2026年中考数学：特殊平行四边形-正方形（知识解读+例题讲义）解析版

第25讲特殊平行四边形-正方形

3"知识导航.一

知识点1：正方形的性质

知识点2：正方形的判定

知识梳理一.

知识点1:正方形的性质

1.定义：正方形是平行四边形、矩形、菱形的特殊结合体，兼具三者的所有性质

2.性质：

（1）对边平行，四条边长度完全相等。

（2）四个内角都是直角，度数均为90。，邻角互补，对角相等。

（3）对角线互相垂直、互相平分且长度相等；

（4）对角线平分一组对角，将正方形的每个内角分成两个45。的角：

（5）对■角线对角线把正方形分割成4个全等的等腰直角三角形。

（6）是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；是轴对称图形，共有4条对称轴，分

别为两组对边中点的连线、两条对角线所在的直线。

3.面积公式：

①基础公式：面积二边长的平方;

②对角线公式：面积二1对角线的乘积

2

知识点2：正方形的判定

（1）从平行四边形出发判定

①平行四边形+一组邻边相等且有一个内角是直角2正方形:

②平行四边形+对角线互相垂直且相等O正方形。

（2）从矩形出发判定

①矩形+一组邻边相等2正方形:

②矩形+对角线互相垂直蒙正方形。

（3）从菱形出发判定

①菱形+一个直角o止方形:

②菱形+对角线长度相等力正方形

F7题型精讲

【题型1根据正方形的性质求角度】

【典例1】如图，4c是正方形48CD的一条对角线，延长8。至点E,使得CE=/1C,连接

AE,则NE的度数为（）

A.22.5°B.30°D.35°

【答案】A

【分析】本题考查止方形的性质，等边对等角，三隹形的外角的性质，根据止方形的性

质，得至I」乙4cB=45。，等边对等角，得到N以E=再根据三角形的外角的性质，进

行求解即可.

【详解】解：「AC是正方形A8CD的一条对角线,

，乙4cB=45°,

-CE=AC,

'-Z-CAE=

••/ACB=Z.CAE+ZE=2匕E=45°,

:/E=22.5°：

故选A.

【变式1】如图，正方形4BCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BE网）的对角线交正方

D.67.5°

【答案】A

【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，由正方形/BC0,菱形BEFD,即

可得iDBC=45°,Z-PBC=\z-DBC=1x45°=22.5°.

【详解】解：•••四边形48CD是正方形，

:/DBC=45°,

•••四边形是菱形，

:/PBC=、DBC=1x450=22.5°.

故选:A.

【变式2】在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点夕是正方形48。。内一点,

PA=1,PB=2,PC=3,则乙4PB的度数是（）

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理.

利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到P'P=2五，证明乙4P，=90。，即可解

决问题.

【详解】解：将aBPC绕点8逆时针旋转90。，得到△BP'4连接PP',

则△/8P'三ZSCBP,APr=CP=3,BP'=BP=2,乙PBP'=9。°,

."BPP'=45。，

根据勾股定理得，P'P=y/PB2+PrB2=V22+22=2V2,

•••AP=1,

.-.AP2+P/P2=1+8=9,

X-.-P^2=32=9,

i4P2+P，P2=PrA2,

••.△APP'是直角三角形，且右4PP'=90。,

•••LAPB=Z.APP'+乙BPP'=90°+45°=135°.

故选：A.

【变式3】如图，在正方形力BCD中，E为边AD上一点、,连接在8E右侧作△8EF,满

足乙BFE=90°,BF=EF,连接。用若乙A8E=。，贝U乙UFE的度数为()

A.3aB.4S°+aC.600-aD.90°-2a

【答案】D

【分析】如图所示，连接A凡4C,证明出点儿B,F,E四点共圆，得到

LBAF=LFEB=45°,Z.AFE=LABE=a,然后证明出点儿F,。三点共线，得到

AB=AD,匕BAF=4AF,然后证明出△4BF三△AZm(SAS),得到

乙ADF=〃BF=LABE+乙FBE=a+45。，然后利用三角形内角和定理求解即“J.

