1+x)或函数/(%)=loga(Vx4-1-%).注意：关

于①式，可以写成函数/(x)="I十怒■(%羊0)或函数/(%)=m-瑞("I6R).

x

偶函数：①函数f(x)=±(a+QT).②函数f。)=log*加+1)-詈.③函数f(国)

类型的一切函数.④常数函数.

(3)周期性技巧

函数式满足关系(xWR)周期

fCx+7)=fMT

f(x+7)=-/(x)2T

fG+T)=/；fa+7)—焉2T

f(x+7)=f(x-T)2T

f(x+T)=-/(x-T)47

(f(a+x)=f(a—%)

[f(b+x)=f(b-x)2(b-a)

f(a+x)=f(a—%)

2a

/(%)为偶函数

f(a+x)=-f(Q-%)

12(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-/(a-x)

2a

/(x)为奇函数

/(a+x)=/(a—%)

(4(b—a)

f(b+x)=-f(b-x)

函数式满足关系aWR)周期

/(a+x)=f(a-x)

4a

/(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1/(%)为偶函数

(4)函数的对称性与周期性的关系

•若函数y=/(%)有两条对称轴％=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且7=

2(b-a).

•若函数y=/(%)的图象有两个对称中心(a,c),(oc)(avb),则函数y=f(x)是周期

函数,且r=2(b-a).

•若函数y=/(%)有一条对称轴x=Q和一个对称中心(匕,0)(a<b),则函数y=/(x)

是周期函数，且7=4(b-a).

(5)对称性技巧

•若函数y=/(%)关于直线x=a对称，贝ij/(a+x)=f(a-%).

•若函数y=/(%)关于点(Q,b)对称，则/(a+x)+/(a-x)=2b.

•函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=f(a+x)与y=-/(a-x)

关于原点对称.

(6)类周期函数与倍增函数

•类周期函数：若y=/(x)满足：/(%+?n)=攵/(工)或/(x)=-TH),则y=/(%)

横坐标每增加zn个单位，则函数值扩大k倍.此函数称为周期为血的类周期函数.

•倍增函数：若函数y=/(x)满足/(mx)=k/(x)或f(x)=kf(》则y=fQ)横坐标

每扩大m倍，则函数值扩大k倍.此函数称为倍增函数在意当m=攵时，构成一系列平行的

分段函数，/(%)=

f.qM,xe[l,m)

g(x-m+1),xG[m,m2)

g(x-m2+1),x£[m2,m3)

、g(%-m"T+1),xe[川一")

(7)抽象函数的模特函数

抽象函数的模特函数通常如下：

•若/'(%+y)=/(x)+/(y),则/(%)=M(1)(正比例函数).

•若f(%+y)=f(%)f(y)，则f(%)=[f(i)V(指数函数).

•若则(对数函数).

f(xy)=/(x)+/(y),/(x)=\ogbx

・若f(%y)=M/(x)=x。(塞函数).

•若/(x+y)=/(x)+/(y)+m,则/(x)=xf(1)-巾(一次函数).

三、方法总结

考点一：函数的单调性

考法1：判断或证明函数的单调性

・利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、

配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.

•解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

•解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥

离，构造形如g(x)=/(%)-m的奇函数.

・利用奇函数的性质g(-x)=-g(%)将不等式转化为g(A)<g(B)的形式，再结合单调

性求解.

考法3：利用单调性求最值或值域

・对于形如f(g(%))=。且/(%)单调的问题，可通过解方程f(t)=C求出唯一的3进而

得到g(%)=t.

•求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.

考法4：根据单调性求参数范围

•处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.

•列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）

必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.

考点二：函数的奇偶性

考法5：判断或证明函数的奇偶性

•研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.

・判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化

简解析式并验证/（一%）=±/（%）.

考法6：利用奇偶性求函数值或解析式

・遇到/（x+a）为偶（奇）函数时，可直接转化为/（x）关于直线x=a对称（或关于点

（。,0）中心对称）.

・利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.

考法7：根据奇偶性求参数

•已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时

f（0）=0（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式/（一%）±/（'）=0,通过代数

变形求出参数.

