中考数学复习：二次函数压轴题-路径问题

专题01路径问题

【例1】平面直角坐标系中，抛物线J=G：2+法+3交工轴于4,B两点，点A,3的坐标分别为(-3,0),(1,0),

与y轴交于点C，点D为顶点.

(1)求抛物线的解析式和tanND4C：

(2)点E是直线AC下方的抛物线上一点，且又^=2,5”，求点E的坐标；

(3)如图2,若点尸是线段AC上的一个动点，4DPQ=NDAC,OP_LDQ,则点尸在线段AC上运动时，。点

不变，Q点随之运动.求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长.

【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=-丁+21+3与x轴交于A、5两点（点A在点3的左侧）,

与y轴交于点C,抛物线的顶点为。，对称轴交工轴于点E.点?为抛物线对称轴上一点.

（1）若点（肛4）在抛物线上，则代数式1-2〃?的值是

（2）连接PC、PB,当NPCB=NPBC时,求点尸的坐标；

（3）以8〃为边在8尸的下方作等边三角形ABPQ,当点P从点。运动到点E的过程中，求出点Q经过路径的长

度是多少？

【变式训练2】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数)=尔+版+6交x轴于4-4,0)、8(20),在)，轴上有

一点£(0,-2),连接A£.

(1)求二次函数的表达式：

(2)点。是第二象限内的抛物线上一动点.若tanZ4EO=1，求此时点。坐标；

3

(3)连接AC,点P是线段C4上的动点，连接。P,把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ,点。是点。的

对应点.当动点尸从点。运动到点A时，判断动点。的轨迹并求动点。所经过的路径长.

【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,-6百)，轴于点3,47_1,)，轴于点。，连接8c.点

。是线段AC的中点，点E的坐标为(0.-46)，点产是线段区上的一个动点.过点A,D,产的抛物线与x轴

正半轴交于点G,连接。G交线段AB于点M.

(1)求NACB的度数；

(2)当点尸运动到原点时，求过A,D,尸三点的抛物线的函数表达式及点G的坐标；

(3)以线段QM为一边作等边三角形DWP,点产与点A在直线ZX7同侧，当点尸从点E运动到点O时,请直接

写出点夕运动的路径的长.

【变式训练1】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数），=公?+加+6”工0）交x轴于4-4,0）,8（2,0）,在），轴

上有一点凤0.-2）,连接AE.

（1）求二次函数的表达式：

（2）点。是第二象限内的抛物线上一动点.

①求AWE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tanZAE。」，求此时点。坐标；

3

（3）连接4c，点P是线段C4上的动点，连接。P,把线段P。绕着点P顺时针旋转90°至PQ点Q是点。的

【变式训练2】平面直角坐标系中，抛物线），=。*+云交x轴于人，4两点（点4在点4左侧），与），轴交于点

C,点A,C的坐标分别为（-3,0）,（0,3）,对称轴直线x=-l交x轴于点E,点。为顶点.

（1）求抛物线的解析式：

（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且SSKAC=S.c,求点K的坐标；

（3）如图2若点?是线段AC上的一个动点，ZDPM=30°,OP_LD用，则点尸的线段AC上运匆时，。点不变，

M点随之运动，求当点尸从点A运动到点。时，点加运动的路径长.

【变式训练3】如图，抛物线y=o?+法+3过点41,0),8(3,0),与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点石为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,尸为顶点的四边形为

平行四边形？若存在，请求出所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点尸为线段OC上的动点，连接3月，过点。作CN垂直于直线8尸，垂足为N,当点尸从点。运动到点。

时，求点N运动路径的长.

【例3】如图，在平面直角坐标系屹v中，已知抛物线)，=*+2x+3与x轴交于A,3两点(点A在点8的左边),

与y轴交于点C,顶点为M，连结CM,8,直线8M交)，轴交于点，

(1)求直线3M的解析式；

(2)若点Q以每秒6个单位的速度由点4向点。直线运动，连结CQ,以CQ为边向下作ACOP,使得

bQCPs^MCB,设运动时间为1,

①当，为何值时，QC恰好平分NDQP?并说明理由；

②当点。从点B运动到点。时，请直接写出点P经过的路径长.

【变式训练1】平面直角坐标系中，抛物线)，=aP+法+3交x轴于A,4两点(点4在点4左侧)，与)，轴交于点

C,点A,3的坐标分别为(-3,0),(1,0),对称轴。石交x轴于点E,。为顶点.

(1)求抛物线的解析式和tanNQ4C：

(2)点K是直线AC下方的抛物线上一点，且NZMC=NK4C,求点K的坐标：

(3)如图2若点?是线段AC上的一个动点，ND尸M=30。，则点P的线段AC上运动时，。点不变,

M点随之运动，求当点?从点A运动到点。时，点M运动的路径长.

【例4】抛物线后+3与工轴交于A、B两点、,与)，轴交于点C,连接8C.

(1)如图1,求直线8C的表达式；

(2)如图1,点。是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC,PB,当APCB面积最大时，一动点Q从点夕从

出发，沿适当路径运动到),轴上的某个点G再沿适当路径运动到*轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中

点尸处停止.求当APC8面积最大时，点尸的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；

(3)如图2,在(2)的条件下，当APC8面枳最大时，把抛物线)，=-；/+岳+3向右平移使它的组象经过点夕，

得到新抛物线V，在新抛物线)，'上是否存在点石，使A£CB的面积等于APC8的面积.若存在，请求出点后的

坐标；若不存在，请说明理由.

【变式训练1】如图I,抛物线产加+区+2经过41,0),仇7,0)两点，交y轴于。点，以AB为边在X轴上方作

4

等边三角形ABC.

(1)求抛物线的解析式：

(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点M,使若存在，请求出点加的坐标；若不存在，请说

明理由；

(3)如图2,石是线段AC上的动点，b是线段3c上的动点，A9与比相交于点尸.

①若CE=BF,试猜想A尸与跖的数量关系及加8的度数，并说明理由；

②若AF=BE,当点£由人运动到C时，请直接写出点P经过的路径长.

【变式训练2】如图1,在平面直角坐标系中，抛物线），=^/-|后-2分别与.丫轴交于4,B两点、,与），轴交于

C点，直线跖垂直平分线段BC,分别交BC于点石，y轴于点尸.

（1）判定AABC的形状；

（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P,当Mb面枳最大时，点P沿适当的路径运动到直线AC上的点M处，

再沿垂直于AC的方向运动到直线厅•上的点