【详解】如图所示，连接/户，AC

•••四边形力BCD是正方形

：.Z.BAD=90°

-Z.BFE=90°,BF=EF

:/FBE=乙FEB=45°

••点A,B,F,E四点共圆

'-Z.BAF=乙FEB=45°,Z.AFE=乙ABE=a

；ZEAF=45°

:点A,F,。三点共线

•.•四边形ABCD是正方形

=AD,Z.BAF=LDAF

乂/=AF

:.△ABF=△4。/(SAS)

：.^ADF=Z-ABF=乙ABE+Z.FBE=a+45°

:/DFE=180°-^DAF-/.AFE-/.ADF

=180°-45°-a-(a+45°)

=180。-45。一a-a—45°

=90°-2a.

故选：D.

【点睛】此题考杳了正方形的性质,全等三角形的性质和判定，圆周角定理,三角形内

角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

【题型2根据正方形的性质求线段长】

【典例2】如图，在正方形48CD中，AB=4,CE=DF=1,DE,4尸交于点G,点”为.4E的

中点，连接GH，则GH的长为.

【答案】2.5

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形

斜边中线等于斜边一半，掌握正方形的性质是关键.

根据正方形的性质，勾股定理得到力E=5,再证明AAD/W得到△AEG是直角

三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解.

【详解】解：•••四边形ABCO是正方形，

'.AB=BC=CD=AD=4,4ABC=乙BCD=Z.CDA=Z-DAB=90°,

-CE=DF=1,

•••BE=BC-CE=4-1=3,

在Rt△ABE中,AE=dAB?+BE2=V42+32=5,

-AD=DC^ADF=LDCE,DF=CE,

-LDAF=乙CDE,

•；乙CDE十乙ADG=90°,

：.Z.ADG+/-DAG=90°,

：.^AGD=90°,即力/J.OE,

••・乙4GE=90。，即△力EG是宜角三角形，

•・•点H为4E的中点，

■GH=^AE=|=2.5,

故答案为：2.5.

【变式1】如图，在正方形A8C。中，点E,厂分别在边ZM,ABE,且。£=AF,作AG1EF

于点H,交BC于点G,若45=6,EF-.AG=2.3,则BG的长为.

【答案】3

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定与性质是解题的关键.

首先利用正方形的性质进行角度转化，得至ijRtaEARt^ABG,再利用相似比求得

的长度，即可求得BG的长度.

【详解】解：•••四边形ABC。是正方形，

.'-AB=AD=6,/.DAB=LABG=90°,

：.£EAH+/-GAB=90',

-AG1EF,

乙4，E=9O°,

••ZE4H+4AEH=9(r,

-Z.AEF=Z.GAB,

：.RtAEAFRIAABG,

AFAEEF2

：,~BG=AB=AG=3f

,•AB=6,

•■AE=4,

：.AF=DE=AD-AE=2,

AF2

•BG一3'

:BG—3,

故答案为：3.

【变式2】如图，在正方形A8C。中，点E在BC边上，连接DE,取DE的中点凡连接CF,若

CF=5,CD=8,则BE的长为.

【答案】2

【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及勾股定理,

判断出直角三角形斜边与其中线的数量关系是解题的关键.

由直角三角形斜边上的中线是斜边的•半，可得DE的长度，结合勾股定理求出CE的长度，

最后求出BE的长度.

【详解】解：•.•四边形4BC0为正方形，

：.BC=CD=8,乙BCD=90。，

•••CT为直角三角形斜边OE边上的中线，CF=5,

••.DE=26=10,

由于三角形。CE为直角三角形，由勾股定理得CE=JDEZ-CD?=6,

-.BE=BC-CE=8-6=2,

故答案为：2.

【变式3】如图，在正方形48C0中，E是CD边上一点，将△4OE沿4E翻折至△力〃'E,延

长ED'交8c于点E若力B=15,DE=10,则B"的长是（）

A.3B.12C.10D.5

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.

连接4凡证明△川5B三设8尸二尸。'=£，则

EF=x+10,〜=15-x.EC=15-10=5,利用勾股定理求解即可.

【详解】•.•正方形4BCD中，£是CD边上一点，将沿力E翻折至△力

'.AB=AD=AD'^ABF=乙ADC=LAD'F=4。=90°,

连接AF，

(AB=AD1

,•1AF=AF，

尸8三△力尸D'(HL),

：.BF=FD'

设B/=FD'=x,

则E尸=x+10,FC=15-x,EC=15-10=5,

.­.(X+10)2=(15-X)2+52,

解得％=3.

故选：A.