考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值

・“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则f（x）+

/（—%）=2m.

・在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

•抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.

・牢记两个基本结论：若/（X）有两条对称轴，则必为周期函数；若/（x）有一个对称中

心和一条对称轴，也必为周期函数.

考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和

•处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.

・若两个函数图象具有共同的对称中心（Q,b）,且有九个交点，则这几个交点的横坐标之

和为九xa.

考法11：类周期函数的应用

•类周期函数的核心在干“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质(如单调性、

最值、图象形状)，再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.

•对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.

考点四：函数性质的综合应用

考法12：具体函数性质的综合判断与应用

•分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.

・证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号(即零点存在

性定理)是标准且有效的方法.

考法13：构造函数利用性质解不等式

•解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.

•若f(%)是偶函数且在［0,+8)上单调递增,则f(4)>f(B)<=>\A\>|B|；若单调递减,

则⑻o|川V|8|.

考法14：抽象函数的性质推导与证明(赋值法)

・抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求/(0)常令x=y=0；求证奇偶性常

令％=0或y=—x.

・证明单调性作差时，常利用换元技巧(如令1=笠l丫=号)将差化积.

考法15：抽象函数性质的综合应用

・综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达

式(如f(a+%)=土f(b—x)).

•求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.

四、典题精讲

考点一：函数的单调性

考法1：判断或证明函数的单调性

例1.(2024•泰州海陵•期中)已知函数/(x)=-含,%W(0,+oo).

(1)判断函数/(%)的单调性，并利用定义证明；

(2)若/(2m-1)>/(I一/n),求实数7九的取值范围.

【答案】⑴/■(%)在(0,+8)上单调递减，证明见解析⑵(看)

4O

【思路】观察函数解析式特点，利用定义法证明单调性通常按照“取值、作差、变形、定号、下

结论”的步骤进行.对于不等式求解，先将不等式转化为函数值的大小关系，再结合函数的单调性

及定义域脱去函数符号.

【解析】(1)/(%)在(0,+8)上递减，理由如下：

任取巧,工2E(°，+8)，且％1<盯，则

"v2孙,2X]_2孙(孙+1)-2工2(心+1)_

八2)一八1)~~7+1十7+1-@2+1)(—+1)-@2+1).1+1)'

■:X”2G(0,4-co),且#]<x2,

二X1一%2V°，(x2+1)(^1+1)>0,

疗(不)一](%1)<0,即/(孙)〈/(力)，

・••/•(%)在(0,+8)上递减；

⑵由(1)可知f(%)在(0,+8)上递减,

2m-1>0

:.由/(2m-1)>/(I-m),得1一m>0,

2m—1<1-m

解得2VmV：，

23

・•・实数m的取值范围为GA).

【规律】利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方

等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.解抽象函数不等式时，需注意函

数定义域的限制.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

例2.(2026•襄阳四中•阶段检测)已知函数/(%)=/+2%+2$山2仔+二)+5,且

24

/(t2-2t)+/(-3t+4)<12,则实数£的取值范围是()

A.(1,4)

B.(-co,1)U(4,4-00)

C.(-4,1)

D.(-co,—4)U(1,4-00)

【答案】A

【思路】面对复杂的函数解析式，可考虑提取其中的非奇非偶常数部分，构造一个新的函数.探究

新函数的奇偶性与单调性，进而将原不等式转化为新函数的不等式，利用单调性脱去函数符号求

解.

【解析】/(x)=x3+2x+1-cos(x+/)+5=+2%+sinx+6.

令g(%)=f(x)-6=/+2%+sinx,则g'(x)=3x2+2+cosx>0,g(—x)=-g(x)，

在R上单调递增，且g(x〕为奇函数.

不等式，(严-2t)+f(-3t+4)<12,即-2t)-6+f(-3t+4)-6<0,

因g«2-2t)+g(-3£+4)<0,则g(d-2t)<-g(-3t+4)=g(3t-4),

.­.t2-2t<3t-4,即产-5£+4<0,i<t<4.

