天津河东区2026届高三第二学期质量检测（二）数学试题（试卷+解析）

河东区2025-2026学年度第二学期高三质量检测（二）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

第1卷（选择题共45分）

一、选择题：本大题共9个小题，每小题6分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.

L已知全集外"KJ},集合人{OJA,集合人{五口用，则④加伯力（）

A.{2}B.{0,1}C.{3,5}D.{2,3,4,5}

2.己知xwR,“|1-2司23”是“r一2丫一3之0''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

/\

3.已知函数/（丫）=1-97・当函数/（X）为奇函数时，/log,3为（）

5+1V?7

1।

A.B.-1C.0D.—

22

4.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据•，绘制了气温与日

期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（）

天津市2026年3月气温散点图

■最高气温•最彳氐气温

24

20

气I6

温12

8

4

0

及2^铲0#⑥

日期

A.小明根据散点图判断气温与日期无相关关系

B.小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为y=-0.69x+2.92,其中x为日期（3月

1日为x=l,3月31日为x=31）

C小红计算出最低气温与口期的相关系数为0.9397,以此判断两者的相关程度很弱

D.小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关

5.已知4=邢，6=0.8"c=log08e,则。，b,。的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

6.己知双曲线,双曲线的某弦48中点为尸（"?』），且点尸在第一象限，弦力4所在直线与双

曲线的一条渐近线垂直，则〃?的值为（）

A.±2B.2C.±—D.—

44

7.己知点力为坐标原点，4（3,0）,C（0,4）,点。在V/8C内部，。（加,〃），其中〃IEZ+，〃wZ+，则

苏•丽+况+砺灰的最小值为（）

25

A.——B.—8C.-7D.-5

3

8.“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析

讨论形成如下四个方案：

方案甲：第一次提价〃7%,第二次提价〃％;方案乙：第一次提价，7%,第二次提价〃7%;

方案丙：第一次和第二次均提价（咚21％；

方案丁：第一次提价（2机+2〃）％,第二次降价（〃?+〃）％；

其中0<〃<〃7<50,则四个方案中提价最多的方案为（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.已知。>0,在函数/（x）=sin（5+0）的部分图象中（如图），其图象上的点4,B,C是同一直线上

的三点，且该直线与，轴交于点。,若|40|=|。/=忸。|=1,则口=（）

A.巴B.叵C.更D.互

2224

第II卷（非选择题共105分）

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.请将答案填在题中横线上.

10.已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则2=

11.的展开式中的常数项为.（用数字表示）

12.已知抛物线C:/=4x的焦点为E准线为/,点尸在抛物线上且在x轴上方，|P「|=5,。为坐标原

点，以P0为直径的圆被直线夕尸所截得的弦长为.

13.立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入

1,2,3,…,99,100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为：

若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为.

14.已知正四棱锥产一PB、PQ的中点分别为£尸：点G为尸C上一动点，平面E5G将正四

棱锥分为两个部分，当G为PC中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为；当PG：PC

3

时，体积较小部分与体积较大部分的比值为.

15.已知二次函数/（工）=加一2%+。，若对于任意xw[a,2〃],都有/⑺之。成立，则实数〃的取值范围

是.

三、解答庙：本大题共5小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.

16.已知正三角形力3C,边长为3,点。、E在边AB上（如图），AD=\,ZACD=ZDCE=0.

（1）求CO的长，sin。的值；

（2）求sin20+]]勺值；

（3）求DE的长.

17.“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1,下面将

该物体抽象为一个直四棱柱458/—QCG2，如图2,底面488/为直角梯形，AB//

AB±BB[,44=1,AB=BC=BBy=4,尸为的中点，£在N8上且BE=3£4.

图1图2

(1)求证：。七//平面。片2；

(2)求£厂与平面七片A所成角的正弦值；

(3)求四面体庄的体积.