【题型3根据正方形的性质求面积】

【典例3】边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在〜起，它们的底边在同一直线上（如

图），则图中阴影部分的面枳为—

娥

【答案】15

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解:如图,

由题意可知力。=DC=10,CG=CE=GF=G,Z-CEF=(EFG=90%GH=4,

；.CH=10=AD,

vzD=乙DCH=9O°,Z4/D=乙HJC,

:.△ADJwAHC心A»,

-.CJ=DJ=5,

'-EJ=1，

•••G/||CJ,

△HGIFHCJ,

GIGH2

:'cj=而=?

••Gl—2,

:.Fl=4,

•••S梯形E〃户=知+FI)EF=15：

故答案为15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性

质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【变式1】如图，四边形4BC。是边长为4的正方形，ABPC是等边三角形，则阴影部分的

面积为___________

【答案】12-4V3/-4V3+12

【分析】作2时10。于时点，PN工首先求出正方形的面枳，然后根据等边

三角形和正方形的性质求出尸M和PN,从而求出APBC和△PCO的面积，最后作差求

解即可.

【详解】解：如图所示，作PM1DC于M点，PN1BC于N点，

•••四边形48CD是边长为4的正方形，

:2BCD=90°,BC=CD=4,S正方形ABCD=4X4=16>

•••△BPC是等边三角形，

."CP=60。，BC=CP=4,BN=CN=2,

22

J.PN=>/CP-CN=2V3,

•••SAPBC=；BC.PN=Ix4x2V3=4百，

“BCD=90°,Z-BCP=60°,

：/PCM=30°,

.,.在RtZXPCM中，PM=^CP=2,

:5mcD=QCD・PM=2X4x2=4,

阴影=S正方形ABCD-SAPBC-S4PCD，

.•.S阴影=16-473-4=12-4V3,

故答案为：12-4百.

【点睛】本题考查正方和等边三角形的性质，以及30。角所对的直角边是斜边的一半，

掌握图形的基本性质，熟练运用相关性质是解题关健.

【变式2】如图，在边长为2的正方形4BCD中，点E在片。上，连接EB,EC.则图中阴影部

分的面积是.

【答案】2

【分析】根据正方形A8CD的/34。=90。，404=90。，边长为2,阴影部分面积等

「△力8£与△。。£"面积的和，运用三角形面积公式，即可求解.

【详解】•••四边形力BCD为正方形，

：.Z.BAD=90°,Z.CDA=90°,

•.♦正方形力BCD的边长为2,

'S阴影=5&ABE+$ACDE

11

=-AE-AB4--DE•CD

乙乙

11

=—AEx2+—DEx2

乙乙

=AE+DE

=AD

=2.

故答案为:2.

【点睛】本题主要考查了正方形，三角形面积.熟练掌握正方形的边角性质，三角形面

积公式，是解题的关键.

【变式3】如图，在正方形力BCD中，£为8c边上一点，BE=3,连接力E,过£作

EFA.AE,EF交CD于点F,FC=2,则正方形力BCD的面积为.

【答案】81

【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为北贝IJ：

CF=x-3.证明△力BE-ZkECF,列出比例式求出工的值，进而求出正方形48CD的面

积即可.

【详解】解：•.•正方形/BCD,

:=ZC=90°,AR=BC,

设正方形的边长为刀,贝I」：AB=BC=x,CE=BC-BE=x-3,

,-EF1AE,

：.LAEF=90°=乙C,

：.Z-AEB=乙CFE=9O°-ZCEF,

又♦•28=ZC=90°,

△ABEECFr

'CE=CF=2f

：.2AB=3CE,即：2x=3。-3),

.••x=9,

正方形的面积为/=81；

故答案为：81.

【题型4与正方形有关的折叠问题】

【典例4】如图，正方形纸片力BCD的边长为4,£是边4。的中点，连接8E,折叠该纸片,

点力落在,处，连接4'。，贝川匕的长为.

1)

【答案】争

【分析】本题考查翻天变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

如图，过点"作于M交ADFN.证明8M，，推出怒=A'NEA

r\1*^1BM~BA'

=5，设EN=%,则，M=2x,AfN=4-2x.BM=8-4x,根据4N=BM,构建方程

求出X即可解决问题.

