中考数学复习：二次函数压轴题-面积问题

专题01面积问题

求三角形面积

【例1】已知：如图，二次函数了=以.尻+c的图象与x轴交于A,A两点，与y轴交于点C，其中4点坐标为

"（2,9）为二次函数图象的顶点.

（1）求二次函数的表达式;

（2）求AMC4的面枳.

【变式训练1】如图，直线y=x-3与x轴交于点3,与y轴交于点A,抛物线y=-f+〃x+c经过点3和点

C（0,3）.AAH。沿射线A4方向以每秒近个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为ADEF（点A,5,0的

对应点分别为点。，E,尸），平移时间为“，＞0）秒，直线/）/交1轴于点G,交抛物线于点P,连接房.

（1）求抛物线的解析式：

（2）如图1,当S#EF=3时，请求出，的值；

【变式训练2】如图，抛物线y=o?+公-6与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,（94=2,0/3=4,直

线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点。，连接4）,BD,BC,CD.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点。在X轴的下方，当ABCO的面积是2时，求的面积.

求四边形面积

【例1】如图，一次国数），=01耳纵+4与y轴交于C点，与x轴交于A、5两点，其中A点坐标为（-2,0）,5点

坐标为（8,0）.

（1）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；

（2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、求四边形COBM的面积.

【变式训练1】已知抛物线y="2+H+6交x轴于A、8两点（点A在点3的左侧），交y轴于点C,连接4C、

BC.且3:O8:OC=1:2:3.

（1）请求出抛物线解析式；

（2）如图1,点尸是直线3C上方抛物线上一动点，是否存在直线O0平分四边形A8PC的面积，若存在，求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图2,现将原抛物线沿射线。方向移动，平移后点A的对应点为点A',点8的对应点为点8'.记4c中

点为K,连接8'K、AK.若NKAF=/KRA',请直接写出原抛物线平移的距离.

【变式训练2】如图，抛物线与X轴交于A(1,O)、8(-3.0)两点，于y轴交于点C(0,3)，顶点为£)•

(1)求该抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)请计算以A、B、。、C为顶点的四边形的面积；

(3)在x坐标轴上是否存在点Q，使得。点到C、。两点的距高之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不

存在，请说明理由.

面积比值

【例2】如图，对称轴为直线x=-l的抛物线)，=公2+瓜+。(〃=0)与x轴相交于A、8两点，其中点A的坐标为

(-3,0).

(I)求点8的坐标;

(2)已知a=l,C为抛物线与y轴的交点，若点尸在抛物线上，且Ssy=4Sw求点尸的坐标.

【变式训练1】如图直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线)，=-f+6X+3交y轴于点A,过A作7W//X轴，交抛

物线于点8,连结点尸为抛物线上4?上方的一个点，连结B4,作PQ_LA4垂足为H,交OB于点、Q.

(1)求的长；

(2)当NAPQ=NB时，求点尸的坐标；

(3)当AAPH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点尸的坐标.

:

【变式训练2】如图，抛物线＞-=or+必+8（。工0）与x轴交于点4-2,0）和点以8,0）,与V轴交于点。，顶点为D,

连接47，BC-4c与抛物线的对称轴/交于点

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的幻点，连接尸8,PC.当时，求点尸的坐标.

面积最值

【例3】如图，已知抛物线与x轴交于4-1,0）、仅3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式：

（2）点0是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、8不重合），过点。作_Lx轴于点尸，交直线3c于点

E,连接阿＞、CD.设点。的横坐标为加，的面积为S.求S关于加的函数解析式及自变量用的取值范

围，并求出S的最大值；

（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若是以AC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标.

【变式训练1】已知，如图，抛物线广加+云+c与坐标轴分别交于点A(0,6),仅6,0),C(-2式)，点尸是线段

上方抛物线上的一个动点.

(1)求直线的解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)当点P运动到什么位置时，APAB的面积有最大值？

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=r+法+C与直线相交于A，8两点，其中41,2),

3(—3,-2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点石为直线下方抛物线上任意一点，连接AE,BE,求AE4B面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)点O为抛物线对称轴上的一点，当以点A,8,。为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点。的坐标.

面积比值的最值

【例4】如图1,在平面直角坐标系中，直线y="»+2与x轴交于点力，与轴交于点0,二次函数了=-4/+/次+。

2J2

的图象经过A、C两点，与X轴的另一交点为点

（1）求二次函数的表达式；

（2）当"数k〃7+1时，二次函数）,=-•+〃x+c的最大值为-2〃z，求，"的值；

2

（3）如图2,点。为直线AC上方二次函数图象上一动点，连接8C、CD,设直线班）交线段AC于点E,ACDE

的面积为S，MCE的面积为演，求消的最大值.

【变式训练1】如图，抛物线产加+历+以〃<0）与X轴交于点4（-2,0）和点4,与y轴交于点C,对称轴为直线

x=—:连接人。，BC,S^BC=15.

（1）求抛物线的解析式；

（2）①点M是工轴上方抛物线上一点，且横坐标为〃?，过点M作肺7_1_不轴，垂足为点N.线段MN有一点H（点

H与点、M,N不重合），且m+ZM4B=9O°,求HN的长；

②在①的条件下，若MH=2NH,直接写出加的值；

（3）在（2）的条件下，设4=辿曳，直接写出d关于”的函数解析式，并写出“的取值范围.

（备用图）

【变式训练2】如图，抛物线y=+笈+。与X轴交于点A和8,与y轴交于点C,一次函数y=-gx+2经过

点4、C.

(1)求抛物线的解析式：

(2)若点。是直线4c上方的抛物线上一个动点，8