18.数列｛/｝为等差数列，数列｛"｝为各项不为零的等比数列，公比为2,〃EN*，

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)证明：4=A：

(2)求集合｛k\bk=am+a[9\<m<500｝中元素的个数;

(3)当q=l时，将数列｛%｝的每相邻两项氏,之间插入一个数%”,构造新数列｛6｝,即

G=q,。2=岫,。3=。2，c4=a2b2t数列｛6｝的前〃项和为S〃，求S?”及满足S?”>2026的最

小正整数〃.

19.已知椭圆C的方程为《+£=1(。>/)〉0),上顶点为力，右焦点为尸，椭圆的离心率为*，点E

为。尸中点，。为坐标原点，AE=5椭圆上一点尸(马,打)在第一象限.

(1)求椭圆方程；

(2)若/PAF=NEAF,求外；

(3)若直线》=子■%与椭圆交于点〃、N,点N在点”右侧，。为线段ON上一点，尸0=2后,

2yo

证明P0过定点，并求出定点坐标.

20.已知函数/'(X)=©2x7-ax.

(1)函数/(X)有两个零点，求q的取值范围；

(2)若直线e3、—y—3e3=0为函数/(x)的一条切线,求。的值:

(3)函数g(x)=/'(x)+ax-hiax,若对任意x>0,g(x)21恒成立，求。的取值范围.

河东区2025-2026学年度第二学期高三质量检测（二）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

第1卷（选择题共45分）

一、选择题：本大题共9个小题，每小题6分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.

L已知全集叫"KJ},集合人{。，1，4},集合八曲》“},则④加随力（）

A.{2}B.{0,1}C.{3,5}D,{2,3,4,5}

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的运算即可求解.

【详解】由题可得，8={0J2},。/={2,3,5},

所以68={3,4,5},则（Q/）c（dB）={3,5}.

2.已知xwR,“|1-2才23”是“%2一二-320”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案.

【详解】”2,13=1-2x23或1一2%«—3,解得力="|工4-1或％12},

X12-2X-3>0,解得8=或XN3},

因为4是4的真子集，

所以“|1-2H>3”是“/-2x-320”的必要不充分条件.

/\

3.已知函数/。）二1一一—,当函数/'（X）为奇函数时，/log,3为（）

5+1V5>

11

A.——B.-1C.OD.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的性质求得加，再根据对数的运算即可求解.

【详解】由题知，5*+1工0,则/⑴定义域为R,

所以/’(0)=1=1一£=0n〃?=2,

2

/(x)=l-7T~T，经检验满足题意，

5+1

2.21

所以/地，3=1啮31?.

57；+1L

4.“明数理”数学兴趣小组通过调瓷，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日

期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（）

天津市2026年3月气温放点图

・最高气温•最彳氐气温

24

20

气I6

温12

8

4

0

。炉心受炉NA%*。

日期

A.小明根据散点图判断气温与日期无相关关系

B.小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为y=-0.69x+2.92,其中x为日期（3月

1日为x=l,3月31日为x=31）

C.小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397,以此判断两者的相关程度很弱

D.小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与F1期都正线性相关

【答案】D

【解析】

【分析】由散点图，回归直线方程的性质，变量间的相关关系分别判断即可求解.

【详解】对于A,观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是

呈现出一种带状分布，

且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存

在相关关系，故A错误；

对干B,回归直线方程3=标+■中，斜率5反映了变量y随x的变化趋势，

若i〉o表示变量）'随X的增大而增大，为正相关，若5<0表示变量y随X的增大而减小，为负相关；

由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数，

而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为5=-0.69<0，故B错误；

对于C,H的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397,以此判断两者的相

关程度很强，故C错误；

对FD,由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为

正线性相关，故D正确.

5.已知〃=网，b=0.8c，c=log08e,则。，h,。的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】分别判断a,b,c与0」的大小关系即可.

【详解】由4=«°，可知，底数e〉l,指数0.8>0,因此〃=e°s〉l.

又因为0<0.8<1,且e>0,所以0</>=0.8°<1.