对应选项A.

【规律】解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，

构造形如g(x)=/(%)-机的奇函数.利用奇函数的性质9(-%)=-g(x)将不等式转化为9E)<

g(B)的形式，再结合单调性求解.

考法3：利用单调性求最值或值域

例3.(2024•河南•模拟)己知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且/(/(%)—2”—

2%)=10,则/Xx)在[-2,2]上的值域为.

【答案】[一彳，10]

【思路】题干中给出了复合函数的嵌套等式，旦已知函数为单调函数，利用单调函数的性质，即

函数值相等则自变量必相等.通过观察找出内层函数的值，从而确定原函数的解析式，最后在给定

区间上求值域.

【解析1•・•/•(%)为定义在R上的单调函数，

・•・存在唯一的使得/«)=10,

xf

则/(%)-2-2x=tf/(t)-2-2t=t,即/⑷=2*+3t=10,

•:函数y=21+3t为增函数，且22+3、2=10,・・・£=2,

/(x)=2X+2x+2.

易知f。)在[一2,2]上为增函数，且/"(-2)=—，f(2)=10,

则/'(x)在[-2,2]上的值域为[一310].

【规律】对于形如/(g(x))=CH/(x)单调的问题，可通过解方程/(£)=C求出唯一的3进而得到

g(x)=£.求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.

考法4：根据单调性求参数范围

例4.(2025•河南创新•一模)已知彳机，是增函数，则实数m的取

(xz-4%+5,X>771

值范围是()

A.[1,2]B.[2,5]C.[2,+oo)D.[5,4-oo)

【答案】A

【思路】分段函数在整个定义域上单调递增，需要满足两个条件：一是各段函数在其各自的区间

上单调递增；二是分界点处的函数值满足左侧区间的最大值(或上确界)小于等于右侧区间的最

小值(或下确界).

【解析】・・・f(x)是定义在R上的增函数，

.•管孑2/解得14机42或加25,

127n<m£-4m+5

又丁当zn>5B寸，/(x)=x2-4x+5在(m,+8)上单调递增,

但在(2,m)上单调递减，不符合题意，

•••1<m<2.

对应选项A.

【规律】处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点冽出不等

式组时，需注意分界点处的不等关系.

考点二：函数的奇偶性

考法5:判断或证明函数的奇偶性

例5.(2026•广东佛山・二模)函数/(x)=ln(x+3)+ln(3-x),则()

A./(x)是奇函数

B./(x)是周期函数

C./(x)的最大值为2

D./(-2)<f(1)

【答案】D

【思路】判断函数的奇偶性、周期性等性质，首要步骤是求出函数的定义域.化简解析式后，利用

定义验证/■(-%)与/■(%)的关系.对于周期性，可利用反证法或特殊值法进行排除.比较函数值大小时,

直接代入计算即可.

【解析】函数/a)=ln(x+3)+ln(3—x),定义域j；得x€(-3,3).

化简得/(x)=ln(9-x2).

选项A：/(-x)=ln(9-(-x)2)=ln(9-x2)=f(x),故f(x)是偶函数，不是奇函数，A错误.

选项B：假设f(x)是周期函数，则存在非零常数T,对任意工£(一3,3),都有f(1+T)=f(%).

取x=0,则/'(7)=/"(())=ln9,RPln(9-T2)=ln9,得7=0,与T看0矛盾.

故假设不成立，/(幻不是周期函数，B错误.

选项C：取％=0,则/(0)=ln9=21n3>21ne=2,C错误.

选项D：/(-2)=ln(9-(-2)2)=InS./(1)=ln(9-12)=InR>InS.(-2)<f(1),D

正确.

对应选项D.

【规律】研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.判断奇偶性时，若定义域不关

于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证f(-%)=±八戈).

