《因式分解》压轴题综合测试卷-七年级数学下册专项提升练（浙教版）

第4章因式分解压轴题综合测试卷

【浙教版2024]

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

1.(3分)(24-25七年级•陕西湘南•阶段练习)下列各式因式分解正确的是()

A.%2—a2=(%—a)2B.4a2+4a+1=4a(a+1)+1

C.-x2+4x=-x(x+4)D.x2-4y2=(x-2y)(x+2y)

【答案】D

【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可.

【详解】解•：A：x2-a2=(x-a)2,因式分解不正确；

B：4a2+4a+1=(2a+1)2»因式分解不正确；

C：-X2+4X=-X(X-4),原式因式分解错误；

D：x2-4y2=(x+2y)(x-2y),原式因式分解正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘艰的形式，叫做因式分解，因式分解常用的

方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能

再分解为止.

2.(3分)(24-25七年级上•江苏南通・期末)已知〃7,〃均为正整数且满足nrn—3m-2几-24=0,则?n+n

的最大值是()

A.16B.22C.34D.36

【答案】D

【分析】由mn-3m—2几-24=0得(m—2)(九一3)=30.由于30=1x30=2x15=3x10=5x6=

30xl=15x2=10x3=6x5,据此列出关于小、n的方程组，求出每一组/〃、n的值，再求出相应的m+n

的信，即可找到m+n的最大值.

【详解】由nrn—3zn—2n-24=0得

mn—3m—2n4-6-30=0

m(n-3)-2(n-3)=30

(m-2)(九-3)=30

〃均为正整数

.17几一2=1成［m-2=2或-2=3或pn-2=5

"In-3=30bi-3=15in-3=10U-3=6

成pzi-2=30或pzi-2=15或pn—2=10或pn-2=6

7i—3=1-乂I"一3=2-乂171—3=3〜"I--3=5

27

解喏息或｛忆;或膘皂＜：；＜2＜：5＜：?嚅::

：,m+n=36或22或18或16

・・・m+n的最大值是36

故选:D

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将nm-3771-2n-24=0变形为(m-2)(n-3)=

30.

3.(3分)(24-25七年级•江苏•假期作业)在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号

"Z",如记£2=1k=1+2+3+…+(n-1)十〃，SJ=3(X+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+〃)；已如££=34(尢+卜)1

=%'+〃犹，则m的值是()

A.45B.63C.54D.不确定

【答案】B

【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案.

【详解】解：根据题意得：x(x+3)+x(.r+4)+...+x(X+〃)=x(9x+ni),

AA(x+3+x+4+...+x+〃)=x(9x+〃？),

(77-3+1)产5-3+；)(3+?=万(9x+m),

・・.〃_2=9,,〃=(n-3+D(3+〃),

2

••“=11,ui=63•

故选：B.

【点睛】小题考杳了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键.

22

4.(3分”24-25七年级•湖南株洲•期中)己知a,he满足Q2+2h=7,b-2c=-l,c-6a=-17,则Q+b-c

的值为()

A.1B.-5C.-6D.-7

【答案】A

【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出a,b,c的值，代入计算即可.

【详解】解：Va2+2b=7,b2-2c=—l,c2—6a=—17,

:.(a2+2b)+(〃-2c)+(/-6a)=7+(-1)+(-17),

:.a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11

/.(a2-6a+9)+Cb2+2b+\)+(d-Zc+l)=0»

:.(a-3)2+31)2+(c-1)2=0

/.d-3=0»8+1=0,c-l=0>

：.a+b-c=3A-l=l.

故选：A.

【点睛】本题考杳了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的

性质求出a,b,c的值，准确进行计算.

5.(3分)(24-25七年级上•重庆万州.期末)已知％、y、z满足％-z=12,xz+y?=一36,则％+2y+z的

值为()

A.4B.1C.0D.-8

【答案】C

【分析】根据题目条件可用x来表示z,并代入代数式中，运用公式法因式分解可得(无-6)2=-y2,再根据

平方数的非负性可分别求出x,z的值，最后运算即可.

【详解】解：•••x-z=12,,z=%-12,

又：xz+y2=-36,

:.A(X—12)+y2=-36,

•••A2-12x+36=-y2,(x-6)2=-y2,

v(x-6)2>0,-y2<0,

•••%-6=0,y=0,

：•x=6,y=0,z=—6,

代入％+2y+z得,x+2y+z=0.