再看。=logos已利用换底公式，。=logo*e=7^-=

ln0.8In0.8

由于0<0.8v1,所以ln0.8<0,从而c=-^―<0.

ln0.8

综上可得C<0<Z?<l<6f,

因此。<6<a.

6.己知双曲线£:/—[=],双曲线的某弦44中点为尸（加,1）,且点夕在第一象限，弦43所在直线与双

曲线的一条渐近线垂直，则〃?的值为（）

A.±2B.2C.±-D.—

-44

【答案】D

【解析】

【分析】由点差法即可求解.

【详解】由双曲线方程1—1=1得，渐近线方程为则直线的斜率&疑=±乎，

X2_ZL-1

।2~

设,4（和必18&,必）,代入双曲线方程得，

Xy--=l

2

(必一8)(%+%)=0

两式相减得，（再一工2）（犬］+工2）一

2

（必+为）必一为

所以（占+Z）=«+%)-巧匹•G=0'

2Xj-x2

因为弦力4中点为。（〃7,1）,所以阳+x2=2ni,y}+y2=2,

当心=*时，2时|等=0nm=亭

当长出二—农时，2M+2•变=0=机二—立

出2224

又因为点P在第一象限，所以机＞0,

所以〃

4

7.已知点力为坐标原点，8（3,0）,。（0,4）,点。在V/3c内部，。（小,〃），其中机wZ"〃EZ+，则

就丽+德•反+砺灰的最小值为（)

25

A.——B.-8C.-7D.-5

3

【答案】B

【解析】

【分析】由伉。的坐标得出直线8c方程,再根据点。在V48C内部列出关于"?,〃的不等式组，结合

mwZJ〃EZ+得出所有可能的点。坐标,由平面向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】因为点力为坐标原点，3（3,0）,C（0,4）,

所以直线4c的截距式方程为二十』=1,即4x+3y-12=0,

34

因为点。在V/8c内部,

m>0

所以0（6,〃）满足不等式组，〃〉0,

4m4-3/?-12<0

由4m+3〃<12,且〃？wZ+，〃wZ+，

8

当加=1时，由4根+3〃<12得〃<§,〃=1,2,点O可以是（1』）,（1,2）；

当加=2时，由4加+3〃<12得〃<g,〃=1,点。是（2,1）；

当〃?23时，此时不存在满足题意的正整数〃，

综上所述，满足条件得点。（加,〃）共有三个：（1』）,（1,2）,（2,1）；

因为况=（一〃7,一〃）,OB=（3-〃1,一〃）应=（T%,4-〃），

所以OAOB=一〃7（3-〃?）+n2=-3m4-nr+/,OAOC=nr一〃（4一〃）二〃一4〃+n2,

OB•OC=（3-777）（-777）-〃（4一〃）=-3m+m2-4n+n2,

所以04•08+OA-OC+OB-OC=（-3/w+in2+n2）+（独/一4〃+/?2）4-（-3/w+m2-4〃+n2）

=3/7?2+3n2-6m-8〃，

当点。（〃?,〃）为（1,1）时，QA.OB^OA.OC+OBOC=-^,

当点。（相川为（1,2）时，0403-1-04OC+OBOC=-7^

当点。（加川为（2/）时，04.03+04OC+OBOC=-5^

所以万•砺+刀衣+0瓦。心最小值为-8.

8.“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析

讨论形成如下四个方案：

方案甲：第一次提价〃7%，第二次提价〃％；方案乙：第一次提价〃％,第二次提价〃2%；

方案丙：第一次和第二次均提价（竺三）%；

方案丁:第一次提价（2〃?+2〃）％,第二次降价（,〃+〃）％；

其中0<〃<〃?<50,则四个方案中提价最多的方案为（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】

【详解】设商品原价为。(。〉0),

m+nmn

对于甲:最终价格为。(1+〃2%)(1+〃％)=。1+------+-------

10010000J

'"7+〃IJJ'

对于乙:最终价格为。(1+〃％)(1+〃7%)=。1+-7T7-+T=

\1UU1UUUUy

所以甲、乙方案结果相同,

对于丙:最终价格为41+('芸)％了二a[\+竟]

40000

由均值不等式，皿土2匚＞白殛匚=色上=_丝_(〃7工〃)，所以方案丙的最终价格高于甲、乙，

4000()4000()4000()10000

对于丁：最终价格为：“1+(2〃[+2〃)％]口一(〃7+〃)％]=。1+~73^--2^0000^，该式存在负

\/

项，所以明显小于其他方案的结果，

综上，提价最多的是方案内.