考法6：利用奇偶性求函数值或解析式

例6.(2025•淮北淮南•二模)已知函数/(%)和g(x)的定义域均为R,f(%+2)为偶函数,

g(%+2)为奇函数,若f(x)+g(%)=3%+log6(%2+2)-40,则f(0)=()

A.4B.2C.0D.-2

【答案】B

【思路】题干中给出了两个函数的平移奇偶性，这实际上隐含了原函数的对称性.通过将平移后的

奇偶性转化为原函数的对称轴或对称中心，建立r(0)与/(4)、g(0)与g(4)之间的联系.

再结合已知等式，利用赋值法构造方程组求解.

【解析】•・•/(%+2)为偶函数，・•・/(-%+2)=f(%+2),

"Q)的图象关于％=2对称，因此/(0)=/(4).

+2)为奇函数，:•g(-x4-2)=-g(x4-2),

令x=2得g(0)=-g(4),

42

当％=4时，f(4)+g(4)=3+log6(4+2)-40=414-log618,

当％=0时,f(0)4-g(0)=3°+log62-40=log62—39,

由f(0)=f(4),g(0)=-g(4)得，

f(4)-g(4)=log62-39,

两式相加得2/(4)=41+log618+log62-39=2+log636=4,

"(4)=2.

对应选项B.

【规律】遇到/'(x+a)为偶(奇)函数时，可直接转化为/'W关于直线％=Q对称(或关于点(a,0)

中心对称).利用对称性将未知白变量转化为已知白变量，是解决此类求值问题的核心技巧.

考法7：根据奇偶性求参数

例7.(2025•江西上进•5月联考)已知函数/(%)=。九-言Jcosx为奇函数，则m=

()

A.5B.4C.-D.1

2

【答案】c

【思路】已知函数为奇函数，且定义域为R,最直接的方法是利用奇函数的定义，即f(-x)+

/(均=0恒成立，代入解析式后整理，使等式与力无关，从而解出参数.

【解析】易知/(X)的定义域为R，且/'(》)是奇函数，贝仔(一无)+f(X)=(M-号工)cos(-x)+

(tn-^0cosx=0,解得m=£.

对应选项C.

【规律】已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时

f(0)=0(必要不充分条件,需检验)；二是利用恒等式/'(一切土/■@)=0,通过代数变形求出

参数.

考法8:奇函数平移模型(f(x);奇函数+M)求值或最值

例8.已知/(x)+1在R上单调递增，且为奇函数.若正实数满足/(。-4)+/的)=-2,

则工+：的最小值为()

ab

A.-+—B.-+V2C.3+2V2D.-+A/2

4242

【答案】A

【思路】题干中给出J'/(X)+1为奇函数，这意味着/'(X)的图象可以由•个奇函数平移得到.利用

奇函数的性质g(-x)+g(x)=0,可推导出/(乃满足的对称关系.结合己知等式得到a,力的关系，最

后利用“乘1法”和基本不等式求出最小值.

【解析】•・♦/(>)+1为奇函数，・•・/(;<)+l+f(—x)+l=0=/Q)+/(-%)=-2,

由f(a-4)4-/(b)=—2得a-4=-b=a+b=4,

・•.Q>0,b>0,寸制=哲+,Q+b)=；(3+打节*(3+2肉号十争

当且仅当6=&。时取等号，故二+［的最小值为：+9，

ab42

对应选项A.

【规律】“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若/•Q)-m是奇函数，则/(x)+

/■(-%)=2m.在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

例9.(2024•山东烟台•二模)(多选)定义在R上的函数/(%)满足/(%)+/(4+%)=0,

f(2+2x)是偶函数，f(1)=1,则()

A.f(x)是奇函数

B./(2023；=-1

C.f(x)的图象关于直线x=1对称

D.酒kf(2k-1)=-100

【答案】ABD

【思路】面对多个抽象函数的关系式，需逐一破译其背后的性质.由/(2+2x)为偶函数可推导对称

轴；由/(%)+/(4+%)=()可推导周期；结合两者可推导奇偶性.对于求和问题，需探究数列

{f(2k-1)}的周期性，将大项求和转化为一个周期内的求和.