【详解】解：如图，过点"作"MJLBC于M交AD于M

•••四边形力8co是正方形,

：2=90°,AB=AD=BC=4,AD\\BC,

•:MN1BC,

.'.MN1AD,

由翻折可知，AE=EA\Z_A=z_EA'B=90°,AB=BAf=4,

,■,/IF=ED=2,

.•.£71'=AE=2、

：.Z.BA'E=Z.ENA1=/.A'MB=90°,

+乙EA'N=90°,NEA'N+Z.ArEN=90°,

；ZBA'M=乙A'EN,

.••△A'NEYBAM',

ENA'NEA'工

,■-777=~RM=B^=2'

设EN=x,则4'M=2x,A'N=4-2x,BM=8-4%,

=AN,

.••8—4%=2+x,

16.124

:.BM=—,4M=M，CM=4-BM=工，

在Rt^A'CM中，CT=〃历2+CM2=[GY+(J=警.

故答案为：争.

【变式1】如图，在正方形4BCD中，点E,尸分别在边48,CD上，将正方形A8CD沿"折叠,

使点4落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点M若AB=S则线段.4£的

长为.

【答案】K或嫌

【分析】分4M=^AD^AM=|/1D两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可.

15

【详解】解：在正方形HBCD中，AB=^,

15

.--AD=AB=f,Z.A=90°,

•・•点B落在4。边上的三等分点历处，

•■AM—;IAM—ji4D,

=%,则BE=，3，

由折叠的性质得EM=BE=y-x,

15

当时J，4则4M=5，

2222

在RtUEM中，AM+AE=E^,即修)+x=(y-x),

,10

解得％=T;

2

当/M=?4D时，则AM=5,

“5\2

在RS4EM中，AM2+AE2=EM2,即52+/=(3—力,

25

解得％=运；

综上，线段4E的长为上最

12

【点睛】注意三等分点有工M=和4M=两种情况，不要遗漏.

【变式2】如图，正方形的边长为3,点£、尸分别在边8C、CDk,将AB、4。分别沿

AE.力/折叠，点夙。恰好都落在点G处，已知BE=1,则E巾的长为()

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出

EG=BE=1,GF=。/，设DF=》,再根据勾股定理得出£产=EC?+r。2,代入数值

求解得出x的值，进而即可得出EF的值.

【详解】解：•.•正方形纸片A8CD的边长为3,

.ZC=90°,BC=CO=3,

根据折登的性质得：EG=BE=1,GF=DF,

设DF=x,

则EF=EG+GF=1+x,FC=DC-DF=3—，EC=BC-BE=3-1=2,

在为△EFC中，EF2=EC2+FC2,

即(％+1)2=22+(3-X)2,

3

解得x=5，

ADF=I，

35

:EF=1+2=2»

故选B

【变式3】如图，在正方形4BCD中，点E是边4D上一点，将正方形沿8E翻折，使点A落在

点F处，连接AF并延长交8E于点G,交CD于点、H,若AB=12,DH=5,则EG的长为.

-25

【答案】m

【分析】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据翻折,

得到BE1A尸，证明AABE三△D4H,进而得到4E=DH,勾股定理求出BE的长，解

直角三角形求出EG的长即可.

【详解】解：•.•翻折，

:BE1AF,

•.•正方形力8G9,

：.AB=AD.Z.BAD=Z.ADH=90。，

.'./.ABE=/-DAH=90°—4BAG,

△ABE=△DAH,

MF=Z)/7=5,

在RtZkABE中，BE=>JAE2+AB2=13,

-LABE=Z.DAH,

•••sin/TlBE=sinz.DAH,

-E_EG

:'~BE=恭

.-./IF2=BEEG,即：5?=13EG,

25

♦'EG=13；

故答案为：13.

【题型5添加一个条件使四边形是正方形】

【典例5】如图，四边形48CD是平行四边形，从①4C=BD,@ACLBD,③AB=BC,

这三个条件中任意选取两个，能使口48。。是正方形的概率为（）

2115

A.3B.5C.ED.6

【答案】A

【分析】本题考查J'正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率

公式是解题的关键.

根据从①4c=8。，（2）AC1BD,@AB=BC,这三个条件中任意选取两个，共有

①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种

可判定平行四边形是正方形.再根据概率公式求解即可.

【详解】解：从①AC=BD,®AC1BD,®AB=BC,这三个条件中任意选取两个,

共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有

2种可判定平行四边形是正方形.

•••□ABCD，从①AC=3。，@ACLBD,（?）AB=BC,这三个条件中任意选取两个，

2

能使口力BC。是正方形的概率为

故选：A.