9.已知/〉()，在函数/(x)=sin(@x+Q)的部分图象中(如图)，其图象上的点/,B,C是同一直线上

的三点，且该直线与x轴交于点；)，若恒。|二0用=忸q=i,则①二()

V5n

C-T~1~

【答案】D

【解析】

【分析】已知/。=。8=8。=1,而且4伉。,。共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三

个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数V=sin(ax+9)的图象上，把几何条件转化为三组正

弦值关系，最后联立求出0.

【详解】设。(x0,0),并设直线ABCD的单位方向向量为(见一〃)(州＞0,〃＞0,〃,+〃2=1).

由.4D=DB=BC=1可得/(与一〃?,〃),5(/+〃7,一〃),。(工0+2〃7,-2〃).

因为4民。都在函数丁=5布(@丫+0)的图象上，所以sin(0(.％-〃7)+。)=%

sin(o(xo+〃?)+9)=一〃，sin(㈤(/+2〃?)+0)=-2〃.

令X=cox。+(p、u=com,

则上面三式化为sin(X-〃)=〃，①sin(X+〃)=一〃，②sin(X+2〃)=-2/7.③

由©+®得sin(X-〃)+sin(X+〃)=2sinAcos//=0.

若sinX=0,设X=〃乃，则由②③可推出sin2〃=2sin〃，

即2sinwcosw=2sin〃.

由于〃>0,故sin〃工0,从而cos〃=l,这与图象位置关系矛盾，因此不成立.

所以只能有cos〃=0.〃取最小正值，〃=?.

9

此时由①③得sin(x-5)=〃,sin(X+兀)二一2〃.

即一cosX=n9-s\nX=一2〃，所以cosX=一〃,sinY=In.

于是sii?X+cos2^=(2〃了+『=1,故5/=、/=忑.

兀

兀〃2v5

而coin=—,所以①=-=f=—兀

2-24

忑

因此。兀.

4

第II卷(非选择题共105分)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.请将答案填在题中横线上.

10.已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则2=.

【答案】2T.

【解析】

【分析】在等式（l+2i）z=4+3i两边同时除以1+2，，再利用复数的除法法则可得出复数z.

4+3,_(4+3i)”2i)_4-3+3/-63_10-5/

【详解】Q(l+2/)z=4+3/,

1+2/~(l+2z)(l-2/)~5-5

故答案为2-九

本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.

（av

11.9x-华的展开式中的常数项为.（用数字表示）

I3⑨

【答案】672

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解.

（5Y

所以常数项为C；-3•-注=672.

3

12.已知抛物线C:/=4x的焦点为广，准线为/,点尸在抛物线上且在x轴上方，|产3=5,。为坐标原

点，以尸。为直径的圆被直线尸尸所截得的弦长为.

【答案】y

【解析】

【分析】根据题意结合抛物线的定义可得尸（4,4）,进而可得圆心和半径，以及直线夕产的方程，结合垂径

定理求弦长.

【详解】由题意可知：抛物线C:/=4x的焦点为尸（1,0）,准线为=

设尸（,%，%），为＞°，

因为|尸产|=2+1=5,则玉）=4,

可得"=4x°=16,则典=4,即尸（4,4）,

可知以PO为直径的圆的圆心为£（2,2）,半径r=^\OA\=2V2,

即4.r-3y-4=0,

|8-6-4|_2

则圆心£(2,2)到直线4x-3y-4=0的距离，/一行十㈠尸，

所以所截得的弦长为24户一d?=y.