故选：C.

【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题

的关键.

6.(3分)(2020•安徽亳州•二模)若(〃・c)2=4(1・。)(c・1),则b+c的值是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】先将等式的右边展开并移顶到左边，然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到〃+。的值.

【详解】解：•・•(b-c)2=4(1M)(c-1),

/.b2-2bc+(r=4c-4-4bc+4b,

:.Cb2+2bc'+c2)-4(b+c)+4=0,

:.(b+c)2-4(/?+c)+4=0,

:.(b+c-2)2=0,

：・b+c=2,

故选:D.

【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.

7.(3分)(2020•广东深圳•一模)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为

“神秘数”.如4=2?-。2,12=42-22,20=62-4?,因此4,12,20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘

数”()

A.56B.60C.62D.88

【答案】B

【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，则“神秘数』(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)

(2m+2-2m)=4(2m+l),因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4⑵计1)列方程求

解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合.

【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，

工"神秘数”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+l),

A、若4(2m+l)=56,解得m二去错误：

B>若4(2m+l)=60,解得m=7,正确;

C,若4(2m+l)=62,解得m=§，错误；

D、若4(2m+l)=88,解得错误；

故选:B.

【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的

关键.

8.(3分)(24-25七年级上•福建厦门・期末)下列四个多项式，可能是2x2+mx—3(m是整数)的因式的是

A.x-2B.2x+3C.x+4D.2x2-l

【答案】B

【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.

【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3,利用十字相乘法将2”+mx-3分解.

2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；

故选：B.

【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.

9.（3分）（24-25七年级•浙江温州・期中）如图，448C中，AB=a,BC=2a,^B=90o,将A4BC沿BC方

向平移b个单位得Z10EF（其中的对应点分别是。,民尸），设DE交力。于点G,若zMOG的面积比4CEG的

大8,则代数式a（Q-b）的值为（）

A.8B.-8C.16D.-16

【答案】B

【分析】根据平移的性质可得，AD=b,则S及方移=曲,由AB=a,BC=2a,jB=90°,可得S^BC="X

2

ax2a=a,根据题意可得，S^ADG=S长方形ABED-SXABC+S&CEG，再结合SMDG=S^CEG+8即可求出a(a—

b)的值.

【详解】*：AB=a,BC=2a,z5=90°,

2

^ShABC=^xax2a=a,

由平移可知，AD=b,

:长方形AB”=2

•・2/OG的面积比4CEG的大8,

•*^hADG=S^CEG+&

，SA4DG=S长方形ABED~S&ABC+$ACEG，

•・SACEG+8=S长方形ABED~ABC+S.EG»

ab8,

-a(a-b)=8,

.*.a(a—Z?)=—8.

故选B.

【点睛】本题考查列代数式，平移的性质，因式分解的应用，解题的关键是根据题目中的条件得到Su0G=

S长方形ABED-SAABC+SACEG-

10.(3分)(24-25七年级•重庆・开学考试)已知关于％的整式M:a/+匕13+c/+d%+/其中Q,b,c,

d,e为整数，且Q<b<c<d<e,下列说法：①M的项数不匕能小于等于3；②若e=0,则M不可能分

解为一个整式的平方；③若a+b+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均为正整数，则满足条件的M共有4

个.其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根裾a，b,c,d,e的大小关系及范围，列出

所有的情况进行求解.

【详解】解：根据Q<bvc<d<e,且a,b,c,d,e为整数，可得〃最小为0,则M的项数至少是4项，

故不可能小于等于3,故①正确；

若e=0,则Q<b<cVdV0,假设M可以分解为一个整式的平方，

设M=(px2+qx+r)2,

则M=(px2+qx+r)2

=(px2+qx+r)(px2+qx+r)

=p2x4+pqx3+prx2+pqx3+q2x2+qrx4-prx2+qrx+r2

24222

=p%+2pq%3+(2pr+q)x+2qrx+r,

•••a=p2,b=2pq,c=2pr+q2,d=2qr,e=r2,

•••e=0,

/.r=0,d=0,

这与d<e矛盾，

・•・假设不成立，

故e=0,则M不可能分解为一个整式的平方，

・••②正确：

若a+b+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均为正整数，

则有a=1»b=2,c=3,d=4，e=8,

yicci=1,b=2,c—3,d—5»e=7,

或a=1,b=2,c=4,d=5,e=6共三种情况，故③错误；

故选：C.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(24-25七年级•四川巴中•阶段练习)已知。=白工+2025,b=2x+2024,c=^-x+2026,

999999

则代数式匠+b2+c2-ah-be-ac的值为.