【变式1】在菱形A6C。中，对角线AC,8。相交丁点O,若添加一个条件使该菱形为正方形，

该条件可以是.

【答案】=（答案不唯一）

【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键.

依据正方形的判定定理进行判断即可.

【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根据布•个角是直角的菱形是正方形，可添加的：ABLBC；

故添加的条件为:AC=BD^AB1BC.

【变式2】如图，在四边形48co中，ABWCD,ADWBC,AC=BD,在不添加任何辅助线的

前提下，若使四边形.48。。是正方形，只需添加的一个条件是

【答案】AB=BC（答案不唯）

【分析】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握正

方形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关健.

先证四边形48C。是矩形，再由正方形的判定即可能答.

【详解】解：•MBIICD.ADWBC,

••・四边形4BCD是平行四边形，

-AC=BD,

四边形MCD是矩形，

•••需添加的一个条件是AB=BC.

故答案为：48=8。（答案不唯一）.

【变式3】如图，在四边形/9C。中，AB\\CD,ADWBC,对角线/C_L于点。，若添力口一个

条件后，可使得四边形48CD是正方形，则添加的条件可以是（不再增加其他线

条和字母）

【答案】AC=BD^LABC=90°

【分析】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正

方形.

根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.

【详解】解：•.•在四边形ABCD中,ABWCD,ADWBC,

.•/8C0是平行四边形，

MB。。是菱形，

.•.要使四边形力BCD是正方形，则还需增加一个条件是："=BD或=90。.

故答案为：AC=8。或N/1BC=90°.

【题型6证明四边形是正方形】

【典例6】如图，在RtZXABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,D,E是边8C上的两点，且

BD=CE,过点。，E分别作OM_L力氏EN1AC,垂足分别为M,N,M。与NE的延长

线交于点心连接/O.AE.

⑴求证：AD=AE.

(2)求证：四边形AMFN是正方形.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定.

(1)证明三△4CE,即可得出结论；

(2)先证明四边形4M用V是矩形，再证明△BDM三△CEN(AAS),推出力M=即

可得出结论.

【详解】(1)证明：-^BAC=90°,AB=AC,

=LC=45°.

AB=AC

在△48。和△£/?中,£?二任，

\BD=CE

.•.△y45D=A/4CE(SAS),

:.AD=AE；

(2)证明：-DMLAB,ENLAC,

•••Z.AMF=乙ANF=90".

•:乙BAC=90。,

四边形AMFN是矩形.

vZF=ZC=45°,DMLAB,ENLAC,

BOM和△CEN均为等腰直角三角形，乙BMD=乙CNE=90°.

ZBMD=乙CNE

在△80M与△CEN中，|，

BD=CE

.♦.△8DM三△CEN(AAS),

BM=CN.

-AB=AC.

：.AM=AN,

•••四边形4M尸N是正方形.

【变式1】如图，在UM用?。中，AE干点凡AE=CE,求讦：四边形

AEC尸是正方形.

【答案】见解析

【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定等知识，先利用平行四边形的性质

得至IJN/ME=乙/lEC=4BCF=乙42。=90。，从而证明四边形4ECF是矩形，再结介

AE=CE即可得证.

【详解】证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

.'.AD||BC.

-AELBC,CFLAD,

“DAE=乙AEC=乙BCF=4AFC=90°,

•••四边形AE6是矩形.

-AE=CE,

四边形4E”是正方形.

【变式2】如图，四边形AEC尸是菱形，对角线AC、E尸交于点。，点。、8是对角线EF所在

直线上两点，且DE=BF,连接40、AB.CD、CB.Z.AD0=45°.

⑴证明：△ABgACDE；

(2)四边形4BCD是怎样的特殊四边形？请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)四边形4BC0是正方形.理由见解析

【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定.

(1)先根据菱形的性质得AC_LE/，0A=0C,0E=0F,则B0=。。，证明四边形48CD

是平行四边形，推出AB=CO,LABF=LCDE,利用SAS即可证明结论成立；

(2)结合力C18。，得到四边形48CD是菱形，由/40。=45。，推出力C=BD,即可

作答.