13.立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入

1,2,3,…,99,100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元,另一个不超过50元的概率为

若依次(不放回)抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为.

【答案】®.I

【解析】

【分析】根据古典概型，排列组合及分类分步计数原理即可求解.

【详解】由题知，从箱子中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为

CC。=50

%99，

100个红包中，奖金数额为奇数的有5()个，奖金数额为偶数的有5()个，

两次抽到的奖金数额之和为偶数，情况有2种，两次抽到都是奇数或偶数，

A?+A?49

所以依次(不放回)抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为‘'°二蕊・

Aioo99

14.已知正四棱锥产一498,PB、尸Q的中点分别为E,F,点G为尸。上一动点，平面ER7将正四

棱锥分为两个部分，当G为PC中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为；当PG=gPC

3

时，体积较小部分与体积较大部分的比值为

【答案】①.；|

【解析】

【分析】由正四棱锥的性质及四棱锥的体积公式即可求解.

【详解】设正四棱锥。一48co的底面边长为。，高为h,平面£FG截正四棱锥尸一力5c。的截面为四

边形MEGF,与PA交点、为M,如图所示，

因为P&P。的中点分别为E、R,点G为PC中点，

所以EFHBD,EG/fBC,FG//CD,£EF=LBD,EG=LBC,FG=-CD,

222

又BC,COu平面48c。，EG,FGQ平面4BCD,

所以EG,/G//平面力4C。，又EG,尸Gu平面MEGb,且EGD/GnG,

所以平面MEG/7〃平面45CQ,则点”也为4中点,

所以四棱锥P—MEGF与正四棱锥P-45CQ相似，相似比为1:2,

2

所以四棱锥尸—MEG/的底面边长为;“，高为:〃，SMEGr=^StBCD=^af

X

所rz1以■（/-AMF/cCUFr=—3SMMcFUCrF'—2〃=—3—4X—2//=-2-4-d~h,

设体积较小部分的体积为匕，体积较大部分的体积为匕,

则匕=五"",匕=Vp-ABCD一卜P-MEGF=—a2h——a2/?=­a2h

32424

1”

所QI土，

匕7’

24

设底面正方形48CO的中心为。，作出平面EFG与正四棱锥P—彳8C。的截面图，交口于点M,

因为P/十尸0=2/=%。2,所以△尸力。为等腰直角三角形，/4PC=90。,

ULH1UI1ULU

在平面中，PO=—PA+—PC,

22

设两二kPA，丽=APM4-(1-A)PG=kAPA+1(1-A)PC,

因为丽二,而，

2

k入_1r]

所以以方+/1_/1)》=源+而，即[(—I)]]=[::]

所以丽=刀，即点加,力重合，如图所示，截面为4EGE，

连接小，AG,过点尸作PV_L4G,垂足为N,

卜.商证明PN即为四棱锥产一4EGE底面AEGF的高，EFLAG,

因为产底面43CQ,BDu平面4BCD,

所以POJ.BD,又BDL4cMecP0=0,NC,尸Ou平面P4C,

所以8。1平面E4C,又EF//BD,所以E/_L平面P4C,

又PN,4Gu平面P/C,所以即_L4G,EF1PN,

又PN1AG,AGC\EF=H,4G,ERu平面力EGA

所以PN八平面/EG夕，即PN即为四棱锥尸一,4£G产底面/EG/的高，

222

在Rt△04G中，AG=^!AP+PG=Ja2+Qa^=,

斜边AG上的高为PN=/-=a,S但卜，=—EF=—=—

V1010AbM22326

亍Q

fit；1.1v1DZ1亚2V23

所以c匕=、记“二式心

由正四棱锥的性质可得，h=—a^

2

V2=VP-ABCD-VP-AEGF=〃一冬优9/

36

723

r/--a1

所以

y2£1/5

15.已知二次函数/(工)=。/-2%+。，若对于任意xw[a,2q],都有/⑺之。成立，则实数〃的取值范围

是

【答案】[1,+8)

【解析】

【分析】根据。的范围分类讨论，结合对于任意工武凡2同，都有/’(x)20成立，解不等式即可求解.