【答案】3

【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可，掌握分解因

式的应用，把原多项式扩大2倍得完全平方式是解题关键.

【详解】解：a=-%+2025,b=-x+2024,c=-x+2026,

999999

a—b=1,b—c=—2,a—c=-1,

：•a2+b2+c2—ab—be—ac

1

=-(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

1

=2Ka_b)2+(b-c)2+(a-c)2]

•••a—b=1,h—c=—2,a—c=—1,

原式=：X[12+(_2)2+(_1)2]

1

=2x6

=3.

故答案为：3.

12.(3分)(24-25七年级下•浙江•阶段练习)已知a,b为互不相等的非零实数，满足a2(b+c)=

b2(c+a)=8,贝ijc2(a+d)+Zabc=.

【答案】-8

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据a2@+c)=b2(c+a)=8,可得(a-b)(ac+

be+ab)=0,进而得出ac+be+ab=0,再根据/(b+c)=8,可得abc=—8,最后根据c“a+b)+

2abc=c(ac+be)+2abc=-abc+2abc=abc得出答案.

【详解】解：,.,MS+c)=b«c+a)=8,

：.a2b+a2c-b2c—b2a=0,

即c(a+b)(a-b)+ab(a—b)=0,

则(a—b)(ac+be+ah')=0.

Va。b,

:.ac+be+ab=0,

可得ab+ac=—be,ac+be=-ab.

Vci2(d+c)=8,

/.G(ab+ac)=8,

,*.a(—bc')=8,

即abc=—8.

Ac2(a+b)+2abc=c(ac+be)+2abc=—abc+2abc=abc=­8.

故答案为：-8.

13.(3分)(24.25七年级•重庆.阶段练习)一个四位数4=MxN,其中M、N均为两位数，M、N的十位

数字相同且|M-N|=2,则4的最小值是—；将M放在N的左边形成一个新的四位数B,我们称B为4的“合

构数”，若8的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且力能被17整除，

则满足条件的B的最小值是.

【答案】10233436

【分析】本题考杳因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过32时，>4<960,当k=33时，4=1023,

根据A能被17整除，可知M,N中必有一个是17的整数倍，即为34,68,85,然后根据“3的百位数字与它

的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一检验即可解题.

【详解】解：设较大的两位数是忆，则较小的两位数是1-2,

则4=仪左-2)=42-2匕

・・”是四位数,

当AW32时，4W960不符合题意；

当A=33时，A=1023,符合题意；

・•・力的最小值是1023,

•・N能被17整除,

・・・M,N中必有一个是17的整数倍，即为34,68,85；

当M=34时，N=32,数8=3234,这时2x4=8不能被2+4=6整除，不符合题意；

当M=68时，N=66,数3=6668,这时6x8=48不能被6+4=10整除，不符合题意；

当M=85时，N=83,数3=8385,这时3x5=15不能被3-4=7整除，不符合题意；

当M=34时，N=36,数8=3436,这时4x6=24能被4+4=8整除，符合题意；

当M=68时，N=70,不符合题意；

当M=85时，N=87,数8=8587,这时5x7=35不能被5-4=9整除，不符合题意；

故满足条件的B的最小值是3436,

故答案为：1023,3436.

14.(3分)(24-25七年级•江苏苏州•阶段练习)己知，a+b=x+y=2,ax+by=5,则(Q2+/)2)xy+

ab(x2+y2)=

【答案】-5

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子进行因式分解•，再利用整体代入法求值即可.

【详解】解：V(a2+b2)xy+ab(x24-y2)

=a^xy+b2xy+abx2+aby2

=ax(ay+bx)+by(bx+ay)

=(ax+by)(ay+bx),

*.*G4-b=x+y=2,

A(a+b)(x+y)=4,

/.ax+ay+Z?%+by=4,

■:ax+by=5,

/.ay+bx=-1,

・••原式=-1x5=-5；

故答案为：—5.

15.(3分)(24-25七年级•四川成都•期中)若，y满足％2=4y+3V=轨+c且%。为常数)，则

称点y)为“和谐点”.一次函数y=2x+b(-3<x<1)存在“和谐点”,则b的取值范

围.