【解析】对于选项A,・・・/(2+2%)是偶函数，・・・/(2-2乃=/(2+2%),

二函数/'(x)关于直线x=2对称，・，・/'(-%)=+x),

vf(x)+/(4+x)=0,A/(-x)=-/(x),・•・/•(%)是奇函数,则A正确；

对于选项B,・.,/(4+%)=-/(%),.,./(8+x)=-f(4+x),：.f(8+x)=/(x),

・・・/。)的周期为8,・•・/62023；=<(253x8-1)=/-(-1)=-/-(1)=-1,则B正确；

对于选项C,若/'(X)的图象关于直线x=1对称，则/'(3)=/(-1),

但是/'(一1)=一/(1)=-1,f(3)=f(1)=1,即/(3)工/(一1),这与假设条件矛盾，

则选项C错误；

对于选项D,将x=；代入/(2-2x)=f(2+2%),得/(3)=/(1)=1,

招x=l,代入/(X)+f(4+x)=0,得/'(5)="/(1)=-1,

同理可知/'(7)=-f(3)=-1,

又••♦/•(X)的周期为8,・・・f(x)正奇数项的周期为4,

.•.£起=/(1)+2/(3)+3f(5)+-+100f(199)

=[f(1)+2/(3)+3f(5)+4f(7)]+[5/(9)+6/(11)+7f(13)+8/(15)]-

+[97/(193)+98/(195)+99/(197)+100/(199)]=25x(-4)=-100,则D正确.

对应选项ABD.

【规律】抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.牢记两个基

本结论：若〃>)有两条对称轴，则必为周期函数；若/'(x)有一个对称中心和一条对称轴，也必为

周期函数.

考法10,利用对称性与周期性求函数值或求和

例10.(2025•江苏高邮・一模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足/'(%)=-/(2-x),当

%e[0,1)时，/(%)=2COSTTX,函数g(x)=x-1(一14x43),则f(%)与g(x)的图象所有

交点的横坐标之和为.

【答案】5

【思路】求解两函数图象交点横坐标之和，通常不直接求出交点坐标，而是利用函数的对称性.分

析和g(x)的性质，发现它们具有共同的对称中心.通过画出函数图象，确定交点个数，进而利

用对称中心的性质直接求和.

【解析】函数g(x)=%-1(一14％W3)的图象是中心对称图形，对称中心为(1,0).

定义在R上的偶函数/(外满足/(x)=-/(2-x),

则函数/(%)有对称轴为y轴，对称中心(1,0)；

又当％6[0,1)时，/(%)=2cosm

当％=1时，/(I)=一/(2-1),解得/(1)=0,由题意可得/'(-1)=/(3)=0,而

g(-l)=-2,g(3)=2.

：.x=-l,x=3,两函数图象无交点，

在同一坐标系在(-1,3)内作出f(x)与g(x)的图象，

当％G[2,3),/(%)=-f(2—x)=-f(x-2)=-2COS[TF(X-2)],

令p(x)=g(%)-/(x)=%-14-2COS[TT(X-2)],%G[2,3),

则p'(x)=1—27isin[7r(x—2)],且p'(3)=1>0,

・•・存在&€(菰3),使得当％W(xo,3)时，p<%)>0,p(%)单调递增，

，当％E(%,3)时，p(x)<p(3)=0,即g(x)v/(x)，

结合图象可得，/(%)与g。)图象有5个交点，

又(1,0)均是/(%)与g(%)的图象的对称中心,

则两函数所有交点的横坐标之和为5.

【规律】处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.若两个函数图象具有共同的对称中心

(。,6),且有九个交点，则这几个交点的横坐标之和为九XQ.

考法11：类周期函数的应用

例11.(多选)己知函数/(%)=,,(分％>3，则下列说法正确的是()

A.若函数y=f(x)-依有4个零点，则实数k的取值范围为借3)

183

B.关于x的方程fO)—六=0(nGAT)有2九-1个不同的解

C.对于实数xW［L+8),不等式%/(%)-8W0恒成立

D.当％6［351,3九)(几EAT)时，函数/(%)的图象与工轴围成的图形的面积为4X(|尸t

【答案】ABD

【思路】这是一个典型的类周期函数(或称为伸缩周期函数).根据递推关系/(%)=4"：),可以

发现函数图象在相邻区间上的几何变换规律.通过归纳法写出函数在一般区间［3吁)上的解析式,

进而分析其最值、零点个数及缴象面积.