【详解】(1)解：・菱形力ECF的对角线4和EF交于点O,

.'.AC1EF,OA=OC,OE=OF,

,:DE-BF,

-DE+OE=BF+OF,

:BO=DO,

••・四边形48CD是平行四边形，

：-AB=CD,乙ABF=LCDE,

,；DE—BF,

•••△4B/mz\CDE(SAS)；

(2)解：四边形A8CD是正方形.理由如下，

•.•四边形48CD是平行四边形，且4C18D,

•••四边形4BG)是菱形，DB=2D0,AC=2A0

-Z.ADO=45°,

：.LDAO=Z.ADO=45。，

二力。=DO,

--AC=BD,

四边形力BCD是正方形.

【变式3】如图，在平行四边形48。。中，对角线AC与相交于点区乙8/。=90。，点G

为力。的中点，连接CG,CG的延长线交84的延长线于点凡连接D凡

⑴求证：AB=AF；

(2)请增加一个条件，使得四边形4CDF为正方形.［不需要说明理由)

【答案】⑴见解析

(2)AB=AC

【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方

形的判定方法.

(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；

(2)证明四边形ACZ)厂是平行四边形，进而证得4C=AF,根据正方形的判定即可得到

结论.

【详解】(1)证明：•••四边形力是平行四边形，

：.AB=CD,AB\\CD

•••Z.AFG=Z.GCD,

•••点G是4D的中点，

AG=DG,

在△回?和△OGC中，

(^.AGF=Z.DGC

Z.AFG=Z.DCG

AG=DG

.•.△Z4GF«AD6C(AAS),

：.AF=CD,

:.AB=A尸：

(2)解：当48=AC时，四边形ACDF是正方形.

证明：由(1)知，AF=CD,

又•••ABWCD,

AF\\CD,

•••四边形4C0尸是平行四边形,

由（1）知，AB=AF,

-：AB=AC,

•••AF=AC,

.%四边形ACDF是菱形，

•.zB4C=90。，

.••“4E=90。，

:.四边形尸是正方形.

故答案为：AB=AC.

【题型7正方形的性质与判定综合】

【典例7】如图，正方形48。。中，4。=4,点E是对角线力C上一点，连接。BE.

⑴求证：ACDE三4CBE；

（2）过点E作EFJ.EO,交48卜点F,连接。凡交力C于点G,若点尸是A8的中点，求线段EF

的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵VT5

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定,

角平分线的性质，熟知正方形的性质与判定定理是解题的关键.

（1）由正方形的性质可得CD=CB,Z.DCE=乙BCE,则可利用SAS证明△CDE三ACBE；

（2）过点E作EM『M,ENA.AD『N,由正方形的性质得到｛0=48=4,

Z.BAD=90°,/-DAC=^BAC,由角平分线的性质得到EN=EM,则可证明四边形

AMEN是正方形，得到/MEN=90。，证明△DENWZ\FEM（ASA）,得到DE=£凡则

DF=>JDE2+EF2=五EF；利川勾股定理求出。尸的长即可得到答案.

【详解】(1)证明：••・四边形4BCD是正方形，

'-CD=CB,Z.DCE=乙BCE,

又、CE=CE,

:.△CDE三△CBE(SAS)；

(2)解：如图所示，过点上作EM_L/18FM,EN1ADJ-N,

:ZEND=乙ENA=Z.EMA=90°,

,呐边形力BCD是正方形，

MD=AB=4,Z-BAD=90°,^.DAC=^-BAC,EN=EM，

••・四边形AMEN是矩形，

•••四边形AMEN是正方形，

••/MEN=90°,

•；EFJ.ED，

:ZDEF=乙NEM=90°,

:/DEN=乙FEM=90°—4NEF,

•••△DENWAFEM(ASN),

••.DE=EF,

：.DF=>/DE2+EF2=近EF；

•・•点F是AB的中点，

••./IF=\AB=2,

•.DF=JAD2+AF2="+2?=2V5,

:.EF=-fDF=V10；

【变式1】如图，在直角三角形48c中，zC=90°,△ABC的外角NB4E和zABD的平分线

AO,8。交于点O,过点。作OE1AC,OD1BC,垂足分别是E和。.

⑴求证：CD=CE；

(2)若80=3,AE=2,求CE的长.

【答案】⑴详见解析

(2)CE=6

【分析】(1)过点。作。尸18A于点凡先证明四力形CDOE是矩形，再根据角平分线

性质得出0。=0£证明矩形CDOE是正方形，即可■得出结论；

(2)延长CD到点G,使DG=力E,连接0G,证明AODG三△0E4得出

/-GOD=/-AOE.OG=。力，证明△GOB三△4。8,得出84=BG=BD+AE=3+2=5,

设CE=CD=x,得出8c二%一3,4。=%—2.根据勾股定理得出。-3)2+Q-2y=5z,

求出结果即可.