【答案】-7<b<5Eb^2

【分析】本题考杳了一次函数的性质，因式分解的应用；根据新定义得出a-y)(x+y+4)=0,进而得出

3x+b+4=0,x+bHO,根据一3WxW1,即可求解.

【详解】解：•・•一次函数y=2x+b(-3<x<1)存在“和谐点”,

=4y+3y2=4x+亡且x学y(t为常数).

/•x2—4y=t,y2—4x=t.

：,x2-4y-y2+4x=0.

/.(x-y)(x+y+4)=0.

:,x+y+4=0.

/.3x+/?+4=0.

••b=-3x—4.

V-3<x<1,

：.-7<b<5.

,:xHy,%+y+4=0.

:.x*y丰一2.

当x=y=-2时，-2=2x(-2)十b,止匕时b=2,

：.b工2.

故答案为：—74匕45且力工2.

16.(3分)(24-25七年级•浙江杭州•期中)已知—=2n+1,4n2=m+l(m2n),那么m+2n=,

4n2—mn+2n2=.

【答案】-10

【分析】由条件可以变形为62-4n2=2〃+l-m-l=27i-m,因式分解从而可以求出其值；4n2=m+

1,4n3=mn+n,4九3一小"=%,可以得出九2=；(小+D，2/=：(m+l).所以4/3—血4+2"=

(4n3—mn)+2n2=zi4-1(m+1)=j(2n+m+1)=：(-1+1)=0从而得出结论.

【详解】解：Vm2=2n+1,4/=m+i(m装2n),

：.m2-4n2=2n4-1-m-1

Am2-4n2=2n-m,

:.(m+2n)(m—2n)=2n—m,

:.(m+2n)(rn.-2n)+(m-2n)=0

(m+2n+l)(m—2n)=0

Vm^2n,

.m+2n+1=0

，〃?+2〃=-1；

V4n2=m+1,

:.4n3=mn+n,

/.4n3—mn=n.

V4n2=m+1,

.*.n2—(m+1)»

/.2n2=+1）.

4n3—mn+2n2=（4n3—mn）4-2n2=n+1（m+l）=1（2n+m+l）=|（—14-l）=0.

故答案是：-1；0.

【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，员活运用因式分解是

解题的关键.

第n卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25七年级・广东广州•期中）分解因式

(1)3Q(/?2+9尸-108ab2；

(2)22)3_h2_6b+Sa_1Qah+3.

(3)4/-I4xy+6y2—7%+y—2：

（2"）"+汛6牝）

（4）计算:

【答案】（1）3矶b+3）2Q-3）2

(2)(2b-l)(b2-5a-3)

(3)(4%-2y+l)(x-3y-2)

（4）85

【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解的应用，灵活运用因式分解的方法是解题关键.

（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可；

（2）利用分组分解法进行因式分解即可；

（3）利用分组分解法进行因式分解即可；

（4）先利用公式法分解和（X+1尸+：,从而可得史里的值，最后再代入计算即可.

44x4+-

【详解】(1)解：3a(垓+9)2-108ab2

=3a[(d2+9产—36b2]

=3a®+9+6bXb2+9-6/7)

=3a(b+3)2(b-3)2.

(2)解：2b3-b2-6b+5a-IQab+3

=(2b3-b'D+(5a-10ab)-(6b-3)

=b2{2b-1)4-5a(1-2b)-3(26-1)

=/(2b-1)-5a(2b-1)-3(26-1)

=(2b-l)(Z?2-5a-3).

(3)解：4/-14盯+6y2-7%+y-2

=(x-3y)(4x—2y)—7x+y—2

=(x-3y)(4x-2y)+(x—3y)-+4y—2

=(x-3y)(4x-2y+1)-2(4x-2y+1)

=(4x-2y+l)(x-3y-2).

(4)解：x4+i=(%2+1)2-x2=(x2+x4-1)(%2-x+0,

(%+1)4+：=[(x+l)2+T-a+1)2，

=(%+I)2+(x+1)+i][(x+I)2-(x+1)+i

=(x2+3x+|)(x2+x+^),

(X+1)4+J_(xz+3x+1)(x2+x+1)X2+3X+1

-

•••"V4=(N+*)Gj+g=

.(£4)(£4)(£4)

•EF询

12+3x1+932+3x3+942+3X44-1

=-----------*---------------x---------------

l2-1+232-3+242—4+2

134185

_TXTXT

一丁豆亘

2rr

=85.