【解析】•・"(%)=:/1(》,％>3,则/'(X)在［3八,3八+1)(九eN*)的图象是将［3时］,3n)(九eN")的图象

沿x轴方向伸长为原来的3倍、沿y轴方向缩短为原来的一半

.・./•(%)=23-n［l-|3f-2\］,xe［3“T,3n)(九eN*)

则/•(%)在［3n-1,2・3时”上单调递增，在［2•3n7,3")上单调递减

."■(%)在［3时1,3〃)上的最大值为/"(2•3八】)=奈，最小值为/'(3时1)=0,即/'(%)在［3九T,3D上

的值域为［0,泰］

对于A,令f(x)-kx=0,即f(x)=kx,则y=/(%)与y=k%有四个交点

作出n=l,2,3时/(%)的图象,如图：

结合图象可得：实数k的取值范围为(白,：)，A正确；

183

对于B,令/(%)—泰=0,则/。)=泰

・•・方程的根的个数即为y=/(%)与y=煮的交点个数

当几=1时，¥=/'(%)的最大值为r(2)=4

•••y=/(%)与y=4有且仅有一个交点，

当nN2时,则有：

①当kV71时，/'(%)在［3八］,3%)上的最大值为则旷=/(均与、=泰在

［3丘1,3与内有两个交点

②当k=n,则/Xx)在［3时】,3，)上的最大值为f(2・3f=心

•••y=f(%)与y=有且仅有一个交点

③当k>71时，/XX)在［3〃T,3k)上的最大值为/■(2・3»1)=占<泰，则y=/(均与y=泰在

［3上一】,3比)内没有交点

，当XW［3"1,+8),y=f(x)与y=没有交点

二当xG［1,+8),y=fO)与y=藻7的交点个数为14-2(n-1)=2n-1

当九=1时，也成立

・•・关于》的方程一击=0有2九一1个不同的解，B正确

对于C,因为图象过点(6,2),令x=6,则6/(6)-8=4>0,C错误

对于D,由题意可得：当工£［3人1,3九)时，函数/'(X)的图象与％轴围成的图形为三角形，其底边长

为3n-3时I=2-3”一1,高为f(2・3nT)=*

n1

:.当％e［3-\39时，函数/(©的图象与刀轴围成的图形的面积为:x2.3「Tx*=4x(j)^

对应选项ABD.

【规律】类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质(如单调性、最

值、图象形状)，再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.对于交点个数问题，画出草图并关

注峰值的变化是关键.

考点四：函数性质的综合应用

考法12：具体函数性质的综合判断与应用

例12.(2026•山东枣庄•一模)(多选)已知函数/(x)=芸，贝IJ()

A./(x)为奇函数

8./(乃的值域是(一1,1)

C./(%)有极值

D.存在实数a,b,使得/(%)在［a,b］上的值域为［［。3句

【答案】ABD

【思路】对于分式型指数函数，常通过分子分母同除以某一项，或分离常数法将其化简.化简后，

利用基本初等函数的性质判断奇偶性和单调性，进而求出值域.对于选项D中的存在性恒题，可构

造新函数，利用零点存在性定理进行判断.

【解析】・・・/(%)=2三=1一名，定义域为凡

(r+1cx+l

/(一乃===惠=一〃X)，'/(均为奇函数，A正确；

G।XA।V

2

,.ex>0,ex+1>1,.*.0<——<2,

6+1

•・.-lVI-岛VI,・•・/(%)的值域是(-1,1)，B正确；

vy=c*+1在R上单调递增，=尚在R上单调递减，

寸。)二1一捻在R上单调递增，无极值，C错误；

铲+1

令9。)=f(x)一21一品一),

•••g(-2)=/(-2)+-=+工==+*=<0，

八7八72e-2+l21+e222(l+e2)

1-1

,1、r,।e-l,11-e,15-3e、n

'4c-1+l41+c44(1+c)

••.g(x)在(一2,-1)上存在零点/即/'(a)=[a,

•••g(x)为奇函数，・・・g(x)在(1,2)上存在零点b,即/(b)=萍

二存在实数a,b(avb),使得/(无)在口加上的值域为D正确.