【详解】因为[。，23是一个区间，所以2Q>Q=Q>0,

二次函数/(x)=QM2-2x+a的对称轴为直线1=,，

a

①当时，即〃之1,函数/(用在[。,2句上单调递增，

a

所以/(x)min=f(a)=a3-2a+a=a3-a,

要使对于任意xe[a,2a],都有/(x)20成立，则/(x)的妾0，

所以。3-QN0=>Q(Q-1)(Q+1)N。，解得QNI；

②当。<1<2a时，即正<Q〈I时，

函数/(x)在X=L处取得最小值，/(Mmin=/(-)=。一L,

aaa

则f(x)minN0=a-1N0,不等式无解;

③当时，即O<40①，函数/（工）在［〃,2a］上单调递减,

a2

所以/Wmin=/(2。)=4a3-3a,

则f（x）minN0n4/-3420,不等式无解;

综上所述，。的取值范围是［1,+8）.

三、解答庙：本大题共5小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.

16.已知正三角形48。，边长为3,点。、E在边48上（如图），AD=\,ZACD=ZDCE=0.

（1）求。。的长，sin。的值；

（2）求sin（2夕+,）的值;

（3）求。E的长.

【答案】（I）CD=近,sin<9=—

14

⑺走

7

7

(3)DE=-

8

【解析】

【分析】（】）由余弦定理求解即可；

（2）由二倍角的正弦及两角和的正弦公式求解;

（3）利用正弦定理求解.

【小问1详解】

在VNBC中，ZJ=60°,力C=3,AD=\,

AC2+AD2-CD232+]2-CD21

解得CD二日,

二.cos力==

2ACAD62

a32+7—15万.——二问

..cos4=------7==——，siu/9=vl-cos"6^=-----

2x3x771414

【小问2详解】

由(1)sin2/9=2sin<9cos6>=—»cos2。=2cos2夕一1二二，

1414

.兀、・“兀・兀M561百II4百

/.sin29+—=sin2夕cos—+sm—cos2〃=----x—+——x—=----.

I3j331422147

【小问3详解】

(

因为sin2，+—=sinZJEC,

I3J

^\x\/AFCsin。

所以由正弦定理可得-一:一-

CD~DE

4A/372?「

所以〒14，解得DE=-.

FF8

17.“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1,下面将

该物体抽象为一个直四棱柱-。CG",如图2,底面为直角梯形，AB〃烟,

AB±BB.,4£=1,AB=BC=BB『4,尸为8c的中点，E在上且8E=3£4.

图1图2

(1)求证：。£//平面CAA；

(2)求叱与平面七片。所成角的正弦值:

(3)求四面体户石4口的体积.

【答案】(1)证明见解析

7

(2)五

13

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明QE//平面即可:

（2）求出平面£片。的法向量，利用线面角的向量法求解；

（3）利用向量法求出cos/qEQ,再由三棱锥体积公式求解.

【小问1详解】

以.4为原点，为x轴，4。为N轴建立空间直角坐标系,

根据已知得4（0,0,0）,5（4,0,0）,C（4,4,0）,。（0,4知）,4（3,0,4）,

初4,0,4）,C,（4,4,4）,刀（3,4,4）,£（1,0,0）,*4,2,0）,

贝U诙=（1,—4,0）,西=（0,—4,4）,西=（一1,0,4）,

设平面的法向量为）=（芍乂z）.

n.CB,=-4y+4z=0一/.

则＜------,令x=4,则勺=（4,1,1）,

々•C。=-x+4z=0

因为瓦•瓦=4-4+0=0,所以瓦1］，

所以DE〃平面CBQ「

【小问2详解】

市二（3,2,0）,硒=（3,0,4）,西二（2,4,4）,

设平面的法向量为0=（£,_/,，），

‘晨函=3x'+4z，=0一/、

则〈二---，令x'=4,则〃2=（4』,一3）,

r

n2-ED1=2x+4y+4z'=0

3x4+2xl772

所以sin。=cos£*£〃，=

EF与平面EBR所成角的正弦值为述.