18.（6分）（24-25七年级上•福建泉州•期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类

似地，多项式〃+2帅+力2及Q2-2M+坟称做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做

如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种

方法叫做配方法.配方法是•种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将•个看似不能分解的多项式分解

因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式/+2%-3.

原式=(x2+2x+1)-4=(x+I)2-22=(x+1+2)(%+1-2)=(x+3)(%-1)；

例加：求代数式2/+4X—6的最小值.

原式=2,+轨一6=2(/+2%-3)=2(%+1)2-8.可知当x=-1时，2/+4%-6有最小值，最小值

是-8.

(1)用配方法分解因式：次+2。-8；

⑵当x为何值时，多项式一2M-8%+5有最大值，并求出这个最大值.

(3)求使得771?+血+7是完全平方数的所有整数机的积.

【答案】(1)(。十4)(。-2)

(2)当％=—2时，多项式一2--8x+5有最大值13

⑶84

【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键.

(1)把层+2Q-8变形为(M+2Q+1)-9即可求解；

(2)将原式配方为-2(x+2尸+13,根据平方非负性即可求解；

(3)将原式因式分解变形为(2m+2k+l)(2m-2k+1)=-27,分类讨论求解即可.

【详解】(1)解：a24-2a-8

=(a2+2a+1)-1-8

=(a+1)2-9

=(a+1+3)(Q+1—3)

=(a+4)(a-2)；

(2)解：-2x2-8%+5

=-2(X24-4X)+5

=-2(x2+4%+4-4)+5

=-2(%+2尸+13；

V-2(x+2)2<0,

/.-2(x+2)2+13<13,

，当％=-2时，多项式一2/一8%+5有最大值13.

(3)解：设Tn2+m+7=k2,

所以血2+血+!+二=k2,

44

所以(巾+^丫+彳=炉，

所以(巾+目2_/=_§,

所以(m+[+k)(m+：—k)=-y,

所以(2m+2k+l)(2m-2k+1)=-27

因为kNO(因为/为完全平方数)，且机与火都为整数，

所以①2血+2攵+1=27,2m-2k+l=-1,解得：771=6,k=7；

②2m+2k+l=9,2机—2k+l=-3,得：m=l,k=3；

③2zn+2k+l=3,2m-2k+l=-9,解得：m=-2,k=3；

④2m+2k+l=l,2m—2k+1=—27,解得：m=-7,k=7.

所以所有m的积为6x1x(-2)x(-7)=84.

19.(8分)(24-25七年级•福建厦门•期中)已知：3m+n=—a,mn=-a.

(I)求证:(b+c)2>12ac；

(2)若m,n为整数，且a-c=：,ac<0,求三的值.

2D

【答案】(1)证明见解析

(2)-；

[分析】(1)根据已知得b+c=a(3m+n),c=amn,aH0,再代入(b+c)2-12ac,整理得。2(3机-n)2,

根据平方的非负性质即可得证；

2

(2)根据已知推出b=a(3m+n)-c=a(3m4-n-mn),由ac<0得Q•am九=a•mn<0,继而得到m,

九异号，根据Q-c=2推出(m+l)(n+3)=5,继而得到｛::;二;或｛彳二二;或｛:1;二1或

1nl=一?，求解后得到符合题意的m、n的值，再代入计算即可.

(.H+3=—1b3m+n-mn

【详解】(1)证明：,•Ym+ri="，mn=

aa

.*.fc+c=a(3m+n),c=amn,aH0,

:.(b+c)2—12ac

=[a(3m+n)]2-12a•amn

—a2(9m2+6mn+n2—linin')

=a2(9m2—6mn+n2)

=a2(3m—n)2,

Va2>0,(3m-n)2>0,

a2(3m-nA>o,

/.(d+c)2-12ac>0

:.(b+c)2>12ac：

解：

(2)V3m+n=—a,mn=a

+c=a(3in+n),c=amn,aH0,

Afc=a(3m+n)-c=a(3m+n)-amn=a(3m4-n-mn),

*/acv0,

:.a•amn=a2-mn<0,

,:a2>0,

Ann<0,

An,ri异号,

..b

.a—c=-2,

.a(3m+n-mn)

..a-amn=-------2-------,

：.2—2mn=37n+n—mn,BPmn+37n+n-2=0,

+l)(n+3)=5,

・・・m,n为整数,

・pn+1=1或(m+1=-1或pn+1=5或fm+1=-5

**ln4-3=5^ln+3=-5+3=1+3=—1'

弋二;(不符号m、九异号，舍去)或｛:二二；(不符号m、n异号，舍去)或｛7==_1或｛:二(不

符号m、九异号，舍去)，

■..―c=-----a--m--n-----=----m--n-----=------4--x-(---2-)------=--4-

ba(3m+n-mn)3m+n-mn3x4+(-2)-4x(-2)99

的值为一

b9

【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解的应用，平方的非负性质，二元一次方程组的应用，求代数式

的值.利用因式分解和方程的思想解决问题是解题的关键.