对应选项ABD.

【规律】分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.证明方程在某区间存在实根时,

构造函数并验证区间端点函数值异号(即零点存在性定理)是标准且有效的方法.

考法13:构造函数利用性质解不等式

例13.(2025•河北邢台名校-一模)设函数/(%)=ln(l+%4)_目而，则不等式/(2x)>

/(x+1)的解集为()

A・(/D

B.(-co,-1)U(l,4-oo)

c・T)

D.(-co,-1)Ug+8)

【答案】B

【思路】观察函数解析式，发现其由偶函数复合而成.先利用定义证明其为偶函数，再探究其在非

负半轴上的单调性.利用偶函数的性质f(x)=f(|x|),将原不等式转化为关于绝对值的不等式，最

后通过平方脱去绝对值求解.

【解析】函数/(幻=也(1+，)-击的定义域为凡

且八T)=叭1+(―无尸)-品=叭1+一)一品=f(办

"(X)为偶函数，

当xNO时，f(x)=ln(l+”)一含，

vy=In(l+P)在［o,+8)上单调递增，y=---△—在［0,+8)上单调递增，

X।OA

•••/■(x)在［0,+8)上单调递增，

不等式f(2x)>f(x+1)等价于f(|2%|)>f(\x+1|),

.,.|2x|>|x4-1|,两边平方得4/>产+2x+1,即3——2%—1>0,

解得％>1或％<-

二不等式/'(2汇)>f(X十1)的解集为(-8,一；)U(1,十8).

«5

对应选项B.

【规律】解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.若/(X)是偶函数且在［0,+8)上单调

递增,则/(4)>f(B)o\A\>网;若单调递减,则/Q4)>f(B)O\A\<\B\.

考法14：抽象函数的性质推导与证明(赋值法)

例14.已知定义在R上的函数/(x),g(x)满足：①/(0)=1；②g(x)为奇函数；③V%€

(O,+oo),g(x)>0；④任意的f(x—y)=f(k)f(y)—g(X)g(y).

(1)判断并证明函数八%)的奇偶性;

(2)判断并证明函数/(%)在(0,+8)上的单调性.

【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析

【思路】处理抽象函数方程，赋值法是根本.要证明奇偶性，需探求/(-%)与/(x)的关系，通常令

%=0或y=。或工=-y；要证明单调性，需利用定义，通过作差人工2)-/。1)，并结合已知等式

将其转化为乘积形式，进而判断符号.

【解析】(1)依题意，f2(x)-g2(x)=-g(x)g(x)=f(x-x)=f(0)=1.

.-.1=f2(0)-g2(0)=>g(0)=0,

/.f(-x)=f(0-x)=/(0)/(x)-g(0)g(%)=/(%),

又•・•/•(%)的定义域为R，・•・函数/•(%)为偶函数.

⑵由④知，f(x+y)=f(x)f(-y)-g(x)g(-y)=/(x)f(y)+g(x)g(y)

Vx1(x2W(0,4-oo),jq<x2

X+x-%1X+右%2-

f3)-/Q1)=/(号2二+上2尸)-f2-上尸)

-XxxXxxX

X2+Xix2-XiX2+Xi%212+2~12+2~1

乙乙乙乙乙乙乙乙

%+X1X-

=2g22

•••无1，%2>0，X1<x2»・产；句,>0

•J(与)-=20(誓)“(等)》0

即/•(%)在(0,+8)上单调递增.

【规律】抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求/(0)常令x=y=0：求证奇偶性常令

%=0或、=一心证明单调性作差时，常利用换元技巧(如令％=空，丁=号)将差化税.

考法15：抽象函数性质的综合应用

例15.(2026•山东烟台・二模)(多选)己知函数/。)的