专项强化练2 空间向量与立体几何的综合应用

专题强化练2空间向量与立体几何的综合应用

1.（2022黑龙江八校期中联考）如图所示的三棱锥P-ABC中，D是棱PB

的中点,PA，底面ABC,PA=BC=2,AB=4,AB1BC,则异面直线PC,AD所成

角的正弦值为（

AV30

A-v

C-T

2.（多选）（2021辽宁六校期中联考）在正方体ABCD-ABCD中,E,F分

别是AD,CD的中点，则下列结论正确的是（）

A.AC〃平面CEF

B.BO_L平面CEF

C.CE=：DA+DD「DC

D.点D与点Bi到平面CEF的距离相等

3.（2022广东广州华侨中学期中）在长方体ABCD-ABCD

中,AD二AA尸1,AB=2,点E是棱AB的中点，则点E到平面AC，的距离

为.

4.在长方体ABCD-ABCD中，AD=AA.=1,AB=2,点E在棱AB上移动，则直

线DE与A.D所成角的大小是,若D,E1EC,则AE二.

5.(2022广东佛山第一中学月考)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分

别为AD,BC的中点，以DF为折痕把4DFC折起，使点C到达点P的位

置，且PF1BF.

(1)证明:平面PEF1平面ABFD;

⑵求DP与平面ABFD所成角的止弦值.

6.(2021天津静海四校联考)如图，在三棱锥P-ABC中,PA,底面

ABC,NBAO90。，点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的

中点,PA=AC=4,AB=2.

(1)求证:MN〃平面BDE;

(2)求平面CEM与平面EMN所成角的正弦值；

⑶已知点II在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为务求

4A

线段AH的长.

答案全解全析

1.D因为PA，平面ABC,所以PA±AB,PA1BC.过点A作AE〃CB,又

CB1AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图，以A为坐标原点,AB,AE,AP所在

直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),P(0,0.2),B(4,0,0),C(4,-2,0).

因为D为PB的中点，所以D（2,0,1）.

故而二（-4,2,2）,前二（2,0,1）.

设异面直线PC,AD所成的角为0,

则cos0二|cos〈而而＞|二瓦%二端

所以异面直线PC,AD所成角的正弦值为口宵二等.

故选D.

2.AC・・・E,F分另ij是AD,CD的中点,...EF〃A£,

又EFu平面CEF,ACQ平面CEF,

AAiCi//平面CEF,故A中结论正确.

建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为2,

则C(O,2,0),E(l,0,2),F(0,1,2),B.(2,2,2),D(0,0,0),

：.DB[=(2,2,2),EF=(-1,1,0),CF=(0,-1,2).

设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),

..卜月二。，即尸

(n•CF=0,b'+2z=0,

令x=2,则y=2,z=l,An=(2,2,1).

•.•西与n不平行，

AB.D不垂直于平面CEF,故B中结论错误.

寻历+西+■二而+西耐+西一反,故C中结论正确.

易知反二(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为db则

,|DC-n\44

X九二4+4+1=；

易知时二(-2,0,-2),设点Bl到平面CEF的距离为d2,则

&二国三土二要等二2,故D中结论错误.故选AC.

nV4+4+1

3.答案J

解析以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建

立空间直角坐标系,如图所示,

则Di(0,0,1),E(1,l,0),A(l,0,0),C(0,2,0).

.•.D^E=(1,l,-l),^C=(-l,2,0),AD^=(-l,0,1).

设平面ACD)的法向量为n=(a,b,c),

则k*0,+2b=0,

叫::令b=l,则a=2,c=2,

(n•AD]=0,+c=0,

.\n=(2,1,2).

・••点E到平面ACD)的距离为龙邑上二卫

7TIJJ

4.答案90°;1

解析以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建

立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),D,(0,0,1),Ai(1,0,1),C(0,2,0).

设E(l,m,0),0WmW2,则瓦/(1,砸二(T,0,-1),

EC=(-l,2-m,0).

VDJE•硕=T+0+l=0,J直线D.E与A,D所成角的大小是90°.

VD.E1EC,：.D^E•EC=-l+m(2-m)+0=0,解得m=l,AAE=1.

5.解析(1)证明：由已知可得BFLEF,又因为PFLBF,且PF,EFu平面

PEF,PFAEF=F,所以BF,平面PEF.又BFu平面ABFD,所以平面PEF±

平面ABFD.

(2)作PH_LEF,垂足为H.

由⑴得,PH_L平面ABFD.

以H为坐标原点，标的方向为y轴正方向，|前|为单位长,建立如图

所示的空间直角坐标系Hxyz.

易知DE±EF,由(1)可得，DE_LPE.又DP=2,DE=1,所以PE=V3,又

PF=1,EF=2,所以PE±PF,所以PH=二EH=-,

22

则H(0,0,0),P(0,0,y),D(-l,-|,0),

所以评=(o,0,,)，而=(1，I，y).

易知麻二(0,0,4)为平面ABFD的一个法向量.

设DP与平面ABFD所成角为9,

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为当

4

6.解析由已知得AB,AC,AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，布，左，押的方向分别为x轴,y釉,z轴正方

向建立空间直角坐标系.

依题意可得B依0,0),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).

(1)证明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),而二(1,2,-1).

设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,

即0不妨设z=l,则y=0,x=l,

•DB=0,

所以n=(l,0,1).

因为而•n=0,MN。平面BDE,所以MN〃平面BDE.

(2)易知n,=(l,0,0)为平面CEM的一个法向量.

FM=(0,-2,-l),W=(l,2,-1).

设n2=(x\y,z')为平面EMN的法向量,

则g・理=。，即已：=0,不妨设y-l,则z〜2,x,=-4,

(n2•MN=0,(%+2y=0.

所以r)2=(—4,1，-2).

因小匕有cos＜nb口2＞二1i：九2二一鼻

几1\n2V21

于是sin＜nbn2＞二f