【详解】(1)证明：如图1,过点。作OF18月于点R

图I

'：0E1AC,OD1BC,Z.C=90。，

.-.ZD=ZE=ZC=90°,

••・四边形CDOE是矩形，

-0ELAC,OFLB40平分/BAE,

••.OF=OE,

同理可得OF=0。，

•■OD=OE,

矩形CDOE是正方形,

:.CD=CE.

（2）解：如图2,延长CD到点G,=AE,连接OG.

由（1）可知四边形CDOE是正方形,

••.00=0E,

(OE=OD

在AODG和△。£\4中，=90°»

IAE=GD

△ODG=△OEA»

:.乙GOD=LAOE,OG=OA.

•・•“=90°,

:/BAC+Z.CBA=90。，

：./-BAE+Z.ABD=270°,

乂•./O.B。分别平分4和4480,

'.^BAO+/-OBA=135°,

.ZOB=45°,

^EOA+乙BOD=45°,

“GOD+乙BOD=45°,

即NG08=45°.

(OG=OA

在△GOB和△A08中，"°B力乙丝g=45°,

IOB=OB

：.AGOBwAAOB,

'.BA=BG=BD+AE=3+2=5,

设CE=CD=x,

•BC=x-3,AC=x—2.

在RtZk/18C中，BC2+AC2=AB2,

.•.(X-3)2+(X-2)2=52,

解得％i=6fx2=-1(舍去)，

-CE=6.

【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，勾

股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作出

铺助线.

【变式2】如图，在矩形4BCD中，点E在对角线力。上，AE<EC,BE=DE.

⑴求证：四边形4BCD是正方形；

(2)点尸在对角线ACERZ.ADF=Z.BEC,求证：BEDF=EF-AB.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)如图，连接8。交AC于点、0,根据矩形的性质得B。=D。，根据

BE=DE,推出AC垂直平分BD,继而得到=即可得证；

(2)如图，连接8片根据正方形的性质得力8=AD,LBAF=LDAF,证明

8EEF

△BAF三△ZL4"(SAS)得4力28=Z-AFD,证明△BEF-△ADF得布=而，即可得证.

【详解】(1)证明：如图，连接8。交AC于点。，

•••四边形/BCD是矩形,

-BO=D0,

•:BE=DE,

"C垂直平分8。，

•­AB=AD,

•••四边形4BCD是正方形;

(2)证明：如图，连接B凡

由(1)知：四边形力BCD是正方形,

：-AB=AD,Z.BAF=Z.DAF,

在△8A广和△04尸中，

AB=AD

Z.BAF=Z.DAF

AF=AF

•••△BAF三△DAr(SAS),

：.^AFB=Z.AFD.^LEFB=LDFA,

-Z.ADF=乙BEC,即乙BfF=Z.ADF,

：.ABEFFADF,

BEEF_

-'-AD=而，

BE__EF_

•'•而二而，

:.BEDF=EF-AB.

【点睛】本题考查正方形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，全等

三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.掌握正方形的判定及相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

-i随堂检测

1.如图，E为正方形4BCD中CD边上一点，AC为对角线，连接BE,交AC于点F,若

^LCBE=40°,则44FE的度数为()

A.90°B.95°C.100°D.105°

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质；根据正方形的性质可得NF4B=45。，

"8C=90。，则〃3尸=50。,进而根据三角形的外角的性质,即可求解.

【详解】解：•••4C为正方形48CD的对角线，

.•"48=45。，4ABC=90。,

“CBE=40°,

.••乙48F=50°,

：.Z.AFE=Z.FAB+乙ABF=95。，

故选：B.

2.如图，正方形为BCD的对角线4c是菱形力E尸C的一边，则匕凡4B等于()

A.135°B.45°D.22.5°

【答案】D

【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得,

计算即可得解.

本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟

记性质是解题的关键.

【详解】解：正方形ABCD的对角线.

A/-CAB=45%

•.•四边形力EFC是菱形，

Z.FAB=^z.CAB=22.5°»

故选：D.

3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.对角互补B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【答案】D

【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟知正方形的性质，矩形的性质

是解题的关键.