13

【小问3详解】

因为4-皿口=\EF\smO=V13,

=*sin/8曲=3_温/43二

SD广詈量

所以二；|函||西卜in/Bf=2回，

।28

所以/_E阳1入=§"尸-码aSA£MP=y•

18.数列｛%｝为等差数列，数列也｝为各项不为零的等比数列，公比为2,〃£]<，

a?一仇=%一a=a-•

（1）证明：%=a；

（2）求集合｛集4=%+q,14m4500｝中元素的个数;

（3）当[=1时，将数列｛4｝的每相邻两项氏,之间插入一个数。也，构造新数列血｝,即

q=q,。2=64，。3=。2，c4=a2b2,...»数列｛c〃｝的前〃项和为5〃，求S2,,及满足S2”>2026的最

小正整数〃.

【答案】（1）证明见解析

（2）元素个数为9（3）S2.=3+（2〃—3）2"+〃2,最小正整数〃=8

【解析】

【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明；

（2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合4=%,+q得出2"2=〃7,再根据机的范围即可求解；

（3）由分组求和，错位相减法求得S2“，再根据S?”单调性即可求解最小正整数〃.

【小问1详解】

设｛%｝的通项公式为%=4+(〃-l)d,〃eN*,｛2｝的通项公式为

因为。2-仇=%一4，所以q+<，-2bl=q+2c/-44,则d=2b｝,

因为牝一4二4一。4,所以q+d-2々=8々-q-3",则。=2q,

所以q=々.

【小问2详解】

由“•=《”+%，”=々得，aQi=6十(〃z-l)2al十％,所以2"2=〃？，

又因为14及4500,所以lW2i«500,

因为函数〉=2X-2在R上单调递增，

所以％=2,3,4,5,6,7,8,9,10,元素个数为9.

【小问3详解】

,,_|

由已知得bH=2,S2n=al+a2+--+an+a]bi+a2b2+--+anbn,

1+2/?—12

设4=q+〃2+.••+〃〃=---〃=〃，

设8“=1x20+3x21+5x2?+…十(2〃—1)x2"”①

24=1x2、3x2?+5x23+…+(21)x2〃②

①・②得:一纥=1—(2〃—1)2"—2侬+2?+…+2"T),

纥=3+(2〃-3)2〃，

所以S?”=An+Bn=3+(2〃-3)2"+"2,

因为氏=2〃-1>0,。=21>0,anbn>0,

所以S?”二3十(2〃一3)2”十〃2单调递」曾，

又〃=7,凡=1460<2026,右=8,S16=3395>2026,

所以最小正整数〃=8.

19.已知椭圆。的方程为上顶点为力，右焦点为尸，椭圆的离心率为乎，点E

为。*中点,。为坐标原点，AE=#、椭圆卜一点P（Xo/o）在第一象限•

（1）求椭圆方程；

（2）若NP4F=NEAF,求比；

（3）若直线>=户1与椭圆交于点M、N,点N在点"右侧，。为线段ON上一点，PQ=2>/2,

2yo

证明也过定点，并求出定点坐标.

X2v2

【答案】（1）±+2_=i

84

2

⑵y0=-

（3）证明见解析，定点坐标为（2,0）

【解析】

【分析】（1）由已知直接求解方程即可；

（2）先求出点上关于直线4尸的对称点，即可得出直线4P的方程，与椭圆方程联立即可求解；

（3）设Q（t,荒,由两点之间距离公式得出/的方程，结合椭圆方程求解/,再表示出直线尸。即可

证明.

【小问1详解】

由离心率为也，得Q=J5C，所以b=c,/（0）），F（c,0）,F（£,O）»

2

AE=W+b2=*=6

22

所以。=2,则。=2后，b=2,所以土+匕=1.