20.(8分)(24-25七年级•广东广州•期中)(1)已知x+y+z=0,%2+y2+z2=1,求

①xy+yz+xz\

(2)x4+y4+z4.

(2)若x-y=l,x3-y3=4,求/-y7,

【答案】(1)①一螃＜2)29

【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想

是解题的关键；

(1)①对％+y+z=0两边同时平方求解即可；②对%y+xz+yz=两边同时平方，可得炉、2+/z?+

y2z2=；,再对其两边同时平方求解即可；

22

(2)由立方差公式可得(x-y)(x+xy十y)=4,由完全平方公式可得/_2xy十丫2=1,进而可得无丫=1,

则7+y2=3,对/+y2=3两边同时平方可得小+必=7,再由(三一丫3)。4+必)求解即可.

【详解】解：(1)解：①x+y+z=0,x2+y24-z2=1,

•••(x+y+z)2=[(x+y)+z]2=(x2+2xy4-y2)+z2+2zx+2zy=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

=x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)=14-2(xy+xz+yz)=0,

:.xy+xz+yz=-1：

②•；%+y+z=0,xy+xz+yz=-

2

:.(xy+xz+yz)2=x2y2+x2z2+y2z2+2xzy2+2yzx2+2xyz2=x2y2+x2z2+y2z2+Zxyz(x+

y+z)=x2y2+x2z2+y2z2=

222444222222444

•••(x+yz+z)=x4-y+z+2xy+2xz+2yz=x+y+z+2(%2y2+X2Z2+y2z2^=

/+y4+?4+；=1,

,2

444

x+，y+z=2

(2)解：'：x-y-1,x3-y3=4,

:.%3—y3=(x—y)(x2+xy+y2)=4,(x—y)2=x2—2xy+y2=1,

•••x2+xy+y2=4,x2—2xy+y2=1,

•••xy=1,

:.X2+y2=3,

(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4=x4+y4+2=9,

:.x4+y4=7,

•••(x3-y3)(x4+y4)=x7+x3y4-x4y3-y7=x7-y7+x3y3(y-x)=x7-y7-1=4x7=28,

:.%7—y7=29.

21.(10分)(24-25七年级上•北京•期中)小聪学习多项式研究了多项式值为。的问题，发现当7nx+〃=0

或px+q=0时，多项式4=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x4-九q的值为0,把此时x的值称为多

项式人的零点.

(1)已知多项式(3x+2)(x-3),则此多项式的零点为.

(2)已知多项式B=(%-2)(x+771)=x2+(a-l)x-3a有一个零点为2,求多项式3的另一个零点；

⑶订正：小聪继续研究(又一4)。-2),双无一6)及卜一|)(无一9等，发现在x轴上表示这些多项式零点的

两个点关于直线X=3对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”.若多项式M=(2x-b)(cx-7c)=ax2-

(8a—4c)x+5b-4是“3-系多项式"，则。=,b=,c=.

【答案】⑴-然3

(2)-3

(3)2,-2,1

【分析】本题考杳了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用：

(1)根据题意，令(3工+2)(%-3)=(),解方程得出工的值，即可得出答案；

(2)根据题意，把％=2代入多项式B,得8=4+2(Q-l)-3a=0,然后解关于Q的方程即不得出a的值，

再把Q的值代入B,进而得出答案；

(3)根据题意，由“3-系多项式”定义，进而得出答案.