【详解】解：A、正方形和矩形的对角都是90度，二者互补，不符合题意；

B、正方形和矩形的对角线都相等，不符合题意：

C、正方形和矩形的对角线都互相平分，不符合题意；

D、止方形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，符合题意；

故选：D.

4.下列说法不正确的是'：）

A.对角线互相垂直的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形

C.四边都相等的四边形是正方形D.邻边相等的矩形是正方形

【答案】C

【分析】利用正方形的判定定理即可得出答案.

【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意；

B、对角线相等的菱形是正方形，正确，故选项不符合题意；

C、四边都相等的四边形不一定是正方形，错误，故选项符合题意；

D、邻边相等的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键.

5.如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，。一。2是其中两个正方形的对角线交点,

则阴影部分面积是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据题意作图，连接OiB,OtC,可得△OiBFNZkOKG,那么可得阴影部分的面

积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系,

从而得出答案.

【详解】连接OiB,OK，如图：

vzBOiF+zFOiC=90c,ZF01C4-ZC01G=90°,

•"•Z.BO1F=Z.CO1G,

•••四边形ABCD是正方形，

.-.ZOiBF=ZOiCG=45\

在△OiBF和△OiCG中

«FO[B=乙(：0田

]BO】KO1，

I乙FB。]=Z.GCOi

•••△OiBF三△OiCG(ASA),

••・0】、O2两个正方形阴影部分的面积是审正方形，

同理另外两个正方形羽影部分的面积也是石正方形，

•'•S用影=gS「■方形=8.

故选D.

【点睛】本题主要考查J'正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移

是解决本题的难点，难度适中.

6.如图，两个全等的等腰Rt△48C和等腰RtZkCIM杓公共斜边4C,且四边形的面枳

为36,AABE为等边三角形，点E在四边形48C0内，在AC匕有一点P,使PD+PE的

和最小，则这个最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形

力BCO为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=48=6,连

接BP,依据正方形的对称性可知P3=PD,则PE+PD=PE+BP,由两点之间线段

最许可知：当点8、P、£在一条育线上忖，PE+P。有最小俏，最小俏为BE的长.

【详解】：连接BP,

•••两个全等的等腰Rt△/BC和等腰Rt△以M有公共斜边村,

：.AB=BC=CD=DA,/.ABC=90。，

••.四边形力BCD为正方形，

•.•正方形ABCD的面积为36，

•••正方形的边长为6,

••・△ABE为等边三角形，

•BE=AB=6»

•.♦四边形4BCD为正方形,

△48P与△4QP关于4c对称，

：.BP=DP,

：.PE+PD=PE+BP>BE,

.♦.PE+PD有最小值为6,

故选：B.

7.如图，在矩形A8CD中，AD=9,力8=12,点E是。。匕一动点，在平面内将矩形沿AE

折叠，使点。落在》位置.若△CO'E为直角三角形，则DE的长为（）

A.1B.9或6C.9或£D.3或

【答案】C

【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的

性质,分两种情况讨论：当〃D'E=2。=90。=“D'E或tCED'=90。,再结合图形

进一步求解即可.

【详解】解:连接AC，如图，

•・•在矩形ABCD中,AD=9,AB=12,

^AB=CD=12,ZD=90°,

-.AC=V/1D2+CD2=15,

当。'落在对角线4c上时，

^AD'E=£D=90°=/LCD'E,AD=ADf=9,DE=D,E,

设DE=D'E=%,则CE=12—CDr=15-9=6,

.-.(12-x)2=X2+62,

99

解得：x=2,即DE=g,

如图，当/CED'=90。时,

••zDED'=90°,

同理可得：AD=AD!=9,乙4。£=乙4。£=90。,

••・四边形为正方形，

•■DE=AD=9.

9

综上：当△CD'E为直角三角形，则DE的长为或9.

故选：C

8.如图，△48c中，4C=90°,AC=6,BC=8,4BAC、/48C的角平分线交于点D,DE1BC

于点区DF1/C于点凡则CE的长为()

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，止方形的判定，过。

作由角平分线的性质推出OE=。从DF=DH,判定四边形OECF是正

方形,得到CE=DE=CF,由勾股定理求出=10,判定△BDH三△BDE(AAS),得

到BE=BH,同理4F=H”,得到2CE=BC+AC-AB.即可求出CE的长.

【详解】解：过。作D”148于，，

•••80平分4/18C,40平分4B4C，DEIBC.DFLAC,

••,DE=DH,DF=DH,

：-DE=DF,

-LDEC=