【详解】(1)解：根据题意，令(3%+2)(工-3)=0,

二3X+2=0或％-3=0,

解得：x=—：或％=3,

故答案为：一|或3;

(2)根据题意，把％=2代入8,得8=4+2(a-1)-3a=0,

解得：a=2,

把a=2代入乩得B=x2Ix—6=(x-2)(x卜3),

令x+3=0,

解得：x=-3,

•••多项式8的另一个零点是一3；

⑶M=(2x-b)(cx-7c),

M的两个零点分别是g或7,

根据“3-系多项式”的定义，有5+7=6,

：.b=-2

把匕=一2代入M,

得M=(2x-Z?)(cx—7c)

=(2x+2)(ex—7c)

=lex2—12cx—14c

M=ax2—(8a-4c)x+5b—4,

•••a=2c,5b—4=-14c,

•••c=l,a=2

故答案为：2,-2,1.

22.(10分)(24-25七年级上•四川乐山•期中)我们把多项式Q2+2ab+b2及02一2帅+卜2叫做完全平方

式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方

式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是•种重要的解决问题的数学方

法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大

值，最小值等.

例如：分解因式/+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+I)2-4=(x+1+2)(%+1-2)=(x+3)(x-1)

例如：求代数式27+4x-6的最小值27+4x-6=2(/+2x-3)=2(x+1尸一8.可知

当《=—1时，2/十4X一6有最小值，最小值是一8.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式:rn2—6m-16=_；

(2)若Q、力满足a?+力2-4Q+6力+13=0,求洋的值;

(3)已知夕二5小一10=巾2一白口(771为任意实数)，比较P、Q的大小；

AOJLD

(4)当％、y为何值时，多项式％2-2盯+2y2+4%一10y+29有最小值，并求出这个最小值.

【答案】(1)(7H+2)(TH-8)

(2)9

⑶P<Q

(4)x=1,y=3,16

【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用，

(1)根据阅读材料，先将m2-6m-16变形为租2—6m+9-25,再根据完全平方公式写成(爪-3)2-25,

然后利用平方差公式分解即可；

(2)利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得Q=2,6=-3,进而可得淤的值;

(3)用Q减P得。-。=爪2一7几+1,利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行

解答即可：

(4)利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可.

【详解】(1〉解：=I?—6?n—16

=m2—6m+9—25

=(m-3)2—25

=(m-3+5)(m-3-5)

=(m+2)(m-8)；

(2)解：Va24-b2-4a+6b+13=0,

:.(a2-4a+4)+(b2+6b+9)=0,

/.(a—2)2+(b+3)2=0,

/.a—2=0,b+3=0,

/.a=2,b=-3»

=(-3)2=9；

⑶解：P=-^m-1,Q=m2-

.\Q-P=m2+1

m+

33

o

m-+-->->

44

:・Q>P,即PVQ；

（4）解：x2-2xy+2y24-4x-lOy+29

=x2-2xy+4x+V-4y+4+y2-6y+9+16

=x2-2x(y-2)4-(y-2)2+y2-6y+9+16

=(x—y4-2)24-(y-3)2+16>16,

，当％-y+2=0且y-3=0时，x2-2xy+2y2+4x-lOy+29有最小值16,

此时得：y=3,x=1,

Ax=1,y=3时，多项式/一2xy+2V2+4%-10y+29有最小值为16.

23.(12分)(24-25七年级•上海•期中)阅读理解：

条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M;条件②：代数式A中的字母存在某个取值,

使得A等于常数M;我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的卜确界.

例如：

/+2%+5=M+2•%•1+M-M+5=(%+1尸+4,

v(x+I)2>0,

x2+2x+5>4(满足条件①)

当x=一1时，x2+2%+5=4(满足条件②)

••-4是/+2x4-5的下确界.

又例如：

x2+2\x\+5=\x\2+2•优|•1+尸一仔+5=(|x|+I)2+4,由于优|H-1,所以3+2\x\+5=4,(不

满足条件②)故4不是/+2|%|+5的下确界.

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)求产一6%+4的下确界.

(2)若代数式2/+mx+3的下确界是1,求m的值.

(3)求代数式弓“2+*+2Xy-4x-4y4-10的下确界.

【答案】⑴-5

(2)m=±4

(3)6

【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解，

(D根据题干示例的方法计算即可作答；

(2)根据题意设2/+rnx+3=2(x+t)24-1>1»根据2(x4-1)2+1=2x2+4tx+2t2+1可得

2^=1=3，解方程即可求解;

(3)先分组得到(x2+2%y+y2)+g/-4(x+y)+10,进而得到[(%+y/-4(%+y)+4]+：/+6,则

可得到原式=（x+y-2）2+|x2+6,据此仿照题意求解即可.

【详解】(1)解：x2-6x4-4=